7.2: Відсотки, Десяткові числа, Дроби

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57299

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У квадраті, показаному на малюнку$\PageIndex{1}$, великий квадрат був розділений на десять рядів по десять маленьких квадратів у кожному ряду. На малюнку 7.1 ми затінювали 20 з 100 можливих маленьких квадратів, або 20% від загальної кількості маленьких квадратів.

Знімок екрана 2019-09-20 в 3.32.24 PM.png — Малюнок$\PageIndex{1}$: Затінення 20 з 100 маленьких квадратів, або 20% від загальної кількості маленьких квадратів.

Значення відсотків

Відсоток означає «частини на сто».

На малюнку 7.1 80 з можливих 100 квадратів залишаються незаштрихованими. Таким чином, 80% маленьких квадратиків є незаштрихованими. Якщо замість цього ми затінювали 35 з 100 квадратів, то 35% маленьких квадратів будуть затінені. Якби ми затінювали всі маленькі квадратики, то 100% маленьких квадратів були б затінені (100 з 100).

Отже, коли ви чуєте слово «відсоток», подумайте «частини на сто».

Зміна відсотка на дріб

Виходячи з обговорення вище, досить просто змінити відсоток на частку.

Відсоток до дробу

Щоб змінити відсоток на дріб, опустіть знак відсотка і поставте число понад 100.

Приклад 1

Змініть 24% на дріб.

Рішення

Відкиньте символ відсотка і поставте 24 над 100.

\[ \begin{aligned} 24 \% = \frac{24}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Percent: Parts per hundred.}} \\ = \frac{6}{25} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce.}} \end{aligned}\nonumber \]

Значить, 24% = 6/25.

Вправа

Змініть 36% на частку, зменшену до найнижчих показників.

Відповідь: 9/25

Приклад 2

$14 \frac{2}{7} \%$Змінити на дріб.

Рішення

Відкиньте символ відсотка і поставте$14 \frac{2}{7}$ понад 100.

\[ \begin{aligned} 14 \frac{2}{7} \% = \frac{14 \frac{2}{7}}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Percent: Parts per hundred.}} \\ = \frac{\frac{100}{7}}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Mixed to improper fraction.}} \\ = \frac{100}{7} \cdot \frac{1}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Invert and multiply.}} \\ = \frac{\cancel{100}}{7} \cdot \frac{1}{\cancel{100}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel.}} \\ = \frac{1}{7} \end{aligned}\nonumber \]

Отже,$14 \frac{2}{7} \%=1/7.$

Вправа

Зміна$11 \frac{1}{9} \%$ на дріб, зведений до найнижчих термінів.

Відповідь: 1/9

Приклад 3

Змінити 28,4% на дріб.

Рішення

Відкиньте символ відсотка і поставте 28.4 над 100.

\[ \begin{aligned} 28.4 \% = \frac{28.4}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Percent: Parts per hundred.}} \\ = \frac{28.4 \cdot \textcolor{red}{10}}{100 \cdot \textcolor{red}{10}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerator and denominator by 10.}} \\ = \frac{284}{1000} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiplying by 10 moves decimal point one place right.}} \\ = \frac{71 \cdot 4}{250 \cdot 4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Factor.}} \\ = \frac{71}{250} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common factor.}} \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Змінити 87,5% на частку, зменшену до найнижчих показників.

Відповідь: 7/8

Зміна відсотка на десятковий

Щоб змінити відсоток на десятковий, нам потрібно лише пам'ятати, що відсоток означає «частини на сто».

Приклад 4

Змініть 23,25% на десяткову.

Рішення

Відкиньте символ відсотка і поставте 23.25 над 100.

\[ \begin{aligned} 23.25 \% = \frac{23.25}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Percent: Parts per hundred.}} \\ = 0.2325 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Dividing by 100 moves decimal point 2 places left.}} \end{aligned}\nonumber \]

Тому 23,25% = 0,2325.

Вправа

Змініть 2.4% на десяткову.

Відповідь: 0,024

Цей останній приклад мотивує наступне просте правило.

Зміна відсотка на десятковий

Щоб змінити відсоток на десятковий, скиньте символ відсотка і перемістіть десяткову крапку на два розряди вліво.

