4.7: Додавання та віднімання змішаних дробів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57359

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі ми дізнаємося, як додавати і віднімати змішані дроби.

Додавання змішаних дробів

Ми можемо використовувати інструменти, які ми вже розробили, щоб додати два або більше змішаних дробів.

Приклад 1

Спростити:\(2 \frac{7}{8} + 1 \frac{3}{4}\).

Рішення

Змішайте змішані дроби на неправильні дроби, зробіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім додайте.

\[ \begin{aligned} 2 \frac{7}{8} + 1 \frac{3}{4} = \frac{23}{8} + \frac{7}{4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change to equivalent fractions.}} \\ = \frac{23}{8} + \frac{7 \cdot \textcolor{red}{2}}{4 \cdot \textcolor{red}{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 8.}} \\ = \frac{23}{8} + \frac{14}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = \frac{37}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add numerators over common denominator.}} \end{aligned}\nonumber \]

Хоча ця відповідь цілком прийнятна, давайте змінимо відповідь на змішаний дріб: 37 поділений на 8 дорівнює 4, з залишком 5. Таким чином,

\[ 2 \frac{7}{8} + 1 \frac{3}{4} = 4 \frac{5}{8}.\nonumber \]

Вправа

Спростити:\(3 \frac{2}{3} + 4 \frac{1}{8}\)

Відповідь: \(7 \frac{19}{24}\)

Приклад 2

Спростити:\(3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3}\).

Рішення

\[ \begin{aligned} 3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} = \frac{13}{4} + \frac{7}{3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change to improper fractions.}} \\ = \frac{13 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} + \frac{7 \cdot \textcolor{red}{4}}{3 \cdot \textcolor{red}{4}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 12.}} \\ = \frac{39}{12} + \frac{28}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = \frac{67}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add numerators and denominators.}} \end{aligned}\nonumber \]

Хоча ця відповідь цілком прийнятна, давайте змінимо відповідь на змішаний дріб: 67 ділиться на 12 дорівнює 5, при залишку 7. Таким чином,

\[ 3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} = 5 \frac{7}{12}.\nonumber \]

Вправа

Спростити:\(8 \frac{1}{2} + 2 \frac{2}{3}\)

Відповідь: \(11 \frac{1}{6}\)

Підхід змішаних фракцій

Існує ще один можливий підхід, заснований на тому, що змішаний дріб - це сума. Давайте переглянемо приклад 2.

Приклад 3

Спростити:\(3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3}\).

Рішення

Використовуйте комутативні та асоціативні властивості, щоб змінити порядок додавання, зробити еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім додати.

\[ \begin{aligned} 3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} = \left( 3 + \frac{1}{4} \right) + \left( 2 + \frac{1}{3} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Mixed fractions as sums.}} \\ = (3+2) + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reorder and regroup.}} \\ = 5 + \left( \frac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} + \frac{1 \cdot \textcolor{red}{4}}{3 \cdot \textcolor{red}{4}} \right) ~ & \textcolor{red}{ \begin{aligned} \text{ Add whole numbers: 3 + 2 = 5.} \\ \text{ Equivalent fractions; LCD = 12.} \end{aligned}} \\ = 5 + \left( \frac{3}{12} + \frac{4}{12} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = 5 + \frac{7}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add numerators over common denominators.}} \end{aligned}\nonumber \]

Цей результат можна записати у вигляді змішаного дробу. Таким чином,

\[3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} = 5 \frac{7}{12}.\nonumber \]

Зауважте, що це рішення ідентичне результату, знайденому в прикладі 2.

Вправа

Спростити:\(7 \frac{2}{5} + 3 \frac{1}{8}\)

Відповідь: \(10 \frac{21}{40}\)

Приклад 3 призводить нас до наступного результату.

Додавання змішаних дробів

Щоб скласти два змішаних дробу, додайте ціле число частин, потім складіть дробові частини.

Робота у вертикальному форматі

При додаванні змішаних дробів багато хто воліє працювати у вертикальному форматі. Наприклад, ось як ми організуємо рішення з Прикладу 2 та Прикладу 3 у вертикальному форматі. Створюємо еквівалентні дроби, потім складаємо ціле число частин і дробових частин.

\[ \begin{array}{c c c c c} 3 \frac{1}{4} & = & 3 \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} & = & 3 \frac{3}{12} \\ +2 \frac{1}{3} & = & +2 \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} & = & +2 \frac{4}{12} \\ \hline & & \hline & & \hline \\ ~ & ~ & ~ & ~ & 5 \frac{7}{12} \end{array}\nonumber \]

Зауважте, що відповідь ідентична відповіді, знайденій у прикладі 2 та прикладі 3. Тобто,

\[3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} = 5 \frac{7}{12}.\nonumber \]

Приклад 4

Сара робить віконні штори для двох кімнат у своєму будинку. Кухня зажадає\(5 \frac{2}{3}\) двори матеріалу, а їдальня зажадає\(6 \frac{5}{8}\) двори матеріалу. Скільки всього матеріалу потрібно?

