Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2: Системи лінійних рівнянь- Геометрія

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62856

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Примітка\(\PageIndex{1}\)

    Ми вже обговорювали системи лінійних рівнянь і як це пов'язано з матрицями. У цьому розділі ми дізнаємося, як записати систему лінійних рівнянь лаконічно як матричне рівняння, яке виглядає так,\(Ax=b\text{,}\) де\(A\)\(m \times n\) матриця,\(b\) є вектором в\(\mathbb{R}^m\) і\(x\) є змінним вектором в\(\mathbb{R}^n\). Як ми побачимо, це потужна перспектива. Вивчимо два пов'язаних питання:

    1. Який набір рішень\(Ax=b\text{?}\)
    2. Що таке набір,\(b\) щоб\(Ax=b\) послідовно?

    Перше питання - це вид, до якого ви звикли з першого класу алгебри: до чого складається набір рішень\(x^2-1=0\). Друге - це також те, що ви могли б вивчити у своїх попередніх класах алгебри: для\(b\) чого\(x^2=b\) є рішення? Це питання більш тонке на перший погляд, але вирішити його можна так само, як і перше питання, за допомогою квадратичної формули.

    Для того щоб відповісти на два перерахованих вище питання, скористаємося геометрією. Це буде аналогічно тому, як ви використовували параболи, щоб зрозуміти розв'язки квадратного рівняння в одній змінній. Зокрема, ця глава присвячена геометричному вивченню двох об'єктів:

    1. множини розв'язків матричного рівняння\(Ax=b\text{,}\) та
    2. сукупність всього\(b\), що робить певну систему послідовною.

    Другий об'єкт буде називатися простором стовпців\(A\). Два об'єкти красиво пов'язані теоремою рангу в розділі 2.8.

    Замість парабол та гіпербол наші геометричні об'єкти - це підпростори, такі як лінії та площини. Наші геометричні об'єкти будуть чимось на зразок 13-мірних площин\(\mathbb{R}^{27}\text{,}\) тощо Дивно, що ми можемо сказати що-небудь предметне про об'єкти, які ми не можемо безпосередньо візуалізувати.

    Розробимо велику кількість словникового запасу, який ми будемо використовувати для опису вищезазначених об'єктів: вектори (Розділ 2.1), прольоти (Розділ 2.2), лінійна незалежність (Розділ 2.5), підпростори (Розділ 2.6), розмірність (Розділ 2.7), системи координат ( Розділ 2.8) тощо Ми будемо використовувати ці поняття, щоб дати точний геометричний опис множини розв'язків будь-якої системи рівнянь (розділ 2.4). Ми також навчимося більш просто виражати системи рівнянь за допомогою матричних рівнянь (розділ 2.3).

    • 2.1: Вектори
      Ми малювали точки в Rяк точки на лінії, площині, просторі тощо Ми також можемо намалювати їх як стрілки. Оскільки ми маємо на увазі дві геометричні інтерпретації, ми зараз обговорюємо взаємозв'язок між двома точками зору.
    • 2.2: Векторні рівняння та прольоти
      Те, що нас дійсно хвилює, це рішення систем лінійних рівнянь, а не рішення векторних рівнянь. Вся суть векторних рівнянь в тому, що вони дають нам інший, і більш геометричний, спосіб перегляду систем лінійних рівнянь.
    • 2.3: Матричні рівняння
      У цьому розділі ми введемо дуже стислий спосіб написання системи лінійних рівнянь: Ax=b. тут A - матриця, а x, b - вектори (як правило, різного розміру).
    • 2.4: Набори рішень
      У цьому розділі ми вивчимо геометрію множини розв'язків будь-якого матричного рівняння Ax=b.
    • 2.5: Лінійна незалежність
      Іноді проміжок набору векторів «менше», ніж ви очікуєте від кількості векторів, як на малюнку нижче. Це означає, що (принаймні) один з векторів є надлишковим: його можна видалити, не впливаючи на проліт. У цьому розділі ми формалізуємо цю ідею в понятті лінійної незалежності.
    • 2.6: Підпростори
    • 2.7: Основа та вимір
    • 2.9: Теорема рангу
    • 2.8: Основи як системи координат