11.7: Розуміння нахилу лінії (частина 1)
- Використання геобалок для моделювання схилу
- Знайти нахил прямої з її графіка
- Знайти нахил горизонтальних і вертикальних ліній
- Використовуйте формулу нахилу, щоб знайти нахил прямої між двома точками
- Графік лінії з заданою точкою і нахилом
- Вирішіть програми нахилу
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Спростити:1−48−2. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.6.12.
- Розділити:04,40. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 7.5.5.
- Спростити:15−3,−153,−15−3. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.6.11.
Як ми були графіки лінійних рівнянь, ми бачили, що деякі лінії нахиляються вгору, як вони йдуть зліва направо і деякі лінії нахилу вниз. Деякі лінії дуже круті, а деякі лінії більш плоскі. Що визначає, чи нахиляється лінія вгору або вниз, і якщо її нахил крутий або плоский?
Крутизна ухилу лінії називається нахилом лінії. Поняття схилу має багато застосувань у реальному світі. Крок даху та клас шосе або пандуса для інвалідного візка - лише деякі приклади, в яких ви буквально бачите схили. А коли ви їдете на велосипеді, ви відчуваєте схил, коли ви накачуєте гору або берег вниз.
Використання геобалок для моделювання схилу
У цьому розділі ми вивчимо поняття схилу.
Використання гумок на геоборді дає конкретний спосіб моделювання ліній на координатній сітці. Розтягнувши гумку між двома кілочками на геоборді, ми можемо виявити, як знайти нахил лінії. А коли ви їдете на велосипеді, ви відчуваєте схил, коли ви накачуєте гору або берег вниз.
Почнемо з розтягування гумки між двома кілочками, щоб зробити лінію, як показано на малюнку11.7.1.
Малюнок11.7.1
Це схоже на лінію?
Тепер протягуємо одну частину гумки прямо вгору від лівого кілочка і навколо третього кілочка, щоб зробити сторони прямокутного трикутника, як показано на малюнку11.7.2. Обережно робимо кут 90° навколо третього кілочка, щоб одна сторона була вертикальною, а інша - горизонтальною.
Малюнок11.7.2
Щоб знайти нахил лінії, заміряємо відстань по вертикальних і горизонтальних ніжках трикутника. Вертикальна відстань називається підйомом, а горизонтальна відстань називається пробігом, як показано на малюнку11.7.3.
Малюнок11.7.3
Щоб допомогти запам'ятати терміни, це може допомогти думати про зображення, показані на малюнку11.7.4.
Малюнок11.7.4
На нашому геоборді підйом становить 2 одиниці, тому що гумка піднімається вгору 2 простору на вертикальній ніжці. Див11.7.5. Малюнок.
Що таке пробіг? Обов'язково підраховуйте проміжки між кілочками, а не самі кілочки! Гумка проходить через 3 простору на горизонтальній нозі, тому біг становить 3 одиниці.
Малюнок11.7.5
Ухил лінії - це відношення підйому до прогону. Так що нахил нашої лінії є23. У математиці ухил завжди представлений буквою m.
Ухил лінії m =riserun.
Підйом вимірює вертикальну зміну, а пробіг вимірює зміну горизонталі.
Який нахил лінії на геоборді на малюнку11.7.5?
m=riserunm=23Thelinehasslope23.
Коли ми працюємо з геобарами, це гарна ідея, щоб отримати звичку починати з кілочка зліва і підключатися до кілочка праворуч. Потім натягуємо гумку, щоб утворився прямокутний трикутник.
Якщо ми почнемо з підняття вгору, підйом позитивний, а якщо ми розтягуємо його вниз, підйом негативний. Ми будемо вважати пробіг зліва направо, точно так само, як ви прочитали цей абзац, так що пробіг буде позитивним.
Оскільки формула нахилу має підйом над пробігом, може бути простіше завжди відрахувати підйом спочатку, а потім пробіг.
Який нахил лінії на геоборді показаний?
Рішення
Скористайтеся визначенням ухилу.
m=riserun
Почніть з лівого кілочка і зробіть прямий трикутник, розтягнувши гумку вгору і вправо, щоб досягти другого кілочка. Підрахуйте підйом і пробіг, як показано на малюнку.
