Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.5: Додавання та віднімання дробів

  • Page ID
    57367
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Пол і Тоні замовляють піцу, яка була розрізана на вісім рівних скибочок. Таким чином, кожен шматочок становить 1/8 всієї піци. Пол їсть дві скибочки (затінені світло-сірим кольором на малюнку\(\PageIndex{1}\)), або 2/8 всієї піци. Тоні з'їдає три скибочки (затінені світло-червоним кольором (або більш темним відтінком сірого в чорно-білому друку\(\PageIndex{1}\)) на малюнку), або 3/8 всієї піци.

    Знімок екрана 2019-08-30 о 4.09.40 PM.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Пол їсть два скибочки (2/8), а Тоні їсть три скибочки (3/8).

    Повинно бути зрозуміло, що разом Пол і Тоні з'їдають п'ять скибочок, або 5/8 всієї піци. Це відображає той факт, що

    \[ \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.\nonumber \]

    Це демонструє, як додати два дроби із загальним (однаковим) знаменником. Зберігайте спільний знаменник і додайте чисельники. Тобто,

    \[ \begin{align*} \frac{2}{8} + \frac{3}{8} &= \frac{2 + 3}{8} ~ && \textcolor{red}{ \text{ Keep denominator; add numerators.}} \\ &= \frac{5}{8} ~ && \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator.}} \end{align*} \]

    Додавання дробів із загальними знаменниками

    Нехай a/c і b/c - два дроби із загальним (однаковим) знаменником. Їх сума визначається як

    \[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\nonumber \]

    Тобто скласти два дроби, що мають спільні знаменники, зберегти загальний знаменник і скласти їх чисельники.

    Аналогічне правило дотримується і для віднімання.

    Віднімання дробів із загальними знаменниками

    Нехай a/c і b/c - два дроби із загальним (однаковим) знаменником. Їх відмінність визначається як

    \[ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}.\nonumber \]

    Тобто відняти два дроби, що мають спільні знаменники, зберегти загальний знаменник і відняти їх чисельники.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Знайти суму 4/9 і 3/9.

    Рішення

    Зберігайте спільний знаменник і додайте чисельники.

    \[ \begin{aligned} \frac{4}{9} + \frac{3}{9} &= \frac{4+3}{9} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep denominator; add numerators.}} \\ &= \frac{7}{9} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Додати:

    \[ \frac{1}{8} + \frac{2}{8}\nonumber \]

    Відповідь

    3/8

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Відніміть 5/16 з 13/16.

    Рішення

    Зберігайте спільний знаменник і відніміть чисельники.

    \[ \begin{aligned} \frac{13}{16} - \frac{5}{16} &= \frac{13-5}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep denominator; subtract numerators.}} \\ &=\frac{8}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Звичайно, як ми дізналися в розділі 4.1, ми завжди повинні зводити остаточну відповідь до найнижчих показників. Один із способів досягти цього в цьому випадку - розділити чисельник і знаменник на 8, найбільший спільний дільник 8 і 16.

    \[ \begin{aligned} = \frac{8 \div 8}{16 \div 8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide numerator and denominator by 8.}} \\ = \frac{1}{2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator and denominator.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Відніміть:

    \[ \frac{11}{12} - \frac{7}{12}\nonumber \]

    Відповідь

    1/3

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Спростити:

    \[ \frac{3}{x} - \left( - \frac{7}{x} \right) .\nonumber \]

    Рішення

    Обидва дроби мають спільний знаменник.

    \[ \begin{aligned} \frac{3}{x} - \left( - \frac{7}{x} \right) &= \frac{3}{x} + \frac{7}{x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ &= \frac{3+7}{x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep denominator, add numerators.}} \\ &= \frac{10}{x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Додавання дробів з різними знаменниками

    Розглянемо суму

    \[ \frac{4}{9} + \frac{1}{6}.\nonumber \]

    Ми не можемо додати ці дроби, оскільки вони не мають спільного знаменника. Отже, що робити?

