4.4: Ділення дробів
Припустимо, що у вас чотири піци і кожна з піц була нарізана на вісім рівних скибочок. Тому кожен шматочок піци являє собою 1/8 цілої піци.
![Знімок екрана 2019-08-30 в 2.22.06 PM.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/28218/Screen_Shot_2019-08-30_at_2.22.06_PM.png)
Тепер щодо питання: Скільки восьмих у чотирьох? Це заява про поділ. Щоб дізнатися, скільки восьмих є в 4, розділіть 4 на 1/8. Тобто,
Число одних-восьмих в чотирьох = 4 ÷18.
З іншого боку, щоб знайти кількість однієї вісімки в чотирьох, Рисунок4.4.1 наочно демонструє, що це еквівалентно питанню, скільки шматочків піци є в чотирьох піцах. Оскільки на піцу є 8 скибочок і чотири піци,
Кількість скибочок піци = 4 · 8.
Висновок полягає в тому, що 4 ÷ (1/8) еквівалентно 4 · 8. Тобто,
4÷1/8=4⋅8=32.
Тому робимо висновок, що в 4 є 32 восьмих.
Взаємні
Число 1 все ще є мультиплікативною ідентичністю для дробів.
Властивість мультиплікативної ідентичності
Нехай a/b буде будь-який дріб. Потім,
ab⋅1=ab and 1⋅ab=ab.
Число 1 називається мультиплікативною ідентичністю, оскільки однакове число повертається при множенні на 1.
Далі, якщо ми перевертаємо 3/4, тобто якщо перевернемо 3/4 догори дном, то отримаємо 4/3. Зверніть увагу, що відбувається, коли ми множимо 3/4 на 4/3.
Число 4/3 називається мультиплікативним оберненим або зворотним 3/4. Твір взаємних завжди дорівнює 1.
Мультиплікативна обернена властивість
Нехай a/b буде будь-який дріб. Число b/a називається мультиплікативним оберненим або зворотним a/b. Твір зворотних - 1.
ab⋅ba=1
Примітка: Щоб знайти мультиплікативне обернене (зворотне) числа, просто інвертуйте число (переверніть його догори дном).
Наприклад, число 1/8 - це мультиплікативний зворотний (зворотний) 8, оскільки
8⋅18=1.
Зверніть увагу, що 8 можна вважати 8/1. Інвертуйте це число (переверніть його догори дном), щоб знайти його мультиплікативний зворотний (зворотний) 1/8.
Приклад4.4.1
Знайти мультиплікативні інверси (взаємні): (a) 2/3, (b) −3/5 та (c) −12.
Рішення
а) Тому що
23⋅32=1,
мультиплікативний зворотний (зворотний) 2/3 дорівнює 3/2.
б) Тому що
−35⋅(−53)=1,
мультиплікативний обернений (зворотний) −3/5 дорівнює −5/3. Знову зауважте, що ми просто перевернули число −3/5, щоб отримати його зворотний −5/3.
в) Тому що
−12⋅(−112)=1,
мультиплікативний обернений (зворотний) −12 дорівнює −1/12. Знову зауважте, що ми просто перевернули число −12 (яке розуміється рівним −12/1), щоб отримати його зворотний −1/12.
Вправа4.4.1
Знайти взаємні числа: (a) −3/7 та (b) 15
- Відповідь
-
(а) −7/3, (б) 1/15
Відділ
Нагадаємо, що ми обчислили число восьмих в чотирьох, виконавши такий розрахунок:
4÷18=4·8=32.
Зверніть увагу, як ми перевернули дільник (друге число), потім змінили ділення на множення. Це мотивує наступне визначення поділу.
Визначення поділу
Якщо a/b і c/d - будь-які дроби, то
ab÷cd=ab⋅dc.
Тобто інвертуємо дільник (друге число) і міняємо ділення на множення. Примітка: Ми любимо використовувати фразу «інвертувати та помножити» як допоміжний засіб пам'яті для цього визначення.
Приклад4.4.2
Розділіть 1/2 на 3/5.
Рішення
Щоб розділити 1/2 на 3/5, інвертуємо дільник (друге число), потім множимо.
12÷35=12⋅53 Invert the divisor (second number).=56 Multiply.
Вправа4.4.2
Розділити:
23÷103
- Відповідь
-
1/5
Приклад4.4.3
Спростити такі вирази: (а) 3 ÷23 і (б)45 ÷ 5.
Рішення
У кожному випадку інвертуйте дільник (друге число), потім множте.
а) Зверніть увагу, що 3 розуміється як 3/1.
3÷23=31⋅32 Invert the divisor (second number).=92 Multiply numerators; multiply denominators.
б) Зверніть увагу, що під 5 розуміється 5/1.
45÷5=45⋅15 Invert the divisor (second number).=425 Multiply numerators; multiply denominators.
Вправа4.4.3
Розділити:
157÷5
Відповідь
-
37
Після інвертування вам може знадобитися коефіцієнт і скасувати, як ми навчилися робити в розділі 4.2.
Приклад4.4.4
Розділіть −6/35 на 33/55.
Рішення
Інвертувати, множити, коефіцієнт і скасувати загальні фактори.
