Processing math: 93%
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.3: Множення дробів

Розглянемо зображення на малюнку 4.5, де вертикальні лінії ділять прямокутну область на три рівні частини. Якщо затінювати один з трьох рівних частин, затінена область становить 1/3 всієї прямокутної області.

Знімок екрана 2019-08-30 в 9.47.42 AM.png
Малюнок 4.5: Затінена область становить 1/3 всієї області.

Ми хотіли б візуалізувати беручи 1/2 з 1/3. Для цього ми намалюємо додаткову горизонтальну лінію, яка розділяє затінену область навпіл по горизонталі. Це показано на малюнку 4.6. Затінена область, яка представляла 1/3, тепер розділена на дві менші прямокутні області, одна з яких затінена іншим кольором. Цей регіон являє собою 1/2 з 1/3.

Знімок екрана 2019-08-30 в 9.47.49 AM.png
Малюнок 4.6: Затінення 1/2 з 1/3.

Далі продовжити горизонтальну лінію на всю ширину прямокутної області, як показано на малюнку 4.7.

Знімок екрана 2019-08-30 в 9.47.55 AM.png
Малюнок 4.7: Затінення 1/2 з 1/3.

Зверніть увагу, що малювання горизонтальної лінії в поєднанні з трьома оригінальними вертикальними лініями вдалося розділити повну прямокутну область на шість менших, але рівних частин, лише один з яких (той, що представляє 1/2 1/3) затінений новим кольором. Отже, цей щойно затінений шматок представляє 1/6 всієї області. Висновок нашого візуального аргументу полягає в тому, що 1/2 1/3 дорівнює 1/6. В символах,

1213=16.

Приклад 1

Створіть візуальний аргумент, який показує, що 1/3 2/5 дорівнює 2/15.

Рішення

Спочатку розділіть прямокутну область на п'ять рівних частин і розтушуйте дві з них. Це являє собою дріб 2/5.

Знімок екрана 2019-08-30 в 9.50.36 AM.png

Далі намалюйте дві горизонтальні лінії, які ділять затінену область на три рівні частини і затіньте 1 з трьох рівних частин. Це являє собою прийняття 1/3 з 2/5.

Знімок екрана 2019-08-30 в 9.50.43 AM.png

Далі продовжите горизонтальні лінії на всю ширину області і поверніть вихідну вертикальну лінію з першого зображення.

Знімок екрана 2019-08-30 в 9.50.51 AM.png

Зверніть увагу, що три горизонтальні лінії в поєднанні з п'ятьма оригінальними вертикальними лініями вдалося розділити всю область на 15 менших, але рівних частин, лише дві з яких (ті, що представляють 1/3 2/5) затінені новим кольором. Отже, цей нещодавно затінений шматок представляє 2/15 всієї області. Висновок цього візуального аргументу полягає в тому, що 1/3 з 2/5 дорівнює 2/15. В символах,

1325=215.

Вправа

Створіть візуальний аргумент, який показує, що 1/2 1/4 дорівнює 1/8.

Відповідь

Діаграма:

Знімок екрана 2019-08-30 в 9.53.06 AM.png

Правило множення

На малюнку 4.7 ми побачили, що 1/2 1/3 дорівнює 1/6. Зверніть увагу, що відбувається, коли ми множимо чисельники і множимо знаменники дробів 1/2 і 1/3.

1213=1123  Multiply numerators; multiply denominators.=16  Simplify numerators and denominators.

Отримуємо 1/6!

Чи може це бути збіг чи удача? Давайте спробуємо, що ще раз з дробів з Приклад 1, де ми побачили, що 1/3 2/5 дорівнює 2/15. Знову множимо чисельники і знаменники на 1/3 і 2/5.

1325=1235  Multiply numerators; multiply denominators.=215  Simplify numerators and denominators.

Знову отримуємо 2/15!

Ці два приклади мотивують наступне визначення.

