3.6: Детермінанти та правило Крамера

Цілі навчання

• Обчислити детермінант$2\times 2$ матриці.
• Використовуйте правило Крамера для вирішення систем лінійних рівнянь з двома змінними.
• Обчислити детермінант$3\times 3$ матриці.
• Використовуйте правило Крамера для вирішення систем лінійних рівнянь з трьома змінними.

Лінійні системи двох змінних та правило Крамера

Нагадаємо, що матриця - це прямокутний масив чисел, що складається з рядків і стовпців. Класифікуємо матриці за кількістю рядків$n$ і кількістю стовпців$m$. Наприклад,$3\times 4$ матриця, читається «матриця 3 на 4», - це та, яка складається з$3$ рядків і$4$ стовпців. Квадратна матриця ²⁹ - це матриця, де кількість рядків збігається з кількістю стовпців. У цьому розділі ми окреслимо інший метод розв'язання лінійних систем з використанням спеціальних властивостей квадратних матриць. Почнемо з розгляду наступної матриці$2\times 2$ коефіцієнтів$A$,

$A = \left[ \begin{array} { c c} { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }} &{ b _ { 2 } } \end{array} \right]$

Визначник ³⁰$2\times 2$ матриці, що позначається вертикальними лініями$|A|$, або більш компактно як det (A), визначається наступним чином:

Малюнок$\PageIndex{1}$

Детермінант - це дійсне число, яке отримують шляхом віднімання добутків значень по діагоналі.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Розрахувати:$\left| \begin{array} { l } { 3 - 5 } \\ { 2 - 2 } \end{array} \right|$

Рішення

Вертикальна лінія по обидва боки матриці вказує на те, що нам потрібно обчислити детермінант.

$\begin{aligned} \left| \begin{array} { c c } { 3} &{ - 5 } \\ { 2} &{ - 2 } \end{array} \right| & = 3 ( - 2 ) - 2 ( - 5 ) \\ & = - 6 + 10 \\ & = 4 \end{aligned}$

Відповідь:

$4$

Приклад$\PageIndex{2}$:

Розрахувати:$\left| \begin{array} { c c } { - 6} &{4 } \\ { 0 } & {3}\end{array} \right]$

Рішення

Зверніть увагу, що матриця дана у верхній трикутній формі.

$\begin{aligned} \left| \begin{array} { c c } { - 6} &{4 } \\ { 0} &{3 } \end{array} \right| & = - 6 ( 3 ) - 4 ( 0 ) \\ & = - 18 - 0 \\ & = - 18 \end{aligned}$

Відповідь:

$-18$

Ми можемо розв'язувати лінійні системи з двома змінними, використовуючи детермінанти. Починаємо з загальної$2\times 2$ лінійної системи і вирішуємо для$y$. Щоб усунути змінну$x$, помножте перше рівняння на,$−a_{2}$ а друге рівняння на$a_{1}$.

$\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y = c _ { 1 } } & { \stackrel { \times \left( - a _ { 2 } \right) } { \Longrightarrow } } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y = c _ { 2 } } & { \underset { \times a _ { 1 } } { \Longrightarrow }} \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { c } { - a _ { 1 } a _ { 2 } x - a _ { 2 } b _ { 1 } y = - a _ { 2 } c _ { 1 } } \\ { a _ { 1 } a _ { 2 } x + a _ { 1 } b _ { 2 } y = a _ { 1 } c _ { 2 } } \end{array} \right.$

Це призводить до еквівалентної лінійної системи, де змінна$x$ вишикується для усунення. Тепер додаємо рівняння, які ми маємо

Малюнок$\PageIndex{2}$

І чисельник, і знаменник дуже схожі на визначник$2\times 2$ матриці. По суті, це так. Знаменник - визначник матриці коефіцієнтів. А чисельник - це визначник матриці, утвореної заміною стовпця, що представляє коефіцієнти$y$ з відповідним стовпцем констант. Позначається ця спеціальна матриця$D_{y}$.

$y = \frac{D_{y}}{D} =\frac{\left| \begin{array} { c c } { a _ { 1 }} &{\color{Cerulean}{ c _ { 1} } } \\ {\color{black}{ a _ { 2 }}} &{ \color{Cerulean}{c _ { 2} } } \end{array} \right|}{\left| \begin{array} { c c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }}&{ b _ { 2 } } \end{array} \right|}= \frac { a _ { 1 } c _ { 2 } - a _ { 2 } c _ { 1 } } { a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } }$

Значення для$x$ можна вивести аналогічним чином.

$x = \frac{D_{x}}{D} =\frac{\left| \begin{array} { c c } { \color{Cerulean}{c _ { 1} }} &{ \color{black}{b _ { 1}} } \\ {\color{Cerulean}{ c _ { 2 }}} &{ \color{black}{b _ { 2} } } \end{array} \right|}{\left| \begin{array} { c c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }}&{ b _ { 2 } } \end{array} \right|}= \frac { c _ { 1 } b _ { 2 } - c _ { 2 } b _ { 1 } } { a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } }$

Загалом, ми можемо сформувати доповнену матрицю наступним чином:

$\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y = c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y = c _ { 2 } } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array} { c c | c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 }} &{\color{Cerulean}{c _ { 1}} } \\ { a _ { 2 }} &{ b _ { 2 }} &{ \color{Cerulean}{c _ { 2} } } \end{array} \right]$

а потім визначити$D, D_{x}$ і$D_{y}$ шляхом обчислення наступних детермінанти.

