4.5: Додавання та віднімання дробів
Пол і Тоні замовляють піцу, яка була розрізана на вісім рівних скибочок. Таким чином, кожен шматочок становить 1/8 всієї піци. Пол їсть дві скибочки (затінені світло-сірим кольором на малюнку4.5.1), або 2/8 всієї піци. Тоні з'їдає три скибочки (затінені світло-червоним кольором (або більш темним відтінком сірого в чорно-білому друку4.5.1) на малюнку), або 3/8 всієї піци.
![Знімок екрана 2019-08-30 о 4.09.40 PM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/28219/Screen_Shot_2019-08-30_at_4.09.40_PM.png)
Повинно бути зрозуміло, що разом Пол і Тоні з'їдають п'ять скибочок, або 5/8 всієї піци. Це відображає той факт, що
28+38=58.
Це демонструє, як додати два дроби із загальним (однаковим) знаменником. Зберігайте спільний знаменник і додайте чисельники. Тобто,
28+38=2+38 Keep denominator; add numerators.=58 Simplify numerator.
Додавання дробів із загальними знаменниками
Нехай a/c і b/c - два дроби із загальним (однаковим) знаменником. Їх сума визначається як
ac+bc=a+bc
Тобто скласти два дроби, що мають спільні знаменники, зберегти загальний знаменник і скласти їх чисельники.
Аналогічне правило дотримується і для віднімання.
Віднімання дробів із загальними знаменниками
Нехай a/c і b/c - два дроби із загальним (однаковим) знаменником. Їх відмінність визначається як
ac−bc=a−bc.
Тобто відняти два дроби, що мають спільні знаменники, зберегти загальний знаменник і відняти їх чисельники.
Приклад4.5.1
Знайти суму 4/9 і 3/9.
Рішення
Зберігайте спільний знаменник і додайте чисельники.
49+39=4+39 Keep denominator; add numerators.=79 Simplify numerator.
Вправа4.5.1
Додати:
18+28
- Відповідь
-
3/8
Приклад4.5.2
Відніміть 5/16 з 13/16.
Рішення
Зберігайте спільний знаменник і відніміть чисельники.
1316−516=13−516 Keep denominator; subtract numerators.=816 Simplify numerator.
Звичайно, як ми дізналися в розділі 4.1, ми завжди повинні зводити остаточну відповідь до найнижчих показників. Один із способів досягти цього в цьому випадку - розділити чисельник і знаменник на 8, найбільший спільний дільник 8 і 16.
=8÷816÷8 Divide numerator and denominator by 8.=12 Simplify numerator and denominator.
Вправа4.5.2
Відніміть:
1112−712
- Відповідь
-
1/3
Приклад4.5.3
Спростити:
3x−(−7x).
Рішення
Обидва дроби мають спільний знаменник.
3x−(−7x)=3x+7x Add the opposite.=3+7x Keep denominator, add numerators.=10x Simplify.
Додавання дробів з різними знаменниками
Розглянемо суму
49+16.
Ми не можемо додати ці дроби, оскільки вони не мають спільного знаменника. Отже, що робити?
Цілі
Для того щоб скласти два дроби з різними знаменниками, нам потрібно:
- Знайти спільний знаменник для заданих дробів.
- Складіть дроби із загальним знаменником, які еквівалентні вихідним дроби.
Якщо ми виконаємо два пункти в «Цілі», ми зможемо знайти суму заданих дробів.
Отже, з чого почати? Нам потрібно знайти спільний знаменник, але не просто будь-який спільний знаменник. Погодьмося, що ми хочемо зберегти цифри якомога менше і знайти найменш спільний знаменник.
Визначення: Найменш спільний знаменник
Найменшим спільним знаменником (РК) для набору дробів є найменше число, що ділиться на кожен із знаменників заданих дробів.
Розглянемо ще раз суму, яку ми хочемо знайти:
49+16.
Знаменники - 9 і 6. Ми хочемо знайти найменш спільний знаменник, найменше число, яке ділиться як на 9, так і на 6. Ряд кандидатів спадає на думку: 36, 54 та 72 всі діляться на 9 і 6, щоб назвати декілька. Але найменше число, яке ділиться і на 9, і на 6, - це 18. Це найменш спільний знаменник для 9 і 6.
Тепер переходимо до другого пункту в «Голі». Нам потрібно зробити дроби, що мають 18 як знаменник, еквівалентні 4/9 і 1/6. У випадку з 4/9, якщо помножити і чисельник і знаменник на 2, то отримаємо
49=4⋅29⋅2 Multiply numerator and denominator by 2.=818. Simplify numerator and denominator.