Підйом становить 3 одиниці. m=3run
Пробіг становить 4 одиниці. m=34
Ухил є34.
Який нахил лінії на геоборді показаний?
- Відповідь
-
43
Який нахил лінії на геоборді показаний?
- Відповідь
-
14
Який нахил лінії на геоборді показаний?
Рішення
Скористайтеся визначенням ухилу.
m=riserun
Почніть з лівого кілочка і зробіть прямий трикутник, натягнувши гумку до кілочка праворуч. Цього разу нам потрібно розтягнути гумку вниз, щоб вийшла вертикальна нога, тому підйом негативний.
Підйом дорівнює −1.
m=−1run
Пробіг дорівнює 3.
m=−13m=−13
Ухил є−13.
Що таке ухил лінії на геобарді?
- Відповідь
-
−23
Що таке ухил лінії на геобарді?
- Відповідь
-
−43
Зверніть увагу, що в першому прикладі нахил позитивний, а в другому - негативний. Чи помічаєте ви якусь різницю в двох рядках, показаних на малюнку11.7.6.
Малюнок11.7.6
Коли ви читаєте зліва направо, рядок на малюнку А піднімається вгору; вона має позитивний нахил. Лінія Рисунок B йде вниз; вона має негативний нахил.
Малюнок11.7.7
Використовуйте геоборд для моделювання лінії з нахилом12.
Рішення
Щоб змоделювати лінію з певним ухилом на геоборді, нам потрібно знати підйом і пробіг.
Скористайтеся формулою нахилу. | $ $ м =\ dfrac {підйом} {бігти} $$ |
Замініть m на12. | $\ dfrac {1} {2} =\ dfrac {підйом} {бігти} $$ |
Отже, підйом дорівнює 1 одиниці, а пробіг - 2 одиниці.
Почніть з кілочка в лівій нижній частині геобарду. Натягуємо гумку вгору на 1 одиницю, а потім вправо 2 одиниці.
Гіпотенуза прямокутного трикутника, утвореного гумкою, являє собою лінію з нахилом12.
Використовуйте геоборд для моделювання лінії з заданим ухилом: m =13.
- Відповідь
-
Використовуйте геоборд для моделювання лінії з заданим ухилом: m =32.
- Відповідь
-
Використовуйте геоборд для моделювання лінії з нахилом−14.
Рішення
Скористайтеся формулою нахилу. | $ $ м =\ dfrac {підйом} {бігти} $$ |
Замініть m на−14. | $-\ dfrac {1} {4} =\ dfrac {підйом} {бігти} $$ |
Отже, підйом дорівнює −1, а пробіг дорівнює 4.
Оскільки підйом негативний, ми вибираємо стартовий кілочок у верхньому лівому куті, який дасть нам місце для відліку. Простягаємо гумку вниз 1 одиницю, потім вправо 4 одиниці.
Гіпотенуза прямокутного трикутника, утвореного гумкою, являє собою лінію, нахил якої дорівнює−14.
Використовуйте геоборд для моделювання лінії з заданим ухилом: m =−32.
- Відповідь
-
Використовуйте геоборд для моделювання лінії з заданим ухилом: m =−13.
- Відповідь
-
Знайти нахил прямої з її графіка
Тепер ми розглянемо деякі графіки на координатній сітці, щоб знайти їх нахили. Метод буде дуже схожий на те, що ми щойно змоделювали на наших геобордах.
Щоб знайти ухил, треба порахувати підйом і пробіг. Але з чого ми починаємо?
Знаходимо будь-які дві точки на лінії. Ми намагаємося вибирати точки з координатами, які є цілими числами, щоб полегшити наші обчислення. Потім ми починаємо з точки зліва і накидаємо прямокутний трикутник, щоб ми могли порахувати підйом і бігти.
Знайдіть нахил показаної лінії:
Рішення
Знайдіть дві точки на графіку, вибираючи точки, координати яких є цілими числами. Ми будемо використовувати (0, −3) і (5, 1).
Починаючи з точки зліва, (0, −3), намалюйте прямокутний трикутник, що йде від першої точки до другої точки, (5, 1).
