Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.2: Еквівалентні дроби

У цьому розділі ми маємо справу з дробами, числами або виразами виду a/b.

Визначення: Дроби

Номер форми

ab

деa іb є числа називається дробом. Числоa називається чисельником дробу, тоді як числоb називається знаменником дробу.

Ближче до кінця цього розділу ми побачимо, що чисельник і знаменник дробу також можуть бути алгебраїчними виразами, але на даний момент ми обмежимо нашу увагу дробами, чиї чисельники і знаменники є цілими числами. Почнемо наше дослідження дробів з визначення еквівалентних дробів.

Еквівалентні дроби

Два дроби еквівалентні, якщо вони представляють одне і те ж числове значення.

Але як ми можемо визначити, якщо два дроби представляють одне і те ж число? Ну, одна техніка передбачає кілька простих візуалізацій. Розглянемо зображення, показане на малюнку 4.1, де затінена область становить 1/3 загальної площі фігури (одна з трьох рівних областей затінена).

Знімок екрана 2019-08-28 в 11.32.15 AM.png
Малюнок 4.1: Затінена область становить 1/3 всієї області.

На малюнку 4.2 ми затінювали 2/6 всієї області (дві з шести рівних областей затінені).

Знімок екрана 2019-08-28 о 11.32.20 AM.png
Малюнок 4.2: Затінена область становить 2/6 всієї області.

На малюнку 4.3 ми затінювали 4/12 всієї області (чотири з дванадцяти рівних областей затінені).

Знімок екрана 2019-08-28 в 11.34.16 AM.png
Малюнок 4.3: Затінена область становить 4/12 всієї області.

Візьмемо схеми з малюнка 4.1, рис. 4.2, і рис. 4.3 і складемо їх один поверх іншого, як показано на малюнку 4.4.

Знімок екрана 2019-08-28 в 11.34.20 AM.png
Малюнок 4.4: Один з трьох дорівнює двом з шести дорівнює чотирьом з дванадцяти.

На малюнку 4.4 наведено тверді візуальні докази того, що наступні дроби еквівалентні.

13=26=412

Ключові спостереження

1. Якщо почати з дробу 1/3, то помножити і чисельник і знаменник на 2, отримаємо наступний результат.

13=1232  Multiply the numerator and denominator by 2.=26  Simplify numerator and denominator.

Це саме те саме, що відбувається з малюнка 4.1 до 4.2, де ми подвоюємо кількість доступних коробок (від 3 доступних до 6 доступних) і подвоюємо кількість затінених коробок (від 1 затінених до 2 затінених).

2. Якщо почати з дробу 1/3, то помножити і чисельник і знаменник на 4, отримаємо наступний результат.

=13=1434  Multiply numerator and denominator by 4.=412  Simplify numerator and denominator.

Це саме те саме, що відбувається з малюнка 4.1 до 4.3, де ми множимо кількість доступних коробок на 4 (від 3 доступних до 12 доступних) і множимо кількість затінених коробок на 4 (від 1 затінених до 4 затінених).

Вищевикладене обговорення мотивує наступний фундаментальний результат.

Створення еквівалентних дробів

Якщо почати з дробу, то помножити і його чисельник і знаменник на одне і те ж число, отриманий дріб еквівалентний (має однакове числове значення) вихідному дробу. В символах,

ab=axbx

Сперечаючись у зворотному напрямку

Повернення вищевказаного аргументу також має значення true.

1. Якщо почати з дробу 2/6, то розділити і чисельник і знаменник на 2, отримаємо наступний результат.

26=2÷26÷2  Divide numerator and denominator by 2.=13  Simplify numerator and denominator.

Це саме те саме, що відбувається назад від малюнка 4.2 до 4.1, де ми ділимо кількість доступних коробок на 2 (від 6 доступних до 3 доступних) і ділимо кількість затінених коробок на 2 (від 2 затінених до 1 затінених).

2. Якщо почати з дробу 4/12, то розділити і чисельник і знаменник на 4, отримаємо наступний результат.

412=4÷412÷4  Multiply numerator and denominator by 4.=13  Simplify numerator and denominator.

Це саме те саме, що відбувається назад від малюнка 4.3 до 4.1, де ми ділимо кількість доступних коробок на 4 (переходячи від 12 доступних до 3 доступних) і ділимо кількість alignof затінених коробок на 4 (переходячи від 4 затінених до 1 затінених).