Визначення: Правило множення

Щоб знайти добуток дробів a/b і c/d, перемножте їх чисельники і знаменники. В символах,

abcd=acbd

Приклад 2

Помножте 1/5 і 7/9.

Рішення

Множимо чисельники і множимо знаменники.

1579=1759  Multiply numerators; multiply denominators.=745  Simplify numerators and denominators.

Вправа

Помножити:

1325

Відповідь

Помножити:615

Приклад 3

Знайдіть добуток −2/3 та 7/9.

Рішення

Звичайні правила знаків поширюються на продукцію. На відміну від знаків дає негативний результат.

2379=2739 Multiply numerators; multiply denominators.=1427  Simplify numerators and denominators.

Не потрібно, щоб ви фізично показували середню сходинку. Якщо ви хочете зробити це подумки, то ви можете просто написати

2379=1427.

Вправа

Помножити:

3527

Відповідь

635

Помножити і зменшити

Після множення двох дробів переконайтеся, що ваша відповідь зменшена до найнижчих (див. Розділ 4.1).

Приклад 4

Помножте 3/4 рази 8/9.

Рішення

Після множення ділимо чисельник і знаменник на найбільший спільний дільник чисельника і знаменника.

3489=3849  Multiply numerators and denominators.=2436  Simplify numerator and denominator.=24÷1236÷12  Divide numerator and denominator by GCD.=23  Simplify numerator and denominator.

Крім того, після множення ви можете простий множник як чисельник, так і знаменник, а потім скасувати загальні множники.

3489=2436  Multiply numerators and denominators.=22232233  Prime factor numerator and denominator.==22232233  Cancel common factors.=23 

Вправа

Помножити:

37149

Відповідь

23

Приклад 5

Помножте −7x/2 та 5/ (14x 2).

Рішення

Після множення, простий множник як чисельник, так і знаменник, потім скасовують загальні множники. Відзначимо, що на відміну від ознак дає негативний продукт.

7x2514x2=35x28x2  Multiply numerators and denominators.=57x227xx  Prime factor numerator and denominator.=57x227xx  Cancel common factors.=54x

Вправа

Помножити:

3x2621x3

Відповідь

37x2

Множення та скасування або скасування та множення

Коли ви працюєте з більшими числами, стає трохи складніше множити, коефіцієнт і скасувати. Розглянемо наступний аргумент.

1830356=630180  Multiply numerators; multiply denominators.=2335722335  Prime factor numerators and denominators.=2335722335  Cancel common factors.=72  Remaining factors.

При такому підході є ряд складнощів. По-перше, вам доведеться множити великі числа, а по-друге, ви повинні простими множниками ще більші результати.

Один з можливих обхідних шляхів - не морочитися множенням чисельників і знаменників, залишаючи їх у факторованому вигляді.

1830356=1835306  Multiply numerators; multiply denominators.

Знайти просту факторизацію цих менших факторів простіше.

=(233)(57)(235)(23)  Prime factor.

Тепер ми можемо скасувати загальні фактори. Дужки більше не потрібні в чисельнику та знаменнику, оскільки обидва містять добуток простих множників, тому порядок та групування не мають значення.

=2335723523  Cancel common factors.=72  Remaining factors.

Інший підхід полягає в факторних чисельниках і знаменниках на місці, скасування загальних факторів, а потім множення.

1830356=2332355723  Factor numerators and denominators.=23332355723  Cancel common factors.=72  Remaining factors.

Зверніть увагу, що це дає точно такий же результат, 7/2.

Правило скасування

При множенні дробів скасуйте загальні множники за таким правилом: «Скасувати множник в чисельнику для ідентичного множника в знаменнику».

приклад 6

Знайдіть товар 14/15 і 30/140.

Рішення

Множимо чисельники і множимо знаменники. Просте множник, скасуйте загальні множники, потім множте.

141530140=143015140  Multiply numerators; multiply denominators.=(27)(235)(35)(2257)  Prime factor numerators and denominators.=2723535cdot2257  Cancel common factors.=15  Multiply.