    Цілі

    Для того щоб скласти два дроби з різними знаменниками, нам потрібно:

    1. Знайти спільний знаменник для заданих дробів.
    2. Складіть дроби із загальним знаменником, які еквівалентні вихідним дроби.

    Якщо ми виконаємо два пункти в «Цілі», ми зможемо знайти суму заданих дробів.

    Отже, з чого почати? Нам потрібно знайти спільний знаменник, але не просто будь-який спільний знаменник. Погодьмося, що ми хочемо зберегти цифри якомога менше і знайти найменш спільний знаменник.

    Визначення: Найменш спільний знаменник

    Найменшим спільним знаменником (РК) для набору дробів є найменше число, що ділиться на кожен із знаменників заданих дробів.

    Розглянемо ще раз суму, яку ми хочемо знайти:

    \[ \frac{4}{9} + \frac{1}{6} .\nonumber \]

    Знаменники - 9 і 6. Ми хочемо знайти найменш спільний знаменник, найменше число, яке ділиться як на 9, так і на 6. Ряд кандидатів спадає на думку: 36, 54 та 72 всі діляться на 9 і 6, щоб назвати декілька. Але найменше число, яке ділиться і на 9, і на 6, - це 18. Це найменш спільний знаменник для 9 і 6.

    Тепер переходимо до другого пункту в «Голі». Нам потрібно зробити дроби, що мають 18 як знаменник, еквівалентні 4/9 і 1/6. У випадку з 4/9, якщо помножити і чисельник і знаменник на 2, то отримаємо

    \[ \begin{aligned} \frac{4}{9} &= \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerator and denominator by 2.}} \\ &= \frac{8}{18}. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator and denominator.}} \end{aligned}\nonumber \]

    У випадку 1/6, якщо помножити і чисельник і знаменник на 3, то отримаємо

    \[ \begin{aligned} \frac{1}{6} &= \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerator and denominator by 3.}} \\ &= \frac{3}{18}. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator and denominator.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Як правило, ми організуємо нашу роботу наступним чином.

    \[ \begin{aligned} \frac{4} + \frac{1}{6} &= \frac{4 \cdot \textcolor{red}{2}}{9 \cdot \textcolor{red}{2}} + \frac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{6 \cdot \textcolor{red}{3}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 18.}} \\ &= \frac{8}{18} + \frac{3}{18} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ &= \frac{8+3}{18} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep common denominator; add numerators.}} \\ &= \frac{11}{18} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Підіб'ємо підсумки процедури.

    Додавання або віднімання дробів з різними знаменниками

    1. Знайдіть РК-дисплей, найменше число ділиться на всі знаменники заданих дробів.
    2. Створюйте дроби, використовуючи РК-дисплей як знаменник, еквівалентний вихідним дроби.
    3. Додайте або відніміть отримані еквівалентні дроби. Спростити, в тому числі звести остаточну відповідь до найнижчих термінів.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Спростити:\( \displaystyle \frac{3}{5} - \frac{2}{3}\).

    Рішення

    Найменше число, ділене як на 5, так і на 3, дорівнює 15.

    \[ \begin{aligned} \frac{3}{5} - \frac{2}{3} &= \frac{3 \cdot \textcolor{red}{3}}{5 \cdot \textcolor{red}{3}} - \frac{2 \cdot \textcolor{red}{5}}{3 \cdot \textcolor{red}{5}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 15.}} \\ &= \frac{9}{15} - \frac{10}{15} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ &= \frac{9-10}{15} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep LCD; subtract numerators.}} \\ &= \frac{-1}{15} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Хоча ця відповідь цілком прийнятна, негативний розділений на позитивний дає нам негативну відповідь, тому ми також могли б написати

    \[ = - \frac{1}{15}.\nonumber \]

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Відніміть:

    \[ \frac{3}{4} - \frac{7}{5}\nonumber \]

    Відповідь

    -13/20

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Спростити:\(-\frac{1}{4} - \frac{5}{6}\).

