1.3: Множення та ділення цілих чисел

Починаємо цей розділ з обговорення множення цілих чисел. Перший порядок бізнесу полягає у введенні різних символів, що використовуються для позначення множення двох цілих чисел.

Математичні символи, що вказують на множення

Символ		Приклад
×	раз символ	3 × 4
·	крапка	3 · 4
()	круглі дужки	(3) (4) або 3 (4) з (3) 4

Продукти та фактори

У виразі\(3 · 4\) цілі числа 3 і 4 називаються множниками і називаються\(3 · 4\) добутком.

Ключ до розуміння множення тримається в наступному твердженні.

Множення еквівалентно повторному додаванню.

Припустимо, наприклад, що ми хотіли б оцінити продукт\(3 ·4\). Оскільки множення еквівалентно повторному додаванню,\(3 · 4\) еквівалентно додаванню трьох четвірок. Тобто,

\[ 3 \cdot 4=\underbrace{4+4+4}_{\text { three fours }} \nonumber\]

Таким чином,\(3 · 4 = 12\). Ви можете візуалізувати твір у\(3 · 4\) вигляді суми трьох четвірок на числовій лінії, як показано на малюнку 1.6.

Малюнок 1.6: Зверніть увагу, що 3 · 4 = 4 + 4 + 4. Тобто 3 · 4 = 12.

Як і додавання, порядок факторів не має значення.

\[ 4 \cdot 3=\underbrace{3+3+3+3}_{\text { four threes }} \nonumber\]

Таким чином,\(4 · 3 = 12\). Розглянемо візуалізацію на\(4 · 3\) малюнку 1.7.

Малюнок 1.7: Зверніть увагу, що 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. Тобто 4 · 3 = 12.

Докази на малюнку 1.6 та малюнку 1.7 показують нам, що множення є комутативним. Тобто,

\[3 · 4=4 · 3 \nonumber\]

Комутативна властивість множення

Якщо a і b є будь-якими цілими числами, то

\[a · b = b · a. \nonumber\]

Мультиплікативна ідентичність

На малюнку 1.8 (а) зверніть увагу, що п'ять з них дорівнюють 5; тобто\(5 · 1 = 5\). З іншого боку, на малюнку 1.8 (b) ми бачимо, що одна п'ятерка дорівнює п'яти; тобто 1 · 5 = 5.

Малюнок 1.8: Зверніть увагу, що 5 · 1 = 5 і 1 · 5 = 5.

Оскільки множення цілого числа на 1 дорівнює цьому однаковому числу, ціле число 1 називається мультиплікативною ідентичністю.

Властивість мультиплікативної ідентичності

Якщо\(a\) будь-яке ціле число, то

а · 1 = а і 1 · а = а.

Множення на нуль

Тому що\(3 · 4 = 4 + 4 + 4\), можна сказати, що виріб\(3 · 4\) являє собою «3 комплекти по 4», як зображено на малюнку 1.9, де три групи по чотири коробки кожна огорнуті овалом.

Малюнок 1.9: Три набори з чотирьох: 3 · 4 = 12.

Отже,\(0 · 4\) означатиме нульові набори з чотирьох. Звичайно, нульові множини з чотирьох дорівнює нулю.

Множення на нуль.

Якщо a представляє будь-яке ціле число, то

\(a · 0 = 0\)і\(0 · a = 0\).

Асоціативна властивість множення

Як і додавання, множення цілих чисел є асоціативним. Дійсно,

\[\begin{align*} 2 · (3 · 4) &= 2 · 12 \\[4pt] &= 24 \end{align*}\]

і

\[\begin{align*} (2 · 3) · 4 &=6 · 4 \\[4pt] &= 24. \end{align*}\]

Асоціативна властивість множення.

Якщо a, b і c є будь-якими цілими числами, то

\[a · (b · c)=(a · b) · c. \nonumber\]

Множення більших цілих чисел

Так само, як додавання і віднімання великих цілих чисел, нам також потрібно буде помножити великі цілі числа. Знову ж таки, сподіваємося, алгоритм знайомий з попередніх курсових робіт.

Приклад 1

Спростити:\(35 · 127\).

Рішення

Вирівняйте цифри по вертикалі. Порядок множення не має значення, але ми поставимо більше з двох чисел поверх меншого числа. Насамперед необхідно помножити 5 разів 127. Знову приступаємо справа наліво. Отже, 5 разів 7 - 35. Пишемо 5, потім переносимо 3 в стовпчик десятки. Далі 5 разів 2 - 10. Додайте цифру перенесення 3, щоб отримати 13. Напишіть 3 і перенесіть 1 до стовпця сотні. Нарешті, 5 разів 1 - 5. Додайте цифру перенесення, щоб отримати 6.

Наступним кроком потрібно помножити 3 рази 127. Однак, оскільки 3 знаходиться в десятках місце, його значення 30, тому ми насправді множимо 30 разів 126. Це те саме, що множення 127 на 3 і розміщення 0 в кінці результату.

Після додавання 0, 3 рази 7 дорівнює 21. Ми пишемо 1 і проводимо 2 над 2 в стовпці десятки. Потім, 3 рази 2 - 6. Додайте цифру перенесення 2, щоб отримати 8. Нарешті, 3 рази 1 - 1.

Все, що залишилося зробити, це додати результати.

Таким чином, 35 · 127 = 4, 445.

Альтернативний формат

Не завадить опустити кінцевий нуль на другому кроці множення, де множимо 3 рази 127. Результат буде виглядати наступним чином:

У цьому форматі розуміється нуль, тому не обов'язково мати його фізично присутнім. Ідея полягає в тому, що при кожному множенні на нову цифру ми робимо відступ добутку на один пробіл справа.