$D = \left| \begin{array} { c c } { a _ { 1 }}&{ b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }}&{ b _ { 2 } } \end{array} \right| \quad D _ { x } = \left| \begin{array} { c c} { \color{Cerulean}{c _ { 1 }}}&{ \color{black}{b _ { 1} } } \\ { \color{Cerulean}{c _ { 2} }}&{ \color{black}{b _ { 2} } } \end{array} \right| \quad D _ { y } = \left| \begin{array} { c c} { a _ { 1 }}&{\color{Cerulean}{ c _ { 1} } } \\ { a _ { 2 }}&{\color{Cerulean}{ c _ { 2} } } \end{array} \right|$

Розв'язок системи з точки зору детермінант, описаних вище, коли D ≠ 0, називається правилом Крамера ³¹.

$\begin{array} { c } { \color{Cerulean} { Cramer's\: Rule } } \\ { ( x , y ) = \left( \frac { D _ { x } } { D } , \frac { D _ { y } } { D } \right) } \end{array}$

Ця теорема названа на честь Габріеля Крамера (1704 - 1752).

Малюнок$\PageIndex{3}$: Габріель Крамер

Етапи розв'язання лінійної системи з двома змінними за допомогою детермінант (правило Крамера) викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Вирішіть за допомогою правила Крамера:$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 7 } \end{array} \right.$.

Рішення

Переконайтеся, що лінійна система знаходиться в стандартній формі перед початком цього процесу.

Крок 1: Побудуйте розширену матрицю та сформуйте матриці, що використовуються в правилі Крамера.

$\left\{ \begin{array} { c c } { 2 x + y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 7 } \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} { c c |c } { 2 } & { 1 } & { \color{Cerulean}{7} } \\ { 3 } & { - 2 } & { \color{Cerulean}{- 7} } \end{array} \right]$

У квадратній матриці, яка використовується для визначення$D_{x}$, замініть перший стовпець матриці коефіцієнтів на константи. У квадратній матриці, яка використовується для визначення$D_{y}$, замініть другий стовпець на константи.

$D = \left| \begin{array} { c c } { 2 } & { 1 } \\ { 3 } & { - 2 } \end{array} \right| \quad D _ { x } = \left| \begin{array} { c c} { \color{Cerulean}{7} } & { \color{black}{1} } \\ { \color{Cerulean}{- 7} } & { \color{black}{- 2} } \end{array} \right| \quad D _ { y } = \left| \begin{array} { c c } { 2 } & {\color{Cerulean}{ 7} } \\ { 3 } & { \color{Cerulean}{- 7} } \end{array} \right|$

Крок 2: Обчисліть детермінанти.

$D _ { x } = \left| \begin{array} { r r } { 7 } & { 1 } \\ { - 7 } & { - 2 } \end{array} \right| = 7 ( - 2 ) - ( - 7 ) ( 1 ) = - 14 + 7 = - 7$

$D _ { y } = \left| \begin{array} { r r } { 2 } & { 7 } \\ { 3 } & { - 7 } \end{array} \right| = 2 ( - 7 ) - 3 ( 7 ) = - 14 - 21 = - 35$

$D = \left| \begin{array} { r r } { 2 } & { 1 } \\ { 3 } & { - 2 } \end{array} \right| = 2 ( - 2 ) - 3 ( 1 ) = - 4 - 3 = - 7$

Крок 3: Використовуйте правило Крамера для обчислення$x$ і$y$.

$x = \frac { D _ { x } } { D } = \frac { - 7 } { - 7 } = 1 \quad \text { and } \quad y = \frac { D _ { y } } { D } = \frac { - 35 } { - 7 } = 5$

Тому одночасне рішення$(x, y) = (1,5)$.

Крок 4: Перевірка необов'язкова; однак, ми робимо це тут заради повноти.

Таблиця$\PageIndex{1}$

$\color{Cerulean}{Check\:\:}\color{YellowOrange}{(1,5)}$
Рівняння 1	Рівняння 2
$\begin{array} { r } { 2 x + y = 7 } \\ { 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{black}{ )} + ( \color{Cerulean}{5} \color{black}{)} = 7 } \\ { 2 + 5 = 7 } \\ { 7 = 7 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}$	$\begin{array} { r } { 3 x - 2 y = - 7 } \\ { 3 ( \color{Cerulean}{1}\color{black}{ )} - 2 ( \color{Cerulean}{5}\color{black}{ )} = - 7 } \\ { 3 - 10 = - 7 } \\ { - 7 = - 7 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}$

Відповідь:

$(1,5)$

Приклад$\PageIndex{4}$:

Вирішіть за допомогою правила Крамера:$\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - y = - 2 } \\ { 6 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$.

Рішення

Далі слідує відповідна розширена матриця коефіцієнтів.

$\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - y = - 2 } \\ { 6 x + 4 y = 2 } \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} { c c |c } { 3 } & { - 1 } & { \color{Cerulean}{- 2} } \\ { 6 } & { 4 } & { \color{Cerulean}{2} } \end{array} \right]$

І ми маємо,

$D _ { x } = \left| \begin{array} { r r } { \color{Cerulean}{- 2} } & { \color{black}{- 1} } \\ { \color{Cerulean}{2} } & {\color{black}{ 4} } \end{array} \right| = - 8 - ( - 2 ) = - 8 + 2 = - 6$

$D _ { y } = \left| \begin{array} { r r } { 3 } & { \color{Cerulean}{- 2} } \\ { 6 } & { \color{Cerulean}{2} } \end{array} \right| = 6 - ( - 12 ) = 6 + 12 = 18$

$D = \left| \begin{array} { r r } { 3 } & { - 1 } \\ { 6 } & { 4 } \end{array} \right| = 12 - ( - 6 ) = 12 + 6 = 18$

Скористайтеся правилом Крамера, щоб знайти рішення.

