Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.5: Додавання та віднімання дробів

Пол і Тоні замовляють піцу, яка була розрізана на вісім рівних скибочок. Таким чином, кожен шматочок становить 1/8 всієї піци. Пол їсть дві скибочки (затінені світло-сірим кольором на малюнку4.5.1), або 2/8 всієї піци. Тоні з'їдає три скибочки (затінені світло-червоним кольором (або більш темним відтінком сірого в чорно-білому друку4.5.1) на малюнку), або 3/8 всієї піци.

Знімок екрана 2019-08-30 о 4.09.40 PM.png
Малюнок4.5.1: Пол їсть два скибочки (2/8), а Тоні їсть три скибочки (3/8).

Повинно бути зрозуміло, що разом Пол і Тоні з'їдають п'ять скибочок, або 5/8 всієї піци. Це відображає той факт, що

28+38=58.

Це демонструє, як додати два дроби із загальним (однаковим) знаменником. Зберігайте спільний знаменник і додайте чисельники. Тобто,

28+38=2+38  Keep denominator; add numerators.=58  Simplify numerator.

Додавання дробів із загальними знаменниками

Нехай a/c і b/c - два дроби із загальним (однаковим) знаменником. Їх сума визначається як

ac+bc=a+bc

Тобто скласти два дроби, що мають спільні знаменники, зберегти загальний знаменник і скласти їх чисельники.

Аналогічне правило дотримується і для віднімання.

Віднімання дробів із загальними знаменниками

Нехай a/c і b/c - два дроби із загальним (однаковим) знаменником. Їх відмінність визначається як

acbc=abc.

Тобто відняти два дроби, що мають спільні знаменники, зберегти загальний знаменник і відняти їх чисельники.

Приклад4.5.1

Знайти суму 4/9 і 3/9.

Рішення

Зберігайте спільний знаменник і додайте чисельники.

49+39=4+39  Keep denominator; add numerators.=79  Simplify numerator.

Вправа4.5.1

Додати:

18+28

Відповідь

3/8

Приклад4.5.2

Відніміть 5/16 з 13/16.

Рішення

Зберігайте спільний знаменник і відніміть чисельники.

1316516=13516  Keep denominator; subtract numerators.=816  Simplify numerator.

Звичайно, як ми дізналися в розділі 4.1, ми завжди повинні зводити остаточну відповідь до найнижчих показників. Один із способів досягти цього в цьому випадку - розділити чисельник і знаменник на 8, найбільший спільний дільник 8 і 16.

=8÷816÷8  Divide numerator and denominator by 8.=12  Simplify numerator and denominator.

Вправа4.5.2

Відніміть:

1112712

Відповідь

1/3

Приклад4.5.3

Спростити:

3x(7x).

Рішення

Обидва дроби мають спільний знаменник.

3x(7x)=3x+7x  Add the opposite.=3+7x  Keep denominator, add numerators.=10x  Simplify.

Додавання дробів з різними знаменниками

Розглянемо суму

49+16.

Ми не можемо додати ці дроби, оскільки вони не мають спільного знаменника. Отже, що робити?

Цілі

Для того щоб скласти два дроби з різними знаменниками, нам потрібно:

  1. Знайти спільний знаменник для заданих дробів.
  2. Складіть дроби із загальним знаменником, які еквівалентні вихідним дроби.

Якщо ми виконаємо два пункти в «Цілі», ми зможемо знайти суму заданих дробів.

Отже, з чого почати? Нам потрібно знайти спільний знаменник, але не просто будь-який спільний знаменник. Погодьмося, що ми хочемо зберегти цифри якомога менше і знайти найменш спільний знаменник.

Визначення: Найменш спільний знаменник

Найменшим спільним знаменником (РК) для набору дробів є найменше число, що ділиться на кожен із знаменників заданих дробів.

Розглянемо ще раз суму, яку ми хочемо знайти:

49+16.

Знаменники - 9 і 6. Ми хочемо знайти найменш спільний знаменник, найменше число, яке ділиться як на 9, так і на 6. Ряд кандидатів спадає на думку: 36, 54 та 72 всі діляться на 9 і 6, щоб назвати декілька. Але найменше число, яке ділиться і на 9, і на 6, - це 18. Це найменш спільний знаменник для 9 і 6.

Тепер переходимо до другого пункту в «Голі». Нам потрібно зробити дроби, що мають 18 як знаменник, еквівалентні 4/9 і 1/6. У випадку з 4/9, якщо помножити і чисельник і знаменник на 2, то отримаємо

49=4292  Multiply numerator and denominator by 2.=818.  Simplify numerator and denominator.

