Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.8: Порядок операцій з дробами

Почнемо з прийняття повноважень дробів. Нагадаємо, що

am=aa...am times

Приклад 1

Спростити: (−3/4) 2.

Рішення

За визначенням,

(34)2=(34)(34)  Fact: a2=aa.=3344  Multiply numerators and denominators. Product of even number of negative factors is positive.=916  Simplify.

Вправа

Спростити:

(25)2

Відповідь

4/25

Приклад 2

Спростити: (−2/3) 3.

Рішення

За визначенням,

(23)3=(23)(23)(23)  Fact: a3=aaa.=222333  Multiply numerators and denominators. Product of odd number of negative factors is negative.=827  Simplify.

Вправа

Спростити:

(16)3

Відповідь

−1/216

Останні два приклади повторюють принцип, засвоєний раніше.

Непарні і парні

  • Твір парного ряду негативних факторів позитивний.
  • Твір непарного числа негативних чинників - негативний.

Порядок операцій

Для зручності повторюємо тут правила, що керують порядком операцій.

Правила, що керують порядком операцій

При оцінці виразів дійте в наступному порядку.

  1. Спочатку оцініть вирази, що містяться в символах групування. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
  2. Оцінити всі експоненти, які з'являються у виразі.
  3. Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
  4. Виконуйте всі додавання і віднімання в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.

Приклад 3

Спростити:12+14(13).

Рішення

Спочатку помножте, потім додайте.

12+14(13)=12+(112)  Multiply: 14(13)=112.=1626+(112)  Equivalent fractions, LCD = 12.=612+(112)  Simplify numerator and denominator.=712  Add over common denominator.

Вправа

Спростити:23+34(12)

Відповідь

−25/24

Приклад 4

Спростити:2(12)2+4(12).

Рішення

Показники спочатку, потім множать, потім складають.

2(12)2+4(12)=2(14)+4(12)  Exponent first: (12)2=14.=12+(21)  Multiply: 2(14)=12 and 4(12)=21.=12+(2212)  Equivalent fractions, LCD = 2.=12+(42)  Simplify numerator and denominator.=32  Add over common denominator.

Вправа

Спростити:3(13)22(13)

Відповідь

1

Приклад 5

За даними a = −3/4, b = 1/2, c = 1/3 та d = −1/4, оцініть вираз abcd.

Рішення

Нагадаємо, що гарною практикою є підготовка дужок перед заміною.

adbc=( )( )( )( )

Підставляємо задані значення в алгебраїчний вираз, а потім спрощуємо за допомогою порядку операцій.

abcd=(34)(12)(13)(14)  Substitute: 3/4 for a, 1/2 for b,1/3 for c,  and 1/4 for d.=38(112)  Multiply first: (34)(12)=38 and (13)(14)=112.=38+112  Subtract by adding opposite.=3383+12122  Equivalent fractions; LCD = 24.=924+224  Simplify numerators and denominators.=724  Add over common denominator.

Вправа

Враховуючи a = −1/2, b = 1/3, а c = −1/5, оцініть a + bc.

Відповідь

−17/30

Приклад 6

З огляду на a = −1/4 і b = 1/2, обчислити (a 2 b 2) ÷ (a+ b).

Рішення

Нагадаємо, що гарною практикою є підготовка дужок перед заміною.

(a2b2)÷(a+b)(( )2( )2)÷(( )+( ))

Підставляємо задані значення в алгебраїчний вираз, потім спочатку оцінюємо показники.

(a2b2)÷(a+b)=((14)2(12)2)÷((14)+(12)) =(11614)÷(14+12)

Ми повинні спочатку оцінити дужки. Усередині кожного набору дужок створіть еквівалентні дроби і виконайте віднімання і додавання далі.

=(1161444)÷(14+1222)=(116416)÷(14+24)=316÷14

Інвертувати і перемножити.

=31641=1216

Зменшити.

=12÷416÷434

Примітка: На останньому кроці ви також можете зменшити за допомогою простого факторингу чисельника та знаменника та скасування загальних факторів.

Вправа

Дайте a = −1/2 і b = −1/3, оцініть ab ÷ (a + b).

Відповідь

−1/5

Складні дроби

Складні дроби

Коли чисельник і знаменник дробу містять самі дроби, такий вираз називається складним дробом.

Ви можете використовувати стандартний порядок операцій для спрощення складного дробу. Згадайте пораду, коли присутній дріб.

Дробові вирази

Якщо присутній дробовий вираз, спростіть чисельник і знаменник окремо, потім діліть.

Приклад 7

Спростити:

12+133432

Рішення

У нас є додавання в чисельнику, віднімання в знаменнику. У кожному конкретному випадку потрібні еквівалентні дроби із загальним знаменником.

12+133432=1323+1232  Create equivalent fractions.=36+263464  Simplify numerator and denominator.=1634   Numerator: 36+26=16. Denominator: 3464=34.