$x = \frac { D _ { x } } { D } = \frac { - 6 } { 18 } = - \frac { 1 } { 3 } \quad \text { and } \quad y = \frac { D _ { y } } { D } = \frac { 18 } { 18 } = 1$

Відповідь:

$(-\frac{1}{3}, 1)$

Вправа$\PageIndex{1}$

Вирішіть за допомогою правила Крамера:$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - 3 y = - 7 } \\ { - 7 x + 6 y = 11 } \end{array} \right.$.

Відповідь

$(-1, \frac{2}{3})$

www.youtube.com/В/TR3J8OQZZY

Коли детермінант матриці$D$ коефіцієнтів дорівнює нулю, формули правила Крамера невизначені. При цьому система або залежна, або суперечлива в залежності від значень$D_{x}$ і$D_{y}$. Коли$D = 0$ і те,$D_{x} = 0$ і$D_{y} = 0$ інше, і система залежить. Коли$D = 0$ і або$D_{x}$ або$D_{y}$ є ненульовим, то система суперечлива.

$\begin{array} { l } { \text { When } D = 0 } \\ { D _ { x } = 0 \text { and } D _ { y } = 0 \Rightarrow } \:\:\color{Cerulean}{Dependent\:System} \\ { D _ { x } \neq 0 \text { or } D _ { y } \neq 0 \:\:\:\Rightarrow } \:\:\color{Cerulean}{Inconsistent\:System}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{5}$:

Вирішіть за допомогою правила Крамера:$\left\{ \begin{array} { l } { x + \frac { 1 } { 5 } y = 3 } \\ { 5 x + y = 15 } \end{array} \right.$.

Рішення

Далі йде відповідна доповнена матриця.

$\left\{ \begin{array} { l } { x + \frac { 1 } { 5 } y = 3 } \\ { 5 x + y = 15 } \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} { c c |c } { 1} &{ \frac { 1 } { 5 }}&{ \color{Cerulean}{3} } \\ { 5}&{1} &{ \color{Cerulean}{15} } \end{array} \right]$

А ми маємо наступне.

$D _ { x } = \left| \begin{array} { c c } {\color{Cerulean}{ 3}} &{\color{black}{ \frac { 1 } { 5} } } \\ { \color{Cerulean}{15} } & {\color{black}{ 1} } \end{array} \right| = 3 - 3 = 0$

$D _ { y } = \left| \begin{array} { l } { 1 } & { \color{Cerulean}{3} } \\ { 5 } & {\color{Cerulean}{ 15} } \end{array} \right| = 15 - 15 = 0$

$D = \left| \begin{array} { c c } { 1 } & { \frac { 1 } { 5 } } \\ { 5 } & { 1 } \end{array} \right| = 1 - 1 = 0$

Якщо ми спробуємо використовувати правило Крамера, яке ми маємо,

$x = \frac { D _ { x } } { D } = \frac { 0 } { 0 } \quad \text { and } \quad y = \frac { D _ { y } } { D } = \frac { 0 } { 0 }$

обидва з яких є невизначені величини. Тому що$D = 0$ і те,$D_{x} = 0$ і інше, і$D_{y} = 0$ ми знаємо, що це залежна система. Насправді, ми можемо бачити, що обидва рівняння представляють одну і ту ж лінію, якщо ми вирішуємо для$y$.

$\left\{ \begin{array} { l } { x + \frac { 1 } { 5 } y = 3 } \\ { 5 x + y = 15 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 15 } \\ { y = - 5 x + 15 } \end{array} \right.$

Тому ми можемо представити всі рішення$(x, −5x + 15)$, де$x$ є дійсним числом.

Відповідь:

$( x , - 5 x + 15 )$

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішіть за допомогою правила Крамера:$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 12 } \end{array} \right.$.

Відповідь

$\varnothing$

www.youtube.com/В/Д2ЛДКЮ 321НК

Лінійні системи трьох змінних та правило Крамера

Розглянемо наступну матрицю$3\times 3$ коефіцієнтів$A$,

$A = \left[ \begin{array} { c c c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 }}&{ c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }}&{ b _ { 2 }}&{ c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 }}&{ b _ { 3 }}&{ c _ { 3 } } \end{array} \right]$

Визначник цієї матриці визначається наступним чином:

$\operatorname { det } ( A ) = \left| \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { b _ { 1 } } & { c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } & { c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } & { b _ { 3 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right| \\ = a _ { 1 } \left| \begin{array} { c c } { b _ { 2 } } & { c _ { 2 } } \\ { b _ { 3 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right| - b _ { 1 } \left| \begin{array} { c c } { a _ { 2 } } & { c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right| + c _ { 1 } \left| \begin{array} { l l } { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } & { b _ { 3 } } \end{array} \right| \\= a _ { 1 } \left( b _ { 2 } c _ { 3 } - b _ { 3 } c _ { 2 } \right) - b _ { 1 } \left( a _ { 2 } c _ { 3 } - a _ { 3 } c _ { 2 } \right) + c _ { 1 } \left( a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } \right)$

