4.3: Множення дробів
Розглянемо зображення на малюнку 4.5, де вертикальні лінії ділять прямокутну область на три рівні частини. Якщо затінювати один з трьох рівних частин, затінена область становить 1/3 всієї прямокутної області.
![Знімок екрана 2019-08-30 в 9.47.42 AM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/28194/Screen_Shot_2019-08-30_at_9.47.42_AM.png)
Ми хотіли б візуалізувати беручи 1/2 з 1/3. Для цього ми намалюємо додаткову горизонтальну лінію, яка розділяє затінену область навпіл по горизонталі. Це показано на малюнку 4.6. Затінена область, яка представляла 1/3, тепер розділена на дві менші прямокутні області, одна з яких затінена іншим кольором. Цей регіон являє собою 1/2 з 1/3.
![Знімок екрана 2019-08-30 в 9.47.49 AM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/28195/Screen_Shot_2019-08-30_at_9.47.49_AM.png)
Далі продовжити горизонтальну лінію на всю ширину прямокутної області, як показано на малюнку 4.7.
![Знімок екрана 2019-08-30 в 9.47.55 AM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/28196/Screen_Shot_2019-08-30_at_9.47.55_AM.png)
Зверніть увагу, що малювання горизонтальної лінії в поєднанні з трьома оригінальними вертикальними лініями вдалося розділити повну прямокутну область на шість менших, але рівних частин, лише один з яких (той, що представляє 1/2 1/3) затінений новим кольором. Отже, цей щойно затінений шматок представляє 1/6 всієї області. Висновок нашого візуального аргументу полягає в тому, що 1/2 1/3 дорівнює 1/6. В символах,
12⋅13=16.
Приклад 1
Створіть візуальний аргумент, який показує, що 1/3 2/5 дорівнює 2/15.
Рішення
Спочатку розділіть прямокутну область на п'ять рівних частин і розтушуйте дві з них. Це являє собою дріб 2/5.
Далі намалюйте дві горизонтальні лінії, які ділять затінену область на три рівні частини і затіньте 1 з трьох рівних частин. Це являє собою прийняття 1/3 з 2/5.
Далі продовжите горизонтальні лінії на всю ширину області і поверніть вихідну вертикальну лінію з першого зображення.
Зверніть увагу, що три горизонтальні лінії в поєднанні з п'ятьма оригінальними вертикальними лініями вдалося розділити всю область на 15 менших, але рівних частин, лише дві з яких (ті, що представляють 1/3 2/5) затінені новим кольором. Отже, цей нещодавно затінений шматок представляє 2/15 всієї області. Висновок цього візуального аргументу полягає в тому, що 1/3 з 2/5 дорівнює 2/15. В символах,
13⋅25=215.
Вправа
Створіть візуальний аргумент, який показує, що 1/2 1/4 дорівнює 1/8.
- Відповідь
-
Діаграма:
Правило множення
На малюнку 4.7 ми побачили, що 1/2 1/3 дорівнює 1/6. Зверніть увагу, що відбувається, коли ми множимо чисельники і множимо знаменники дробів 1/2 і 1/3.
12⋅13=1⋅12⋅3 Multiply numerators; multiply denominators.=16 Simplify numerators and denominators.
Отримуємо 1/6!
Чи може це бути збіг чи удача? Давайте спробуємо, що ще раз з дробів з Приклад 1, де ми побачили, що 1/3 2/5 дорівнює 2/15. Знову множимо чисельники і знаменники на 1/3 і 2/5.
13⋅25=1⋅23⋅5 Multiply numerators; multiply denominators.=215 Simplify numerators and denominators.
Знову отримуємо 2/15!
Ці два приклади мотивують наступне визначення.
Визначення: Правило множення
Щоб знайти добуток дробів a/b і c/d, перемножте їх чисельники і знаменники. В символах,
ab⋅cd=a⋅cb⋅d
Приклад 2
Помножте 1/5 і 7/9.
Рішення
Множимо чисельники і множимо знаменники.
15⋅79=1⋅75⋅9 Multiply numerators; multiply denominators.=745 Simplify numerators and denominators.