Приклад 5

$5 \frac{1}{2} \%$Змінити на десяткову.

Рішення

Зверніть увагу, що 1/2=0,5, потім перемістіть десяткові 2 розряди вліво.

\[ \begin{aligned} 5 \frac{1}{2} \% = 5.5 \% ~ & \textcolor{red}{1/2 = 0.5.} \\ = 0.05 5 ~ & \textcolor{red}{ \begin{array}{l} \text{ Drop % symbol.} \\ \text{ Move decimal point 2 places left.} \end{array}} \\ = 0.055 \end{aligned}\nonumber \]

Таким чином,$5 \frac{1}{2} \%=0.055$.

Вправа$\PageIndex{1}$

$6 \frac{3}{4} \%$Змінити на десяткову.

Відповідь: 0.0675

Зміна десяткового числа на відсоток

Зміна десяткового числа на відсоток є повною протилежністю зміни відсотка до десяткового. В останньому випадку скидаємо символ відсотків і переміщаємо десяткову крапку на 2 розряди вліво. Наступне правило робить якраз навпаки.

Зміна десяткового числа на відсоток

Щоб змінити десяткове число на відсоток, перемістіть десяткову крапку на два розряди вправо і додайте символ відсотка.

приклад 6

Змініть 0.0725 на відсоток.

Рішення

Перемістіть десяткову крапку на два розряди вправо і додайте символ відсотка.

\[ \begin{aligned} 0.0725 = 007.25 \% \\ = 7.25 \% \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Зміна на 0.0375 на відсоток.

Відповідь: 3,75%

Приклад 7

Змініть 1.025 на відсоток.

Рішення

Перемістіть десяткову крапку на два розряди вправо і додайте символ відсотка.

\[ \begin{aligned} 1.025 = 102.5 \% \\ = 102.5 \% \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Змініть 0,525 на відсоток.

Відповідь: 52,5%

Зміна дробу на відсоток

Один із способів продовжити - спочатку змінити дріб на десятковий, а потім змінити отримане десяткове число на відсоток.

Дроби до відсотків: Техніка #1

Щоб змінити частку на відсоток, виконайте наступні дії:

Розділіть чисельник на знаменник, щоб змінити дріб на десятковий.
Перемістіть десяткову крапку в результаті на два місця вправо і додайте символ відсотка.

Приклад 8

Використовуйте Техніку #1, щоб змінити 5/8 на відсоток.

Рішення

Змініть 5/8 на десяткову, а потім змініть десяткову на відсоток.

Щоб змінити 5/8 на десяткову, розділіть 5 на 8. Так як знаменник є добутком двійки, десятковий повинен закінчуватися.

$Знімок екрана 2019-09-20 в 4.13.24 PM.png$

Щоб змінити 0,625 на відсоток, перемістіть десяткову крапку на 2 розряди вправо і додайте символ відсотка.

0.625 = 0 62.5% = 62.5%

Вправа

Змініть 5/16 на відсоток.

Відповідь: 31,35%

Другий прийом полягає в створенні еквівалентного дробу зі знаменником 100.

Дроби до відсотків: Техніка #2

Щоб змінити дріб на відсоток, створіть еквівалентний дріб зі знаменником 100.

Приклад 9

Використовуйте Техніку #2, щоб змінити 5/8 на відсоток.

Рішення

Створіть еквівалентний дріб для 5/8 зі знаменником 100.

\[ \frac{5}{8} = \frac{x}{100}\nonumber \]

Розв'яжіть цю пропорцію для х.

\[ \begin{aligned} 8x = 500 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cross multiply.}} \\ \frac{8x}{8} = \frac{500}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 8.}} \\ x = \frac{125}{2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: Divide numerator and denominator by 4.}} \\ x = 62.5 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide.}} \end{aligned}\nonumber \]

Таким чином,

\[ \frac{5}{8} = \frac{62.5}{100} = 62.5 \%.\nonumber \]

Альтернативне закінчення

Ми також могли б змінити 125/2 на змішаний дріб; тобто 125/2 = 62 1 2. Потім,

\[ \frac{5}{8} = \frac{62 \frac{1}{2}}{100} = 62 \frac{1}{2} \%.\nonumber \]

Той же відповідь.