Примітка: Все в чисельнику скасовується, тому що ви розділили чисельник сам по собі. Значить, відповідь має 1 в своєму чисельнику.

Вправа

Помножити:

6357036

Відповідь

13

Коли все скасовується

Коли всі множники в чисельнику скасовуються, це означає, що чисельник ви ділите самі по собі. Отже, ви залишаєтеся з 1 в чисельнику. Це ж правило поширюється і на знаменник. Якщо все в знаменнику скасовується, ви залишитеся з 1 в знаменнику.

приклад 7

Спрощення продукту:\ (-\ frac {6x} {55y}\ cdot\ ліворуч (-\ frac {110y^2} {105x^2}\ праворуч). \ номер\]

Рішення

Твір двох негативів - позитивний.

6x55y(110y2105x2)=6x55y110y2105x2  Like signs gives a positive.

Прості множники чисельники і знаменники, потім скасовують загальні множники.

=23x511y2511yy357xx  Prime factor numerators & denominators.=23x511y2511yy357xx  Cancel common factors.=22y57x  Remaining factors.=4y35x  Multiply numerators; multiply denominators.

Вправа

Спростити:

6x15b(35b210a2)

Відповідь

21b5a

Паралелограми

У цьому розділі ми дізнаємося, як знайти площу паралелограма. Почнемо з визначення паралелограма. Нагадаємо, що чотирикутник - це багатокутник, що має чотири сторони. Паралелограм - це дуже особливий тип чотирикутника.

Паралелограм

Паралелограм - це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні.

Знімок екрана 2019-08-30 в 11.10.40 AM.png

Сторона, на яку спирається паралелограм, називається його основою (позначено b на малюнку), а відстань від його заснування до протилежної сторони називається її висотою (позначено h на малюнку). Зверніть увагу, що висота перпендикулярна до основи (відповідає основі під кутом 90◦).

На малюнку 4.8 зображений прямокутник, що має довжину b і ширину h. Тому площа прямокутника на малюнку 4.8 дорівнює A = bh, яку знаходять, взявши добуток довжини і ширини. Візьміть ножиці і виріжте трикутник з правого кінця прямокутника, як показано на малюнку 4.9 (а), потім вставте вирізаний трикутник до лівого кінця, як показано на малюнку 4.9 (b). Результатом, показаним на малюнку 4.9 (b), є паралелограм, що має підставу b і висоту h.

Оскільки ми не викинули жодного матеріалу при створенні паралелограма з прямокутника, паралелограм має ту ж площу, що і вихідний прямокутник. Тобто площа паралелограма дорівнює A = bh.

Знімок екрана 2019-08-30 о 11.12.48 AM.png
Малюнок 4.8: Площа прямокутника дорівнює A = bh.
Знімок екрана 2019-08-30 в 11.13.27 AM.png
Малюнок 4.9: Створення паралелограма з прямокутника.

Площа паралелограма

Паралелограм, що має підставу b і висоту h, має площу A = bh. Тобто, щоб знайти площу паралелограма, беруть добуток його підстави і висоти.

приклад 8

Знайдіть площу паралелограма, зображеної нижче.

Знімок екрана 2019-08-30 в 11.15.04 AM.png

Рішення

Площа паралелограма дорівнює добутку його підстави і висоти. Тобто,

A=bh  Area formula for a parallelogram.=(6 ft)(53 ft)  Substitute: 6 ft for b, 5/3 ft for h.=303 ft2.  Multiply numerators and denominators.=10 ft2.  Divide.

Таким чином, площа паралелограма становить 10 квадратних футів.

Вправа

Основа паралелограма вимірює 14 дюймів. Висота становить 8/7 дюйма. Яка площа паралелограма?

Відповідь

16 квадратних дюймів

Трикутники

Звернемо увагу на те, як дізнатися, як знайти площу трикутника.