Вищевикладене обговорення мотивує наступний фундаментальний результат.

Створення еквівалентних дробів

Якщо почати з дробу, то розділити і його чисельник, і знаменник на одне і те ж число, отриманий дріб еквівалентний (має однакове числове значення) вихідному дробу. В символах,

ab=a÷xb÷x.

Найбільший спільний дільник

Нам потрібно трохи більше термінології.

дільник

Якщо d і a є натуральними числами, ми говоримо, що «d ділить a» якщо і тільки тоді, коли a ділиться на d, залишок дорівнює нулю. У цьому випадку ми говоримо, що «d - дільник a».

Наприклад, коли 36 ділиться на 4, залишок дорівнює нулю. У цьому випадку ми говоримо, що «4 - дільник 36». З іншого боку, коли 25 ділиться на 4, залишок не дорівнює нулю. У цьому випадку ми говоримо, що «4 - це не дільник 25».

Найбільший спільний дільник

Нехай a і b - натуральні числа. Спільними дільниками a і b є ті натуральні числа, які ділять як a, так і b. найбільший спільний дільник - найбільший з цих спільних дільників.

Приклад 1

Знайдіть найбільший спільний дільник 18 і 24.

Рішення

Спочатку перерахуйте дільники кожного числа, числа, які ділять кожне число з нульовим залишком.

Дільники 18:1, 2, 3, 6, 9 та 18

Дільники 24:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 і 24

Загальними дільниками є:

Загальні дільники: 1, 2, 3 та 6

Найбільший спільний дільник - найбільший із загальних дільників. Тобто,

Найбільший спільний дільник = 6.

Тобто найбільше число, яке ділить і 18, і 24 - це число 6.

Вправа

Знайдіть найбільший спільний дільник 12 і 18.

Відповідь

6

Зменшення дробу до найнижчих

По-перше, визначення.

Найнижчі терміни

Дріб, як кажуть, зменшується до найнижчих, якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1.

Так, наприклад, 2/3 зводиться до найнижчих термінів, оскільки найбільший спільний подільник 2 і 3 дорівнює 1. З іншого боку, 4/6 не зводиться до найнижчих, оскільки найбільшим спільним дільником 4 та 6 є 2.

Приклад 2

Зменшити дріб 18/24 до найнижчих показників.

Рішення

Однією з прийомів, яка добре працює, є ділення як чисельника, так і знаменника на найбільший спільний дільник чисельника і знаменника. У прикладі 1 ми побачили, що найбільший спільний дільник 18 і 24 дорівнює 6. Ділимо і чисельник і знаменник на 6, щоб отримати

1824=18÷624÷6  Divide numerator and denominator by 6.=34  Simplify numerator and dice.

Зверніть увагу, що найбільший спільний дільник 3 і 4 тепер 1. Таким чином, 3/4 зводиться до найнижчих термінів.

Є другий спосіб ми можемо показати поділ чисельника і знаменника на 6. По-перше, множник і чисельник, і знаменник наступним чином:

1824=3646  Factor out a 6.

Потім ви можете показати «ділення» як чисельника, так і знаменника на 6 шляхом «перекреслення» або «скасування» a 6 в чисельнику для 6 у знаменнику, ось так:

=3646  Cancel common factor.=34

Відзначимо, що ми отримуємо однаковий еквівалентний дріб, зменшений до найнижчих, а саме 3/4.

Вправа

Зменшити дріб 12/18 до найнижчих показників.

Відповідь

2/3

Важливий момент

У прикладі 2 ми побачили, що 6 був як дільником, так і коефіцієнтом 18. Слова дільник і множник еквівалентні.

Ми використовували наступну техніку в нашому другому рішенні в прикладі 2.

Правило скасування

Якщо ви виражаєте чисельник і знаменник як добуток, то ви можете скасувати спільні множники з чисельника і знаменника. В результаті вийде еквівалентний дріб.

Через «Правило скасування» одним з найефективніших способів звести дріб до найнижчих чисел є спочатку пошук простих факторизацій як для чисельника, так і для знаменника, а потім скасування всіх загальних факторів.

Приклад 3

Зменшити дріб 18/24 до найнижчих показників.

Рішення

Використовуйте дерева множників для простого множника чисельника та знаменника.

Знімок екрана 2019-08-28 в 4.36.31 PM.png

Після того, як ми врахували чисельник і знаменник, ми скасуємо загальні фактори.

