4.6: Множення та ділення змішаних дробів
Почнемо з визначень належних і неправильних дробів.
Правильні та неправильні дроби
Правильний дріб - це дріб, чисельник якого менше його знаменника. Неправильний дріб - це дріб, чисельник якого більше його знаменника.
Наприклад,
23, −2339, and 119127
всі приклади правильних дробів. З іншого боку,
43, −317123, and −233101
всі приклади неправильних дробів.
Змішаний дріб 1 - це частина цілого числа, частина дробу.
Змішані фракції
Число
534
називається змішаною фракцією. Визначається, що означає
534=5+34.
У змішаному534 дробі 5 - це ціла числова частина, а 3/4 - дробова.
Зміна змішаних дробів на неправильні дроби
У нас є всі інструменти, необхідні для перетворення змішаної фракції на неправильну фракцію. Почнемо з прикладу.
Приклад 1
Змішайте478 змішану фракцію на неправильну.
Рішення
Використовуємо визначення змішаного дробу, робимо еквівалентний дріб для цілої числової частини, потім додаємо.
478=4+78 By definition.=4⋅88+78 Equivalent fraction with LCD = 8.=4⋅8+78 Add numerators over common denominator.=398 Simplify the numerator.
Таким чином,478 дорівнює 39/8.
Вправа
Зміна534 на неправильний дріб.
- Відповідь
-
23/4
Існує швидка методика, яку ви можете використовувати, щоб змінити змішану фракцію на неправильну.
Швидкий спосіб змінити змішаний дріб на неправильний дріб
Щоб змінити змішаний дріб на неправильний дріб, помножте всю числову частину на знаменник, додайте чисельник, потім помістіть результат над знаменником.
Таким чином, щоб швидко478 перейти на неправильний дріб, помножте ціле число 4 на знаменник 8, додайте чисельник 7, потім помістіть результат над знаменником. У символах це виглядало б так:
478=4⋅8+78.
Саме так виглядає третій крок у прикладі 1; ми просто усуваємо багато роботи.
Приклад 2
Зміна423 на неправильний дріб.
Рішення
Візьміть423, помножте всю числову частину на знаменник, складіть чисельник, після чого поставте результат над знаменником.
423=4⋅3+23
Таким чином, результат
423=143.
Вправа
Зміна\boldsymbol{7 \frac{3{8}} на неправильний дріб.
- Відповідь
-
59/8
Дуже легко зробити проміжний крок в прикладі 2 подумки, дозволяючи пропустити проміжний крок і перейти безпосередньо від змішаної дробу до неправильного дробу, не записуючи жодного біта роботи.
Приклад 3
Не записуючи жодної роботи, використовуйте ментальну арифметику,−235 щоб перейти на неправильний дріб.
Рішення
−235Щоб перейти на неправильний дріб, ігноруйте знак мінус, дійте як і раніше, після чого приставте знак мінус до отриманого неправильного дробу. Отже, множимо 5 разів 2 і додаємо 3. Поставте результат 13 над знаменником 5, потім префіксуйте отриманий неправильний дріб зі знаком мінус. Тобто,
−235=−135.
Вправа
Зміна−3512 на неправильний дріб.
- Відповідь
-
−41/12
Зміна неправильних дробів на змішані
Першим кроком зміни неправильного дробу 27/5 на змішаний є запис неправильного дробу у вигляді суми.
275=255+25
Спрощуючи рівняння 4.1, отримаємо
275=5+25=525
Коментар. Ви не можете просто вибрати будь-яку суму. Сума, яка використовується в рівнянні 4.1, будується так, що перший дріб дорівнюватиме цілому числу, а другий - правильним. Будь-яка інша сума не зможе отримати правильний змішаний дріб. Наприклад, сума
275=235+45
марно, тому що 23/5 - це не ціле число. Аналогічно, сума
275=205+75
це не добре. Незважаючи на те, що 20/5 = 4 є цілим числом, другий дріб 7/5 все ще неправильний.
Приклад 4
Змінити 25/9 на змішаний дріб.
Рішення
Розбийте 25/9 на відповідну суму.
259=189+79=2+79=279
Вправа
Змінити 25/7 на змішаний дріб.
- Відповідь
-
347.
Коментар. Виникає закономірність. • У випадку 27/5 зверніть увагу, що 27 поділений на 5 дорівнює 5 з залишком 2. Порівняйте це з результатом змішаного дробу: 27/5 = 5 2 5 • У випадку з прикладом 4 зверніть увагу, що 25 ділиться на 9, дорівнює 2 з залишком 7. Порівняйте це з результатом змішаного дробу: 25/9=2 7 9. Ці спостереження мотивують наступну методику.
Швидкий спосіб змінити неправильний дріб на змішаний
Щоб змінити неправильний дріб на змішаний дріб, розділіть чисельник на знаменник. Частка буде цілою числовою частиною змішаного дробу. Якщо розмістити залишок над знаменником, це буде дробова частина змішаного дробу.
Приклад 5
Змінити 37/8 на змішаний дріб.
Рішення
37 ділиться на 8 дорівнює 4, з залишком 5. Тобто:
Частка стає цілою числовою частиною, і ми ставимо залишок над дільником. Таким чином,
378=458.
Примітка: Ви можете перевірити свій результат за допомогою «Швидкого способу змінити змішаний дріб на неправильний дріб». 8 разів 4 плюс 5 дорівнює 37. Покладіть це на 8, щоб отримати 37/8.