    Рішення

    Найменше число, ділене як на 4, так і на 6, дорівнює 12.

    \[ \begin{aligned} -\frac{1}{4} - \frac{5}{6} &= - \frac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} - \frac{5 \cdot \textcolor{red}{2}}{6 \cdot \textcolor{red}{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD =12.}} \\ &= - \frac{3}{12} - \frac{10}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ &= \frac{-3-10}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep LCD; subtract numerators.}} \\ &= \frac{-13}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Відніміть:\(-\frac{3}{8} - \frac{1}{12}\)

    Відповідь

    -11/24

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Спростити:\(\frac{5}{x} + \frac{3}{4}\).

    Рішення

    Найменше число, що ділиться як на 4, так і на x, дорівнює 4x.

    \[ \begin{aligned} \frac{5}{x} + \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot \textcolor{red}{4}}{x \cdot \textcolor{red}{4}} + \frac{3 \cdot \textcolor{red}{x}}{4 \cdot \textcolor{red}{x}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = }4x.} \\ = = \frac{20}{4x} + \frac{3x}{4x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = \frac{20 + 3x}{4x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep LCD; add numerators.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Додати:

    \[ \frac{5}{z} + \frac{2}{3}\nonumber \]

    Відповідь

    \[ \frac{15+2z}{3z}\nonumber \]

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Спростити:\(\frac{2}{3}- \frac{x}{5}\).

    Рішення

    Найменше число, ділене як на 3, так і на 5, дорівнює 15.

    \[ \begin{aligned} \frac{2}{3} - \frac{x}{5} = \frac{2 \cdot \textcolor{red}{5}}{3 \cdot \textcolor{red}{5}} - \frac{x \cdot \textcolor{red}{3}}{5 \cdot \textcolor{red}{3}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 15.}} \\ = \frac{10}{15} - \frac{3x}{15} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = \frac{10 - 3x}{15} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep LCD; subtract numerators.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Найменш поширене кратне

    Спочатку визначаємо кратне числу.

    Визначення: Кратні

    Кратні числу d - це 1 d, 2 d, 3 d, 4 d і т.д. тобто кратні d - числа nd, де n - натуральне число.

    Наприклад, кратні 8 - це 1 · 8, 2 · 8, 3 · 8, 4 · 8 і т.д., або еквівалентно 8, 16, 24, 32 і т.д.

    Визначення: Найменш поширене кратне

    Найменш поширеним кратним (НКМ) множини чисел є найменшим числом, кратним кожному числу заданої множини. Порядок знаходження НКМ наступний:

    1. Перерахуйте всі кратні кожному числу в заданому наборі чисел.
    2. Перерахуйте множники, які є спільними.
    3. Виберіть найменший з кратних, які є спільними.

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Знайдіть найменш поширене кратне (НКМ) 12 і 16.

    Рішення

    Перерахуйте кратні 12 і 16.

    Кратні 12:12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,...

    Кратні 16:16, 32, 48, 64, 80, 96, 112,...

    Виберіть загальні кратні.

    Загальні кратні: 48, 96,...

    LCM є найменшим із загальних кратних.

    СМ (12,16) = 48

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Знайдіть найменш спільний знаменник 6 і 9.

    Відповідь

    18

    Важливе спостереження

    Найменш спільний знаменник - найменш спільний кратний знаменникам.

    Наприклад, припустимо, ваша проблема 5/12 + 5/16. РК-дисплей - це найменше число, що ділиться як на 12, так і на 16. Це число 48, що також є LCM 12 і 16. Тому процедура пошуку НКМ може бути використана і для пошуку РК-дисплея.

    Найменш поширене множинне використання первинної факторизації

    Ви також можете знайти LCM за допомогою простої факторизації.