Останній вислів просить нас розділити. Інвертувати і перемножити.

=16÷(34)  A complex fraction means divide.=16(43)  Invert and multiply.

Подібні знаки (два негативу) дають позитивний продукт. Множимо чисельники і знаменники, потім зменшуємо.

=418  Like signs yields positive answer. Multiply numerators and denominators.=4÷218÷2  Divide both numerator and denominator by 2.=29  Simplify.

Крім того, можна просте множник і скасувати, щоб зменшити до найнижчих термінів; тобто

418=22233  Prime factor.=22233  Cancel common factors.=29  Simplify.

Вправа

Спростити:

141314+13

Відповідь

−1/7

Очищення дробів

Доступна альтернативна методика спрощення складних дробів.

Очищення дробів від складних дробів

Очистити дроби зі складного дробу можна за допомогою наступного алгоритму:

  1. Визначте LCD1 для чисельника.
  2. Визначте LCD2 для знаменника.
  3. Визначте РК-дисплей як для LCD1, так і для LCD2.
  4. Помножте чисельник і знаменник на цей «комбінований» РК-дисплей.

Давайте застосуємо цю техніку до складного дробу Прикладу 7.

Приклад 8

Спростити:

12+133432

Рішення

Як ми бачили в рішенні в прикладі 7, спільні знаменники 6 і 4 використовувалися для чисельника і знаменника відповідно. Таким чином, спільним знаменником як для чисельника, так і для знаменника буде 12. Почнемо техніку альтернативного розв'язку з множення чисельника і знаменника на 12.

12+133432=12(12+13)12(3432)  Multiply numerator and denominator by 12.=12(12)+12(13)12(34)12(32)  Distribute the 12.=6+4918  Multiply: 12(1/2)=6, 12(1/2)=4.12(3/4)=9, and 12(3/2)=18.=29  Simplify.=29  Like signs yield positive.

Вправа

Спростити:23+154512

Відповідь

−14/9

Застосування — Трапеція

Трапеція - це особливий тип чотирикутника (чотиригранний багатокутник).

Трапеція

Чотирикутник з однією парою паралельних протилежних сторін називається трапецією.

Знімок екрана 2019-09-04 в 4.20.28 PM.png

Пару паралельних сторін називають підставами трапеції. Їх довжини відзначаються змінними b 1 і b 2 на малюнку вище. Відстань між паралельними підставами називається висотою або висотою трапеції. Висота відзначається змінною h на малюнку вище.

Математики використовують індекси для створення нових змінних. Таким чином, b 1b sub 1») і b 2b sub 2») є двома різними змінними, що використовуються в даному випадку для представлення довжини підстав трапеції.

Малюючи по діагоналі, ми можемо розділити трапецію на два трикутника (див. Рис.

Знімок екрана 2019-09-04 в 4.20.54 PM.png
Малюнок 4.14: Розділення трапеції на два трикутника.

Ми можемо знайти площу трапеції, підсумовуючи площі двох трикутників.

  • Затінений трикутник на малюнку 4.14 має підставу b 1 і висоту h. Значить, площа затіненого трикутника дорівнює (1/2) b 1 h.
  • Незатінений трикутник на малюнку 4.14 має підставу b 2 і висоту h. Значить, площа незаштрихованого трикутника дорівнює (1/2) b 2 h.

Підсумовуючи площі, площа трапеції дорівнює

Area of Trapezoid=12b1h+12b2h.

Ми можемо використовувати розподільну властивість для коефіцієнта a (1/2) h.

Площа трапеції

Трапеція з підставами b 1 і b 2 і висотою h має площу.

A=12h(b1+b2).

Тобто, щоб знайти площу, підсумувати підстави, помножити на висоту, і взяти половину результату.

Приклад 9

Знайдіть площу трапеції на фото нижче.

Знімок екрана 2019-09-04 в 4.25.28 PM.png

Рішення

Формула для площі трапеції така

A=12h(b1+b2)

Підставивши задані підстави і висоту, отримуємо

A=12(3)(414+212).

Спочатку спростіть вираз всередині дужок. Змішайте змішані дроби на неправильні дроби, зробіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім додайте.

A=12(3)(174+52)=12(3)(174+5222)=12(3)(174+104)=12(31)(274)

Множимо чисельники і знаменники.

=818

Ця неправильна дріб - цілком хороша відповідь, але давайте змінимо цей результат на змішаний дріб (81 поділений на 8 дорівнює 10 із залишком 1). Таким чином, площа трапеції дорівнює

A=1018 square inches.

Вправа

Трапеція має підстави розміром 6 і 15 футів відповідно. Висота трапеції - 5 футів. Знайдіть площу трапеції.

Відповідь

5212 square feet

Вправи

У вправах 1-8 спростіть вираз.

1. (73)3

2. (12)3

3. (53)4

4. (35)4

5. (12)5

6. (34)5

7. (43)2

8. (85)2


9. Якщо a = 7/6, оцініть 3.