Вправа
Змінити 38/9 на змішаний дріб.
- Відповідь
-
429
Приклад 6
Змінити −43/5 на змішаний дріб.
Рішення
Ігноруйте знак мінус і дійте так само, як у прикладі 5. 43 ділиться на 5 дорівнює 8, з залишком 3.
Частка - це ціла числова частина, потім ми ставимо залишок над дільником. Нарешті, приставка знака мінус.
−435=−835
Множення та ділення змішаних дробів
У вас є всі інструменти, необхідні для множення та поділу змішаних дробів. Спочатку змініть змішані дроби на неправильні, потім помножте або діліть, як це робили в попередніх розділах.
1 Змішаний дріб іноді називають мішаним числом.
Приклад 7
Спростити:−2112⋅245.
Рішення
Змінити на неправильні дроби, коефіцієнт, скасувати і спростити.
−2112⋅245=−2512⋅145 Change to improper fractions.=−25⋅1412⋅5 Multiply numerators; multiply denominators. Unlike signs; product is negative.=−(5⋅5)⋅(2⋅7)2⋅2⋅3)⋅(5) Prime factor.=−5⋅5⋅2⋅72⋅2⋅3⋅5 Cancel common factors.=−356 Multiply numerators and denominators.
Це цілком хороша відповідь, але якщо ви хочете відповідь змішаної дробу, 35 ділиться на 6 дорівнює 5, з залишком 5. Отже,
−2112⋅245=−556.
Вправа4.6.1
Спростити:
−334⋅225
- Відповідь
-
−9
Приклад 8
Спростити:
−445÷535.
Рішення
Зміна на неправильні дроби, інвертувати і множити, коефіцієнт, скасувати, і спростити.
−445÷535=−245÷285 Change to improper fractions.=−245⋅528 Invert and multiply.=−2⋅2⋅2⋅35⋅52⋅2⋅7 Prime factor.=−2⋅2⋅2⋅33⋅52⋅2⋅7 Cancel common factors.=−67 Multiply numerators and denominators.⋅
Вправа
Спростити:
−249⋅323
- Відповідь
-
−2/3
Вправи
У вправах 1-12 перетворіть змішаний дріб в неправильний дріб.
1. 213
2. 1811
3. 1119
4. −115
5. −137
6. 1317
7. 119
8. 1511
9. −112
10. −158
11. 113
12. −157
У вправах 13-24 перетворіть неправильний дріб в змішаний дріб.
13. 137
14. −179
15. −135
16. −103
17. −165
18. 1613
19. 98
20. 165
21. −65
22. −1710
23. −32
24. −74
У вправах 25-48 помножте числа і висловіть свою відповідь як змішаний дріб.
25. 117⋅212
26. 118⋅116
27. 4⋅116
28. 1710⋅4
29. (−1112)(334)
30. (−312)(313)
31. 712⋅1113
32. 214⋅1511
33. (1213)(−423)
34. (1114)(−225)
35. (137)(−334)
36. (145)(−334)
37. 9⋅(−1215)
38. 4⋅(−256)
39. (−218)(−6)
40. (−9)(−316)
41. (−412)(−225)
42. (−137)(−334)
43. (−216)⋅4
44. (−6)⋅(119)
45. (−1415)(212)
46. (−115)(159)
47. (−212)(−1711)
48. (−1711)(−1712)
У вправах 49-72 розділіть змішані дроби і висловіть свою відповідь як змішаний дріб.
49. 8÷229
50. 423÷4
51. (−312)÷(1116)
52. (−125)÷(1115)
53. 612÷1712
54. 512÷1910
55. (−4)÷(159)
56. (−423)÷4
57. (−523)÷(−216)
58. (−212)÷(−229)
59. (−612)÷(414)
60. (−116)÷(118)
61. (−6)÷(−1311)
62. (−623)÷(−6)
63. (423)÷(−4)
64. (623)÷(−6)
65. (134)÷(−1112)
66. (247)÷(−115)
67. (523)÷119
68. 123÷129
69. (−712)÷(−225)
70. (−513)÷(−256)
71. (323)÷(−119)
72. (812)÷(−134)
73. Дрібні партії. Скільки партій чверті акрів можна зробити з612 гектарів землі?
74. Велике поле. З1712 половини акрів утворилося поле. Скільки гектарів було отримане поле?
75. Ювелірні вироби. Щоб зробити деякі прикраси, брусок срібла довжиною412 дюймів був розрізаний на шматочки довжиною112 дюймів. Скільки штук було зроблено?
76. кекси. За цим рецептом вийде 6 мафінів: 1 склянка молока,123 склянки борошна, 2 яйця, 1/2 чайної ложки солі,112 чайні ложки розпушувача. Напишіть рецепт шести десятків мафінів.
Відповіді
1. 73
3. 2019
5. −107
7. 109
9. −32
11. 43
13. 167
15. −235
17. −315
19. 118
21. −115
23. −112
25. 267
27. 423
29. −4116
31. 8113
33. −5513
35. −5514
37. −1015
39. 1234
41. 1045
43. −823
45. −316
47. 4111
49. 335
51. −3517
53. 4219
55. −247
57. 2813
59. −1917
61. 457
63. −116
65. −1813
67. 5110
69. 318
71. −3310
73. 26 лотів площею чверть акра
75. 54 штуки