У випадку 1/6, якщо помножити і чисельник і знаменник на 3, то отримаємо
16=1⋅36⋅3 Multiply numerator and denominator by 3.=318. Simplify numerator and denominator.
Як правило, ми організуємо нашу роботу наступним чином.
4+16=4⋅29⋅2+1⋅36⋅3 Equivalent fractions with LCD = 18.=818+318 Simplify numerators and denominators.=8+318 Keep common denominator; add numerators.=1118 Simplify numerator.
Підіб'ємо підсумки процедури.
Додавання або віднімання дробів з різними знаменниками
- Знайдіть РК-дисплей, найменше число ділиться на всі знаменники заданих дробів.
- Створюйте дроби, використовуючи РК-дисплей як знаменник, еквівалентний вихідним дроби.
- Додайте або відніміть отримані еквівалентні дроби. Спростити, в тому числі звести остаточну відповідь до найнижчих термінів.
Приклад4.5.4
Спростити:35−23.
Рішення
Найменше число, ділене як на 5, так і на 3, дорівнює 15.
35−23=3⋅35⋅3−2⋅53⋅5 Equivalent fractions with LCD = 15.=915−1015 Simplify numerators and denominators.=9−1015 Keep LCD; subtract numerators.=−115 Simplify numerator.
Хоча ця відповідь цілком прийнятна, негативний розділений на позитивний дає нам негативну відповідь, тому ми також могли б написати
=−115.
Вправа4.5.4
Відніміть:
34−75
- Відповідь
-
-13/20
Приклад4.5.5
Спростити:−14−56.
Рішення
Найменше число, ділене як на 4, так і на 6, дорівнює 12.
−14−56=−1⋅34⋅3−5⋅26⋅2 Equivalent fractions with LCD =12.=−312−1012 Simplify numerators and denominators.=−3−1012 Keep LCD; subtract numerators.=−1312 Simplify numerator.
Вправа4.5.5
Відніміть:−38−112
- Відповідь
-
-11/24
Приклад4.5.6
Спростити:5x+34.
Рішення
Найменше число, що ділиться як на 4, так і на x, дорівнює 4x.
5x+34=5⋅4x⋅4+3⋅x4⋅x Equivalent fractions with LCD = 4x.==204x+3x4x Simplify numerators and denominators.=20+3x4x Keep LCD; add numerators.
Вправа4.5.6
Додати:
5z+23
- Відповідь
-
15+2z3z
Приклад4.5.7
Спростити:23−x5.
Рішення
Найменше число, ділене як на 3, так і на 5, дорівнює 15.
23−x5=2⋅53⋅5−x⋅35⋅3 Equivalent fractions with LCD = 15.=1015−3x15 Simplify numerators and denominators.=10−3x15 Keep LCD; subtract numerators.
Найменш поширене кратне
Спочатку визначаємо кратне числу.
Визначення: Кратні
Кратні числу d - це 1 d, 2 d, 3 d, 4 d і т.д. тобто кратні d - числа nd, де n - натуральне число.
Наприклад, кратні 8 - це 1 · 8, 2 · 8, 3 · 8, 4 · 8 і т.д., або еквівалентно 8, 16, 24, 32 і т.д.
Визначення: Найменш поширене кратне
Найменш поширеним кратним (НКМ) множини чисел є найменшим числом, кратним кожному числу заданої множини. Порядок знаходження НКМ наступний:
- Перерахуйте всі кратні кожному числу в заданому наборі чисел.
- Перерахуйте множники, які є спільними.
- Виберіть найменший з кратних, які є спільними.
Приклад4.5.7
Знайдіть найменш поширене кратне (НКМ) 12 і 16.
Рішення
Перерахуйте кратні 12 і 16.
Кратні 12:12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,...
Кратні 16:16, 32, 48, 64, 80, 96, 112,...
Виберіть загальні кратні.
Загальні кратні: 48, 96,...
LCM є найменшим із загальних кратних.
СМ (12,16) = 48
Вправа4.5.7
Знайдіть найменш спільний знаменник 6 і 9.
- Відповідь
-
18
Важливе спостереження
Найменш спільний знаменник - найменш спільний кратний знаменникам.
Наприклад, припустимо, ваша проблема 5/12 + 5/16. РК-дисплей - це найменше число, що ділиться як на 12, так і на 16. Це число 48, що також є LCM 12 і 16. Тому процедура пошуку НКМ може бути використана і для пошуку РК-дисплея.
Найменш поширене множинне використання первинної факторизації
Ви також можете знайти LCM за допомогою простої факторизації.
LCM За основною факторизації
Щоб знайти НКМ за набором цифр, виконайте таку процедуру:
- Запишіть просту факторизацію для кожного числа в компактному вигляді, використовуючи показники.
