4.7: Додавання та віднімання змішаних дробів
У цьому розділі ми дізнаємося, як додавати і віднімати змішані дроби.
Додавання змішаних дробів
Ми можемо використовувати інструменти, які ми вже розробили, щоб додати два або більше змішаних дробів.
Приклад 1
Спростити:278+134.
Рішення
Змішайте змішані дроби на неправильні дроби, зробіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім додайте.
278+134=238+74 Change to equivalent fractions.=238+7⋅24⋅2 Equivalent fractions with LCD = 8.=238+148 Simplify numerators and denominators.=378 Add numerators over common denominator.
Хоча ця відповідь цілком прийнятна, давайте змінимо відповідь на змішаний дріб: 37 поділений на 8 дорівнює 4, з залишком 5. Таким чином,
278+134=458.
Вправа
Спростити:323+418
- Відповідь
-
71924
Приклад 2
Спростити:314+213.
Рішення
Змішайте змішані дроби на неправильні дроби, зробіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім додайте.
314+213=134+73 Change to improper fractions.=13⋅34⋅3+7⋅43⋅4 Equivalent fractions with LCD = 12.=3912+2812 Simplify numerators and denominators.=6712 Add numerators and denominators.
Хоча ця відповідь цілком прийнятна, давайте змінимо відповідь на змішаний дріб: 67 ділиться на 12 дорівнює 5, при залишку 7. Таким чином,
314+213=5712.
Вправа
Спростити:812+223
- Відповідь
-
1116
Підхід змішаних фракцій
Існує ще один можливий підхід, заснований на тому, що змішаний дріб - це сума. Давайте переглянемо приклад 2.
Приклад 3
Спростити:314+213.
Рішення
Використовуйте комутативні та асоціативні властивості, щоб змінити порядок додавання, зробити еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім додати.
314+213=(3+14)+(2+13) Mixed fractions as sums.=(3+2)+(14+13) Reorder and regroup.=5+(1⋅34⋅3+1⋅43⋅4) Add whole numbers: 3 + 2 = 5. Equivalent fractions; LCD = 12.=5+(312+412) Simplify numerators and denominators.=5+712 Add numerators over common denominators.
Цей результат можна записати у вигляді змішаного дробу. Таким чином,
314+213=5712.
Зауважте, що це рішення ідентичне результату, знайденому в прикладі 2.
Вправа
Спростити:725+318
- Відповідь
-
102140
Приклад 3 призводить нас до наступного результату.
Додавання змішаних дробів
Щоб скласти два змішаних дробу, додайте ціле число частин, потім складіть дробові частини.
Робота у вертикальному форматі
При додаванні змішаних дробів багато хто воліє працювати у вертикальному форматі. Наприклад, ось як ми організуємо рішення з Прикладу 2 та Прикладу 3 у вертикальному форматі. Створюємо еквівалентні дроби, потім складаємо ціле число частин і дробових частин.
314=31⋅34⋅3=3312+213=+21⋅43⋅4=+2412 5712
Зауважте, що відповідь ідентична відповіді, знайденій у прикладі 2 та прикладі 3. Тобто,
314+213=5712.
Приклад 4
Сара робить віконні штори для двох кімнат у своєму будинку. Кухня зажадає523 двори матеріалу, а їдальня зажадає658 двори матеріалу. Скільки всього матеріалу потрібно?
Рішення
Щоб знайти загальний матеріал, необхідний для двох кімнат, ми повинні додати523 і658. Створіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім додайте цілі числові частини та дробові частини.
523=52⋅83⋅8=51624+658=+65⋅38⋅3=+61524113124
Відповідь, яка є частиною змішаної фракції, частиною неправильної фракції, не допускається. Щоб закінчити, нам потрібно змінити неправильну дробову частину на змішану, потім додати. 31 ділиться на 24 дорівнює 1, з залишком 7. Тобто 31/24 = 1 7 24. Тепер ми можемо додати ціле число частин і дробових частин.
113124=11+1724=12724.
Таким чином, загальний необхідний матеріал -12724 ярди.
Вправа
Джим працює над проектом, який вимагає двох дощок, перша розрізається на довжину612 ніг, друга розрізається на довжину578 ніг. Скільки всього футів дошки потрібно?
- Відповідь
-
1238ноги.
Віднімання змішаних дробів
Давайте розглянемо кілька прикладів, які віднімають два змішаних дробу.
Приклад 5
Спростити:458−2116.
Рішення
Змішайте змішані дроби на неправильні дроби, зробіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім відніміть.
458−2116=378−3316 Change to improper fractions.=37⋅28⋅2−3316 Equivalent fractions with LCD = 16.=7416−3316 Simplify numerator and denominators.=4116 Add numerators over common denominator.
Хоча ця відповідь цілком прийнятна, давайте змінимо відповідь на змішаний дріб: 41 поділений на 16 дорівнює 2, з залишком 9. Таким чином,
458−2116=2916.
Вправа
Спростити:523−315
- Відповідь
-
2715
Приклад 6
Спростити:534−213.
Рішення
Змішайте змішані дроби на неправильні дроби, зробіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім відніміть.
534−213=234−73 Change to improper fractions.=23⋅34⋅3−7⋅43⋅4 Equivalent fractions with LCD = 12.=6912−2812 Simplify numerators and denominators.=4112 Add numerators over common denominator.