Вправа
Помножити:
13⋅25
- Відповідь
-
Помножити:615
Приклад 3
Знайдіть добуток −2/3 та 7/9.
Рішення
Звичайні правила знаків поширюються на продукцію. На відміну від знаків дає негативний результат.
−23⋅79=−2⋅73⋅9 Multiply numerators; multiply denominators.=−1427 Simplify numerators and denominators.
Не потрібно, щоб ви фізично показували середню сходинку. Якщо ви хочете зробити це подумки, то ви можете просто написати
−23⋅79=−1427.
Вправа
Помножити:
−35⋅27
- Відповідь
-
−635
Помножити і зменшити
Після множення двох дробів переконайтеся, що ваша відповідь зменшена до найнижчих (див. Розділ 4.1).
Приклад 4
Помножте 3/4 рази 8/9.
Рішення
Після множення ділимо чисельник і знаменник на найбільший спільний дільник чисельника і знаменника.
34⋅89=3⋅84⋅9 Multiply numerators and denominators.=2436 Simplify numerator and denominator.=24÷1236÷12 Divide numerator and denominator by GCD.=23 Simplify numerator and denominator.
Крім того, після множення ви можете простий множник як чисельник, так і знаменник, а потім скасувати загальні множники.
34⋅89=2436 Multiply numerators and denominators.=2⋅2⋅2⋅32⋅2⋅3⋅3 Prime factor numerator and denominator.==2⋅2⋅2⋅32⋅2⋅3⋅3 Cancel common factors.=23
Вправа
Помножити:
37⋅149
- Відповідь
-
23
Приклад 5
Помножте −7x/2 та 5/ (14x 2).
Рішення
Після множення, простий множник як чисельник, так і знаменник, потім скасовують загальні множники. Відзначимо, що на відміну від ознак дає негативний продукт.
−7x2⋅514x2=−35x28x2 Multiply numerators and denominators.=−5⋅7⋅x2⋅2⋅7⋅x⋅x Prime factor numerator and denominator.=−5⋅7⋅x2⋅2⋅7⋅x⋅x Cancel common factors.=−54x
Вправа
Помножити:
−3x2⋅621x3
- Відповідь
-
−37x2
Множення та скасування або скасування та множення
Коли ви працюєте з більшими числами, стає трохи складніше множити, коефіцієнт і скасувати. Розглянемо наступний аргумент.
1830⋅356=630180 Multiply numerators; multiply denominators.=2⋅3⋅3⋅5⋅72⋅2⋅3⋅3⋅5 Prime factor numerators and denominators.=2⋅3⋅3⋅5⋅72⋅2⋅3⋅3⋅5 Cancel common factors.=72 Remaining factors.
При такому підході є ряд складнощів. По-перше, вам доведеться множити великі числа, а по-друге, ви повинні простими множниками ще більші результати.
Один з можливих обхідних шляхів - не морочитися множенням чисельників і знаменників, залишаючи їх у факторованому вигляді.
1830⋅356=18⋅3530⋅6 Multiply numerators; multiply denominators.
Знайти просту факторизацію цих менших факторів простіше.
=(2⋅3⋅3)⋅(5⋅7)(2⋅3⋅5)⋅(2⋅3) Prime factor.
Тепер ми можемо скасувати загальні фактори. Дужки більше не потрібні в чисельнику та знаменнику, оскільки обидва містять добуток простих множників, тому порядок та групування не мають значення.
=2⋅3⋅3⋅5⋅72⋅3⋅5⋅2⋅3 Cancel common factors.=72 Remaining factors.
Інший підхід полягає в факторних чисельниках і знаменниках на місці, скасування загальних факторів, а потім множення.
1830⋅356=2⋅3⋅32⋅3⋅5⋅5⋅72⋅3 Factor numerators and denominators.=2⋅3⋅3⋅32⋅3⋅5⋅5⋅72⋅3 Cancel common factors.=72 Remaining factors.
Зверніть увагу, що це дає точно такий же результат, 7/2.
Правило скасування
При множенні дробів скасуйте загальні множники за таким правилом: «Скасувати множник в чисельнику для ідентичного множника в знаменнику».