Тут кожен$2\times 2$ детермінант називається мінор ³² від попереднього фактора. Зверніть увагу, що фактори є елементами в першому рядку матриці і що вони чергуються за знаком$(+ − +)$.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Розрахувати:$\left| \begin{array} { r r r } { 1 } & { 3 } & { 2 } \\ { 2 } & { - 1 } & { 3 } \\ { 0 } & { 5 } & { - 1 } \end{array} \right|$

Рішення

Щоб легко визначити мінор кожного фактора в першому рядку, ми вибудовуємо перший рядок і відповідний стовпець. Визначник матриці елементів, що залишилися, визначає відповідний мінор.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Подбайте про чергування ознак факторів в першому ряду. Розширення неповнолітніми приблизно першого ряду слід:

$\left| \begin{array} { r r r }\color{Cerulean}{ { 1 }} & \color{Cerulean}{ { 3 }} & \color{Cerulean}2 \\ {\color{black}{ 2} } & { - 1 } & { 3 } \\ { 0 } & { 5 } & { - 1 } \end{array} \right| = \color{Cerulean}{1}\color{black}{ \left| \begin{array} { r r } { - 1 } & { 3 } \\ { 5 } & { - 1 } \end{array} \right|} -\color{Cerulean}{ 3}\color{black}{ \left| \begin{array} { r r } { 2 } & { 3 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right|} + \color{Cerulean}{2}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { 2 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 5 } \end{array} \right|} \\ \begin{array} { l } { = 1 ( 1 - 15 ) - 3 ( - 2 - 0 ) + 2 ( 10 - 0 ) } \\ { = 1 ( - 14 ) - 3 ( - 2 ) + 2 ( 10 ) } \\ { = - 14 + 6 + 20 } \\ { = 12 } \end{array}$

Відповідь:

$12$

Розширення неповнолітніми може виконуватися щодо будь-якого рядка або будь-якого стовпця. Знак коефіцієнтів, що визначаються обраним рядком або стовпцем, буде чергуватися відповідно до наступного знакового масиву.

$\left[ \begin{array} { c } { + - + } \\ { - + - } \\ { + - + } \end{array} \right]$

Тому для розширення приблизно другого ряду будемо чергувати знаки, починаючи з протилежного першого елемента. Ми можемо розширити попередній приклад щодо другого рядка, щоб показати, що виходить однакова відповідь для визначника.

Малюнок$\PageIndex{5}$

І ми можемо написати,

$\left| \begin{array} { c c c } { 1 } & { 3 } & { 2 } \\ { \color{Cerulean}{2} } & {\color{Cerulean}{ - 1} } & { \color{Cerulean}{3} } \\ { \color{black}{0} } & { 5 } & { - 1 } \end{array} \right| = - ( \color{Cerulean}{2}\color{black}{ )} \left| \begin{array} { c c } { 3 } & { 2 } \\ { 5 } & { - 1 } \end{array} \right| + ( \color{Cerulean}{- 1}\color{black}{ )} \left| \begin{array} { c c } { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right| - ( \color{Cerulean}{3}\color{black}{ )} \left| \begin{array} { c } { 13 } \\ { 05 } \end{array} \right|\\ \begin{array} { l } { = - 2 ( - 3 - 10 ) - 1 ( - 1 - 0 ) - 3 ( 5 - 0 ) } \\ { = - 2 ( - 13 ) - 1 ( - 1 ) - 3 ( 5 ) } \\ { = 26 + 1 - 15 } \\ { = 12 } \end{array}$

Зверніть увагу, що отримуємо той же відповідь$12$.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Розрахувати:$\left| \begin{array} { c c c } { 4 } & { 3} &{0 } \\ { 6 } & { \frac { 1 } { 2 } } & { 2 } \\ { 4 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right|$

Рішення

Обчислення спрощуються, якщо ми розгорнемо приблизно третій стовпець, оскільки він містить два нулі.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Розширення неповнолітніми приблизно в третій графі слід:

$\left| \begin{array} { c c c } { 4 } & { 3} &{\color{Cerulean}{0} } \\ { 6 } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \color{Cerulean}{2} } \\ { 4 } & { 1} &{\color{Cerulean}{0} } \end{array} \right| = \color{Cerulean}{0}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { 6} &{ \frac { 1 } { 2 } } \\ { 4 } & { 1 } \end{array} \right|} - \color{Cerulean}{2}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { 4} &{3 } \\ { 4} &{1 } \end{array} \right|} + \color{Cerulean}{0}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { 4} &{3 } \\ { 6} &{ \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right|} \\ \begin{array} { l } { = 0 - 2 ( 4 - 12 ) + 0 } \\ { = - 2 ( - 8 ) } \\ { = 16 } \end{array}$

Відповідь:

$16$

Слід зазначити, що існують і інші методики, що використовуються для запам'ятовування того, як обчислити детермінант$3\times 3$ матриці. Крім того, у багатьох сучасних калькуляторах і системах комп'ютерної алгебри можна знайти детермінант матриць. Вам пропонується дослідити цю багату тему.

