7.3: Вирішення основних проблем відсотка

Існує три основних типи процентних проблем:

1. Знайти заданий відсоток від заданого числа. Наприклад, знайти 25% з 640.
2. Знайти відсоток заданих двох чисел. Наприклад, 15 - це який відсоток 50?
3. Знайдіть число, яке є заданим відсотком від іншого числа. Наприклад, 10% від якого числа дорівнює 12?

Почнемо з першого з цих типів.

Знайти заданий відсоток заданого числа

Почнемо з нашого першого прикладу.

Приклад 1

Яке число 25% від 640?

Рішення

Нехай x представляють невідоме число. Переведіть слова в рівняння.

$$\begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{What number} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{25%} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{640} \\ x & = & 25 \% & \cdot & 640 \end{array}\nonumber$$

Тепер вирішіть рівняння для x.

$$\begin{aligned} x = 25 \% \cdot 640 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ x = 0.25 \cdot 640 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change 25% to a decimal: 25% = 0.25.}} \\ x = 160 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: 0.25 \cdot 640 = 160.}} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, 25% з 640 становить 160.

Альтернативне рішення

Ми також могли б змінити 25% на частку.

$$\begin{aligned} x = 25 \% \cdot 640 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ x = \frac{1}{4} \cdot 640 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change 25% to a fraction: 25% = 25/100 = 1/4.}} \\ x = \frac{640}{4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators and denominators.}} \\ x = 160 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 640/4 = 160.}} \end{aligned}\nonumber$$

Той же відповідь.

Вправа

Яке число 36% від 120?

Відповідь

43.2

Приклад 2

Що таке$8 \frac{1}{3} \%$ число 120?

Рішення

Нехай x представляють невідоме число. Переведіть слова в рівняння.

$$\begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{What number} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{8 (1/3)%} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{120} \\ x & = & 8 \frac{1}{3} \% & \cdot & 120 \end{array}\nonumber$$

Тепер вирішіть рівняння для x. Тому що

$$8 \frac{1}{3} \%= 8.3 \% = 0.08 \overline{3},\nonumber$$

робота з десятковими знаками вимагає, щоб ми працювали з повторюваним десятковим числом. Для цього нам довелося б скоротити десяткове подання відсотка в якомусь місці і задовольнити себе приблизною відповіддю. Замість цього давайте змінимо відсоток на частку і шукаємо точну відповідь.

$$\begin{aligned} 8 \frac{1}{3} \% = \frac{8 \frac{1}{3}}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Percent: Parts per hundred.}} \\ = \frac{ \frac{25}{3}}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Mixed to improper fraction.}} \\ = \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{100} ~& \textcolor{red}{ \text{ Invert and multiply.}} \\ = \frac{25}{300} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators and denominators.}} \\ = \frac{1}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: Divide numerator and denominator by 25.}} \end{aligned}\nonumber$$

Тепер ми можемо вирішити наше рівняння для х.

$$\begin{aligned} = 8 \frac{1}{3} \% \cdot 120 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ x = \frac{1}{12} \cdot 120 ~ & \textcolor{red}{8 \frac{1}{3} \% = 1/12.} \\ x = \frac{120}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators and denominators.}} \\ x = 10 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 120/12 = 10.}} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином,$8 \frac{1}{3} \%$ з 120 дорівнює 10.

Вправа

Яке$4 \frac{1}{6} \%$ число становить 1200?

Відповідь

50

Приклад 3

Яке число$105 \frac{1}{4} \%$ з 18.2?

Рішення

Нехай x представляють невідоме число. Переведіть слова в рівняння.

$$\begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{What number} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{105 (1/4) %} & \text{ of } & 18.2 \\ x & = & 105 \frac{1}{4} \% & \cdot & 18.2 \end{array}\nonumber$$

У цьому випадку дріб закінчується як 1/4 = 0,25, тому

$$105 \frac{1}{4} \% = 105.25% = 1.0525.\nonumber$$

Тепер ми можемо вирішити наше рівняння для х.

$$\begin{aligned} x = 105 \frac{1}{4} \% \cdot 18.2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ x = 1.0525 \cdot 18.2 ~ & \textcolor{red}{5 \frac{1}{4} \% = 1.0525.} \\ x = 19.1555 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply.}} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином,$105 \frac{1}{4} \%$ з 18,2 становить 19.1555.

Вправа

Який номер$105 \frac{3}{4} \%$ з 222?

Відповідь

234.765

Знайти відсоток з урахуванням двох чисел

Тепер ми звернемося до нашого другого пункту в списку на початку розділу.

Приклад 4

15 - це який відсоток від 50?