приклад 6
Знайдіть товар 14/15 і 30/140.
Рішення
Множимо чисельники і множимо знаменники. Просте множник, скасуйте загальні множники, потім множте.
1415⋅30140=14⋅3015⋅140 Multiply numerators; multiply denominators.=(2⋅7)⋅(2⋅3⋅5)(3⋅5)⋅(2⋅2⋅5⋅7) Prime factor numerators and denominators.=2⋅7⋅2⋅3⋅53⋅5cdot2⋅2⋅5⋅7 Cancel common factors.=15 Multiply.
Примітка: Все в чисельнику скасовується, тому що ви розділили чисельник сам по собі. Значить, відповідь має 1 в своєму чисельнику.
Вправа
Помножити:
635⋅7036
- Відповідь
-
13
Коли все скасовується
Коли всі множники в чисельнику скасовуються, це означає, що чисельник ви ділите самі по собі. Отже, ви залишаєтеся з 1 в чисельнику. Це ж правило поширюється і на знаменник. Якщо все в знаменнику скасовується, ви залишитеся з 1 в знаменнику.
приклад 7
Спрощення продукту:\ (-\ frac {6x} {55y}\ cdot\ ліворуч (-\ frac {110y^2} {105x^2}\ праворуч). \ номер\]
Рішення
Твір двох негативів - позитивний.
−6x55y⋅(−110y2105x2)=6x55y⋅110y2105x2 Like signs gives a positive.
Прості множники чисельники і знаменники, потім скасовують загальні множники.
=2⋅3⋅x5⋅11⋅y⋅2⋅5⋅11⋅y⋅y3⋅5⋅7⋅x⋅x Prime factor numerators & denominators.=2⋅3⋅x5⋅11⋅y⋅2⋅5⋅11⋅y⋅y3⋅5⋅7⋅x⋅x Cancel common factors.=2⋅2⋅y5⋅7⋅x Remaining factors.=4y35x Multiply numerators; multiply denominators.
Вправа
Спростити:
6x15b⋅(−35b210a2)
- Відповідь
-
−21b5a
Паралелограми
У цьому розділі ми дізнаємося, як знайти площу паралелограма. Почнемо з визначення паралелограма. Нагадаємо, що чотирикутник - це багатокутник, що має чотири сторони. Паралелограм - це дуже особливий тип чотирикутника.
Паралелограм
Паралелограм - це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні.
Сторона, на яку спирається паралелограм, називається його основою (позначено b на малюнку), а відстань від його заснування до протилежної сторони називається її висотою (позначено h на малюнку). Зверніть увагу, що висота перпендикулярна до основи (відповідає основі під кутом 90◦).
На малюнку 4.8 зображений прямокутник, що має довжину b і ширину h. Тому площа прямокутника на малюнку 4.8 дорівнює A = bh, яку знаходять, взявши добуток довжини і ширини. Візьміть ножиці і виріжте трикутник з правого кінця прямокутника, як показано на малюнку 4.9 (а), потім вставте вирізаний трикутник до лівого кінця, як показано на малюнку 4.9 (b). Результатом, показаним на малюнку 4.9 (b), є паралелограм, що має підставу b і висоту h.
Оскільки ми не викинули жодного матеріалу при створенні паралелограма з прямокутника, паралелограм має ту ж площу, що і вихідний прямокутник. Тобто площа паралелограма дорівнює A = bh.
![Знімок екрана 2019-08-30 о 11.12.48 AM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/28202/Screen_Shot_2019-08-30_at_11.12.48_AM.png)
![Знімок екрана 2019-08-30 в 11.13.27 AM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/28203/Screen_Shot_2019-08-30_at_11.13.27_AM.png)
Площа паралелограма
Паралелограм, що має підставу b і висоту h, має площу A = bh. Тобто, щоб знайти площу паралелограма, беруть добуток його підстави і висоти.
приклад 8
Знайдіть площу паралелограма, зображеної нижче.