Ми можемо розв'язувати лінійні системи з трьома змінними, використовуючи детермінанти. Для цього починаємо з доповненої матриці коефіцієнтів,

$\left\{ \begin{array} { l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } z = d _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } z = d _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } x + b _ { 3 } y + c _ { 3 } z = d _ { 3 } } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array} { c c c | c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 }} &{ c _ { 1 }} &{\color{Cerulean}{ d _ { 1} }} \\ { a _ { 2 }} &{ b _ { 2 }} &{ c _ { 2 }} & {\color{Cerulean}{d _ { 2} }} \\ { a _ { 3 }} &{ b _ { 3} }&{ c _ { 3} } &{\color{Cerulean}{d _ { 3}} } \end{array} \right]$

$D$Дозволяти представляти детермінант матриці коефіцієнтів,

$D = \left| \begin{array} { c c c } { a _ { 1 }} &{ b _ { 1 } } &{c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 }} &{ b _ { 2} }&{ c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 }}&{ b _ { 3} }&{ c _ { 3 } } \end{array} \right|$

Потім визначають$D_{x}, D_{y}$, і$D_{z}$ обчисливши наступні детермінанти.

$D _ { x } = \left| \begin{array} { c c c } { \color{Cerulean}{d _ { 1 }}} &{\color{black}{ b _ { 1} }} &{ c _ { 1 } } \\ { \color{Cerulean}{d _ { 2} }} &{\color{Cerulean}{ b _ { 2} }} &{ c _ { 2 } } \\ { \color{Cerulean}{d _ { 3} }}&{\color{black}{ b _ { 3} }}&{ c _ { 3 } } \end{array} \right| D _ { y } = \left| \begin{array} { c c c } { a _ { 1 }} &{ \color{Cerulean}{d _ { 1} }}&{ \color{black}{c _ { 1} } } \\ { a _ { 2 }} &{ \color{Cerulean}{d _ { 2} }} &{ \color{black}{c _ { 2} } } \\ { a _ { 3 }} &{ \color{Cerulean}{d _ { 3} }}&{ \color{black}{c _ { 3} } } \end{array} \right| D _ { z } = \left| \begin{array} { c c c } { a _ { 1 }}&{ b _ { 1 }}&{\color{Cerulean}{ d _ { 1} } } \\ { a _ { 2 }}&{ b _ { 2 }}&{\color{Cerulean}{ d _ { 2 }} } \\ { a _ { 3 }}&{ b _ { 3 } }&{\color{Cerulean}{d _ { 3} } } \end{array} \right|$

Коли$D ≠ 0$, рішення системи з точки зору визначників, описаних вище, можна розрахувати за правилом Крамера:

$\begin{array} { c } { \color{Cerulean} { Cramer's\: Rule } } \\ { ( x , y , z ) = \left( \frac { D _ { x } } { D } , \frac { D _ { y } } { D } , \frac { D _ { z } } { D } \right) } \end{array}$

Використовуйте це для ефективного вирішення систем з трьома змінними.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Вирішіть за допомогою правила Крамера:$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 7 y - 4 z = 0 } \\ { 2 x + 5 y - 3 z = 1 } \\ { - 5 x + 2 y + 4 z = 8 } \end{array} \right.$.

Рішення

Почніть з визначення відповідної доповненої матриці.

$\left\{ \begin{array} { c c } { 3 x + 7 y - 4 z = 0 } \\ { 2 x + 5 y - 3 z = 1 } \\ { - 5 x + 2 y + 4 z = 8 } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array} { c c | c } { 37}&{ - 4}&{\color{Cerulean}{0} } \\ { 25}&{ - 3}&{\color{Cerulean}{1} } \\ { - 52}&{4}&{\color{Cerulean}{8} } \end{array} \right]$

Далі обчислюємо детермінант матриці коефіцієнтів.

$D = \left| \begin{array} { r r r } { \color{Cerulean}{3} } & { \color{Cerulean}{7} } & { \color{Cerulean}{- 4} } \\ { 2 } & { 5 } & { - 3 } \\ { - 5 } & { 2 } & { 4 } \end{array} \right| \\ = \color{Cerulean}{3} \color{black}{\left| \begin{array} { r r } { 5 } & { - 3 } \\ { 2 } & { 4 } \end{array} \right|} -\color{Cerulean}{ 7} \color{black}{\left| \begin{array} { c c } { 2 } & { - 3 } \\ { - 5 } & { 4 } \end{array} \right|} + ( \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ )} \left| \begin{array} { c c } { 2 } & { 5 } \\ { - 5 } & { 2 } \end{array} \right| \\ \begin{array} { l } { = 3 ( 20 - ( - 6 ) ) - 7 ( 8 - 15 ) - 4 ( 4 - ( - 25 ) ) } \\ { = 3 ( 26 ) - 7 ( - 7 ) - 4 ( 29 ) } \\ { = 78 + 49 - 116 } \\ { = 11 } \end{array}$

Аналогічно ми можемо$D_{x}, D_{y}$ обчислити і$D_{z}$. Це залишають як вправу.

