1.5: Еквівалентні дроби

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58543

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Огляд

Еквівалентні дроби
Зменшення дробів до найнижчих термінів
Підняття дробів до вищих термінів

Визначення: Еквівалентні дроби

Дроби, які мають однакове значення, називаються еквівалентними дробами

Наприклад,\(\dfrac{2}{3}\) і\(\dfrac{4}{6}\) представляють одну і ту ж частину цілої кількості і, отже, еквівалентні. Нижче наведено ще кілька колекцій еквівалентних дробів:

\(\dfrac{15}{25}, \dfrac{12}{20}, \dfrac{3}{5}\)

\(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{3}{9}, \dfrac{4}{12}\)

\(\dfrac{7}{6}, \dfrac{14}{12}, \dfrac{21}{18}, \dfrac{28}{24}, \dfrac{35}{30}\)

Зменшення дробів до найнижчих термінів

Знижений до найнижчих термінів

Часто корисно перетворити один дріб в еквівалентний дріб, який має зменшені значення в чисельнику і знаменнику. Коли дріб перетворюється на еквівалентний дріб, який має найменший чисельник і знаменник у колекції еквівалентних дробів, він, як кажуть, зводиться до найнижчих. Процес перетворення називається зменшенням дробу.

Ми можемо скоротити частку до найнижчих

Висловлення чисельника і знаменника як добуток простих чисел. (Знайти просту факторизацію чисельника і знаменника. Див. Розділ 1.3 для цієї техніки.)
Розділіть чисельник і знаменник на всі загальні фактори. (Цю техніку прийнято називати «скасуванням».)

Набір зразків A:

Приклад\(\PageIndex{1}\)

\ (\ почати {вирівняний}
&\ dfrac {6} {18} =\ dfrac {2\ cdot 3} {2\ cdot 3}\
ddot 3}\\ dfrac {\ not {2}\ cdot\ not {3}\ cdot\ not {3}\ cdot 3}\ quad 2\ текст {і} 3 {є загальними факторами.}\\
&=\ dfrac {1} {3}
\ end {вирівняний}
\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\ (
\ почати {вирівняний}
\ drac {16} {20} &=\ dfrac {2\ dot 2\ dot 2\ dot 2} {2\ dot 2\ dot 5}\\ drac {\ not {2}\ dot\ not {2}\ dot 2\ dot 2} {\ not {2}\ cdot 5}\ quad 2\ text {є єдиним загальним фактором.}\\
&=\ dfrac {4} {5}

\ end {вирівняний}
\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\ (
\ почати {вирівняний}
&\ drac {56} {70} =\ dfrac {2\ cdot 4\ dot 7} {2\ cdot 5\ ddot 7}\\
drac {\ not {2}\ dot 4\ cdot\ not {7}} {\ not {2}\ cdot 5\ cdot\ not {7}\ text {і} 7\ text {є загальними факторами.}\\
&=\ dfrac {4} {5}
\ кінець {вирівняний}
\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

\ (
\ dfrac {8} {15} =\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2} {3\ cdot 5}
\) Загальних факторів немає.

Таким чином,\(\dfrac{8}{15}\) зводиться до найнижчих термінів.

Підвищення дробу до вищих термінів

Не менш важливим, як і скорочення дробів, є підвищення дробів до більш високих доходів. Підняття дробу до вищих членів - це процес побудови еквівалентного дробу, що має більш високі значення в чисельнику і знаменнику. Вищий, еквівалентний дріб будується шляхом множення вихідного дробу на 1.

Зверніть увагу, що\(\dfrac{3}{5}\) і\(\dfrac{9}{15}\) еквівалентні, тобто\(\dfrac{3}{5}\) =\(\dfrac{9}{15}\). Крім того,

\ (
\ почати {масив} {l}
\ drac {3} {5}\ ddot 1 =\ drac {3} {5}\ ddot\ drac {3} =\ drac {3} {5\ cdot 3} =\ dfrac {9} {15}\
1 =\ dfrac {3} {3}
\ кінець {масив}
\)

Це спостереження допомагає нам запропонувати наступний метод підвищення дробу до більш високих показників.

Підвищення дробу до вищих термінів

Дріб можна підняти до більш високих чисел шляхом множення чисельника і знаменника на одне і те ж ненульове число.

Наприклад,\(\dfrac{3}{4}\) можна підняти до,\(\dfrac{24}{32}\) множивши і чисельник, і знаменник на 8, тобто помноживши на 1 у вигляді\(\dfrac{8}{8}\).

