Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.4: Ділення дробів

Припустимо, що у вас чотири піци і кожна з піц була нарізана на вісім рівних скибочок. Тому кожен шматочок піци являє собою 1/8 цілої піци.

Знімок екрана 2019-08-30 в 2.22.06 PM.png
Малюнок4.4.1: Один шматочок піци - це 1/8 однієї цілої піци.

Тепер щодо питання: Скільки восьмих у чотирьох? Це заява про поділ. Щоб дізнатися, скільки восьмих є в 4, розділіть 4 на 1/8. Тобто,

Число одних-восьмих в чотирьох = 4 ÷18.

З іншого боку, щоб знайти кількість однієї вісімки в чотирьох, Рисунок4.4.1 наочно демонструє, що це еквівалентно питанню, скільки шматочків піци є в чотирьох піцах. Оскільки на піцу є 8 скибочок і чотири піци,

Кількість скибочок піци = 4 · 8.

Висновок полягає в тому, що 4 ÷ (1/8) еквівалентно 4 · 8. Тобто,

4÷1/8=48=32.

Тому робимо висновок, що в 4 є 32 восьмих.

Взаємні

Число 1 все ще є мультиплікативною ідентичністю для дробів.

Властивість мультиплікативної ідентичності

Нехай a/b буде будь-який дріб. Потім,

ab1=ab and 1ab=ab.

Число 1 називається мультиплікативною ідентичністю, оскільки однакове число повертається при множенні на 1.

Далі, якщо ми перевертаємо 3/4, тобто якщо перевернемо 3/4 догори дном, то отримаємо 4/3. Зверніть увагу, що відбувається, коли ми множимо 3/4 на 4/3.

Число 4/3 називається мультиплікативним оберненим або зворотним 3/4. Твір взаємних завжди дорівнює 1.

Мультиплікативна обернена властивість

Нехай a/b буде будь-який дріб. Число b/a називається мультиплікативним оберненим або зворотним a/b. Твір зворотних - 1.

abba=1

Примітка: Щоб знайти мультиплікативне обернене (зворотне) числа, просто інвертуйте число (переверніть його догори дном).

Наприклад, число 1/8 - це мультиплікативний зворотний (зворотний) 8, оскільки

818=1.

Зверніть увагу, що 8 можна вважати 8/1. Інвертуйте це число (переверніть його догори дном), щоб знайти його мультиплікативний зворотний (зворотний) 1/8.

Приклад4.4.1

Знайти мультиплікативні інверси (взаємні): (a) 2/3, (b) −3/5 та (c) −12.

Рішення

а) Тому що

2332=1,

мультиплікативний зворотний (зворотний) 2/3 дорівнює 3/2.

б) Тому що

35(53)=1,

мультиплікативний обернений (зворотний) −3/5 дорівнює −5/3. Знову зауважте, що ми просто перевернули число −3/5, щоб отримати його зворотний −5/3.

в) Тому що

12(112)=1,

мультиплікативний обернений (зворотний) −12 дорівнює −1/12. Знову зауважте, що ми просто перевернули число −12 (яке розуміється рівним −12/1), щоб отримати його зворотний −1/12.

Вправа4.4.1

Знайти взаємні числа: (a) −3/7 та (b) 15

Відповідь

(а) −7/3, (б) 1/15

Відділ

Нагадаємо, що ми обчислили число восьмих в чотирьох, виконавши такий розрахунок:

4÷18=4·8=32.

Зверніть увагу, як ми перевернули дільник (друге число), потім змінили ділення на множення. Це мотивує наступне визначення поділу.

Визначення поділу

Якщо a/b і c/d - будь-які дроби, то

ab÷cd=abdc.

Тобто інвертуємо дільник (друге число) і міняємо ділення на множення. Примітка: Ми любимо використовувати фразу «інвертувати та помножити» як допоміжний засіб пам'яті для цього визначення.

Приклад4.4.2

Розділіть 1/2 на 3/5.

Рішення

Щоб розділити 1/2 на 3/5, інвертуємо дільник (друге число), потім множимо.

12÷35=1253  Invert the divisor (second number).=56  Multiply.

Вправа4.4.2

Розділити:

23÷103

Відповідь

1/5

Приклад4.4.3

Спростити такі вирази: (а) 3 ÷23 і (б)45 ÷ 5.

Рішення

У кожному випадку інвертуйте дільник (друге число), потім множте.

а) Зверніть увагу, що 3 розуміється як 3/1.

3÷23=3132  Invert the divisor (second number).=92  Multiply numerators; multiply denominators.

б) Зверніть увагу, що під 5 розуміється 5/1.

45÷5=4515  Invert the divisor (second number).=425  Multiply numerators; multiply denominators.

Вправа4.4.3

Розділити:

157÷5

Відповідь

37

Після інвертування вам може знадобитися коефіцієнт і скасувати, як ми навчилися робити в розділі 4.2.