- LCM знаходять, записуючи кожен фактор, який з'являється на кроці 1, до найвищої потужності цього фактора, який з'являється.
Приклад4.5.8
Використовуйте просте факторизацію, щоб знайти найменш спільний кратний знайти найменш спільний знаменник 18 і 24. (LCM) 12 і 16.
Рішення
Просте число 12 і 16.
12=2⋅2⋅316=2⋅2⋅2⋅2
Запишіть прості факторизації в компактній формі за допомогою експонентів.
12=22⋅3116=24
Щоб знайти LCM, запишіть кожен фактор, який виявляється найвищою силою цього фактора, який з'являється. Фактори, які з'являються, - 2 і 3. Найвища потужність 2, яка з'являється, - 2 4. Найвища потужність 3, яка з'являється, - 3 1.
LCM=24⋅31 Keep highest power of each factor.
Тепер ми розгортаємо цей останній вираз, щоб отримати наш LCM.
=16⋅3 Expand: 24=16 and 31=3.=48. Multiply.
Зауважте, що ця відповідь ідентична LCM, знайденому в прикладі 8, який був знайдений шляхом перерахування кратних і вибору найменшого кратного спільного.
Вправа4.5.8
Використовуйте просту факторизацію, щоб знайти найменш спільний знаменник 18 і 24.
- Відповідь
-
72
Приклад4.5.10
Спростити:528+1142.
Рішення
Простий множник знаменники в компактній формі з використанням експонент.
28 = 2 · 2 · 7=2 · 7
42 = 2 · 3 · 7=2 1 · 3 1 · 7 1
Щоб знайти РК-дисплей, запишіть кожен фактор, який виявляється найвищою потужністю цього фактора, який з'являється. Факторами, які з'являються, є 2, 3 та 7. Найвища потужність 2, яка з'являється, - 2 2. Найвища потужність 3, яка з'являється, - 3 1. Найвища потужність 7, яка з'являється, - 7 1.
LCM=22⋅31⋅71 Keep highest power of each factor.=4⋅3⋅7 Expand: 22=4, 31=3, 71=7.=84 Multiply.
Створіть еквівалентні дроби з новим РК-дисплеєм, а потім додайте.
528+1142=5⋅328⋅3+11⋅242⋅2 Equivalent fractions with LCD = 84.=1584+2284 Simplify numerators and denominators.=3784 Keep LCD; add numerators.
Вправа4.5.10
Спростити:524+536
- Відповідь
-
25/72
Приклад4.5.11
Спростити:−1124−118.
Рішення
Простий множник знаменники в компактній формі з використанням експонент.
24 = 2 · 2 · 2 · 3=2 3 · 3 1
18 = 2 · 3 · 3=2 1 · 3 2
Щоб знайти РК-дисплей, запишіть кожен фактор, який виявляється найвищою потужністю цього фактора, який з'являється. Фактори, які з'являються, - 2 і 3. Найвища потужність 2, яка з'являється, - 2 3. Найвища потужність 3, яка з'являється, - 3 2.
LCM=23⋅32 Keep highest power of each factor.=8⋅9 Expand: 23=8 and 32=9.=72. Multiply.
Створіть еквівалентні дроби за допомогою нового РК-дисплея, а потім відніміть.
−1124−118=−11⋅324⋅3−1⋅418⋅4 Equivalent fractions with LCD = 72.=−3372−472 Simplify numerators and denominators.=−33−472 Keep LCD; subtract numerators.=−3772 Simplify numerator.
Звичайно, негативний розділений на позитивний дає негативну відповідь, тому ми також можемо написати свою відповідь у формі
−1124−118=−3772.
Вправа4.5.11
Спростити:−524−1136
- Відповідь
-
−37/72
Порівняння дробів
Найпростіший спосіб порівняння дробів - створення еквівалентних дробів.
Приклад4.5.12
Впорядкуйте дроби −1/2 та −4/5 на числовому рядку, а потім порівняйте їх за допомогою відповідного символу нерівності.
Рішення
Найменш спільний знаменник для 2 і 5 - це число 10. Спочатку зробіть еквівалентні дроби з РК-дисплеєм, рівним 10.
−12=−1⋅52⋅5=−510−45=−4⋅25⋅2=−810
Для побудови десятих розділіть інтервал між −1 та 0 на десять рівних кроків.
Оскільки −4/5 лежить ліворуч від −1/2, ми маємо, що −4/5 менше −1/2, тому ми пишемо
−45<−12.
Вправа4.5.12
Порівняйте −3/8 і −1/2.
- Відповідь
-
−12<−38
Вправи
У Вправи 1-10 перерахуйте кратні заданих чисел, а потім перерахуйте загальні кратні. Виберіть LCM зі списку загальних кратних.