Рішення

Щоб знайти загальний матеріал, необхідний для двох кімнат, ми повинні додати\(5 \frac{2}{3}\) і\(6 \frac{5}{8}\). Створіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім додайте цілі числові частини та дробові частини.

\[ \begin{array}{c c c c c} 5 \frac{2}{3} & = & 5 \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} & = & 5 \frac{16}{24} \\ +6 \frac{5}{8} & = & +6 \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} & = & +6 \frac{15}{24} \\ \hline & & & & 11 \frac{31}{24} \end{array}\nonumber \]

Відповідь, яка є частиною змішаної фракції, частиною неправильної фракції, не допускається. Щоб закінчити, нам потрібно змінити неправильну дробову частину на змішану, потім додати. 31 ділиться на 24 дорівнює 1, з залишком 7. Тобто 31/24 = 1 7 24. Тепер ми можемо додати ціле число частин і дробових частин.

\[ \begin{aligned} 11 \frac{31}{24} = 11 + 1 \frac{7}{24} \\ = 12 \frac{7}{24}. \end{aligned}\nonumber \]

Таким чином, загальний необхідний матеріал -\(12 \frac{7}{24}\) ярди.

Вправа

Джим працює над проектом, який вимагає двох дощок, перша розрізається на довжину\(6 \frac{1}{2}\) ніг, друга розрізається на довжину\(5 \frac{7}{8}\) ніг. Скільки всього футів дошки потрібно?

Відповідь: \(12 \frac{3}{8}\)ноги.

Віднімання змішаних дробів

Давайте розглянемо кілька прикладів, які віднімають два змішаних дробу.

Приклад 5

Спростити:\(4 \frac{5}{8} - 2 \frac{1}{16}\).

Рішення

Змішайте змішані дроби на неправильні дроби, зробіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім відніміть.

\[ \begin{aligned} 4 \frac{5}{8} - 2 \frac{1}{16} = \frac{37}{8} - \frac{33}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change to improper fractions.}} \\ = \frac{37 \cdot \textcolor{red}{2}}{8 \cdot \textcolor{red}{2}} - \frac{33}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 16.}} \\ = \frac{74}{16} - \frac{33}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator and denominators.}} \\ = \frac{41}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add numerators over common denominator.}} \end{aligned}\nonumber \]

Хоча ця відповідь цілком прийнятна, давайте змінимо відповідь на змішаний дріб: 41 поділений на 16 дорівнює 2, з залишком 9. Таким чином,

\[4 \frac{5}{8} - 2 \frac{1}{16} = 2 \frac{9}{16}.\nonumber \]

Вправа

Спростити:\(5 \frac{2}{3} - 3 \frac{1}{5}\)

Відповідь: \(2 \frac{7}{15}\)

Приклад 6

Спростити:\(5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3}\).

Рішення

\[ \begin{aligned} 5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3} = \frac{23}{4} - \frac{7}{3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change to improper fractions.}} \\ = \frac{23 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} - \frac{7 \cdot \textcolor{red}{4}}{3 \cdot \textcolor{red}{4}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 12.}} \\ = \frac{69}{12} - \frac{28}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = \frac{41}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add numerators over common denominator.}} \end{aligned}\nonumber \]

Хоча ця відповідь цілком прийнятна, давайте змінимо відповідь на змішаний дріб: 41 поділений на 12 дорівнює 3, з залишком 5. Таким чином,

\[5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3} = 3 \frac{5}{12}.\nonumber \]

Вправа

Спростити:\(4 \frac{7}{9} - 2 \frac{3}{18}\)

Відповідь: \(2 \frac{11}{18}\)

Підхід змішаних фракцій

Існує ще один можливий підхід, заснований на тому, що змішаний дріб - це сума. Давайте повернемося до Прикладу 6.

Приклад 7

Спростити:\(5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3}\).