Хоча ця відповідь цілком прийнятна, давайте змінимо відповідь на змішаний дріб: 41 поділений на 12 дорівнює 3, з залишком 5. Таким чином,
534−213=3512.
Вправа
Спростити:479−2318
- Відповідь
-
21118
Підхід змішаних фракцій
Існує ще один можливий підхід, заснований на тому, що змішаний дріб - це сума. Давайте повернемося до Прикладу 6.
Приклад 7
Спростити:534−213.
Рішення
Змішаний дріб - це сума.
534−213=(5+34)−(2+13)
Розподіліть негативний знак.
=5+34−2−13
Ми могли б змінити віднімання на додавання протилежного, змінити порядок додавання, а потім змінити додавання протилежностей назад до віднімання. Однак набагато простіше, якщо ми розглянемо цей останній рядок як запит на додавання чотирьох чисел, два з яких позитивні, а два з яких негативні. Зміна замовлення не впливає на відповідь.
=(5−2)+(34−13)
Зверніть увагу, що ми не змінювали знаки жодного з чотирьох чисел. Ми просто змінили порядок. Відніміть ціле число частин. Складіть еквівалентні дроби із загальним знаменником, потім відніміть дробові частини.
=3+(3⋅34⋅3−1⋅43⋅4) Create equivalent fractions.=3+(912−412) Simplify numerators and denominators.=3+512 Subtract fractional parts.
Таким чином,
534−213=3512.
Зауважте, що це точно така ж відповідь, як і у прикладі 6.
Вправа
Спростити:856−438
- Відповідь
-
41124
У прикладі 6 ми бачимо, що ми обробляємо віднімання змішаних дробів точно так само, як ми обробляємо додавання змішаних дробів.
Віднімання змішаних дробів
Щоб відняти два змішаних дробу, відніміть їх ціле число частин, потім відніміть їх дробові частини.
Робота у вертикальному форматі
При відніманні змішаних дробів багато хто вважає за краще працювати у вертикальному форматі. Наприклад, ось як ми організуємо рішення з Прикладу 6 і Приклад 7 у вертикальному форматі. Створюємо еквівалентні дроби, потім віднімаємо ціле число частин і дробові частини.
534=53⋅34⋅3=5912−213=−31⋅43⋅4=−24123512
Зауважте, що відповідь ідентична відповіді, знайденій у прикладі 6 та прикладі 7. Тобто,
534−213=3512.
Запозичення у вертикальному форматі
Розглянемо наступний приклад.
Приклад 8
Спростити:814−556.
Рішення
Створюйте еквівалентні дроби із загальним знаменником.
814=81⋅34⋅3=8312−556=−55⋅26⋅2=−51012
Ви можете побачити складність. У крайньому правому куті ми не можемо відняти 10/12 з 3/12. Фікс полягає в тому, щоб запозичити 1 з 8 у вигляді 12/12 і додати його до 3/12.
8312=7+1212+312=71512−51012=−51012=−510122512
Тепер ми можемо відняти. Отже,814−556=2512.
Вправа
Спростити:7114−2521
- Відповідь
-
456.
Приклад 9
У Джима є металевий стрижень довжиною 10 дюймів. Він відрізає довжину від металевого стрижня розміром в278 дюйми. Яка довжина залишився шматка?
Рішення
Щоб знайти довжину залишився шматка, треба відняти278 від 10. На першому числі немає дробової частини. Щоб виправити цю відсутність, запозичуємо 1 з 10 у вигляді 8/8. Тоді ми можемо відняти.
10=9+88=988−278=−278=−278718
Значить, довжина залишився шматка металевого стрижня дорівнює718 дюймам.
Вправа
Сара має довжину матеріалу для штор, яка вимірює 12 футів. Вона відрізає довжину623 ніг зі свого матеріалу для штор. Яка довжина залишився шматка?
- Відповідь
-
513ноги
Вправи
У вправах 1-24 додайте або відніміть змішані дроби, як зазначено, спочатку перетворюючи кожен змішаний дріб у неправильний дріб. Висловіть свою відповідь як змішаний дріб.
1. 914+912
2. 213+912
3. 612−113
4. 513−134
5. 912+714
6. 113+934
7. 523+412
8. 1916+234
9. 313−114
10. 212−114
11. 812−113
12. 512−123
13. 412−118
14. 212−113
15. 478+134
16. 118+512
17. 213−114
18. 513−114
19. 912−134
20. 512−1316
21. 423+114
22. 114+113
23. 912+318
24. 114+123
У Вправах 25-48 додайте або відніміть змішані дроби, як зазначено, за допомогою вертикального формату. Висловіть свою відповідь як змішаний дріб.
25. 312+334
26. 112+223
27. 138+114
28. 214+123
29. 178+112
30. 134+412
31. 812−523
32. 812−123
33. 712−1316
34. 512−113
35. 912−113
36. 212−1316
37. 513−212
38. 414−112
39. 912−223
40. 712−423
41. 1116+134
42. 114+113
43. 812+323
44. 123+212
45. 612−1316
46. 412−113
47. 223+114
48. 112+1116
Відповіді
1. 1834
3. 516
5. 1634
7. 1016
9. 2112
11. 716
13. 338
15. 658
17. 1112
19. 734
21. 51112
23. 1258
25. 714
27. 258
29. 338
31. 256
33. 6516
35. 816
37. 256
39. 656
41. 21316
43. 1216
45. 5516
47. 31112