Підрахуйте підйом на вертикальній ніжці трикутника. | Підйом становить 4 одиниці. |
Підрахуйте біг на горизонтальній нозі. | Пробіг становить 5 одиниць. |
Скористайтеся формулою нахилу. | $ $ м =\ dfrac {підйом} {бігти} $$ |
Підставляємо значення підйому і бігу. | м= дфрак45 |
Ухил лінії дорівнює45.
Зверніть увагу, що нахил є позитивним, оскільки лінія нахиляється вгору зліва направо.
Знайдіть нахил лінії:
- Відповідь
-
25
Знайдіть нахил лінії:
- Відповідь
-
34
Крок 1. Знайдіть дві точки на лінії, координати яких є цілими числами.
Крок 2. Починаючи з точки зліва, накидайте прямокутний трикутник, що йде від першої точки до другої точки.
Крок 3. Підрахуйте підйом і біг на ніжках трикутника.
Крок 4. Візьміть співвідношення підйому до бігу, щоб знайти схил.
m=riserun
Знайдіть нахил показаної лінії:
Рішення
Знайдіть дві точки на графіку. Шукайте точки з координатами, які є цілими числами. Ми можемо вибрати будь-які точки, але будемо використовувати (0, 5) і (3, 3). Починаючи з точки зліва, накидайте прямокутний трикутник, що йде від першої точки до другої точки.
Підрахуйте підйом — він негативний. | Підйом дорівнює −2. |
Підрахуйте пробіг. | Пробіг дорівнює 3. |
Скористайтеся формулою нахилу. | $ $ м =\ dfrac {підйом} {бігти} $$ |
Підставляємо значення підйому і бігу. | м= дфрак−23 |
Спростити. | м=− дфрак23 |
Ухил лінії дорівнює−23.
Зверніть увагу, що нахил негативний, оскільки лінія нахиляється вниз зліва направо.
Що робити, якщо ми обрали різні моменти? Давайте знову знайдемо нахил лінії, на цей раз використовуючи різні точки. Ми будемо використовувати точки (−3, 7) і (6, 1).
Починаючи з (−3, 7), намалюйте прямокутний трикутник до (6, 1).
Підрахуйте підйом. | Підйом дорівнює −6. |
Підрахуйте пробіг. | Пробіг - 9. |
Скористайтеся формулою нахилу. | $ $ м =\ dfrac {підйом} {бігти} $$ |
Підставляємо значення підйому і бігу. | м= дфрак−69 |
Спростити дріб. | м=− дфрак23 |
Ухил лінії дорівнює−23.
Не має значення, які точки ви використовуєте - нахил лінії завжди однаковий. Нахил лінії постійний!
Знайдіть нахил лінії:
- Відповідь
-
−43
Знайдіть нахил лінії:
- Відповідь
-
−35
Рядки в попередніх прикладах мали y-перехоплення з цілими значеннями, тому було зручно використовувати y-перехоплення як одну з точок, які ми використовували для пошуку нахилу. У наступному прикладі y-перехоплення - це дріб. Обчислення простіше, якщо ми використовуємо дві точки з цілочисельними координатами.
Знайдіть нахил показаної лінії:
Рішення
Знайдіть дві точки на графіку, координати яких є цілими числами. | (2, 3) і (7, 6) |
Яка точка знаходиться зліва? | (2, 3) |
Починаючи з (2, 3), намалюйте прямий кут до (7, 6), як показано нижче.
Підрахуйте підйом. | Підйом дорівнює 3. |
Підрахуйте пробіг. | Пробіг дорівнює 5. |
Скористайтеся формулою нахилу. | $ $ м =\ dfrac {підйом} {бігти} $$ |
Підставляємо значення підйому і бігу. | м= дфрак35 |
Ухил лінії дорівнює35.
Знайдіть нахил лінії:
- Відповідь
-
54
Знайдіть нахил лінії:
- Відповідь
-
32
Знайти нахил горизонтальних і вертикальних ліній
Ви пам'ятаєте, що особливого було в горизонтальних і вертикальних лініях? Їх рівняння мали лише одну змінну.
- горизонтальна лінія y = b; всі y -координати однакові.
- вертикальна лінія x = a; всі x -координати однакові.