Вправа

Змініть 4/9 на відсоток.

Відповідь: $44 \frac{4}{9} \%$

Іноді ми будемо задовольнятися наближенням.

приклад 10

Змініть 4/13 на відсоток. Округліть відповідь до найближчої десятої частки відсотка.

Рішення

Ми будемо використовувати техніку #1.

Щоб змінити 4/13 на десяткову, розділіть 4 на 13. Оскільки знаменник має множники, відмінні від 2-х і 5-х, десятковий буде повторюватися. Однак ми маємо намір округлити до найближчої десятої частки відсотка, тому ми проведемо ділення лише до чотирьох знаків після коми. (Чотири місця необхідні, тому що ми будемо переміщати десяткову крапку на два розряди вправо. )

$Знімок екрана 2019-09-20 в 4.13.24 PM.png$

Щоб змінити десяткове число на відсоток, перемістіть десяткову крапку на два розряди вправо.

0.3076 ≈ 0 30.76% ≈ 30.76%

Щоб округлити до найближчої десятої частки відсотка, визначте округлення і контрольні цифри.

$Знімок екрана 2019-09-20 в 4.23.25 PM.png$

Оскільки тестова цифра більше або дорівнює 5, додайте 1 до цифри округлення і обріжте. Таким чином,

0.03076 ≈ 30.8%.

Вправа

Змініть 4/17 на відсоток. Округліть відповідь до найближчої десятої частки відсотка.

Відповідь: 23,5%

Вправи

У вправах 1-18 перетворіть заданий відсоток в дріб і спростіть результат.

1. $4 \frac{7}{10} \%$

2. $7 \frac{1}{4} \%$

3. $7 \frac{2}{9} \%$

4. $4 \frac{9}{10} \%$

5. 11,76%

6. 15,2%

7. 13,99%

8. 18,66%

9. $4 \frac{1}{2} \%$

10. $8 \frac{5}{8} \%$

11. 192%

12. 5%

13. 86%

14. 177%

15. 130%

16. 80%

17. 4,07%

18. 6,5%

У вправах 19-34 перетворіть заданий відсоток у десятковий.

19. 124%

20. 4%

21. 0,6379%

22. 0,21%

23. 28%

24. 5,4%

25. 0,83%

26. 0,3344%

27. 8%

28. 3%

29. 59,84%

30. 0,17%

31. 155%

32. 7%

33. 36,5%

34. 39,7%

У Вправи 35-50 перетворіть задане десяткове число у відсоток.

35. 8,888

36. 5.1

37. 0,85

38. 0,08

39. 1,681

40. 3,372

41. 0,14

42. 4,89

43. 8,7

44. 8,78

45. 0,38

46. 1,67

47. 0,02

48. 0,07

49. 0,044

50. 0,29

У вправах 51-68 перетворіть заданий дріб у відсоток.

51. $\frac{1}{2}$

52. $\frac{29}{8}$

53. $\frac{5}{2}$

54. $\frac{4}{5}$

55. $\frac{8}{5}$

56. $\frac{7}{20}$

57. $\frac{14}{5}$

58. $\frac{3}{2}$

59. $\frac{9}{2}$

60. \ (\ гідророзриву {18} {25} |)

61. $\frac{9}{4}$

62. $\frac{7}{8}$

63. $\frac{7}{5}$

64. $\frac{4}{25}$

65. $\frac{6}{5}$

66. $\frac{23}{8}$

67. $\frac{12}{5}$

68. $\frac{13}{2}$

69. Перетворіть 24/29 на відсоток і округліть відповідь до найближчої сотої частки відсотка.

70. Перетворіть 5/3 на відсоток і округліть відповідь до найближчої сотої частки відсотка.

71. Перетворіть 15/7 на відсоток і округліть відповідь до найближчої десятої частки відсотка.

72. Перетворіть 10/7 на відсоток і округліть відповідь до найближчої десятої частки відсотка.

73. Перетворіть 7/24 на відсоток і округліть відповідь до найближчої сотої частки відсотка.