Рішення

Змішаний дріб - це сума.

\[ 5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3} = \left( 5 + \frac{3}{4} \right) - \left( 2 + \frac{1}{3} \right)\nonumber \]

Розподіліть негативний знак.

\[ = 5 + \frac{3}{4} - 2 - \frac{1}{3}\nonumber \]

Ми могли б змінити віднімання на додавання протилежного, змінити порядок додавання, а потім змінити додавання протилежностей назад до віднімання. Однак набагато простіше, якщо ми розглянемо цей останній рядок як запит на додавання чотирьох чисел, два з яких позитивні, а два з яких негативні. Зміна замовлення не впливає на відповідь.

\[=(5-2) + \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \right)\nonumber \]

Зверніть увагу, що ми не змінювали знаки жодного з чотирьох чисел. Ми просто змінили порядок. Відніміть ціле число частин. Складіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім відніміть дробові частини.

\[ \begin{aligned} = 3 + \left( \frac{3 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} - \frac{1 \cdot \textcolor{red}{4}}{3 \cdot \textcolor{red}{4}} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Create equivalent fractions.}} \\ = 3 + \left( \frac{9}{12} - \frac{4}{12} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = 3 + \frac{5}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract fractional parts.}} \end{aligned}\nonumber \]

Таким чином,

\[5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3} = 3 \frac{5}{12}.\nonumber \]

Зауважте, що це точно така ж відповідь, як і у прикладі 6.

Вправа

Спростити:\(8 \frac{5}{6} - 4 \frac{3}{8}\)

Відповідь: \(4 \frac{11}{24}\)

У прикладі 6 ми бачимо, що ми обробляємо віднімання змішаних дробів точно так само, як ми обробляємо додавання змішаних дробів.

Віднімання змішаних дробів

Щоб відняти два змішаних дробу, відніміть їх ціле число частин, потім відніміть їх дробові частини.

Робота у вертикальному форматі

При відніманні змішаних дробів багато хто вважає за краще працювати у вертикальному форматі. Наприклад, ось як ми організуємо рішення з Прикладу 6 і Приклад 7 у вертикальному форматі. Створюємо еквівалентні дроби, потім віднімаємо ціле число частин і дробові частини.

\[ \begin{array}{r r r r r} 5 \frac{3}{4} & = & 5 \frac{3 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} & = & 5 \frac{9}{12} \\ -2 \frac{1}{3} & = & -3 \frac{1 \cdot \textcolor{red}{4}}{3 \cdot \textcolor{red}{4}} & = & -2 \frac{4}{12} \\ \hline & & & & 3 \frac{5}{12} \end{array}\nonumber \]

Зауважте, що відповідь ідентична відповіді, знайденій у прикладі 6 та прикладі 7. Тобто,

\[5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{3} = 3 \frac{5}{12}.\nonumber \]

Запозичення у вертикальному форматі

Розглянемо наступний приклад.

Приклад 8

Спростити:\(8 \frac{1}{4} - 5 \frac{5}{6}\).

Рішення

Створюйте еквівалентні дроби із загальним знаменником.

\[ \begin{array}{r r r r r} 8 \frac{1}{4} & = & 8 \frac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} & = & 8 \frac{3}{12} \\ -5 \frac{5}{6} & = & -5 \frac{5 \cdot \textcolor{red}{2}}{6 \cdot \textcolor{red}{2}} & = & -5 \frac{10}{12} \\ \hline \end{array}\nonumber \]

Ви можете побачити складність. У крайньому правому куті ми не можемо відняти 10/12 з 3/12. Фікс полягає в тому, щоб запозичити 1 з 8 у вигляді 12/12 і додати його до 3/12.

\[ \begin{array}{r r r r r} 8 \frac{3}{12} & = & 7 + \frac{12}{12} + \frac{3}{12} & = & 7 \frac{15}{12} \\ -5 \frac{10}{12} & = & -5 \frac{10}{12} & = & -5 \frac{10}{12} \\ \hline & & & & 2 \frac{5}{12} \end{array}\nonumber \]

Тепер ми можемо відняти. Отже,\(8 \frac{1}{4} − 5 \frac{5}{6} = 2 \frac{5}{12}\).

Вправа

Спростити:\(7 \frac{1}{14} - 2 \frac{5}{21}\)

Відповідь: \(4 \frac{5}{6}\).

Приклад 9

У Джима є металевий стрижень довжиною 10 дюймів. Він відрізає довжину від металевого стрижня розміром в\(2 \frac{7}{8}\) дюйми. Яка довжина залишився шматка?

Рішення

Щоб знайти довжину залишився шматка, треба відняти\(2 \frac{7}{8}\) від 10. На першому числі немає дробової частини. Щоб виправити цю відсутність, запозичуємо 1 з 10 у вигляді 8/8. Тоді ми можемо відняти.

\[ \begin{array}{r r r r r} 10 & = & 9 + \frac{8}{8} & = & 9 \frac{8}{8} \\ -2 \frac{7}{8} & = & -2 \frac{7}{8} & = & -2 \frac{7}{8} \\ \hline & & & & 7 \frac{1}{8} \end{array}\nonumber \]

Значить, довжина залишився шматка металевого стрижня дорівнює\(7 \frac{1}{8}\) дюймам.

Вправа

Сара має довжину матеріалу для штор, яка вимірює 12 футів. Вона відрізає довжину\(6 \frac{2}{3}\) ніг зі свого матеріалу для штор. Яка довжина залишився шматка?