\ (
\ drac {3} {4} =\ drac {3\ dot 8} {4\ ddot 8} =\ drac {24} {32}
\)

Як ми знали, що вибрати 8 як належний фактор? Оскільки ми хочемо перетворити 4 на 32, помноживши його на деяке число, ми знаємо, що 4 має бути коефіцієнтом 32. Це означає, що 4 ділиться на 32. Насправді,\(32 \div 4=8\). Ми розділили початковий знаменник на новий, вказаний знаменник, щоб отримати належний коефіцієнт для множення.

Набір зразків B

Визначте відсутній чисельник або знаменник.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

\(\dfrac{3}{7}=\dfrac{?}{35} . \quad \text{Divide the original denominator, } 7, \text{ into the new denominator }35\)

\(35 \div 7=5\)

\(\text{Multiply the original numerator by } 5.\)

\(\dfrac{3}{7}=\dfrac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5}=\dfrac{15}{35}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

\(\dfrac{5}{6}=\dfrac{45}{?} . \quad \text{Divide the original denominator, } 5, \text{ into the new denominator }45\)

\(45 \div 5=9\)

\(\text{Multiply the original numerator by } 9.\)

\(\dfrac{5}{6}=\dfrac{5 \cdot 9}{6 \cdot 9}=\dfrac{45}{54}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(\dfrac{6}{8}\)

Відповідь: \(\dfrac{3}{4}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

\(\dfrac{5}{10}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

\(\dfrac{6}{14}\)

Відповідь: \(\dfrac{3}{7}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{4}{14}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(\dfrac{18}{12}\)

Відповідь: \(\dfrac{3}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

\(\dfrac{3}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

\(\dfrac{20}{8}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

\(\dfrac{10}{6}\)

Відповідь: \(\dfrac{5}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

\(\dfrac{14}{4}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

\(\dfrac{10}{12}\)

Відповідь: \(\dfrac{5}{6}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

\(\dfrac{32}{28}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

\(\dfrac{36}{10}\)

Відповідь: \(\dfrac{18}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

\(\dfrac{26}{60}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

\(\dfrac{12}{18}\)

Відповідь: \(\dfrac{2}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

\(\dfrac{18}{27}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

\(\dfrac{18}{24}\)

Відповідь: \(\dfrac{3}{4}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

\(\dfrac{32}{40}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

\(\dfrac{11}{22}\)

Відповідь: \(\dfrac{1}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

\(\dfrac{17}{51}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

\(\dfrac{27}{81}\)

Відповідь: \(\dfrac{1}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

\(\dfrac{16}{42}\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

\(\dfrac{6}{8}\)

Відповідь: \(\dfrac{3}{4}\)

Вправа\(\PageIndex{23}\)

\(\dfrac{39}{13}\)

Відповідь: 3

Вправа\(\PageIndex{24}\)

\(\dfrac{44}{11}\)

Вправа\(\PageIndex{25}\)

\(\dfrac{121}{132}\)

Відповідь: \(\dfrac{11}{12}\)

Вправа\(\PageIndex{26}\)

\(\dfrac{30}{105}\)

Вправа\(\PageIndex{27}\)

\(\dfrac{108}{76}\)

Відповідь: \(\dfrac{29}{19}\)

Для наступних завдань визначте відсутній чисельник або знаменник.

Вправа\(\PageIndex{28}\)

\ (
\ dfrac {1} {3} =\ dfrac {?} {12}
\)

Вправа\(\PageIndex{29}\)

\ (
\ dfrac {1} {5} =\ dfrac {?} {30}
\)

Відповідь: 6

Вправа\(\PageIndex{30}\)

\ (
\ dfrac {3} {3} =\ dfrac {?} {9}
\)

Вправа\(\PageIndex{31}\)

\ (
\ dfrac {3} {4} =\ dfrac {?} {16}
\)

Відповідь: 12

Вправа\(\PageIndex{32}\)

\ (
\ dfrac {5} {6} =\ dfrac {?} {18}
\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\ (
\ dfrac {4} {5} =\ dfrac {?} {25}
\)

Відповідь: 20

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\ (
\ dfrac {1} {2} =\ dfrac {4} {?}
\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\ (
\ dfrac {9} {25} =\ dfrac {27} {?}
\)

Відповідь: 75

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\ (
\ dfrac {3} {2} =\ dfrac {18} {?}
\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\ (
\ dfrac {5} {3} =\ dfrac {80} {?}
\)

Відповідь: 48