    LCM За основною факторизації

    Щоб знайти НКМ за набором цифр, виконайте таку процедуру:

    1. Запишіть просту факторизацію для кожного числа в компактному вигляді, використовуючи показники.
    2. LCM знаходять, записуючи кожен фактор, який з'являється на кроці 1, до найвищої потужності цього фактора, який з'являється.

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Використовуйте просте факторизацію, щоб знайти найменш спільний кратний знайти найменш спільний знаменник 18 і 24. (LCM) 12 і 16.

    Рішення

    Просте число 12 і 16.

    \[ \begin{aligned} 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \end{aligned}\nonumber \]

    Запишіть прості факторизації в компактній формі за допомогою експонентів.

    \[ \begin{aligned} 12 = 2^2 \cdot 3^1 \\ 16 = 2^4 \end{aligned}\nonumber \]

    Щоб знайти LCM, запишіть кожен фактор, який виявляється найвищою силою цього фактора, який з'являється. Фактори, які з'являються, - 2 і 3. Найвища потужність 2, яка з'являється, - 2 4. Найвища потужність 3, яка з'являється, - 3 1.

    \[ \begin{aligned} \text{LCM} = 2^4 \cdot 3^1 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep highest power of each factor.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Тепер ми розгортаємо цей останній вираз, щоб отримати наш LCM.

    \[ \begin{aligned} = 16 \cdot 3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Expand: } 2^4 = 16 \text{ and } 3^1 = 3.} \\ = 48. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Зауважте, що ця відповідь ідентична LCM, знайденому в прикладі 8, який був знайдений шляхом перерахування кратних і вибору найменшого кратного спільного.

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Використовуйте просту факторизацію, щоб знайти найменш спільний знаменник 18 і 24.

    Відповідь

    72

    Приклад\(\PageIndex{10}\)

    Спростити:\(\frac{5}{28} + \frac{11}{42}\).

    Рішення

    Простий множник знаменники в компактній формі з використанням експонент.

    28 = 2 · 2 · 7=2 · 7

    42 = 2 · 3 · 7=2 1 · 3 1 · 7 1

    Щоб знайти РК-дисплей, запишіть кожен фактор, який виявляється найвищою потужністю цього фактора, який з'являється. Факторами, які з'являються, є 2, 3 та 7. Найвища потужність 2, яка з'являється, - 2 2. Найвища потужність 3, яка з'являється, - 3 1. Найвища потужність 7, яка з'являється, - 7 1.

    \[ \begin{aligned} \text{LCM} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep highest power of each factor.}} \\ = 4 \cdot 3 \cdot 7 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Expand: } 2^2 = 4, ~ 3^1 = 3, ~ 7^1 = 7.} \\ = 84 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Створіть еквівалентні дроби з новим РК-дисплеєм, а потім додайте.

    \[ \begin{aligned} \frac{5}{28} + \frac{11}{42} = \frac{5 \cdot \textcolor{red}{3}}{28 \cdot \textcolor{red}{3}} + \frac{11 \cdot \textcolor{red}{2}}{42 \cdot \textcolor{red}{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 84.}} \\ = \frac{15}{84} + \frac{22}{84} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = \frac{37}{84} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep LCD; add numerators.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Спростити:\( \frac{5}{24} + \frac{5}{36}\)

    Відповідь

    25/72

    Приклад\(\PageIndex{11}\)

    Спростити:\(- \frac{11}{24} - \frac{1}{18}\).

    Рішення

    Простий множник знаменники в компактній формі з використанням експонент.