Так як же знайти нахил горизонтальної лінії y = 4? Одним з підходів було б намалювати горизонтальну лінію, знайти дві точки на ній і підрахувати підйом і пробіг. Давайте подивимося, що відбувається на малюнку11.7.8. Ми будемо використовувати дві точки (0, 4) і (3, 4), щоб підрахувати підйом і бігти.
Малюнок11.7.8
Що таке підйом? | Підйом дорівнює 0. |
Що таке пробіг? | Пробіг дорівнює 3. |
Що таке ухил? | m= dfracпідйомзапустити тег11.4.21 |
m= дфрак03 тег11.4.22 | |
$m = 0\ тег {11.4.23} $$ |
Ухил горизонтальної лінії y = 4 дорівнює 0.
Всі горизонтальні лінії мають нахил 0. Коли y-координати однакові, підйом дорівнює 0.
Ухил горизонтальної лінії, y = b, дорівнює 0.
Тепер розглянемо вертикальну лінію, таку як лінія х = 3, показана на малюнку11.7.9. Ми будемо використовувати дві точки (3, 0) і (3, 2), щоб підрахувати підйом і бігти.
Малюнок11.7.9
Що таке підйом? | Підйом дорівнює 2. |
Що таке пробіг? | Прогін дорівнює 0. |
Що таке ухил? | m= dfracпідйомзапустити тег11.4.24 |
m= дфрак20 тег11.4.25 |
Але ми не можемо розділити на 0. Ділення на 0 не визначено. Так ми говоримо, що нахил вертикальної лінії х = 3 невизначений. Нахил всіх вертикальних ліній не визначено, оскільки прогін дорівнює 0.
Нахил вертикальної лінії, x = a, не визначено.
Знайти нахил кожного рядка: (a) x = 8 (b) y = −5
Рішення
(а) х = 8
Це вертикальна лінія, тому її нахил невизначений.
(б) у = −5
Це горизонтальна лінія, тому її нахил дорівнює 0.
Знайти нахил прямої: x = −4.
- Відповідь
-
невизначений
Знайдіть ухил лінії: y = 7.
- Відповідь
-
0
Використовуйте формулу нахилу, щоб знайти нахил лінії між двома точками
Іноді нам потрібно знайти нахил лінії між двома точками, і ми можемо не мати графіка, щоб відрахувати підйом і пробіг. Ми могли б намітити точки на сітковому папері, потім порахувати підйом і пробіг, але є спосіб знайти схил без графіків.
Перш ніж ми перейдемо до нього, нам потрібно ввести деякі нові алгебраїчні позначення. Ми бачили, що впорядкована пара (x, y) дає координати точки. Але коли ми працюємо з ухилами, використовуємо дві точки. Як можна використовувати один і той же символ (x, y) для представлення двох різних точок?
Математики використовують індекси, щоб розрізняти точки. Індекс - це невелике число, записане праворуч від змінної, і трохи нижче, ніж.
- (х 1, у 1) читати х суб 1, у суб 1
- (х 2, у 2) читати х суб 2, у суб 2
Ми будемо використовувати (x 1, y 1) для ідентифікації першої точки і (x 2, y 2) для ідентифікації другої точки. Якби у нас було більше двох точок, ми могли б використовувати (x 3, y 3), (x 4, y 4), і так далі.
Щоб побачити, як підйом і пробіг співвідносяться з координатами двох точок, давайте ще раз подивимося на нахил лінії між точками (2, 3) і (7, 6) на малюнку11.7.10.
Малюнок11.7.10
Так як у нас дві точки, ми будемо використовувати індексні позначення.
x1,y1x2,y2(2,3)(7,6)
На графіку ми порахували підйом 3. Підйом також можна знайти, віднімаючи y-координати точок.
y2−y16−33
Ми порахували пробіг 5. Прогін також можна знайти, віднімаючи x-координати.
x2−x17−25
Ми знаємо | m= dfracпідйомзапустити тег11.4.26 |
Так | m= дфрак35 тег11.4.27 |
Переписуємо підйом і біжимо, вставивши координати. | m= дфрак6−37−2 тег11.4.28 |
Але 6 - y-координата другої точки, y 2 і 3 - y-координата першої точки y 1. Таким чином, ми можемо переписати підйом за допомогою індексу позначення. | м= dfracy2−y17−2 тег11.4.29 |
Також 7 - координата x другої точки, x 2 і 2 - координата x першої точки x 2. Таким чином, ми переписуємо прогін, використовуючи індексні позначення. | м= дфракy2−y1x2−x1 тег11.4.30 |
Ми показали, що m =y2−y1x2−x1 дійсно інша версія m =riserun. Ми можемо використовувати цю формулу, щоб знайти нахил прямої, коли у нас є дві точки на лінії.