$D _ { x } = \left| \begin{array} { c c c } { \color{Cerulean}{0} } & { \color{black}{7} } & { - 4 } \\ {\color{Cerulean}{ 1} } & { \color{black}{5} } & { - 3 } \\ {\color{Cerulean}{ 8} } & { \color{black}{2} } & { 4 } \end{array} \right| = - 44$

$D _ { y } = \left| \begin{array} { r r r } { 3 } & { \color{Cerulean}{0} } & { \color{black}{- 4} } \\ { 2 } & {\color{Cerulean}{ 1} } & { \color{black}{- 3} } \\ { - 5 } & { \color{Cerulean}{8} } & { \color{black}{4} } \end{array} \right| = 0$

$D _ { z } = \left| \begin{array} { c c c } { 3 } & { 7 } & { \color{Cerulean}{0} } \\ { 2 } & { 5 } & { \color{Cerulean}{1} } \\ { - 5 } & { 2 } & { \color{Cerulean}{8} } \end{array} \right| = - 33$

Використовуючи правило Крамера, яке ми маємо,

$x = \frac { D _ { x } } { D } = \frac { - 44 } { 11 } = - 4 \quad y = \frac { D _ { y } } { D } = \frac { 0 } { 11 } = 0 \quad z = \frac { D _ { z } } { D } = \frac { - 33 } { 11 } = - 3$

Відповідь:

$(-4, 0, -3)$

Якщо визначник матриці коефіцієнтів$D = 0$, то система або залежна, або непослідовна. Це буде залежати від$D_{x} , D_{y}$, і$D_{z}$. Якщо всі вони дорівнюють нулю, значить, система залежна. Якщо хоча б один з них ненульовий, то це суперечливо.

$\begin{array} { l } { When\:\: D = 0 \text { , } } \\ { D _ { x } = 0 \text { and } D _ { y } = 0 \text { and } D _ { z } = 0 \Rightarrow \color{Cerulean} { Dependent\: System } } \\ { D _ { x } \neq 0 \text { or } D _ { y } \neq 0 \text { or } D _ { z } \neq 0 \Rightarrow \color{Cerulean} { Inconsistent \:System } } \end{array}$

Приклад$\PageIndex{9}$:

Вирішіть за допомогою правила Крамера:$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y + 3 z = 5 } \\ { 21 x - 4 y + 18 z = 7 } \\ { - 9 x + y - 9 z = - 8 } \end{array} \right.$.

Рішення

Почніть з визначення відповідної доповненої матриці.

$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y + 3 z = 5 } \\ { 21 x - 4 y + 18 z = 7 } \\ { - 9 x + y - 9 z = - 8 } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{c c c |c } {4}& {-1} &{3} &{\color{Cerulean}{5}} \\{21} &{-4} &{18}&{\color{Cerulean}{7}} \\{-9} &{1} &{-9} &{\color{Cerulean}{-8}} \end{array} \right ]$

Далі визначаємо детермінант матриці коефіцієнтів.

$D = \left| \begin{array} { r r r } { \color{Cerulean}{4} } & { \color{Cerulean}{- 1} } & { \color{Cerulean}{3} } \\ { 21 } & { - 4 } & { 18 } \\ { - 9 } & { 1 } & { - 9 } \end{array} \right|$

$= \color{Cerulean}{4}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { - 4 } & { 18 } \\ { 1 } & { - 9 } \end{array} \right|} - (\color{Cerulean}{ - 1}\color{black}{ )} \left| \begin{array} { c c } { 21 } & { 18 } \\ { - 9 } & { - 9 } \end{array} \right| + \color{Cerulean}{3}\color{black}{ \left| \begin{array} { c c } { 21 } & { - 4 } \\ { - 9 } & { 1 } \end{array} \right|}$

$\begin{array} { l } { = 4 ( 36 - 18 ) + 1 ( - 189 - ( - 162 ) ) + 3 ( 21 - 36 ) } \\ { = 4 ( 18 ) + 1 ( - 27 ) + 3 ( - 15 ) } \\ { = 72 - 27 - 45 } \\ { = 0 } \end{array}$

Так як$D=0$, система або залежна, або суперечлива.

$D _ { x } = \left| \begin{array} { c c c} { \color{Cerulean}{5}}&{ \color{black}{- 1} } & { 3 } \\ { \color{Cerulean}{7}}&{ \color{black}{- 4} } & { 18 } \\ { \color{Cerulean}{- 8} } & { \color{black}{1}}&{ - 9 } \end{array} \right| = 96$

Однак, оскільки$D_{x}$ є ненульовим, ми робимо висновок, що система непослідовна. Одночасного рішення не існує.

Відповідь:

$\varnothing$

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішіть за допомогою правила Крамера:$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 6 y + 7 z = 4 } \\ { - 3 x - 4 y + 5 z = 12 } \\ { 5 x + 10 y - 3 z = - 13 } \end{array} \right.$.

Відповідь

$(-3, \frac{1}{2}, 1)$

www.youtube.com/В/НФВЧГ8ОЦ

Ключові виноси

• Визначником матриці є дійсне число.
• Визначник$2\times 2$ матриці отримують шляхом віднімання добутку значень на діагоналі.
• Визначник матриці отримують шляхом розширення$3\times 3$ матриці за допомогою неповнолітніх щодо будь-якого рядка або стовпця. Роблячи це, подбайте про використання знакового масиву, який допоможе визначити знак коефіцієнтів.
• Використовуйте правило Крамера для ефективного визначення рішень лінійних систем.
• Коли визначник матриці коефіцієнтів є$0$, правило Крамера не застосовується; система буде або залежною, або непослідовною.

Вправа$\PageIndex{4}$

Обчисліть детермінант.