Відповідь: \(5 \frac{1}{3}\)ноги

Вправи

У вправах 1-24 додайте або відніміть змішані дроби, як зазначено, спочатку перетворюючи кожен змішаний дріб у неправильний дріб. Висловіть свою відповідь як змішаний дріб.

1. \(9 \frac{1}{4} + 9 \frac{1}{2}\)

2. \(2 \frac{1}{3} + 9 \frac{1}{2}\)

3. \(6 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)

4. \(5 \frac{1}{3} − 1 \frac{3}{4}\)

5. \(9 \frac{1}{2} + 7 \frac{1}{4}\)

6. \(1 \frac{1}{3} + 9 \frac{3}{4}\)

7. \(5 \frac{2}{3} + 4 \frac{1}{2}\)

8. \(1 \frac{9}{16} + 2 \frac{3}{4}\)

9. \(3 \frac{1}{3} − 1 \frac{1}{4}\)

10. \(2 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{4}\)

11. \(8 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)

12. \(5 \frac{1}{2} − 1 \frac{2}{3}\)

13. \(4 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{8}\)

14. \(2 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)

15. \(4 \frac{7}{8} + 1 \frac{3}{4}\)

16. \(1 \frac{1}{8} + 5 \frac{1}{2}\)

17. \(2 \frac{1}{3} − 1 \frac{1}{4}\)

18. \(5 \frac{1}{3} − 1 \frac{1}{4}\)

19. \(9 \frac{1}{2} − 1 \frac{3}{4}\)

20. \(5 \frac{1}{2} − 1 \frac{3}{16}\)

21. \(4 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{4}\)

22. \(1 \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{3}\)

23. \(9 \frac{1}{2} + 3 \frac{1}{8}\)

24. \(1 \frac{1}{4} + 1 \frac{2}{3}\)

У Вправах 25-48 додайте або відніміть змішані дроби, як зазначено, за допомогою вертикального формату. Висловіть свою відповідь як змішаний дріб.

25. \(3 \frac{1}{2} + 3 \frac{3}{4}\)

26. \(1 \frac{1}{2} + 2 \frac{2}{3}\)

27. \(1 \frac{3}{8} + 1 \frac{1}{4}\)

28. \(2 \frac{1}{4} + 1 \frac{2}{3}\)

29. \(1 \frac{7}{8} + 1 \frac{1}{2}\)

30. \(1 \frac{3}{4} + 4 \frac{1}{2}\)

31. \(8 \frac{1}{2} − 5 \frac{2}{3}\)

32. \(8 \frac{1}{2} − 1 \frac{2}{3}\)

33. \(7 \frac{1}{2} − 1 \frac{3}{16}\)

34. \(5 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)

35. \(9 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)

36. \(2 \frac{1}{2} − 1 \frac{3}{16}\)

37. \(5 \frac{1}{3} − 2 \frac{1}{2}\)

38. \(4 \frac{1}{4} − 1 \frac{1}{2}\)

39. \(9 \frac{1}{2} − 2 \frac{2}{3}\)

40. \(7 \frac{1}{2} − 4 \frac{2}{3}\)

41. \(1 \frac{1}{16} + 1 \frac{3}{4}\)

42. \(1 \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{3}\)

43. \(8 \frac{1}{2} + 3 \frac{2}{3}\)

44. \(1 \frac{2}{3} + 2 \frac{1}{2}\)

45. \(6 \frac{1}{2} − 1 \frac{3}{16}\)

46. \(4 \frac{1}{2} − 1 \frac{1}{3}\)

47. \(2 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{4}\)

48. \(1 \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{16}\)

Відповіді

1. \(18 \frac{3}{4}\)

3. \(5 \frac{1}{6}\)

5. \(16 \frac{3}{4}\)

7. \(10 \frac{1}{6}\)

9. \(2 \frac{1}{12}\)

11. \(7 \frac{1}{6}\)

13. \(3 \frac{3}{8}\)

15. \(6 \frac{5}{8}\)

17. \(1 \frac{1}{12}\)

19. \(7 \frac{3}{4}\)

21. \(5 \frac{11}{12}\)

23. \(12 \frac{5}{8}\)

25. \(7 \frac{1}{4}\)

27. \(2 \frac{5}{8}\)

29. \(3 \frac{3}{8 }\)

31. \(2 \frac{5}{6}\)

33. \(6 \frac{5}{16}\)

35. \(8 \frac{1}{6}\)

37. \(2 \frac{5}{6}\)

39. \(6 \frac{5}{6}\)

41. \(2 \frac{13}{16}\)

43. \(12 \frac{1}{6}\)

45. \(5 \frac{5}{16}\)

47. \(3 \frac{11}{12}\)