1.5: Еквівалентні дроби

Огляд

• Еквівалентні дроби
• Зменшення дробів до найнижчих термінів
• Підняття дробів до вищих термінів

Визначення: Еквівалентні дроби

Дроби, які мають однакове значення, називаються еквівалентними дробами

Наприклад,$\dfrac{2}{3}$ і$\dfrac{4}{6}$ представляють одну і ту ж частину цілої кількості і, отже, еквівалентні. Нижче наведено ще кілька колекцій еквівалентних дробів:

$\dfrac{15}{25}, \dfrac{12}{20}, \dfrac{3}{5}$

$\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{3}{9}, \dfrac{4}{12}$

$\dfrac{7}{6}, \dfrac{14}{12}, \dfrac{21}{18}, \dfrac{28}{24}, \dfrac{35}{30}$

Зменшення дробів до найнижчих термінів

Знижений до найнижчих термінів

Часто корисно перетворити один дріб в еквівалентний дріб, який має зменшені значення в чисельнику і знаменнику. Коли дріб перетворюється на еквівалентний дріб, який має найменший чисельник і знаменник у колекції еквівалентних дробів, він, як кажуть, зводиться до найнижчих. Процес перетворення називається зменшенням дробу.

Ми можемо скоротити частку до найнижчих

1. Висловлення чисельника і знаменника як добуток простих чисел. (Знайти просту факторизацію чисельника і знаменника. Див. Розділ 1.3 для цієї техніки.)
2. Розділіть чисельник і знаменник на всі загальні фактори. (Цю техніку прийнято називати «скасуванням».)

Набір зразків A:

Приклад$\PageIndex{1}$

\ (\ почати {вирівняний}
&\ dfrac {6} {18} =\ dfrac {2\ cdot 3} {2\ cdot 3}\
ddot 3}\\ dfrac {\ not {2}\ cdot\ not {3}\ cdot\ not {3}\ cdot 3}\ quad 2\ текст {і} 3 {є загальними факторами.}\\
&=\ dfrac {1} {3}
\ end {вирівняний}
\)

Приклад$\PageIndex{2}$

\ (
\ почати {вирівняний}
\ drac {16} {20} &=\ dfrac {2\ dot 2\ dot 2\ dot 2} {2\ dot 2\ dot 5}\\ drac {\ not {2}\ dot\ not {2}\ dot 2\ dot 2} {\ not {2}\ cdot 5}\ quad 2\ text {є єдиним загальним фактором.}\\
&=\ dfrac {4} {5}

\ end {вирівняний}
\)

Приклад$\PageIndex{3}$

\ (
\ почати {вирівняний}
&\ drac {56} {70} =\ dfrac {2\ cdot 4\ dot 7} {2\ cdot 5\ ddot 7}\\
drac {\ not {2}\ dot 4\ cdot\ not {7}} {\ not {2}\ cdot 5\ cdot\ not {7}\ text {і} 7\ text {є загальними факторами.}\\
&=\ dfrac {4} {5}
\ кінець {вирівняний}
\)

Приклад$\PageIndex{4}$

\ (
\ dfrac {8} {15} =\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2} {3\ cdot 5}
\) Загальних факторів немає.

Таким чином,$\dfrac{8}{15}$ зводиться до найнижчих термінів.

Підвищення дробу до вищих термінів

Не менш важливим, як і скорочення дробів, є підвищення дробів до більш високих доходів. Підняття дробу до вищих членів - це процес побудови еквівалентного дробу, що має більш високі значення в чисельнику і знаменнику. Вищий, еквівалентний дріб будується шляхом множення вихідного дробу на 1.

Зверніть увагу, що$\dfrac{3}{5}$ і$\dfrac{9}{15}$ еквівалентні, тобто$\dfrac{3}{5}$ =$\dfrac{9}{15}$. Крім того,

\ (
\ почати {масив} {l}
\ drac {3} {5}\ ddot 1 =\ drac {3} {5}\ ddot\ drac {3} =\ drac {3} {5\ cdot 3} =\ dfrac {9} {15}\
1 =\ dfrac {3} {3}
\ кінець {масив}
\)

Це спостереження допомагає нам запропонувати наступний метод підвищення дробу до більш високих показників.

Підвищення дробу до вищих термінів

Дріб можна підняти до більш високих чисел шляхом множення чисельника і знаменника на одне і те ж ненульове число.

Наприклад,$\dfrac{3}{4}$ можна підняти до,$\dfrac{24}{32}$ множивши і чисельник, і знаменник на 8, тобто помноживши на 1 у вигляді$\dfrac{8}{8}$.

\ (
\ drac {3} {4} =\ drac {3\ dot 8} {4\ ddot 8} =\ drac {24} {32}
\)

Як ми знали, що вибрати 8 як належний фактор? Оскільки ми хочемо перетворити 4 на 32, помноживши його на деяке число, ми знаємо, що 4 має бути коефіцієнтом 32. Це означає, що 4 ділиться на 32. Насправді,$32 \div 4=8$. Ми розділили початковий знаменник на новий, вказаний знаменник, щоб отримати належний коефіцієнт для множення.