1. $\left| \begin{array} { c c } { 1}&{2 } \\ { 3}&{4 } \end{array} \right|$
2. $\left| \begin{array} { c c} { 5}&{3 } \\ { 2}&{4 } \end{array} \right|$
3. $\left| \begin{array} { c c } { - 1 } & { 3 } \\ { - 3 } & { - 2 } \end{array} \right|$
4. $\left| \begin{array} { c c } { 7 } & { 4 } \\ { 3 } & { - 2 } \end{array} \right|$
5. $\left| \begin{array} { c c} { - 4}&{1 } \\ { - 3}&{0 } \end{array} \right|$
6. $\left| \begin{array} { c c } { 9 } & { 5 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right|$
7. $\left| \begin{array} { c c } { 1}&{0 } \\ { 5}&{0 } \end{array} \right|$
8. $\left| \begin{array} { c c } { 0}&{3 } \\ { 5}&{0 } \end{array} \right|$
9. $\left| \begin{array} { c c } { 0 } & { 4 } \\ { - 1 } & { 3 } \end{array} \right|$
10. $\left| \begin{array} { l l } { 10 } & { 2 } \\ { 10 } & { 2 } \end{array} \right|$
11. $\left| \begin{array} { l l } { a _ { 1 } } & { b _ { 1 } } \\ { 0 } & { b _ { 2 } } \end{array} \right|$
12. $\left| \begin{array} { l l } { 0 } & { b _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } }&{b _ { 2 } } \end{array} \right|$

Відповідь

1. $-2$

3. $11$

5. $3$

7. $0$

9. $4$

11. $a_{1}b_{2}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішіть за допомогою правила Крамера.

1. $\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 8 } \\ { 2 x - 7 y = 9 } \end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = - 1 } \\ { 3 x + 4 y = - 2 } \end{array} \right.$
3. $\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = - 3 } \\ { 4 x + 3 y = 4 } \end{array} \right.$
4. $\left\{ \begin{array} { c } { x + 3 y = 1 } \\ { 5 x - 6 y = - 9 } \end{array} \right.$
5. $\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 1 } \\ { 6 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$
6. $\left\{ \begin{array} { c } { x - y = - 1 } \\ { 5 x + 10 y = 4 } \end{array} \right.$
7. $\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 14 } \\ { 4 x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$
8. $\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 5 y = - 9 } \\ { 7 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$
9. $\left\{ \begin{array} { c } { 6 x - 9 y = 3 } \\ { - 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$
10. $\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 9 y = 3 } \\ { 2 x - 6 y = 2 } \end{array} \right.$
11. $\left\{ \begin{aligned} 4 x - 5 y & = 20 \\ 3 y & = - 9 \end{aligned} \right.$
12. $\left\{ \begin{array} { c } { x - y = 0 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$
13. $\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = a } \\ { x + y = b } \end{array} \right.$
14. $\left\{ \begin{aligned} a x + y & = 0 \\ b y & = 1 \end{aligned} \right.$

Відповідь

1. $(1,-1)$

3. $\left( - \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)$

5. $\left( - \frac { 1 } { 3 } , \frac { 4 } { 3 } \right)$

7. $(0, -2)$

9. $\varnothing$

11. $\left( \frac { 5 } { 4 } , - 3 \right)$

13. $( a - b , 2 b - a )$

Вправа$\PageIndex{6}$

Обчисліть детермінант.

1. $\left| \begin{array} { c c c } { 1}&{2}&{3 } \\ { 2}&{1}&{3 } \\ { 1}&{3}&{2 } \end{array} \right|$
2. $\left| \begin{array} { c c c } { 2}&{5}&{1 } \\ { 1}&{2}&{4 } \\ { 3}&{2}&{3 } \end{array} \right|$
3. $\left| \begin{array} { r r r } { - 3 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 3 } & { - 1 } & { - 2 } \\ { - 2 } & { 5 } & { 1 } \end{array} \right|$
4. $\left| \begin{array} { r r r } { 1 } & { - 1 } & { 5 } \\ { - 4 } & { 5 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 3 } \end{array} \right|$
5. $\left| \begin{array} { r r r } { 3 } & { - 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 3 } & { - 1 } \\ { 5 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right|$
6. $\left| \begin{array} { r r r } { 4 } & { 0 } & { - 3 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 5 } & { 2 } \end{array} \right|$
7. $\left| \begin{array} { r r r } { 0 } & { - 3 } & { 4 } \\ { - 3 } & { 0 } & { 6 } \\ { 0 } & { 2 } & { - 3 } \end{array} \right|$
8. $\left| \begin{array} { c c c } { 6 } & { - 1 } & { - 3 } \\ { 2 } & { 5 } & { 2 } \\ { 8 } & { 4 } & { - 1 } \end{array} \right|$
9. $\left| \begin{array} { c c c } { 2}&{5}&{7 } \\ { 0}&{3}&{5 } \\ { 0}&{0}&{4 } \end{array} \right|$
10. $\left| \begin{array} { l l l } { 2 } & { 10 } & { 9 } \\ { 0 } & { 3 } & { 13 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right|$
11. $\left| \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { b _ { 1 }}&{ c _ { 1 } } \\ { 0}&{ b _ { 2 }}&{ c _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0}&{ c _ { 3 } } \end{array} \right|$
12. $\left| \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } & { 0 } \\ { a _ { 3 }}&{ b _ { 3 } } & { c _ { 3 } } \end{array} \right|$

Відповідь

1. $6$

3. $-39$

5. $0$

7. $3$

9. $24$

11. $a_{1}b_{2}c_{3}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Вирішіть за допомогою правила Крамера.