    24 = 2 · 2 · 2 · 3=2 3 · 3 1

    18 = 2 · 3 · 3=2 1 · 3 2

    Щоб знайти РК-дисплей, запишіть кожен фактор, який виявляється найвищою потужністю цього фактора, який з'являється. Фактори, які з'являються, - 2 і 3. Найвища потужність 2, яка з'являється, - 2 3. Найвища потужність 3, яка з'являється, - 3 2.

    \[ \begin{aligned} \text{LCM} = 2^3 \cdot 3^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep highest power of each factor.}} \\ = 8 \cdot 9 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Expand: } 2^3 = 8 \text{ and } 3^2 = 9.} \\ = 72. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Створіть еквівалентні дроби за допомогою нового РК-дисплея, а потім відніміть.

    \[ \begin{aligned} - \frac{11}{24} - \frac{1}{18} = - \frac{11 \cdot \textcolor{red}{3}}{24 \cdot \textcolor{red}{3}} - \frac{1 \cdot \textcolor{red}{4}}{18 \cdot \textcolor{red}{4}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 72.}} \\ = - \frac{33}{72} - \frac{4}{72} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = \frac{-33-4}{72} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Keep LCD; subtract numerators.}} \\ = \frac{-37}{72} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Звичайно, негативний розділений на позитивний дає негативну відповідь, тому ми також можемо написати свою відповідь у формі

    \[ - \frac{11}{24} - \frac{1}{18} = - \frac{37}{72}.\nonumber \]

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Спростити:\( - \frac{5}{24} - \frac{11}{36}\)

    Відповідь

    −37/72

    Порівняння дробів

    Найпростіший спосіб порівняння дробів - створення еквівалентних дробів.

    Приклад\(\PageIndex{12}\)

    Впорядкуйте дроби −1/2 та −4/5 на числовому рядку, а потім порівняйте їх за допомогою відповідного символу нерівності.

    Рішення

    Найменш спільний знаменник для 2 і 5 - це число 10. Спочатку зробіть еквівалентні дроби з РК-дисплеєм, рівним 10.

    \[ \begin{array}{c} - \frac{1}{2} = - \frac{1 \cdot \textcolor{red}{5}}{2 \cdot \textcolor{red}{5}} = - \frac{5}{10} \\ - \frac{4}{5} = - \frac{4 \cdot \textcolor{red}{2}}{5 \cdot \textcolor{red}{2}} = - \frac{8}{10} \end{array}\nonumber \]

    Для побудови десятих розділіть інтервал між −1 та 0 на десять рівних кроків.

    Знімок екрана 2019-08-30 о 9.06.17 PM.png

    Оскільки −4/5 лежить ліворуч від −1/2, ми маємо, що −4/5 менше −1/2, тому ми пишемо

    \[ - \frac{4}{5} < - \frac{1}{2}.\nonumber \]

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Порівняйте −3/8 і −1/2.

    Відповідь

    \[ - \frac{1}{2} < - \frac{3}{8}\nonumber \]

    Вправи

    У Вправи 1-10 перерахуйте кратні заданих чисел, а потім перерахуйте загальні кратні. Виберіть LCM зі списку загальних кратних.

    1. 9 і 15

    2. 15 і 20

    3. 20 і 8

    4. 15 і 6

    5. 16 і 20

    6. 6 і 10

    7. 20 і 12

    8. 12 і 8

    9. 10 і 6

    10. 10 і 12


    У вправах 11-20 для заданих чисел обчислити НКМ за допомогою простої факторизації.

    11. 54 і 12

    12. 108 і 24

    13. 18 і 24

    14. 36 і 54

    15. 72 і 108

    16. 108 і 72

    17. 36 і 24

    18. 18 і 12

    19. 12 і 18

    20. 12 і 54


    У Вправи 21-32 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.

    21. \(\frac{7}{12} − \frac{1}{12}\)

    22. \(\frac{3}{7} − \frac{5}{7}\)

    23. \(\frac{1}{9} + \frac{1}{9}\)

    24. \(\frac{1}{7} + \frac{3}{7}\)

    25. \(\frac{1}{5} − \frac{4}{5}\)

    26. \(\frac{3}{5} − \frac{2}{5}\)

    27. \(\frac{3}{7} − \frac{4}{7}\)

    28. \(\frac{6}{7} − \frac{2}{7}\)

    29. \(\frac{4}{11} + \frac{9}{11}\)

    30. \(\frac{10}{11} + \frac{4}{11}\)

    31. \(\frac{3}{11} + \frac{4}{11}\)

    32. \(\frac{3}{7} + \frac{2}{7}\)


    У Вправи 33-56 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.

