2: Системи лінійних рівнянь- Геометрія

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.3: Параметрична форма
- 2.1: Вектори

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Примітка $\PageIndex{1}$

Ми вже обговорювали системи лінійних рівнянь і як це пов'язано з матрицями. У цьому розділі ми дізнаємося, як записати систему лінійних рівнянь лаконічно як матричне рівняння, яке виглядає так, $Ax=b\text{,}$ де $A$ $m \times n$ матриця, $b$ є вектором в $\mathbb{R}^m$ і $x$ є змінним вектором в $\mathbb{R}^n$ . Як ми побачимо, це потужна перспектива. Вивчимо два пов'язаних питання:

Який набір рішень $Ax=b\text{?}$
Що таке набір, $b$ щоб $Ax=b$ послідовно?

Перше питання - це вид, до якого ви звикли з першого класу алгебри: до чого складається набір рішень $x^2-1=0$ . Друге - це також те, що ви могли б вивчити у своїх попередніх класах алгебри: для $b$ чого $x^2=b$ є рішення? Це питання більш тонке на перший погляд, але вирішити його можна так само, як і перше питання, за допомогою квадратичної формули.

Для того щоб відповісти на два перерахованих вище питання, скористаємося геометрією. Це буде аналогічно тому, як ви використовували параболи, щоб зрозуміти розв'язки квадратного рівняння в одній змінній. Зокрема, ця глава присвячена геометричному вивченню двох об'єктів:

множини розв'язків матричного рівняння $Ax=b\text{,}$ та
сукупність всього $b$ , що робить певну систему послідовною.

Другий об'єкт буде називатися простором стовпців $A$ . Два об'єкти красиво пов'язані теоремою рангу в розділі 2.8.

Замість парабол та гіпербол наші геометричні об'єкти - це підпростори, такі як лінії та площини. Наші геометричні об'єкти будуть чимось на зразок 13-мірних площин $\mathbb{R}^{27}\text{,}$ тощо Дивно, що ми можемо сказати що-небудь предметне про об'єкти, які ми не можемо безпосередньо візуалізувати.

Розробимо велику кількість словникового запасу, який ми будемо використовувати для опису вищезазначених об'єктів: вектори (Розділ 2.1), прольоти (Розділ 2.2), лінійна незалежність (Розділ 2.5), підпростори (Розділ 2.6), розмірність (Розділ 2.7), системи координат ( Розділ 2.8) тощо Ми будемо використовувати ці поняття, щоб дати точний геометричний опис множини розв'язків будь-якої системи рівнянь (розділ 2.4). Ми також навчимося більш просто виражати системи рівнянь за допомогою матричних рівнянь (розділ 2.3).

2.1: Вектори
Ми малювали точки в Rяк точки на лінії, площині, просторі тощо Ми також можемо намалювати їх як стрілки. Оскільки ми маємо на увазі дві геометричні інтерпретації, ми зараз обговорюємо взаємозв'язок між двома точками зору.
2.2: Векторні рівняння та прольоти
Те, що нас дійсно хвилює, це рішення систем лінійних рівнянь, а не рішення векторних рівнянь. Вся суть векторних рівнянь в тому, що вони дають нам інший, і більш геометричний, спосіб перегляду систем лінійних рівнянь.
2.3: Матричні рівняння
У цьому розділі ми введемо дуже стислий спосіб написання системи лінійних рівнянь: Ax=b. тут A - матриця, а x, b - вектори (як правило, різного розміру).
2.4: Набори рішень
У цьому розділі ми вивчимо геометрію множини розв'язків будь-якого матричного рівняння Ax=b.
2.5: Лінійна незалежність
Іноді проміжок набору векторів «менше», ніж ви очікуєте від кількості векторів, як на малюнку нижче. Це означає, що (принаймні) один з векторів є надлишковим: його можна видалити, не впливаючи на проліт. У цьому розділі ми формалізуємо цю ідею в понятті лінійної незалежності.
2.6: Підпростори
2.7: Основа та вимір
2.9: Теорема рангу
2.8: Основи як системи координат

Примітка2.1\PageIndex{1}

Примітка $\PageIndex{1}$