У випадку 1/6, якщо помножити і чисельник і знаменник на 3, то отримаємо

16=1363  Multiply numerator and denominator by 3.=318.  Simplify numerator and denominator.

Як правило, ми організуємо нашу роботу наступним чином.

4+16=4292+1363  Equivalent fractions with LCD = 18.=818+318  Simplify numerators and denominators.=8+318  Keep common denominator; add numerators.=1118  Simplify numerator.

Підіб'ємо підсумки процедури.

Додавання або віднімання дробів з різними знаменниками

  1. Знайдіть РК-дисплей, найменше число ділиться на всі знаменники заданих дробів.
  2. Створюйте дроби, використовуючи РК-дисплей як знаменник, еквівалентний вихідним дроби.
  3. Додайте або відніміть отримані еквівалентні дроби. Спростити, в тому числі звести остаточну відповідь до найнижчих термінів.

Приклад4.5.4

Спростити:3523.

Рішення

Найменше число, ділене як на 5, так і на 3, дорівнює 15.

3523=33532535  Equivalent fractions with LCD = 15.=9151015  Simplify numerators and denominators.=91015  Keep LCD; subtract numerators.=115  Simplify numerator.

Хоча ця відповідь цілком прийнятна, негативний розділений на позитивний дає нам негативну відповідь, тому ми також могли б написати

=115.

Вправа4.5.4

Відніміть:

3475

Відповідь

-13/20

Приклад4.5.5

Спростити:1456.

Рішення

Найменше число, ділене як на 4, так і на 6, дорівнює 12.

1456=13435262  Equivalent fractions with LCD =12.=3121012  Simplify numerators and denominators.=31012  Keep LCD; subtract numerators.=1312  Simplify numerator.

Вправа4.5.5

Відніміть:38112

Відповідь

-11/24

Приклад4.5.6

Спростити:5x+34.

Рішення

Найменше число, що ділиться як на 4, так і на x, дорівнює 4x.

5x+34=54x4+3x4x  Equivalent fractions with LCD = 4x.==204x+3x4x  Simplify numerators and denominators.=20+3x4x  Keep LCD; add numerators.

Вправа4.5.6

Додати:

5z+23

Відповідь

15+2z3z

Приклад4.5.7

Спростити:23x5.

Рішення

Найменше число, ділене як на 3, так і на 5, дорівнює 15.

23x5=2535x353  Equivalent fractions with LCD = 15.=10153x15  Simplify numerators and denominators.=103x15  Keep LCD; subtract numerators.

Найменш поширене кратне

Спочатку визначаємо кратне числу.

Визначення: Кратні

Кратні числу d - це 1 d, 2 d, 3 d, 4 d і т.д. тобто кратні d - числа nd, де n - натуральне число.

Наприклад, кратні 8 - це 1 · 8, 2 · 8, 3 · 8, 4 · 8 і т.д., або еквівалентно 8, 16, 24, 32 і т.д.

Визначення: Найменш поширене кратне

Найменш поширеним кратним (НКМ) множини чисел є найменшим числом, кратним кожному числу заданої множини. Порядок знаходження НКМ наступний:

  1. Перерахуйте всі кратні кожному числу в заданому наборі чисел.
  2. Перерахуйте множники, які є спільними.
  3. Виберіть найменший з кратних, які є спільними.

Приклад4.5.7

Знайдіть найменш поширене кратне (НКМ) 12 і 16.

Рішення

Перерахуйте кратні 12 і 16.

Кратні 12:12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,...

Кратні 16:16, 32, 48, 64, 80, 96, 112,...

Виберіть загальні кратні.

Загальні кратні: 48, 96,...

LCM є найменшим із загальних кратних.

СМ (12,16) = 48

Вправа4.5.7

Знайдіть найменш спільний знаменник 6 і 9.

Відповідь

18

Важливе спостереження

Найменш спільний знаменник - найменш спільний кратний знаменникам.

Наприклад, припустимо, ваша проблема 5/12 + 5/16. РК-дисплей - це найменше число, що ділиться як на 12, так і на 16. Це число 48, що також є LCM 12 і 16. Тому процедура пошуку НКМ може бути використана і для пошуку РК-дисплея.

Найменш поширене множинне використання первинної факторизації

Ви також можете знайти LCM за допомогою простої факторизації.