Рішення

Нехай x представляють невідомий відсоток. Переведіть слова в рівняння.

$$\begin{array}{c c c c} \colorbox{cyan}{15} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{what percent} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{50} \\ 15 & = & x & \cdot & 50 \end{array}\nonumber$$

Комутативне властивість множення дозволяє змінювати порядок множення з правого боку цього рівняння.

$$15 = 50x.\nonumber$$

Тепер ми можемо вирішити наше рівняння для х.

$$\begin{aligned} 15 = 50x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ \frac{15}{50} = \frac{50x}{50} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 50.}} \\ \frac{15}{50} = x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify right-hand side.}} \\ x = 0.30 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 15/50 = 0.30.}} \end{aligned}\nonumber$$

Але ми повинні висловити свою відповідь у відсотках. Для цього перемістіть десяткові два розряди вправо і допишіть символ відсотка.

Таким чином, 15 - це 30% від 50.

Альтернативна конверсія

На третьому кроці розв'язання рівняння ми мали

$$x = \frac{15}{50}.\nonumber$$

Ми можемо перетворити це в еквівалентний дріб зі знаменником 100.

$$x = \frac{15 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{30}{100}\nonumber$$

Таким чином, 15/50 = 30/100 = 30%.

Вправа

14 - це який відсоток від 25?

Відповідь

56%

Приклад 5

10 - це який відсоток від 80?

Рішення

Нехай x представляють невідомий відсоток. Переведіть слова в рівняння.

$$\begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{10} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{what percent} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{80} \\ 10 & = & x & \cdot & 80 \end{array}\nonumber$$

Комутативне властивість множення дозволяє записати праву частину як

$$10 = 80x.\nonumber$$

Тепер ми можемо вирішити наше рівняння для х.

$$\begin{aligned} 10 = 80x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ \frac{10}{80} = \frac{80x}{80} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 80.}} \\ \frac{1}{8} = x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: } 10/80 = 1/8.} \\ 0.125 = x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 1/8 = 0.125.} \end{aligned}\nonumber$$

Але ми повинні висловити свою відповідь у відсотках. Для цього перемістіть десяткові два розряди вправо і допишіть символ відсотка.

Таким чином, 10 становить 12,5% від 80.

Альтернативна конверсія

На третьому кроці розв'язання рівняння ми мали

$$x = \frac{1}{8} .\nonumber$$

Ми можемо перетворити це в еквівалентний дріб зі знаменником 100, встановивши пропорцію

$$\frac{1}{8} = \frac{n}{100}\nonumber$$

Перехресне множення і розв'яжіть для n.

$$\begin{aligned} 8n = 100 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cross multiply.}} \\ \frac{8n}{8} = \frac{100}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 8.}} \\ n = \frac{25}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: Divide numerator and denominator by 4.}} \\ n = 12 \frac{1}{2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change 25/2 to mixed fraction.}} \end{aligned}\nonumber$$

Отже,

$$\frac{1}{8} = \frac{12 \frac{1}{2}}{100} = 12 \frac{1}{2} \%.\nonumber$$

Той же відповідь.

Вправа

10 - це який відсоток від 200?

Відповідь

5%

Знайти число, яке є заданим відсотком від іншого числа

Звернемося до третього пункту списку на початку розділу.

Приклад 6

10% від якого числа 12?

Рішення

Нехай x представляють невідоме число. Переведіть слова в рівняння.

$$\begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{10%} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{what number} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{12} \\ 10 \% & \cdot & x & = & 12 \end{array}\nonumber$$

Зміна 10% на дріб: 10% = 10/100 = 1/10.

$$\frac{1}{10} x = 12\nonumber$$

Тепер ми можемо вирішити наше рівняння для х.

$$\begin{aligned} 10 \left( \frac{1}{10} x \right) = 10(12) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply both sides by 10.}} \\ x = 120 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify.}} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, 10% з 120 - це 12.

Альтернативне рішення

Ми також можемо змінити 10% на десяткове: 10% = 0,10. Тоді наше рівняння стає

$$0.10x = 12\nonumber$$

Тепер ми можемо розділити обидві сторони рівняння на 0,10.

$$\begin{aligned} \frac{0.10x}{0.10} = \frac{12}{0.10} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 0.10.}} \\ x = 120 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 12/0.10 = 120.}} \end{aligned}\nonumber$$

Той же відповідь.

Вправа

20% від якого числа 45?

Відповідь

225

Приклад 7

$11 \frac{1}{9} \%$з якого числа 20?

Рішення

Нехай x представляють невідоме число. Переведіть слова в рівняння.

$$\begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{11 (1/9) %} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{what number} & \text{ is } \colorbox{cyan}{20} \\ 11 \frac{1}{9} \% & \cdot & x & = & 20 \end{array}\nonumber$$

$11 \frac{1}{9} \%$Змінити на дріб.

$$\begin{aligned} 11 \frac{1}{9} \% ~ & \textcolor{red}{ \text{ Percent: Parts per hundred.}} \\ = \frac{ \frac{100}{9}}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Mixed to improper: } 11 \frac{1}{9} = 100/9.} \\ = \frac{100}{9} \cdot \frac{1}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Invert and multiply.}} \\ = \frac{ \cancel{100}}{9} \cdot \frac{1}{ \cancel{100}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel.}} \\ = \frac{1}{9} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify.}} \end{aligned}\nonumber$$

$11 \frac{1}{9} \%$Замініть на 1/9 у рівнянні та вирішіть для x.

$$\begin{aligned} \frac{1}{9} x = 20 ~ & ~ \textcolor{red}{11 \frac{1}{9} \% = 1/9/} \\ 9 \left( \frac{1}{9} x \right) = 9(20) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply both sides by 9.}} \\ x = 180 \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином,$11 \frac{1}{9} \%$ з 180 дорівнює 20.