1824=2332223  Prime factor numerator and denominator.=2332223  Cancel common factors.=322  Remaining factors.=34  Simplify denominator.

Таким чином, 18/24 = 3/4.

Вправа4.2.1

Зменшити дріб 28/35 до найнижчих показників.

Відповідь

4/5

Приклад 4

Зменшити дріб 28/42 до найнижчих показників.

Рішення

Використовуйте дерева множників для простого множника чисельника та знаменника.

Знімок екрана 2019-08-28 в 4.42.17 PM.png

Тепер ми можемо скасувати загальні фактори.

2842=227237  Prime factor numerator and denominator.=227237  Cancel common factors.=23

Таким чином, 28/42 = 2/3.

Вправа

Зменшити дріб 36/60 до найнижчих показників.

Відповідь

3/5

Зменшення дробів зі змінними

Точно таку ж методику ми використовуємо для зменшення дробів, чисельники та знаменники яких містять змінні.

Приклад 5

Зменшити

56x2y60xy2

до найнижчих термінів.

Рішення

Використовуйте множникові дерева для множника коефіцієнтів чисельника та знаменника.

Знімок екрана 2019-08-28 в 4.46.57 PM.png

Тепер скасуйте загальні фактори.

56x2y60xy2=2227xxy2235xyy  Prime factor numerator and denominator.=2227xxy2235xyy  Cancel cmmon factors.=27x35y  Remaining factors.=14x15y  Simplify numerator and denominator.

Таким чином, 56х 2 у/ (60х2) = 14х/ (15у).

Вправа

Зменшити:

25a3b40a2b3

Відповідь

5a8b2

Слово про математичні позначення

Існує два типи математичних позначень: (1) вбудовані математичні позначення та (2) відображаються математичні позначення.

Вбудоване математичне позначення

Позначення 14 х/(15 у) називається вбудованим математичним позначенням. Коли той самий вираз центрується на власному рядку, як у

14x15y,

цей тип позначень називається відображеними математичними позначеннями.

Коли ви працюєте з задачею вручну, використовуючи розрахунки олівцем та папером, у бажаному форматі відображаються позначення, як і відображувані позначення, використані для спрощення даного виразу в прикладі 5. Однак комп'ютери та калькулятори вимагають введення виразів за допомогою вбудованих математичних позначень. Тому вкрай важливо, щоб ви були однаково компетентні або з математичними позначеннями: відображеними або вбудованими.

До речі, порядок операцій при застосуванні до вбудованого виразу 14x/ (15y) вимагає, щоб ми спочатку виконували множення всередині дужок. Тоді ми повинні виконувати множення та ділення, коли вони відбуваються, коли ми рухаємось зліва направо через вираз. Ось чому вбудоване позначення 14x/ (15y) еквівалентно відображеній нотації

14x15y.

Однак вираз 14x/15y - це інший звір. Дужок немає, тому ми виконуємо множення і ділення в міру їх виникнення, рухаючись зліва направо через вираз. Таким чином, треба спочатку взяти добуток 14 і х, розділити результат на 15, потім помножити на y. в відображених позначеннях цей результат еквівалентний

14x15y,

що є іншим результатом.

Деякі читачі можуть задатися питанням, чому ми не використали позначення (14x)/(15y) для опису рішення у прикладі 5. Адже це вбудоване позначення також еквівалентно відображуваної нотації.

14x15y.

Однак справа в тому, що нам не потрібно, оскільки порядок операцій вже вимагає, щоб ми взяли добуток 14 і х перед діленням на 15y. Якщо це болить голова, знайте, що цілком допустимо використовувати еквівалентні позначення (14x)/(15y) замість 14x/ (15y). Обидва правильні.

Еквівалентні дроби у вищих термінами

Іноді виникає необхідність знайти еквівалентний дріб з іншим, більшим знаменником.

приклад 6

Висловіть 3/5 як еквівалентний дріб, що має знаменник 20.

Рішення

Ключ тут полягає в тому, щоб пам'ятати, що множення чисельника і знаменника на одне і те ж число дає еквівалентний дріб. Щоб отримати еквівалентний дріб зі знаменником 20, доведеться помножити чисельник і знаменник 3/5 на 4.

35  Multiply numerator and denominator by 4.=1220  Simplify numerator and denominator.

Тому 3/5 дорівнює 12/20.

Вправа

Висловіть 2/3 як еквівалентний дріб, що має знаменник 21.