    33. \(\frac{1}{6} − \frac{1}{8}\)

    34. \(\frac{7}{9} − \frac{2}{3}\)

    35. \(\frac{1}{5} + \frac{2}{3}\)

    36. \(\frac{7}{9} + \frac{2}{3}\)

    37. \(\frac{2}{3} + \frac{5}{8}\)

    38. \(\frac{3}{7} + \frac{5}{9}\)

    39. \(\frac{4}{7} − \frac{5}{9}\)

    40. \(\frac{3}{5} − \frac{7}{8}\)

    41. \(\frac{2}{3} − \frac{3}{8}\)

    42. \(\frac{2}{5} − \frac{1}{8\)

    43. \(\frac{6}{7} − \frac{1}{6}\)

    44. \(\frac{1}{2} − \frac{1}{4}\)

    45. \(\frac{1}{6} + \frac{2}{3}\)

    46. \(\frac{4}{9} + \frac{7}{8}\)

    47. \(\frac{7}{9} + \frac{1}{8}\)

    48. \(\frac{1}{6} + \frac{1}{7}\)

    49. \(\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\)

    50. \(\frac{5}{6} + \frac{1}{4}\)

    51. \(\frac{1}{2} − \frac{2}{7}\)

    52. \(\frac{1}{3} − \frac{1}{8}\)

    53. \(\frac{5}{6} − \frac{4}{5}\)

    54. \(\frac{1}{2} − \frac{1}{9}\)

    55. \(\frac{1}{3} + \frac{1}{8}\)

    56. \(\frac{1}{6} + \frac{7}{9}\)


    У вправах 57-68 додайте або відніміть дроби, як зазначено, спочатку використовуючи просте факторизацію, щоб знайти найменш спільний знаменник.

    57. \(\frac{7}{36} + \frac{11}{54}\)

    58. \(\frac{7}{54} + \frac{7}{24}\)

    59. \(\frac{7}{18} − \frac{5}{12}\)

    60. \(\frac{5}{54} − \frac{7}{12}\)

    61. \(\frac{7}{36} + \frac{7}{54}\)

    62. \(\frac{5}{72} + \frac{5}{108}\)

    63. \(\frac{7}{24} − \frac{5}{36}\)

    64. \(\frac{11}{54} + \frac{7}{72}\)

    65. \(\frac{11}{12} + \frac{5}{18}\)

    66. \(\frac{11}{24} + \frac{11}{108}\)

    67. \(\frac{11}{54} − \frac{5}{24}\)

    68. \(\frac{7}{54} − \frac{5}{24}\)


    У Вправи 69-80 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.

    69. \(\frac{−3}{7} + \left( \frac{−3}{7} \right)\)

    70. \(\frac{−5}{9} + \left( \frac{−1}{9} \right)\)

    71. \(\frac{7}{9} − \left( \frac{−1}{9} \right) \)

    72. \(\frac{8}{9} − \left( \frac{−4}{9} \right)\)

    73. \(\frac{7}{9} + \left( \frac{−2}{9} \right)\)

    74. \( \frac{2}{3} + \left( \frac{−1}{3} \right)\)

    75. \(\frac{−3}{5} − \frac{4}{5}\)

    76. \(\frac{−7}{9} − \frac{1}{9}\)

    77. \(\frac{−7}{8} + \frac{1}{8}\)

    78. \(\frac{−2}{3} + \(\frac{1}{3}\)

    79. \(\frac{−1}{3} − \left( \frac{−2}{3} \right)\)

    80. \(\frac{−7}{8} − \left( \frac{−5}{8} \right)\)


    У Вправи 81-104 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.