10. Якщо e = 1/6, оцініть е 3.

11. Якщо e = −2/3, оцініть − e 2.

12. Якщо c = −1/5, оцініть − c 2.

13. Якщо b = −5/9, оцініть b 2.

14. Якщо c = 5/7, оцініть c 2.

15. Якщо b = −1/2, оцініть − b 3.

16. Якщо a = −2/9, оцініть − a 3.


У вправах 17-36 спростіть вираз.

17. (12)(16)(78)(79)

18. (34)(12)(35)(14)

19. (98)2(32)(73)

20. (32)2(78)(12)

21. (12)(74)(12)2

22. (15)(94)(74)2

23. 761779

24. 498589

25. 34+97(76)

26. 32+14(98)

27. (13)2+(78)(13)

28. (29)2+(23)(12)

29. 59+5979

30. 12+9813

31. (56)(38)+(79)(34)

32. (74)(65)+(25)(83)

33. 4329(34)

34. 1315(43)

35. (59)(12)+(16)2

36. (14)(16)+(56)2


37. Враховуючи a = −5/4, b = 1/2, а c = 3/8, оцініть a + bc.

38. Враховуючи a = −3/5, b = 1/5, а c = 1/3, оцініть a + bc.

39. Задано x = −1/8, y = 5/2, а z = −1/2, обчислити вираз x + yz.

40. Задано x = −5/9, y = 1/4, а z = −2/3, обчислити вираз x + yz.

41. Задано a = 3/4, b = 5/7 і c = 1/2, оцініть вираз abc.

42. Задано a = 5/9, b = 2/3, а c = 2/9, оцініть вираз abc.

43. За даними x = −3/2, y = 1/4, а z = −5/7, оцініть x 2yz.

44. За даними x = −3/2, y = −1/2, а z = 5/3, оцініть x 2yz.

45. Враховуючи a = 6/7, b = 2/3, c = −8/9, а d = −6/7, оцініть ab + cd.

46. Враховуючи a = 4/9, b = −3/2, c = 7/3, а d = −8/9, оцініть ab + cd.

47. Враховуючи w = −1/8, x = −2/7, y = −1/2 та z = 8/7, оцініть wxyz.

48. Враховуючи w = 2/7, x = −9/4, y = −3/4, а z = −9/2, оцініть wxyz.

49. Враховуючи x = 3/8, y = 3/5, а z = −3/2, оцініть xy+ z 2.

50. Враховуючи x = −1/2, y = 7/5, а z = −3/2, оцініть xy+ z 2.

51. Враховуючи u = 9/7, v = 2/3, а w = −3/7, оцініть uvw 2.

52. Враховуючи u = 8/7, v = −4/3, а w = 2/3, оцініть uvw 2.

53. Враховуючи a = 7/8, b = −1/4, а c = −3/2, оцініть a 2 + bc.

54. Враховуючи a = −5/8, b = 3/2, а c = −3/2, оцініть a 2 + bc.

55. Задано u = 1/3, v = 5/2, а w = −2/9, обчислити вираз uvw.

56. Задано u = −1/2, v = 1/4, а w = −1/4, обчислити вираз uvw.


У вправах 57-68 спростити складне раціональне вираження.

57. 83+769214

58. 78+198916

59. 34+4319+53

60. 986574+12

61. 75+5214+12

62. 56+2335+23

63. 32237423

64. 89+342316

65. 124757+16

66. 32583412

67. 37131367

68. 58655438


69. Трапеція має338 підстави вимірювальні і512 ніжки відповідно. Висота трапеції - 7 футів. Знайдіть площу трапеції.

70. Трапеція має212 підстави вимірювальні і678 ніжки відповідно. Висота трапеції - 3 фути. Знайдіть площу трапеції.

71. Трапеція має214 підстави вимірювальні і738 ніжки відповідно. Висота трапеції - 7 футів. Знайдіть площу трапеції.

72. Трапеція має318 підстави вимірювальні і612 ніжки відповідно. Висота трапеції - 3 фути. Знайдіть площу трапеції.

73. Трапеція має234 підстави вимірювальні і658 ніжки відповідно. Висота трапеції - 3 фути. Знайдіть площу трапеції.

74. Трапеція має214 підстави вимірювальні і718 ніжки відповідно. Висота трапеції - 5 футів. Знайдіть площу трапеції.


Відповіді

1. 34327

3. 62581

5. 132

7. 169

9. 343216

11. 49

13. 2581

15. 18

17. 4372

19. 30564

21. 58

23. 2318

25. 34

27. 1372

29. 8081

31. 1348

33. 32

35. 14

37. 1716

39. 118

41. 1128

43. 177

45. 43

47. 1728

49. 9940

51. 3349

53. 7364

55. 89

57. 4657

59. 7564

61. 785

63. 2629

65. 4523

67. 1611

69. 31116

71. 331116

73. 14116