Відповідь

14/21

Приклад 7

Висловіть 8 як еквівалентний дріб, що має знаменник 5.

Рішення

Ключ тут полягає в тому, щоб відзначити, що

8=81  Understood denominator is 1.

Щоб отримати еквівалентний дріб зі знаменником 5, доведеться помножити чисельник і знаменник 8/1 на 5.

=8515  Multiply numerator and denominator by 5.=405  Simplify numerator and denominator.

Тому 8 дорівнює 40/5.

Вправа

Висловіть 5 як еквівалентний дріб, що має знаменник 7.

Відповідь

35/7

Приклад 8

Експрес 2/9 як еквівалентний дріб, що має знаменник 18 а.

Рішення

Щоб отримати еквівалентний дріб зі знаменником 18 а, доведеться помножити чисельник і знаменник 2/9 на 2 a.

29=22a92a  Multiply numerator and denominator by 2a.=4a18a  Simplify numerator and denominator.

Отже, 2/9 дорівнює 4 a/(18 a), або еквівалентно, (4 а)/(18 a).

Вправа

Висловіть 3/8 як еквівалентний дріб, що має знаменник 24 а.

Відповідь

9a24a

Негативні дроби

Ми також маємо справу з фракціями, які є негативними. Для початку обговоримо розміщення негативного знака.

  • Позитивний розділений на негативний є негативним, тому

35=35.

  • Але вірно і те, що негатив, розділений на позитивний, є негативним. Таким чином,

35=35.

Ці два спостереження мають на увазі, що всі три з наступних дробів еквівалентні (однакове число):

35=35=35.

Зауважте, що існує три можливі місця розташування негативного знака: (1) знаменник, (2) рядок дробу або (3) чисельник. Будь-яке з цих місць розташування дає еквівалентний дріб.

Дроби і негативні знаки

Нехай a і b будуть будь-якими цілими числами. Всі три з наступних дробів еквівалентні (однакове число):

ab=ab=ab.

Математики вважають за краще розміщувати негативний знак або в чисельнику, або на бруску дробу. Використання негативного знака в знаменнику не рекомендується.

Приклад 9

Зменшити:

50x375x5

до найнижчих термінів.

Рішення

Простий множник чисельник і знаменник і скасування.

50x375x5=255xxx355xxxxx=255xxx355xxxxx=23xx=23x2

Однак бажано, щоб в знаменнику не було негативних знаків, тому поставимо негативний знак на брусок дробу (чисельник підійде також). Таким чином,

50x375x5=23x2

У нас також є наступний результат.

Дроби і негативні знаки

bДозволятиa і бути будь-якими цілими числами. Потім,

ab=ab.

приклад 10

Зменшити:

12xy218x2y

Рішення

На відміну від Прикладу 9, деякі люблять спочатку подбати про знак відповіді.

12xy218x2y=12xy218x2y

Тепер ми можемо перерахувати чисельник і знаменник і скасувати загальні множники.

=223xyy233xxy=223xyy233xxy=2y3x

Таким чином,

12xy218x2y=2y3x.

Вправа

Зменшити:

21a2b356a3b

Відповідь

3b28a

Вправи

У вправах 1-12 знайдіть НСД заданих чисел.

1. 72, 8

2. 76, 52

3. 52, 20

4. 56, 96

5. 36, 63

6. 63, 21

7. 72, 44

8. 10, 40

9. 16, 56

10. 54, 66

11. 84, 24

12. 75, 45


У вправах 13-28 зменшіть задану дріб до найнижчих.

13. 2298

14. 2856

15. 9315

16. 9039

17. 6921

18. 7462

19. 7412

20. 6610

21. 6657

22. 3430

23. 3399

24. 2058

25. 6924

26. 1896

27. 4644

28. 9224


29. Експрес 3 як еквівалентний дріб, що має знаменник 24. 30. Висловити 3 як еквівалентний дріб, що має знаменник 8. 31. 2519Висловити як еквівалентний дріб, що має знаменник 57. 32. 2922Висловити як еквівалентний дріб, що має знаменник 44. 33. Експрес 2 як еквівалентний дріб, що має знаменник 2. 34. Висловіть 2 як еквівалентний дріб, що має знаменник 8. 35. 1819Висловити як еквівалентний дріб, що має знаменник 95. 36. 1722Висловити як еквівалентний дріб, що має знаменник 44. 37. 13Висловити як еквівалентний дріб, що має знаменник 24. 38. 1519Висловити як еквівалентний дріб, що має знаменник 95. 39. Висловіть 16 як еквівалентний дріб, що має знаменник 4. 40. Експрес 5 як еквівалентний дріб, що має знаменник 2.