Приклад4.4.4

Розділіть −6/35 на 33/55.

Рішення

Інвертувати, множити, коефіцієнт і скасувати загальні фактори.

635÷3355=6355533  Invert the divisor (second number).=6553533  Multiply numerators; multiply denominators.=(23)(511)(57)(311)  Factor numerators and denominators.=2351157311  Cancel common factors.=27  Remaining factors.

Відзначимо, що на відміну від знаків видають негативну відповідь.

Вправа4.4.4

Розділити:

615÷(4235)

Відповідь

-1/3

Звичайно, ви також можете вибрати множник чисельників і знаменників на місці, а потім скасувати загальні фактори.

Приклад4.4.5

Розділити6/x на12/x2.

Рішення

Інвертувати, факторні чисельники і знаменники, скасувати загальні множники, потім множити.

6x÷(12x2)=6x(x212)  Invert second number.=23xxx223  Factor numerators and denominators.=23xxx223  Cancel common factors.=x2  Multiply.

Зверніть увагу, що подібні знаки дають позитивну відповідь.

Вправа4.4.5

Розділити:

12a÷(15a3)

Відповідь

4a25

Вправи

У вправах 1-16 знайти зворотне заданого числа.

1. −16/5

2. −3/20

3. −17

4. −16

5. 15/16

6. 7/9

7. 30

8. 28

9. −46

10. −50

11. −9/19

12. −4/7

13. 3/17

14. 3/5

15. 11

16. 48


У вправах 17-32 визначте, яке властивість множення зображено заданою ідентичністю.

17. 2992=1

18. 12191912=1

19. 19121=1912

20. 1981=198

21. 6(16)=1

22. 19(119)=1

23. 16111=1611

24. 761=76

25. 41(14)=1

26. 910(109)=1

27. 811=81

28. 13151=1315

29. 14114=1

30. 414=1

31. 1381=138

32. 1131=113


У вправах 33-56 розділіть дроби, і спростіть свій результат.

33. 823÷611

34. 1021÷65

35. 1819÷1623

36. 1310÷1718

37. 421÷65

38. 29÷1219

39. 19÷83

40. 12÷158

41. 2111÷310

42. 724÷232

43. 127÷23

44. 916÷67

45. 219÷2423

46. 73÷1021

47. 95÷2419

48. 1417÷2221

49. 1811÷149

50. 56÷2019

51. 1318÷49

52. 32÷712

53. 112÷2110

54. 92÷1322

55. 310÷125

56. 227÷1817


У вправах 57-68 розділіть дроби, і спростіть свій результат.

57. 2017÷5

58. 218÷7

59. 7÷2120

60. 3÷1217

61. 821÷2

62. 34÷(6)

63. 8÷1017

64. 6÷2021

65. 8÷185

66. 6÷218

67. 34÷(9)

68. 29÷(8)


У вправах 69-80 розділіть дроби, і спростіть свій результат.

69. 11x212÷8x43

70. 4x23÷11x66

71. 17y9÷10y63

72. 5y12÷3y52

73. 22x413÷12x11

74. 9y64÷24y513

75. 3x410÷4x5

76. 18y411÷4y27

77. 15y214÷10y513

78. 3x20÷2x35

79. 15x513÷20x219

80. 18y67÷14y49


У вправах 81-96 розділіть дроби, і спростіть свій результат.

81. 11y414x2÷9y27x3

82. 5x212y3÷22x21y5

83. 10x43y4÷7x524y2

84. 20x311y5÷5x56y3

85. 22y421x5÷5y26x4

86. 7y58x6÷21y5x5

87. 22x421y3÷17x33y4

88. 7y44x÷15y22x4

89. 16y23x3÷2y611x5

90. 20x21y2÷22x5y6

91. x12y4÷23x316y3

92. 20x217y3÷8x315y

93. y24x÷9y58x3

94. 10y413x2÷5y66x3

95. 18x613y4÷3xy2

96. 20x49y6÷14x217y4


Відповіді

1. 516

3. 117

5. 1615

7. 130

9. 146

11. 199

13. 173

15. 111

17. мультиплікативна обернена властивість

19. мультиплікативна властивість ідентичності

21. мультиплікативна обернена властивість

23. мультиплікативна властивість ідентичності

25. мультиплікативна обернена властивість

27. мультиплікативна властивість ідентичності

29. мультиплікативне обернене властивість

31. мультиплікативна властивість ідентичності

33. 4469

35. 207152

37. 1063

39. 124

41. 7011

43. 187

45. 23228

47. 5740

49. 8177

51. 138

53. 5521

55. 18

57. 417

59. 203

61. 421

63. 685

65. 209

67. 112

69. 1132x2

71. 1730y5

73. 121x378

75. 3x38

77. 3928y3

79. 57x352

81. 11y2x18

83. 807xy2

85. 44y235x

87. 22xy119

89. 88x23y4

91. 469x2y

93. 2x29y3

95. 6x513y2