−635÷3355=−635⋅5533 Invert the divisor (second number).=−6⋅5535⋅33 Multiply numerators; multiply denominators.=−(2⋅3)⋅(5⋅11)(5⋅7)⋅(3⋅11) Factor numerators and denominators.=−2⋅3⋅5⋅115⋅7⋅3⋅11 Cancel common factors.=−27 Remaining factors.
Відзначимо, що на відміну від знаків видають негативну відповідь.
Вправа4.4.4
Розділити:
615÷(−4235)
- Відповідь
-
-1/3
Звичайно, ви також можете вибрати множник чисельників і знаменників на місці, а потім скасувати загальні фактори.
Приклад4.4.5
Розділити−6/x на−12/x2.
Рішення
Інвертувати, факторні чисельники і знаменники, скасувати загальні множники, потім множити.
−6x÷(−12x2)=−6x⋅(−x212) Invert second number.=−2⋅3x⋅−x⋅x2⋅2⋅3 Factor numerators and denominators.=−2⋅3x⋅−x⋅x2⋅2⋅3 Cancel common factors.=x2 Multiply.
Зверніть увагу, що подібні знаки дають позитивну відповідь.
Вправа4.4.5
Розділити:
−12a÷(−15a3)
- Відповідь
-
−4a25
Вправи
У вправах 1-16 знайти зворотне заданого числа.
1. −16/5
2. −3/20
3. −17
4. −16
5. 15/16
6. 7/9
7. 30
8. 28
9. −46
10. −50
11. −9/19
12. −4/7
13. 3/17
14. 3/5
15. 11
16. 48
У вправах 17-32 визначте, яке властивість множення зображено заданою ідентичністю.
17. 29⋅92=1
18. 1219⋅1912=1
19. −1912⋅1=−1912
20. −198⋅1=−198
21. −6⋅(−16)=1
22. −19⋅(−119)=1
23. −1611⋅1=−1611
24. −76⋅1=−76
25. −41⋅(−14)=1
26. −910⋅(−109)=1
27. 81⋅1=81
28. 1315⋅1=1315
29. 14⋅114=1
30. 4⋅14=1
31. 138⋅1=138
32. 113⋅1=113
У вправах 33-56 розділіть дроби, і спростіть свій результат.
33. 823÷−611
34. −1021÷−65
35. 1819÷−1623
36. 1310÷1718
37. 421÷−65
38. 29÷−1219
39. −19÷83
40. 12÷−158
41. −2111÷310
42. 724÷−232
43. −127÷23
44. −916÷67
45. 219÷2423
46. 73÷−1021
47. −95÷−2419
48. 1417÷−2221
49. 1811÷149
50. 56÷2019
51. 1318÷49
52. −32÷−712
53. 112÷−2110
54. −92÷−1322
55. 310÷125
56. −227÷−1817
У вправах 57-68 розділіть дроби, і спростіть свій результат.
57. 2017÷5
58. 218÷7
59. −7÷2120
60. −3÷1217
61. 821÷2
62. −34÷(−6)
63. 8÷−1017
64. −6÷2021
65. −8÷185
66. 6÷−218
67. 34÷(−9)
68. 29÷(−8)
У вправах 69-80 розділіть дроби, і спростіть свій результат.
69. 11x212÷8x43
70. −4x23÷11x66
71. 17y9÷10y63
72. −5y12÷−3y52
73. −22x413÷12x11
74. −9y64÷24y513
75. −3x410÷−4x5
76. 18y411÷4y27
77. −15y214÷−10y513
78. 3x20÷2x35
79. −15x513÷20x219
80. 18y67÷14y49
У вправах 81-96 розділіть дроби, і спростіть свій результат.
81. 11y414x2÷−9y27x3
82. −5x212y3÷−22x21y5
83. 10x43y4÷7x524y2
84. 20x311y5÷5x56y3
85. 22y421x5÷−5y26x4
86. −7y58x6÷21y5x5
87. −22x421y3÷−17x33y4
88. −7y44x÷−15y22x4
89. −16y23x3÷2y611x5
90. −20x21y2÷−22x5y6
91. −x12y4÷−23x316y3
92. 20x217y3÷8x315y
93. y24x÷−9y58x3
94. −10y413x2÷−5y66x3
95. −18x613y4÷3xy2
96. 20x49y6÷14x217y4
Відповіді
1. −516
3. −117
5. 1615
7. 130
9. −146
11. −199
13. 173
15. 111
17. мультиплікативна обернена властивість
19. мультиплікативна властивість ідентичності
21. мультиплікативна обернена властивість
23. мультиплікативна властивість ідентичності
25. мультиплікативна обернена властивість
27. мультиплікативна властивість ідентичності
29. мультиплікативне обернене властивість
31. мультиплікативна властивість ідентичності
33. −4469
35. −207152
37. −1063
39. −124
41. −7011
43. −187
45. 23228
47. 5740
49. 8177
51. 138
53. −5521
55. 18
57. 417
59. −203
61. 421
63. −685
65. −209
67. −112
69. 1132x2
71. 1730y5
73. −121x378
75. 3x38
77. 3928y3
79. −57x352
81. −11y2x18
83. 807xy2
85. −44y235x
87. 22xy119
89. −88x23y4
91. 469x2y
93. −2x29y3
95. −6x513y2