У вправах 41-56 зменшіть задану дріб до найнижчих.

41. 3486

42. 4814

43. 7292

44. 2775

45. 9282

46. 4462

47. 2133

48. 5799

49. 2298

50. 3369

51. 4288

52. 10048

53. 946

54. 3638

55. 1086

56. 10046


57. Експрес32 як еквівалентний дріб, що має знаменник 62n.

58. Експрес625 як еквівалентний дріб, що має знаменник 50а.

59. Експрес1310 як еквівалентний дріб, що має знаменник 60m.

60. Експрес116 як еквівалентний дріб, що має знаменник 80p.

61. Експрес32 як еквівалентний дріб, що має знаменник 50n.

62. Експрес4338 як еквівалентний дріб, що має знаменник 76а.

63. Експрес 11 як еквівалентний дріб, що має знаменник 4м. 64. Висловіть 13 як еквівалентний дріб, що має знаменник 6n.

65. Експрес 3 як еквівалентний дріб, що має знаменник 10м.

66. Висловіть 10 як еквівалентний дріб, що має знаменник 8b.

67. Висловіть 6 як еквівалентний дріб, що має знаменник 5n.

68. Експрес 16 як еквівалентний дріб, що має знаменник 2у.


У вправах 69-84 зменшіть задану дріб до найнижчих.

69. 82y548y

70. 40y555y

71. 77x544x4

72. 34x680x

73. 14y554y2

74. 96y440y2

75. 42x81x3

76. 26x232x6

77. 12x514x6

78. 28y472y6

79. 74x22x2

80. 56x226x3

81. 12y598y6

82. 96x214x4

83. 18x654x2

84. 32x662x2


У вправах 85-100 зменшіть задану дріб до найнижчих.

85. 26y2x462y6x2

86. 6x2y340x3y2

87. 2y6x494y2x5

88. 90y6x339y3x5

89. 30y5x526yx4

90. 74x6y452xy3

91. 36x3y298x4y5

92. 84x3y16x4y2

93. 8x6y354x3y5

94. 70y5x216y4x5

95. 34yx658y5x4

96. 99y2x388y6x

97. 36y3x551y2x

98. 44y5x588y4x

99. 91y3x228y5x5

100. 76y2x57y5x6


101. Урагани. За даними Національного управління атмосфери та океаніки, у 2008 році було 16 названих штормів, з яких 8 переросли в урагани, а 5 - великі.

i) Яка частка названих штормів переросла в урагани? Зменшіть свою відповідь до найнижчих термінів.

ii) Яка частка названих штормів були великими ураганами? Зменшіть свою відповідь до найнижчих термінів.

iii) Яка частка ураганів була основною? Зменшіть свою відповідь до найнижчих термінів.

102. Тигри. Тигри перебувають у критичному занепаді через посягання людини, втрати більше дев'яти десятих місць свого проживання та зростаючої торгівлі тигровими шкурами та частинами тіла. Associated Прес-Час-Стандарт 01/24/10 Кріплення під тиском, щоб врятувати тигра.

i) Запишіть втрату середовища проживання у вигляді дробу.

ii) Опишіть словами, що представляють собою чисельник і знаменник цього дробу.

iii) Якщо фракція являє собою втрату всього вихідного середовища існування, скільки залишилося вихідного середовища існування?


Відповіді

1. 8

3. 4

5. 9

7. 4

9. 8

11. 12

13. 1149

15. 315

17. 237

19. 376

21. 2219

23. 13

25. 238

27. 2322

29. 7224

31. 7557

33. 42

35. 9095

37. 824

39. 644

41. 1743

43. 1823

45. 4641

47. 711

49. 1149

51. 2144

53. 473

55. 543

57. 93n62n

59. 78m60m

61. 75n50n

63. 44m4m

65. 30m10m

67. 30n5n

69. 41y424

71. 7x4

73. 7y327

75. 1427x2

77. 67x

79. 3711x

81. 649y

83. x43

85. 13x231y4

87. y447x

89. 15y4x13

91. 1849xy3

93. 4x327y2

95. 17x229y4

97. 12yx417

99. 134y2x3

101.

i)12

ii)516

iii)58