1. $\left\{ \begin{array} { c } { x - y + 2 z = - 3 } \\ { 3 x + 2 y - z = 13 } \\ { - 4 x - 3 y + z = - 18 } \end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{aligned} 3 x + 4 y - z & = 10 \\ 4 x + 6 y + 7 z & = 9 \\ 2 x + 3 y + 5 z & = 3 \end{aligned} \right.$
3. $\left\{ \begin{aligned} 5 x + y - z & = 0 \\ 2 x - 2 y + z & = - 9 \\ - 6 x - 5 y + 3 z & = - 13 \end{aligned} \right.$
4. $\left\{ \begin{array} { c } { - 4 x + 5 y + 2 z = 12 } \\ { 3 x - y - z = - 2 } \\ { 5 x + 3 y - 2 z = 5 } \end{array} \right.$
5. $\left\{ \begin{aligned} x - y + z & = - 1 \\ - 2 x + 4 y - 3 z & = 4 \\ 3 x - 3 y - 2 z & = 2 \end{aligned} \right.$
6. $\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y - 4 z = 7 } \\ { 2 x - 3 y + 2 z = - 4 } \\ { 4 x - 5 y + 2 z = - 5 } \end{array} \right.$
7. $\left\{ \begin{array} { c } { 4 x + 3 y - 2 z = 2 } \\ { 2 x + 5 y + 8 z = - 1 } \\ { x - y - 5 z = 3 } \end{array} \right.$
8. $\left\{ \begin{array} { c } { x - y + z = 7 } \\ { x + 2 y + z = 1 } \\ { x - 2 y - 2 z = 9 } \end{array} \right.$
9. $\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - 6 y + 2 z = 12 } \\ { - 5 x - 2 y + 3 z = 4 } \\ { 7 x + 3 y - 4 z = - 6 } \end{array} \right.$
10. $\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y - 5 z = 2 } \\ { 3 x + 2 y - 4 z = - 3 } \\ { 5 x + y - 9 z = 4 } \end{array} \right.$
11. $\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y - 4 z = - 13 } \\ { 2 x + 6 y - 5 z = - 2 } \\ { - 2 x - 3 y + 3 z = 5 } \end{array} \right.$
12. $\left\{ \begin{aligned} x - 2 y + z & = - 1 \\ 4 y - 3 z & = 0 \\ 3 y - 2 z & = 1 \end{aligned} \right.$
13. $\left\{ \begin{aligned} 2 x + 3 y - z & = - 5 \\ x + 2 y & = 0 \\ 3 x + 10 y & = 4 \end{aligned} \right.$
14. $\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - 3 y - 2 y = 9 } \\ { - 3 x + 4 y + 4 z = - 13 } \\ { x - y - 2 z = 4 } \end{array} \right.$
15. $\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + y - 2 z = - 1 } \\ { x - y + 3 z = 2 } \\ { 3 x + y - z = 1 } \end{array} \right.$
16. $\left\{ \begin{aligned} 3 x - 8 y + 9 z & = - 2 \\ - x + 5 y - 10 z & = 3 \\ x - 3 y + 4 z & = - 1 \end{aligned} \right.$
17. $\left\{ \begin{aligned} 5 x - 6 y + 3 z & = 2 \\ 3 x - 4 y + 2 z & = 0 \\ 2 x - 2 y + z & = 0 \end{aligned} \right.$
18. $\left\{ \begin{array} { c } { 5 x + 10 y - 4 z = 12 } \\ { 2 x + 5 y + 4 z = 0 } \\ { x + 5 y - 8 z = 6 } \end{array} \right.$
19. $\left\{ \begin{aligned} 5 x + 6 y + 7 z & = 2 \\ 2 y + 3 z & = 3 \\ 4 z & = 4 \end{aligned} \right.$
20. $\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 z = - 1 } \\ { - 5 y + 3 z = 10 } \\ { 4 x - 3 y = 2 } \end{array} \right.$
21. $\left\{ \begin{array} { l } { x + y + z = a } \\ { x + 2 y + 2 z = a + b } \\ { x + 2 y + 3 z = a + b + c } \end{array} \right.$
22. $\left\{ \begin{array} { c } { x + y + z = a + b + c } \\ { x + 2 y + 2 z = a + 2 b + 2 c } \\ { x + y + 2 z = a + b + 2 c } \end{array} \right.$

Відповідь

1. $(2, 3, -1)$

3. $(-1, 2, -3)$

5. $\left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - 1 \right)$

7. $(0, -2, 0)$

9. $\left( \frac { 1 } { 2 } z - 4 , \frac { 2 } { 3 } z + 1 , z \right)$

11. $(-2, 1, 4)$

13. $\left( - \frac { 1 } { 2 } , 5 , \frac { 5 } { 2 } \right)$

15. $\varnothing$

17. $(-1, 0, 1)$

19. $( a - b , b - c , c )$

Вправа$\PageIndex{8}$

1. Досліджуйте та обговоріть історію детермінанти. Кому зараховують за перше введення позначення детермінанти?
2. Дослідіть інші способи, за допомогою яких ми можемо обчислити детермінант$3 \times 3$ матриці. Наведіть приклад

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

²⁹ Матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців.

³⁰ Справжнє число, пов'язане з квадратною матрицею.

³¹ Розв'язок незалежної системи лінійних рівнянь, виражених через детермінанти.

³² Визначник матриці, що виходить після усунення рядка та стовпця квадратної матриці.