Нахил лінії між двома точками (x 1, y 1) і (x 2, y 2) дорівнює
m=y2−y1x2−x1
Скажіть формулу собі, щоб допомогти вам її запам'ятати:
Ухил - y другої точки мінус y першої точки
над
x другої точки мінус х першої точки.
Знайдіть нахил лінії між точками (1, 2) і (4, 5).
Рішення
Ми назвемо (1, 2) точку #1 і (4, 5) точку #2. | $\ почати {спліт} x_ {1}, y_ {1}\ qquad &x_ {2}, y_ {2}\\ (1, 2)\ qquad & (4, 5)\ кінець {спліт} $$ |
Скористайтеся формулою нахилу. | м= дфракy2−y1x2−x1 тег11.4.32 |
Підставляємо значення в формулу нахилу: | |
y другої точки мінус y першої точки | м= дфрак5−2x2−x1 тег11.4.33 |
x другої точки мінус х першої точки | m= дфрак5−24−1 тег11.4.34 |
Спростити чисельник і знаменник. | m= дфрак33 тег11.4.35 |
м = 1 |
Підтвердимо це підрахунком нахилу на графіку.
Підйом дорівнює 3, а пробіг - 3, тому
m=riserunm=33m=1
Знайти нахил прямої через задані точки: (8, 5) і (6, 3).
- Відповідь
-
1
Знайти нахил прямої через задані точки: (1, 5) і (5, 9).
- Відповідь
-
1
Як ми знаємо, в яку точку зателефонувати #1, а яку зателефонувати #2? Давайте знову знайдемо нахил, на цей раз перемикаючи назви точок, щоб побачити, що відбувається. Так як ми зараз будемо рахувати пробіг справа наліво, то він буде негативним.
Ми будемо називати (4, 5) точку #1 і (1, 2) точку #2. | $\ почати {спліт} x_ {1}, y_ {1}\ qquad &x_ {2}, y_ {2}\\ (4, 5)\ qquad & (1, 2)\ кінець {спліт} $$ |
Скористайтеся формулою нахилу. | м= дфракy2−y1x2−x1 тег11.4.36 |
Підставляємо значення в формулу нахилу: | |
y другої точки мінус y першої точки | м= дфрак2−5x2−x1 тег11.4.37 |
x другої точки мінус х першої точки | m= дфрак2−51−4 тег11.4.38 |
Спростити чисельник і знаменник. | m= дфрак−3−3 тег11.4.39 |
м = 1 |
Нахил однаковий незалежно від того, в якому порядку ми використовуємо точки.
Знайти нахил прямої через точки (−2, −3) та (−7, 4).
Рішення
Ми назвемо (−2, −3) точку #1 і (−7, 4) точку #2. | $\ почати {спліт} x_ {1}, y_ {1}\ qquad &x_ {2}, y_ {2}\\ (-2, -3)\ qquad & (-7, 4)\ кінець {спліт} $$ |
Скористайтеся формулою нахилу. | м= дфракy2−y1x2−x1 тег11.4.40 |
Підставляємо значення. | |
y другої точки мінус y першої точки | м= дфрак4−(−3)x2−x1 тег11.4.41 |
x другої точки мінус х першої точки | m= dfrac4−(−3)−7−(−2) тег11.4.42 |
Спростити. | m= дфрак7−5 тег11.4.43 |
м =−75 |
Підтвердимо це на показаному графіку.
m=riserunm=−75m=−75
Знайти нахил прямої через пару точок: (−3, 4) і (2, −1).
- Відповідь
-
-1
Знайти нахил прямої через пару точок: (−2, 6) та (−3, −4).
- Відповідь
-
10