    81. \(\frac{−2}{7}\)+\ гідророзриву {4} {5}\)

    82. \(\frac{−1}{4} + \frac{2}{7}\)

    83. \(\frac{−1}{4} − \left( \frac{−4}{9} \right)\)

    84. \(\frac{−3}{4} −left( \frac{−1}{8} \right)\)

    85. \(\frac{−2}{7} + \frac{3}{4}\)

    86. \(\frac{−1}{3} + \frac{5}{8}\)

    87. \(\frac{−4}{9} − \frac{1}{3}\)

    88. \(\frac{−5}{6} − \frac{1}{3}\)

    89. \(\frac{−5}{7} − \left( \frac{−1}{5} \right)\)

    90. \(\frac{−6}{7} − \left( \frac{−1}{8} \right)\)

    91. \(\frac{1}{9} + \left( \frac{−1}{3} \right)\)

    92. \(\frac{1}{8} + \left( \frac{−1}{2} \right)\)

    93. \(\frac{2}{3} + \left( \frac{−1}{9} \right)\)

    94. \(\frac{3}{4} + \left( \frac{−2}{3} \right)\)

    95. \(\frac{−1}{2} + \left( \frac{−6}{7} \right)\)

    96. \(\frac{−4}{5} + \left( \frac{−1}{2} \right)\)

    97. \(\frac{−1}{2} + \left( \frac{−3}{4} \right)\)

    98. \(\frac{−3}{5} + \left( \frac{−1}{2} \right)\)

    99. \(\frac{−1}{4} − \frac{1}{2}\)

    100. \(\frac{−8}{9} − \frac{2}{3}\)

    101. \(\frac{5}{8} − \left( \frac{−3}{4} \right)\)

    102. \(\frac{3}{4} − \left( \frac{−3}{8} \right)\)

    103. \(\frac{1}{8} − \left( \frac{−1}{3} \right)\)

    104. \(\frac{1}{2} − \left( \frac{−4}{9} \right)\)


    У вправах 105-120 складіть або відніміть дроби, як зазначено, і напишіть свою відповідь найнижчими термінами.

    105. \(\frac{1}{2} + \frac{3q}{5}\)

    106. \(\frac{4}{7} − \frac{b}{3}\)

    107. \(\frac{4}{9} − \frac{3a}{4}\)

    108. \(\frac{4}{9} − \frac{b}{2}\)

    109. \(\frac{2}{s} + \frac{1}{3}\)

    110. \(\frac{2}{s} + \frac{3}{7}\)

    111. \(\frac{1}{3} − \frac{7}{b}\)

    112. \(\frac{1}{2} − \frac{9}{s}\)

    113. \(\frac{4b}{7} + \frac{2}{3}\)

    114. \(\frac{2a}{5} + \frac{5}{8}\)

    115. \(\frac{2}{3} − \frac{9}{t}\)

    116. \(\frac{4}{7} − \frac{1}{y}\)

    117. \(\frac{9}{s} + \frac{7}{8}\)

    118. \(\frac{6}{t} − \frac{1}{9}\)

    119. \(\frac{7b}{8} − \frac{5}{9}\)

    120. \(\frac{3p}{4} − \frac{1}{8}\)


    У вправах 121-132 визначте, яке з двох заданих тверджень вірно.

    121. \(\frac{−2}{3} < \frac{−8}{7}\)або\(\frac{− 2}{3} > \frac{−8}{7}\)

    122. \(\frac{−1}{7} < \frac{−8}{9}\)або\(\frac{− 1}{7} > \frac{−8}{9}\)

    123. \(\frac{6}{7} < \frac{7}{3}\)або\(\frac{6}{7} > \frac{7}{3}\)

    124. \(\frac{1}{2} < \frac{2}{7}\)або\(\frac{1}{2} > \frac{2}{7}\)

    125. \(\frac{−9}{4} < \frac{−2}{3}\)або\ frac {− 9} {4} >\ гідророзриву {−2} {3}\)