Трикутник

Трикутник - це тристоронній багатокутник. Вона утворюється шляхом побудови трьох точок і з'єднання їх трьома відрізками лінії. Кожна з трьох точок називається вершиною трикутника і кожен з трьох відрізків лінії називається стороною трикутника.

Знімок екрана 2019-08-30 в 11.19.46 AM.png

Сторона, на якій спирається трикутник, називається його підставою, а відстань між його підставою і протилежною вершиною називається його висотою висоти. Висота завжди перпендикулярна підставі; тобто вона утворює кут 90◦ з основою.

Легко помітити, що трикутник має половину площі паралелограма.

Знімок екрана 2019-08-30 в 11.19.51 AM.png

Паралелограм має площу A = bh. Тому трикутник має половину цієї площі. Тобто площа трикутника дорівнює A = (1/2) bh.

Площа трикутника

Трикутник, що має основу b і висоту h, має площу A = (1/2) bh. Тобто, щоб знайти площу трикутника, візьміть по половині добутку підстави і висоти.

приклад 9

Знайдіть площу трикутника, зображеної нижче.

Знімок екрана 2019-08-30 в 11.23.40 AM.png

Рішення

Щоб знайти площу трикутника, візьміть по половині добутку підстави і висоти.

A=12bh  Area of a triangle formula.=12(13 cm)(6 cm)  Substitute: 13 cm for b, 6 cm for h.=78 cm22  Multiply numerators; multiply denominators.=39 cm2.  Simplify.

Тому площа трикутника становить 39 квадратних сантиметрів.

Вправа

Підстава трикутника має розміри 15 метрів. Висота 12 метрів. Яка площа трикутника?

Відповідь

90 квадратних метрів

Визначення бази та висоти

Іноді буває трохи складно визначити підставу і висоту (висоту) трикутника. Для прикладу розглянемо трикутник на малюнку 4.10 (а). Припустимо, ми вибираємо нижній край трикутника в якості основи і позначаємо його довжину змінною b, як показано на малюнку 4.10 (а).

Знімок екрана 2019-08-30 о 11.28.19 AM.png
Малюнок 4.10: Визначення підстави і висоти (висоти) трикутника.

Висота (висота) трикутника визначається як відстань між основою трикутника і його протилежною вершиною. Щоб визначити цю висоту, ми повинні спочатку продовжити базу, як видно на пунктирному розширенні на малюнку 4.10 (b), потім скинути перпендикулярну пунктирну лінію від протилежної вершини до розширеної основи, також показаної на малюнку 4.10 (b). Цей перпендикуляр - висота (висота) трикутника і позначимо його довжину h.

Але ми можемо піти далі. Будь-яка з трьох сторін трикутника може бути позначена як основа трикутника. Припустимо, як показано на малюнку 4.11 (а), ми виділимо в якості основи іншу сторону, при цьому довжина позначається змінною b.

Висота до цього нового підстави буде відрізок від протилежної вершини, перпендикулярно до основи. Її довжина на малюнку 4.11 (б) позначається ч.

Подібним чином, є третя сторона трикутника, яка також може бути використана як основа. Висоту до цієї третьої сторони знаходять шляхом скидання перпендикуляра з вершини трикутника прямо протилежної від цієї основи. Це також зажадає розширення підстави. Ми залишаємо це для вивчення наших читачів.

Знімок екрана 2019-08-30 о 11.30.30 AM.png
Малюнок 4.11: Визначення підстави і висоти (висоти) трикутника.

Ключовий момент

В якості основи може бути використана будь-яка з трьох сторін трикутника. Висота малюється скиданням перпендикуляра від протилежної вершини до обраної основи. Для цього іноді потрібно, щоб ми подовжували підставу. Незалежно від того, яку сторону ми використовуємо для основи, формула A = bh /2 дасть той же результат площі.

Вправи

1. Створіть діаграму, таку як показано на малюнку 4.7, щоб показати, що 1/3 1/3 дорівнює 1/9.

2. Створіть діаграму, таку як показано на малюнку 4.7, щоб показати, що 1/2 1/4 дорівнює 1/8.