Рішення
Площа паралелограма дорівнює добутку його підстави і висоти. Тобто,
A=bh Area formula for a parallelogram.=(6 ft)(53 ft) Substitute: 6 ft for b, 5/3 ft for h.=303 ft2. Multiply numerators and denominators.=10 ft2. Divide.
Таким чином, площа паралелограма становить 10 квадратних футів.
Вправа
Основа паралелограма вимірює 14 дюймів. Висота становить 8/7 дюйма. Яка площа паралелограма?
- Відповідь
-
16 квадратних дюймів
Трикутники
Звернемо увагу на те, як дізнатися, як знайти площу трикутника.
Трикутник
Трикутник - це тристоронній багатокутник. Вона утворюється шляхом побудови трьох точок і з'єднання їх трьома відрізками лінії. Кожна з трьох точок називається вершиною трикутника і кожен з трьох відрізків лінії називається стороною трикутника.
Сторона, на якій спирається трикутник, називається його підставою, а відстань між його підставою і протилежною вершиною називається його висотою висоти. Висота завжди перпендикулярна підставі; тобто вона утворює кут 90◦ з основою.
Легко помітити, що трикутник має половину площі паралелограма.
Паралелограм має площу A = bh. Тому трикутник має половину цієї площі. Тобто площа трикутника дорівнює A = (1/2) bh.
Площа трикутника
Трикутник, що має основу b і висоту h, має площу A = (1/2) bh. Тобто, щоб знайти площу трикутника, візьміть по половині добутку підстави і висоти.
приклад 9
Знайдіть площу трикутника, зображеної нижче.
Рішення
Щоб знайти площу трикутника, візьміть по половині добутку підстави і висоти.
A=12bh Area of a triangle formula.=12(13 cm)(6 cm) Substitute: 13 cm for b, 6 cm for h.=78 cm22 Multiply numerators; multiply denominators.=39 cm2. Simplify.
Тому площа трикутника становить 39 квадратних сантиметрів.
Вправа
Підстава трикутника має розміри 15 метрів. Висота 12 метрів. Яка площа трикутника?
- Відповідь
-
90 квадратних метрів
Визначення бази та висоти
Іноді буває трохи складно визначити підставу і висоту (висоту) трикутника. Для прикладу розглянемо трикутник на малюнку 4.10 (а). Припустимо, ми вибираємо нижній край трикутника в якості основи і позначаємо його довжину змінною b, як показано на малюнку 4.10 (а).
![Знімок екрана 2019-08-30 о 11.28.19 AM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/28208/Screen_Shot_2019-08-30_at_11.28.19_AM.png)
Висота (висота) трикутника визначається як відстань між основою трикутника і його протилежною вершиною. Щоб визначити цю висоту, ми повинні спочатку продовжити базу, як видно на пунктирному розширенні на малюнку 4.10 (b), потім скинути перпендикулярну пунктирну лінію від протилежної вершини до розширеної основи, також показаної на малюнку 4.10 (b). Цей перпендикуляр - висота (висота) трикутника і позначимо його довжину h.
Але ми можемо піти далі. Будь-яка з трьох сторін трикутника може бути позначена як основа трикутника. Припустимо, як показано на малюнку 4.11 (а), ми виділимо в якості основи іншу сторону, при цьому довжина позначається змінною b.
Висота до цього нового підстави буде відрізок від протилежної вершини, перпендикулярно до основи. Її довжина на малюнку 4.11 (б) позначається ч.
Подібним чином, є третя сторона трикутника, яка також може бути використана як основа. Висоту до цієї третьої сторони знаходять шляхом скидання перпендикуляра з вершини трикутника прямо протилежної від цієї основи. Це також зажадає розширення підстави. Ми залишаємо це для вивчення наших читачів.
![Знімок екрана 2019-08-30 о 11.30.30 AM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/28209/Screen_Shot_2019-08-30_at_11.30.30_AM.png)
Ключовий момент
В якості основи може бути використана будь-яка з трьох сторін трикутника. Висота малюється скиданням перпендикуляра від протилежної вершини до обраної основи. Для цього іноді потрібно, щоб ми подовжували підставу. Незалежно від того, яку сторону ми використовуємо для основи, формула A = bh /2 дасть той же результат площі.