Вправа

$12 \frac{2}{3} \%$з якого числа 760?

Відповідь

6 000

Вправи

1. Яке число 22,4% від 125?

2. Яке число 159.2% від 125?

3. 60% від якого числа дорівнює 90?

4. 25% від якого числа 40?

5. 200% від якого числа 132?

6. 200% від якого числа 208?

7. 162,5% від якого числа 195?

8. 187,5% від якого числа дорівнює 90?

9. 126,4% від якого числа 158?

10. 132,5% від якого числа 159?

11. 27 - це який відсоток від 45?

12. 9 - це який відсоток 50?

13. 37,5% від якого числа 57?

14. 162,5% від якого числа 286?

15. Яке число 85% від 100?

16. Яке число 10% від 70?

17. Яке число становить 200% від 15?

18. Яке число 50% від 84?

19. 50% від якого числа 58?

20. 132% від якого числа 198?

21. 5.6 - це який відсоток від 40?

22. 7.7 - це що відсоток від 35?

23. Яке число 18,4% від 125?

24. Яке число становить 11.2% від 125?

25. 30.8 - це який відсоток від 40?

26. 6.3 - це який відсоток від 15?

27. 7.2 - це який відсоток від 16?

28. 55.8 - це який відсоток від 60?

29. Яке число 89.6% від 125?

30. Яке число 86.4% від 125?

31. 60 - це що відсоток 80?

32. 16 - це який відсоток від 8?

33. Яке число становить 200% від 11?

34. Яке число 150% від 66?

35. 27 - це який відсоток від 18?

36. 9 - це який відсоток від 15?

37. $133 \frac{1}{3} \%$з якого числа 80?

38. $121 \frac{2}{3} \%$з якого числа 73?

39. Яке число$54 \frac{1}{3} \%$ з 6?

40. Яке число$82 \frac{2}{5} \%$ становить 5?

41. Яке число$62 \frac{1}{2} \%$ з 32?

42. Яке число$118 \frac{3}{4} \%$ з 32?

43. $77 \frac{1}{7} \%$з якого числа 27?

44. $82 \frac{2}{3} \%$з якого числа 62?

45. Яке число$142 \frac{6}{7} \%$ з 77?

46. Яке число$116 \frac{2}{3} \%$ з 84?

47. $143 \frac{1}{2} \%$з якого числа 5.74?

48. $77 \frac{1}{2} \%$з якого числа 6,2?

49. $141 \frac{2}{3} \%$з якого числа 68?

50. $108 \frac{1}{3} \%$з якого числа 78?

51. Яке число$66 \frac{2}{3} \%$ з 96?

52. Яке число$79 \frac{1}{6} \%$ з 48?

53. $59 \frac{1}{2} \%$з якого числа 2.38?

54. $140 \frac{1}{5} \%$з якого числа 35.05?

55. $78 \frac{1}{2} \%$з якого числа 7,85?

56. $73 \frac{1}{2} \%$з якого числа є 4.41?

57. Яке число$56 \frac{2}{3} \%$ з 51?

58. Яке число$64 \frac{1}{2} \%$ з 4?

59. Яке число$87 \frac{1}{2} \%$ з 70?

60. Яке число$146 \frac{1}{4} \%$ з 4?

---

61. Повідомлялося, що 80% роздрібної ціни молока припадає на упаковку і дистрибуцію. Решта 20% було виплачено молочному фермеру. Якщо галон молока коштував 3,80 долара, скільки роздрібної ціни отримав фермер?

62. При $1,689 за галон газу вартість розподіляється наступним чином:

$$\begin{aligned} \text{Crude oil supplies } & ~ $0.95 \\ \text{Oil Companies } & ~ $0.23 \\ \text{State and City taxes } & ~ $0.23 \\ \text{Federal tax } & ~ $0.19 \\ \text{Service Station } & ~ $0.10 \end{aligned}\nonumber$$

Дані від Гроші, березень 2009 р. 22, на основі середніх показників США в грудні 2008 року. Відповідайте на наступні питання, округлені до найближчого цілого відсотка.

а) Який% від вартості сплачується за поставки сирої нафти?

б) Який% від вартості сплачується СТО?

---

Відповіді

1. 28

3. 150

5. 66

7. 120

9. 125

11. 60

13. 152

15. 85

17. 30

19. 116

21. 14

23. 23

25. 77

27. 45

29. 112

31. 75

33. 22

35. 150

37. 60

39. 3,26

41. 20

43. 35

45. 110

47. 4

49. 48

51. 64

53. 4

55. 10

57. 28,9

59. 61,25

61. $0,76