Набір зразків B

Визначте відсутній чисельник або знаменник.

Приклад$\PageIndex{5}$

$\dfrac{3}{7}=\dfrac{?}{35} . \quad \text{Divide the original denominator, } 7, \text{ into the new denominator }35$

$35 \div 7=5$

$\text{Multiply the original numerator by } 5.$

$\dfrac{3}{7}=\dfrac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5}=\dfrac{15}{35}$

Приклад$\PageIndex{6}$

$\dfrac{5}{6}=\dfrac{45}{?} . \quad \text{Divide the original denominator, } 5, \text{ into the new denominator }45$

$45 \div 5=9$

$\text{Multiply the original numerator by } 9.$

$\dfrac{5}{6}=\dfrac{5 \cdot 9}{6 \cdot 9}=\dfrac{45}{54}$

Вправа$\PageIndex{1}$

$\dfrac{6}{8}$

Відповідь

$\dfrac{3}{4}$

Вправа$\PageIndex{2}$

$\dfrac{5}{10}$

Вправа$\PageIndex{3}$

$\dfrac{6}{14}$

Відповідь

$\dfrac{3}{7}$

Вправа$\PageIndex{4}$

$\dfrac{4}{14}$

Вправа$\PageIndex{5}$

$\dfrac{18}{12}$

Відповідь

$\dfrac{3}{2}$

Вправа$\PageIndex{6}$

$\dfrac{3}{2}$

Вправа$\PageIndex{7}$

$\dfrac{20}{8}$

Вправа$\PageIndex{8}$

$\dfrac{10}{6}$

Відповідь

$\dfrac{5}{3}$

Вправа$\PageIndex{9}$

$\dfrac{14}{4}$

Вправа$\PageIndex{10}$

$\dfrac{10}{12}$

Відповідь

$\dfrac{5}{6}$

Вправа$\PageIndex{11}$

$\dfrac{32}{28}$

Вправа$\PageIndex{12}$

$\dfrac{36}{10}$

Відповідь

$\dfrac{18}{5}$

Вправа$\PageIndex{13}$

$\dfrac{26}{60}$

Вправа$\PageIndex{14}$

$\dfrac{12}{18}$

Відповідь

$\dfrac{2}{3}$

Вправа$\PageIndex{15}$

$\dfrac{18}{27}$

Вправа$\PageIndex{16}$

$\dfrac{18}{24}$

Відповідь

$\dfrac{3}{4}$

Вправа$\PageIndex{17}$

$\dfrac{32}{40}$

Вправа$\PageIndex{18}$

$\dfrac{11}{22}$

Відповідь

$\dfrac{1}{2}$

Вправа$\PageIndex{19}$

$\dfrac{17}{51}$

Вправа$\PageIndex{20}$

$\dfrac{27}{81}$

Відповідь

$\dfrac{1}{3}$

Вправа$\PageIndex{21}$

$\dfrac{16}{42}$

Вправа$\PageIndex{22}$

$\dfrac{6}{8}$

Відповідь

$\dfrac{3}{4}$

Вправа$\PageIndex{23}$

$\dfrac{39}{13}$

Відповідь

3

Вправа$\PageIndex{24}$

$\dfrac{44}{11}$

Вправа$\PageIndex{25}$

$\dfrac{121}{132}$

Відповідь

$\dfrac{11}{12}$

Вправа$\PageIndex{26}$

$\dfrac{30}{105}$

Вправа$\PageIndex{27}$

$\dfrac{108}{76}$

Відповідь

$\dfrac{29}{19}$

Для наступних завдань визначте відсутній чисельник або знаменник.

Вправа$\PageIndex{28}$

\ (
\ dfrac {1} {3} =\ dfrac {?} {12}
\)

Вправа$\PageIndex{29}$

\ (
\ dfrac {1} {5} =\ dfrac {?} {30}
\)

Відповідь

6

Вправа$\PageIndex{30}$

\ (
\ dfrac {3} {3} =\ dfrac {?} {9}
\)

Вправа$\PageIndex{31}$

\ (
\ dfrac {3} {4} =\ dfrac {?} {16}
\)

Відповідь

12

Вправа$\PageIndex{32}$

\ (
\ dfrac {5} {6} =\ dfrac {?} {18}
\)

Вправа$\PageIndex{1}$

\ (
\ dfrac {4} {5} =\ dfrac {?} {25}
\)

Відповідь

20

Вправа$\PageIndex{1}$

\ (
\ dfrac {1} {2} =\ dfrac {4} {?}
\)

Вправа$\PageIndex{1}$

\ (
\ dfrac {9} {25} =\ dfrac {27} {?}
\)

Відповідь

75

Вправа$\PageIndex{1}$

\ (
\ dfrac {3} {2} =\ dfrac {18} {?}
\)

Вправа$\PageIndex{1}$

\ (
\ dfrac {5} {3} =\ dfrac {80} {?}
\)

Відповідь

48