LCM За основною факторизації

Щоб знайти НКМ за набором цифр, виконайте таку процедуру:

  1. Запишіть просту факторизацію для кожного числа в компактному вигляді, використовуючи показники.
  2. LCM знаходять, записуючи кожен фактор, який з'являється на кроці 1, до найвищої потужності цього фактора, який з'являється.

Приклад4.5.8

Використовуйте просте факторизацію, щоб знайти найменш спільний кратний знайти найменш спільний знаменник 18 і 24. (LCM) 12 і 16.

Рішення

Просте число 12 і 16.

12=22316=2222

Запишіть прості факторизації в компактній формі за допомогою експонентів.

12=223116=24

Щоб знайти LCM, запишіть кожен фактор, який виявляється найвищою силою цього фактора, який з'являється. Фактори, які з'являються, - 2 і 3. Найвища потужність 2, яка з'являється, - 2 4. Найвища потужність 3, яка з'являється, - 3 1.

LCM=2431  Keep highest power of each factor.

Тепер ми розгортаємо цей останній вираз, щоб отримати наш LCM.

=163  Expand: 24=16 and 31=3.=48.  Multiply.

Зауважте, що ця відповідь ідентична LCM, знайденому в прикладі 8, який був знайдений шляхом перерахування кратних і вибору найменшого кратного спільного.

Вправа4.5.8

Використовуйте просту факторизацію, щоб знайти найменш спільний знаменник 18 і 24.

Відповідь

72

Приклад4.5.10

Спростити:528+1142.

Рішення

Простий множник знаменники в компактній формі з використанням експонент.

28 = 2 · 2 · 7=2 · 7

42 = 2 · 3 · 7=2 1 · 3 1 · 7 1

Щоб знайти РК-дисплей, запишіть кожен фактор, який виявляється найвищою потужністю цього фактора, який з'являється. Факторами, які з'являються, є 2, 3 та 7. Найвища потужність 2, яка з'являється, - 2 2. Найвища потужність 3, яка з'являється, - 3 1. Найвища потужність 7, яка з'являється, - 7 1.

LCM=223171  Keep highest power of each factor.=437  Expand: 22=4, 31=3, 71=7.=84  Multiply.

Створіть еквівалентні дроби з новим РК-дисплеєм, а потім додайте.

528+1142=53283+112422  Equivalent fractions with LCD = 84.=1584+2284  Simplify numerators and denominators.=3784  Keep LCD; add numerators.

Вправа4.5.10

Спростити:524+536

Відповідь

25/72

Приклад4.5.11

Спростити:1124118.

Рішення

Простий множник знаменники в компактній формі з використанням експонент.

24 = 2 · 2 · 2 · 3=2 3 · 3 1

18 = 2 · 3 · 3=2 1 · 3 2

Щоб знайти РК-дисплей, запишіть кожен фактор, який виявляється найвищою потужністю цього фактора, який з'являється. Фактори, які з'являються, - 2 і 3. Найвища потужність 2, яка з'являється, - 2 3. Найвища потужність 3, яка з'являється, - 3 2.

LCM=2332  Keep highest power of each factor.=89  Expand: 23=8 and 32=9.=72.  Multiply.

Створіть еквівалентні дроби за допомогою нового РК-дисплея, а потім відніміть.

1124118=11324314184  Equivalent fractions with LCD = 72.=3372472  Simplify numerators and denominators.=33472  Keep LCD; subtract numerators.=3772  Simplify numerator.

Звичайно, негативний розділений на позитивний дає негативну відповідь, тому ми також можемо написати свою відповідь у формі

1124118=3772.

Вправа4.5.11

Спростити:5241136

Відповідь

−37/72

Порівняння дробів

Найпростіший спосіб порівняння дробів - створення еквівалентних дробів.

Приклад4.5.12

Впорядкуйте дроби −1/2 та −4/5 на числовому рядку, а потім порівняйте їх за допомогою відповідного символу нерівності.

Рішення

Найменш спільний знаменник для 2 і 5 - це число 10. Спочатку зробіть еквівалентні дроби з РК-дисплеєм, рівним 10.

12=1525=51045=4252=810

Для побудови десятих розділіть інтервал між −1 та 0 на десять рівних кроків.

Знімок екрана 2019-08-30 о 9.06.17 PM.png

Оскільки −4/5 лежить ліворуч від −1/2, ми маємо, що −4/5 менше −1/2, тому ми пишемо

45<12.

Вправа4.5.12

Порівняйте −3/8 і −1/2.

Відповідь

12<38

Вправи

У Вправи 1-10 перерахуйте кратні заданих чисел, а потім перерахуйте загальні кратні. Виберіть LCM зі списку загальних кратних.