74. Перетворіть 5/6 на відсоток і округліть відповідь до найближчої сотої частки відсотка.

75. Перетворіть 8/3 на відсоток і округліть відповідь до найближчої десятої частки відсотка.

76. Перетворіть 22/21 на відсоток і округліть відповідь до найближчої десятої частки відсотка.

77. Перетворіть 9/23 на відсоток і округліть відповідь до найближчої десятої частки відсотка.

78. Перетворіть 11/9 на відсоток і округліть відповідь до найближчої десятої частки відсотка.

79. Перетворіть 17/27 на відсоток і округліть відповідь до найближчої сотої частки відсотка.

80. Перетворіть 22/27 на відсоток і округліть відповідь до найближчої сотої частки відсотка.

81. Рівень злочинності. Попередні показники злочинності за перші шість місяців 2009 року порівняно з аналогічним періодом 2008 року наведені нижче. Associated Press-Times-Стандарт 12/22/09 Незважаючи на рецесію, національний рівень злочинності продовжує падати.

\[ \begin{array}{c c} \text{Murder } & ~ −10.0 \% \\ \text{Forcible rape } & ~ −3.3 \% \\ \text{Robbery } & ~ −6.5 \% \\ \text{Aggravated assault } & ~ −3.2 \% \\ \text{Burglary } ~ & −2.5 \% \\ \text{Larceny-theft } & ~ −5.3 \% \\ \text{Motor vehicle theft } & ~ −18.75 \% \\ \text{Arson } & ~ −8.2 \% \end{array}\nonumber \]

Джерело: Федеральне бюро розслідувань

i) На що вказують негативні ознаки?

ii) Який вид злочинності зменшився найбільше?

iii) Який вид злочинності зменшився найменше?

82. Основні урагани. 5 з 8 ураганів у 2008 році були віднесені до категорії основних. Напишіть дробове число великих ураганів у 2008 році у відсотках. NOAA Асоційований прес 5/22/09

83. Шанс повені. Ці уривки з історії Корпус: робота греблі зменшує шанс повені в районі Сіетла, опублікований в Times-Standard листопада 6, 2009. Напишіть всі чотири шанси затоплення як відсоток шансу. При необхідності округляйте до найближчої десятої частки відсотка.

i) Полковник Ентоні Райт з інженерного корпусу армії США, говорячи про ремонт греблі Green River, повідомив, що зараз існує шанс 1-в-25, що шторм змусить корпус випустити достатню кількість води з водосховища греблі, щоб спричинити повінь нижче за течією в долині річки Грін.

ii) Шанси на широке затоплення в долині покращуються до 1-в-32, коли всі зусилля з мішків з піском та захисту від повені враховуються.

iii) Раніше інженерний корпус заявив, що ймовірність широкого затоплення була 1-в-4.

iv) Коли гребля працює на потужності, існує ймовірність затоплення 1-в-140.

Відповіді

1. $\frac{47}{1000}$

3. $\frac{13}{180}$

5. $\frac{147}{1250}$

7. $\frac{1399}{10000}$

9. $\frac{9}{200}$

11. $\frac{48}{25}$

13. $\frac{43}{50}$

15. $\frac{13}{10}$

17. $\frac{407}{10000}$

19. 1,24

21. 0,006379

23. 0,28

25. 0,0083

27. 0,08

29. 0,5984

31. 1,55

33. 0,365

35. 888,8%

37. 85%

39. 168,1%

41. 14%

43. 870%

45. 38%

47. 2%

49. 4,4%

51. 50%

53. 250%

55. 160%

57. 280%

59. 450%

61. 25%

63. 140%

65. 120%

67. 240%

69. 82,76%

71. 214,3%

73. 29,17%

75. 266,7%

77. 39,1%

79. 62,96%

81.

i) Негативні ознаки свідчать про те, що рівень злочинності знизився від попередніх заходів.

ii) Викрадення автотранспортних засобів найбільше зменшилось із зменшенням на 18.75%.

iii) Крадіжка зі зломом зменшилася найменше зі зменшенням на 2,5%.

83.

i) 4% ймовірність повені

ii) 3,1% ймовірність повені

iii) 25% ймовірність повені

iv) 0.7% ймовірність повені