    126. \(\frac{−3}{7} < \frac{−9}{2}\)або\(\frac{− 3}{7} > \frac{−9}{2}\)

    127. \(\frac{5}{7} < \frac{5}{9}\)або\ гідророзриву {5} {7} >\ гідророзриву {5} {9}\)

    128. \(\frac{1}{2} < \frac{1}{3}\)або\(\frac{1}{2} > \frac{1}{3}\)

    129. \(\frac{−7}{2} < \frac{−1}{5}\)або\(\frac{− 7}{2} > \frac{−1}{5}\)

    130. \(\frac{−3}{4} < \frac{−5}{9}\)або\(\frac{− 3}{4} > \frac{−5}{9}\)

    131. \(\frac{5}{9} < \frac{6}{5}\)або\(\frac{5}{9} > \frac{6}{5}\)

    132. \(\frac{3}{2} < \frac{7}{9}\)або\(\frac{3}{2} > \frac{7}{9}\)


    Відповіді

    1. 45

    3. 40

    5. 80

    7. 60

    9. 30

    11. 108

    13. 72

    15. 216

    17. 72

    19. 36

    21. \(\frac{1}{2}\)

    23. \(\frac{2}{9}\)

    25. \(\frac{−3}{5}\)

    27. \(\frac{−1}{7}\)

    29. \(\frac{13}{11}\)

    31. \(\frac{7}{11}\)

    33. \(\frac{1}{24}\)

    35. \(\frac{13}{15}\)

    37. \(\frac{31}{24}\)

    39. \(\frac{1}{63}\)

    41. \(\frac{7}{24}\)

    43. \(\frac{29}{42}\)

    45. \(\frac{5}{6}\)

    47. \(\frac{65}{72}\)

    49. \(\frac{10}{21}\)

    51. \(\frac{3}{14}\)

    53. \(\frac{1}{30}\)

    55. \(\frac{11}{24}\)

    57. \(\frac{43}{108}\)

    59. \(\frac{−1}{36}\)

    61. \(\frac{35}{108}\)

    63. \(\frac{11}{72}\)

    65. \(\frac{43}{36}\)

    67. \(\frac{−1}{216}\)

    69. \(\frac{−6}{7}\)

    71. \(\frac{8}{9}\)

    73. \(\frac{5}{9}\)

    75. \(\frac{− 7}{5}\)

    77. \(\frac{− 3}{4}\)

    79. \(\frac{1}{3}\)

    81. \(\frac{18}{35}\)

    83. \(\frac{7}{36}\)

    85. \(\frac{13}{28}\)

    87. \(\frac{− 7}{9}\)

    89. \(\frac{−18}{35}\)

    91. \(\frac{− 2}{9}\)

    93. \(\frac{5}{9}\)

    95. \(\frac{−19}{14}\)

    97. \(\frac{− 5}{4}\)

    99. \(\frac{− 3}{4}\)

    101. \(\frac{11}{8}\)

    103. \(\frac{11}{24}\)

    105. \(\frac{5+6 q}{10}\)

    107. \(\frac{16 − 27 a}{36}\)

    109. \(\frac{6 + s}{3 s}\)

    111. \(\frac{b − 21}{3b}\)

    113. \(\frac{12 b + 14}{21}\)

    115. \(\frac{2 t − 27}{3t}\)

    117. \(\frac{72 + 7 s}{8 s}\)

    119. \(\frac{63 b − 40}{72}\)

    121. \(\frac{− 2}{3} > \(\frac{− 8}{7}\)

    123. \(\frac{6}{7} < \frac{7}{3}\)

    125. \(\frac{− 9}{4} < \frac{− 2}{3}\)

    127. \(\frac{5}{7} > \frac{5}{9}\)

    129. \(\frac{− 7}{2 } < \frac{− 1}{5}\)

    131. \(\frac{5}{9} < \frac{6}{5}\)