1. 9 і 15

2. 15 і 20

3. 20 і 8

4. 15 і 6

5. 16 і 20

6. 6 і 10

7. 20 і 12

8. 12 і 8

9. 10 і 6

10. 10 і 12


У вправах 11-20 для заданих чисел обчислити НКМ за допомогою простої факторизації.

11. 54 і 12

12. 108 і 24

13. 18 і 24

14. 36 і 54

15. 72 і 108

16. 108 і 72

17. 36 і 24

18. 18 і 12

19. 12 і 18

20. 12 і 54


У Вправи 21-32 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.

21. 712112

22. 3757

23. 19+19

24. 17+37

25. 1545

26. 3525

27. 3747

28. 6727

29. 411+911

30. 1011+411

31. 311+411

32. 37+27


У Вправи 33-56 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.

33. 1618

34. 7923

35. 15+23

36. 79+23

37. 23+58

38. 37+59

39. 4759

40. 3578

41. 2338

42. \boldsymbol{\frac{2}{5} − \frac{1}{8}

43. 6716

44. 1214

45. 16+23

46. 49+78

47. 79+18

48. 16+17

49. 13+17

50. 56+14

51. 1227

52. 1318

53. 5645

54. 1219

55. 13+18

56. 16+79


У вправах 57-68 додайте або відніміть дроби, як зазначено, спочатку використовуючи просте факторизацію, щоб знайти найменш спільний знаменник.

57. 736+1154

58. 754+724

59. 718512

60. 554712

61. 736+754

62. 572+5108

63. 724536

64. 1154+772

65. 1112+518

66. 1124+11108

67. 1154524

68. 754524


У Вправи 69-80 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.

69. 37+(37)

70. 59+(19)

71. 79(19)

72. 89(49)

73. 79+(29)

74. 23+(13)

75. 3545

76. 7919

77. 78+18

78. 23+\(13

79. 13(23)

80. 78(58)


У Вправи 81-104 додайте або відніміть дроби, як зазначено, і спростіть свій результат.

81. 27+\ гідророзриву {4} {5}\)

82. 14+27

83. 14(49)

84. \boldsymbol{\frac{−3}{4} −left( \frac{−1}{8} \right)}

85. 27+34

86. 13+58

87. 4913

88. 5613

89. 57(15)

90. 67(18)

91. 19+(13)

92. 18+(12)

93. 23+(19)

94. 34+(23)

95. 12+(67)

96. 45+(12)

97. 12+(34)

98. 35+(12)

99. 1412

100. 8923

101. 58(34)

102. 34(38)

103. 18(13)

104. 12(49)


У вправах 105-120 складіть або відніміть дроби, як зазначено, і напишіть свою відповідь найнижчими термінами.

105. 12+3q5

106. 47b3

107. 493a4

108. 49b2

109. 2s+13

110. 2s+37

111. 137b

112. 129s

113. 4b7+23

114. 2a5+58

115. 239t

116. 471y

117. 9s+78

118. 6t19

119. 7b859

120. 3p418


У вправах 121-132 визначте, яке з двох заданих тверджень вірно.

121. 23<87або23>87

122. 17<89або17>89

123. 67<73або67>73

124. 12<27або12>27

125. 94<23або\ frac {− 9} {4} >\ гідророзриву {−2} {3}\)

126. 37<92або37>92

127. 57<59або\ гідророзриву {5} {7} >\ гідророзриву {5} {9}\)

128. 12<13або12>13

129. 72<15або72>15

130. 34<59або34>59

131. 59<65або59>65

132. 32<79або32>79


Відповіді

1. 45

3. 40

5. 80

7. 60

9. 30

11. 108

13. 72

15. 216

17. 72

19. 36

21. 12

23. 29

25. 35

27. 17

29. 1311

31. 711

33. 124

35. 1315

37. 3124

39. 163

41. 724

43. 2942

45. 56

47. 6572

49. 1021

51. 314

53. 130

55. 1124

57. 43108

59. 136

61. 35108

63. 1172

65. 4336

67. 1216

69. 67

71. 89

73. 59

75. 75

77. 34

79. 13

81. 1835

83. 736

85. 1328

87. 79

89. 1835

91. 29

93. 59

95. 1914

97. 54

99. 34

101. 118

103. 1124

105. 5+6q10

107. 1627a36

109. 6+s3s

111. b213b

113. 12b+1421

115. 2t273t

117. 72+7s8s

119. 63b4072

121. 23>\(87

123. 67<73

125. 94<23

127. 57>59

129. 72<15

131. 59<65