1. 9 і 15
2. 15 і 20
3. 20 і 8
4. 15 і 6
5. 16 і 20
6. 6 і 10
7. 20 і 12
8. 12 і 8
9. 10 і 6
10. 10 і 12
У вправах 11-20 для заданих чисел обчислити НКМ за допомогою простої факторизації.
11. 54 і 12
12. 108 і 24
13. 18 і 24
14. 36 і 54
15. 72 і 108
16. 108 і 72
17. 36 і 24
18. 18 і 12
19. 12 і 18
20. 12 і 54
У Вправи 21-32 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.
21. 712−112
22. 37−57
23. 19+19
24. 17+37
25. 15−45
26. 35−25
27. 37−47
28. 67−27
29. 411+911
30. 1011+411
31. 311+411
32. 37+27
У Вправи 33-56 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.
33. 16−18
34. 79−23
35. 15+23
36. 79+23
37. 23+58
38. 37+59
39. 47−59
40. 35−78
41. 23−38
42. \boldsymbol{\frac{2}{5} − \frac{1}{8}
43. 67−16
44. 12−14
45. 16+23
46. 49+78
47. 79+18
48. 16+17
49. 13+17
50. 56+14
51. 12−27
52. 13−18
53. 56−45
54. 12−19
55. 13+18
56. 16+79
У вправах 57-68 додайте або відніміть дроби, як зазначено, спочатку використовуючи просте факторизацію, щоб знайти найменш спільний знаменник.
57. 736+1154
58. 754+724
59. 718−512
60. 554−712
61. 736+754
62. 572+5108
63. 724−536
64. 1154+772
65. 1112+518
66. 1124+11108
67. 1154−524
68. 754−524
У Вправи 69-80 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.
69. −37+(−37)
70. −59+(−19)
71. 79−(−19)
72. 89−(−49)
73. 79+(−29)
74. 23+(−13)
75. −35−45
76. −79−19
77. −78+18
78. −23+\(13
79. −13−(−23)
80. −78−(−58)
У Вправи 81-104 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.
81. −27+\ гідророзриву {4} {5}\)
82. −14+27
83. −14−(−49)
84. \boldsymbol{\frac{−3}{4} −left( \frac{−1}{8} \right)}
85. −27+34
86. −13+58
87. −49−13
88. −56−13
89. −57−(−15)
90. −67−(−18)
91. 19+(−13)
92. 18+(−12)
93. 23+(−19)
94. 34+(−23)
95. −12+(−67)
96. −45+(−12)
97. −12+(−34)
98. −35+(−12)
99. −14−12
100. −89−23
101. 58−(−34)
102. 34−(−38)
103. 18−(−13)
104. 12−(−49)
У вправах 105-120 складіть або відніміть дроби, як зазначено, і напишіть свою відповідь найнижчими термінами.
105. 12+3q5
106. 47−b3
107. 49−3a4
108. 49−b2
109. 2s+13
110. 2s+37
111. 13−7b
112. 12−9s
113. 4b7+23
114. 2a5+58
115. 23−9t
116. 47−1y
117. 9s+78
118. 6t−19
119. 7b8−59
120. 3p4−18
У вправах 121-132 визначте, яке з двох заданих тверджень вірно.
121. −23<−87або−23>−87
122. −17<−89або−17>−89
123. 67<73або67>73
124. 12<27або12>27
125. −94<−23або\ frac {− 9} {4} >\ гідророзриву {−2} {3}\)
126. −37<−92або−37>−92
127. 57<59або\ гідророзриву {5} {7} >\ гідророзриву {5} {9}\)
128. 12<13або12>13
129. −72<−15або−72>−15
130. −34<−59або−34>−59
131. 59<65або59>65
132. 32<79або32>79
Відповіді
1. 45
3. 40
5. 80
7. 60
9. 30
11. 108
13. 72
15. 216
17. 72
19. 36
21. 12
23. 29
25. −35
27. −17
29. 1311
31. 711
33. 124
35. 1315
37. 3124
39. 163
41. 724
43. 2942
45. 56
47. 6572
49. 1021
51. 314
53. 130
55. 1124
57. 43108
59. −136
61. 35108
63. 1172
65. 4336
67. −1216
69. −67
71. 89
73. 59
75. −75
77. −34
79. 13
81. 1835
83. 736
85. 1328
87. −79
89. −1835
91. −29
93. 59
95. −1914
97. −54
99. −34
101. 118
103. 1124
105. 5+6q10
107. 16−27a36
109. 6+s3s
111. b−213b
113. 12b+1421
115. 2t−273t
117. 72+7s8s
119. 63b−4072
121. −23>\(−87
123. 67<73
125. −94<−23
127. 57>59
129. −72<−15
131. 59<65