Вправи
1. Створіть діаграму, таку як показано на малюнку 4.7, щоб показати, що 1/3 1/3 дорівнює 1/9.
2. Створіть діаграму, таку як показано на малюнку 4.7, щоб показати, що 1/2 1/4 дорівнює 1/8.
3. Створіть діаграму, таку як показано на малюнку 4.7, щоб показати, що 1/3 1/4 дорівнює 1/12.
4. Створіть діаграму, таку як показано на малюнку 4.7, щоб показати, що 2/3 1/3 дорівнює 2/9.
У вправах 1-28 помножте дроби і спростіть свій результат.
5. −214⋅2219
6. −419⋅218
7. 2011⋅−1722
8. −92⋅67
9. 218⋅−1415
10. −1718⋅−34
11. −511⋅720
12. −52⋅−2019
13. 813⋅−16
14. −127⋅59
15. 215⋅−98
16. 211⋅−218
17. 1712⋅34
18. 713⋅1021
19. −623⋅910
20. 1211⋅−52
21. −2324⋅−617
22. 49⋅−2119
23. 247⋅52
24. −2023⋅−12
25. 12⋅−811
26. −1118⋅−203
27. −2413⋅−718
28. 2120⋅−45
У вправах 29-40 помножте дроби, і спростіть свій результат.
29. −12y313⋅29y6
30. −8x33⋅−65x5
31. 11y324⋅65y5
32. 11y18⋅2117y6
33. −8x221⋅−1819x
34. 2y411⋅−718y
35. 13x615⋅916x2
36. −22x615⋅1716x3
37. −6y35⋅−207y6
38. −21y5⋅−83y2
39. −3y34⋅2312y
40. −16y615⋅−2113y4
У вправах 41-56 помножте дроби і спростіть свій результат.
41. 13y620x4⋅2x7y2
42. −8y313x6⋅7x210y2
43. 23y421x⋅−7x64y2
44. −2x69y4⋅y520x
45. 11y612x6⋅−2x47y2
46. 16x313y4⋅11y218x
47. x621y3⋅−7y49x5
48. −3y35x⋅14x515y2
49. 19y218x⋅10x37y3
50. −20x9y3⋅−y64x3
51. −4y35x5⋅−10x21y4
52. 11y214x4⋅−22x21y3
53. −16x21y2⋅−7y35x2
54. −4y5x⋅10x37y6
55. 17x33y6⋅−12y27x4
56. −6x411y3⋅13y28x5
У вправах 57-62 знайдіть площу паралелограма, що має задану базу і висоту.
57. основа = 8 см, висота = 7 см
58. основа = 2 см, висота = 11 см
59. основа = 6 см, висота = 13 см
60. основа = 2 см, висота = 6 см
61. підстава = 18 см, висота = 14 см
62. підстава = 20 см, висота = 2 см
У вправах 63-68 знайдіть площу трикутника, показану на малюнку. (Примітка: Цифри не намальовані в масштабі.)
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69. Вага на Місяці. На Місяці ви б зважували лише 1/6 від того, що ви важите на землі. Якщо ви важите 138 фунтів на землі, якою була б ваша вага на Місяці?
Відповіді
1. Це показує, що 1/3 1/3 дорівнює 1/9.
3. Це показує, що 1/3 1/4 дорівнює 1/12.
5. −23138
7. −170121
9. −4920
11. −744
13. −439
15. −320
17. 1716
19. −27115
21. 2368
23. 607
25. −411
27. 2839
29. −839y3
31. 1120y2
33. 48x133
35. 39x480
37. 247y3
39. −23y216
41. \frac{13y^4}{70x^3}
43. − \frac{23y^2x^5}{12}
45. − \frac{11y^4}{42x^2}
47. − \frac{xy}{27}
49. \frac{95x^2}{63y}
51. \frac{8}{21yx^4}
53. \frac{16y}{15x}
55. − \frac{68}{7xy^4}
57. 56 см 2
59. 78 см 2
61. 252 см 2
63. 63 футів 2
65. 30 у 2
67. 10 см 2
69. 23 фунта