3. Створіть діаграму, таку як показано на малюнку 4.7, щоб показати, що 1/3 1/4 дорівнює 1/12.

4. Створіть діаграму, таку як показано на малюнку 4.7, щоб показати, що 2/3 1/3 дорівнює 2/9.


У вправах 1-28 помножте дроби і спростіть свій результат.

5. 2142219

6. 419218

7. 20111722

8. 9267

9. 2181415

10. 171834

11. 511720

12. 522019

13. 81316

14. 12759

15. 21598

16. 211218

17. 171234

18. 7131021

19. 623910

20. 121152

21. 2324617

22. 492119

23. 24752

24. 202312

25. 12811

26. 1118203

27. 2413718

28. 212045


У вправах 29-40 помножте дроби, і спростіть свій результат.

29. 12y31329y6

30. 8x3365x5

31. 11y32465y5

32. 11y182117y6

33. 8x2211819x

34. 2y411718y

35. 13x615916x2

36. 22x6151716x3

37. 6y35207y6

38. 21y583y2

39. 3y342312y

40. 16y6152113y4


У вправах 41-56 помножте дроби і спростіть свій результат.

41. 13y620x42x7y2

42. 8y313x67x210y2

43. 23y421x7x64y2

44. 2x69y4y520x

45. 11y612x62x47y2

46. 16x313y411y218x

47. x621y37y49x5

48. 3y35x14x515y2

49. 19y218x10x37y3

50. 20x9y3y64x3

51. 4y35x510x21y4

52. 11y214x422x21y3

53. 16x21y27y35x2

54. 4y5x10x37y6

55. 17x33y612y27x4

56. 6x411y313y28x5


У вправах 57-62 знайдіть площу паралелограма, що має задану базу і висоту.

57. основа = 8 см, висота = 7 см

58. основа = 2 см, висота = 11 см

59. основа = 6 см, висота = 13 см

60. основа = 2 см, висота = 6 см

61. підстава = 18 см, висота = 14 см

62. підстава = 20 см, висота = 2 см


У вправах 63-68 знайдіть площу трикутника, показану на малюнку. (Примітка: Цифри не намальовані в масштабі.)

63.

Знімок екрана 2019-08-30 в 2.00.34 PM.png

64.

Знімок екрана 2019-08-30 в 2.00.42 PM.png

65.

Знімок екрана 2019-08-30 в 2.00.49 PM.png

66.

Знімок екрана 2019-08-30 в 2.00.57 PM.png

67.

Знімок екрана 2019-08-30 на 2.01.03 PM.png

68.

Знімок екрана 2019-08-30 на 2.01.08 PM.png


69. Вага на Місяці. На Місяці ви б зважували лише 1/6 від того, що ви важите на землі. Якщо ви важите 138 фунтів на землі, якою була б ваша вага на Місяці?


Відповіді

1. Це показує, що 1/3 1/3 дорівнює 1/9.

Знімок екрана 2019-08-30 в 1.51.28 PM.png

3. Це показує, що 1/3 1/4 дорівнює 1/12.

Знімок екрана 2019-08-30 в 1.51.35 PM.png

5. 23138

7. 170121

9. 4920

11. 744

13. 439

15. 320

17. 1716

19. 27115

21. 2368

23. 607

25. 411

27. 2839

29. 839y3

31. 1120y2

33. 48x133

35. 39x480

37. 247y3

39. 23y216

41. \frac{13y^4}{70x^3}

43. − \frac{23y^2x^5}{12}

45. − \frac{11y^4}{42x^2}

47. − \frac{xy}{27}

49. \frac{95x^2}{63y}

51. \frac{8}{21yx^4}

53. \frac{16y}{15x}

55. − \frac{68}{7xy^4}

57. 56 см 2

59. 78 см 2

61. 252 см 2

63. 63 футів 2

65. 30 у 2

67. 10 см 2

69. 23 фунта