Вправа

Спрощення: 56 · 335

Відповідь

18 760

Ділення цілих чисел

Тепер перейдемо до теми поділу цілих чисел. Спочатку ми вводимо різні символи, що використовуються для позначення поділу цілих чисел.

Математичні символи, що вказують на поділ

Символ		Приклад
÷	символ поділу	12 ÷ 4
-	фракція бар	\(\frac{12}{4}\)
\(\longdiv{-}\)	поділ бар	\(4 \longdiv{12}\)

Зверніть увагу, що кожен з наступних сказати одне і те ж; тобто «12 розділений на 4 - це 3».

\(12 \div 4=3 \quad \text { or } \quad \frac{12}{4}=3 \quad \text { or } \quad 4 \sqrt{12}\)

Коефіцієнти, дивіденди та дільники

У заяві

\(\frac{3}{4 ) 12}\)

ціле число 12 називається дивідендом, ціле число 4 називається дільником, а ціле число 3 називається часткою. Зверніть увагу, що це позначення смуги поділу еквівалентно

\(12 \div 4=3 \quad \text { and } \quad \frac{12}{4}=3.\)

Вираз a/ b означає «a ділиться на b», але ця конструкція також називається дробом.

Визначення: Дріб

вираз

\( \frac{a}{b}\)

називається дробом. Число\(a\) зверху називається чисельником дробу; число\(b\) внизу називається знаменником дробу.

Ключ до розуміння поділу цілих чисел міститься в наступному твердженні.

Ділення еквівалентно повторному відніманню.

Припустимо, наприклад, що ми хотіли б розділити ціле число 12 на ціле число 4. Це еквівалентно питанню «скільки четвірок ми можемо відняти від 12?» Це можна візуалізувати на діаграмі числової лінії, наприклад, на малюнку 1.10.

Малюнок 1.10: Ділення - це повторне віднімання.

На малюнку 1.10 зверніть увагу, що ми якщо відняти три четвірки з дванадцяти, то результат дорівнює нулю. В символах,

\( 12-\underbrace{4-4-4}_{\text { three fours }}=0.\)

Аналогічно, ми також можемо запитати «Скільки груп з чотирьох є в 12», і організувати нашу роботу, як показано на малюнку 1.11, де ми бачимо, що в масиві з дванадцяти об'єктів ми можемо обвести три групи з чотирьох; тобто, 12 ÷ 4 = 3.

Малюнок 1.11: Існує три групи по чотири з дванадцяти.

На малюнку 1.10 і малюнку 1.11 зверніть увагу, що ділення (повторне віднімання) не залишає залишку. Це не завжди так.

Приклад 2.

Розділіть 7 на 3.

Рішення

На малюнку 1.12 ми бачимо, що ми можемо відняти дві трійки з семи, залишивши залишок однієї.

Малюнок 1.12: Ділення з залишком.

Крім того, в масиві з семи об'єктів, ми можемо обвести дві групи по три, залишаючи залишок від одного.

Малюнок 1.13: Розділення семи на три залишає залишок одного.

Обидва рисунки 1.12 і рис. 1.13 показують, що існує дві групи по три з семи, з однією залишилася. Ми говоримо: «Сім ділиться на три - це два, з залишком одного.

Вправа

Використовуйте як підхід числової лінії, так і масив коробок підхід, щоб розділити 12 на 5.

Відділ не є комутативним

При діленні цілих чисел порядок має значення. Наприклад

12 ÷ 4 = 3,

але 4 ÷ 12 - це навіть не ціле число. Таким чином, якщо a і b - цілі числа, то a ÷ b не обов'язково повинен бути таким же, як b ÷ a.

Відділ не асоціативний

Коли ви ділите три числа, порядок, в якому вони групуються, зазвичай впливає на відповідь. Наприклад,

(48 ÷ 8) ÷ 2 = 6 ÷ 2

= 3,

проте

48 ÷ (8 ÷ 2) = 48 ÷ 4

= 12.

Таким чином, якщо a, b, c - цілі числа, (a ÷ b) ÷ c не обов'язково повинні бути такими ж, як a ÷ (b ÷ c).

Ділення на нуль не визначено

Припустимо, що нас просять розділити шість на нуль; тобто нас просять обчислити 6 ÷ 0. На малюнку 1.14 ми маємо масив з шести об'єктів.

Малюнок 1.14: Скільки груп нуля ви бачите?

Тепер, щоб розділити шість на нуль, ми повинні відповісти на питання «Скільки груп нуля ми можемо обвести на малюнку 1.14?» Деяка думка дасть відповідь: Це безглуздий запит! Абсолютно немає сенсу питати, скільки груп нуля можна обвести в масиві з шести об'єктів на малюнку 1.14.

Поділ на нуль

Ділення на нуль не визначено. Кожне з виразів

\(6 \div 0 \quad \text { and } \quad \frac{6}{0} \quad \text { and } \quad 0 ) \overline{6}\)

не визначено.

З іншого боку, є сенс запитати «Що таке нуль ділити на шість?» Якщо ми створюємо масив нульових об'єктів, то запитайте, скільки груп з шести ми можемо обвести, відповідь «нульові групи з шести». Тобто нуль, ділений на шість, дорівнює нулю.

\( 0 \div 6=0 \quad \text { and } \quad \frac{0}{6}=0 \quad \text { and } \quad 6 \frac{0}{0}\)

Ділення більших цілих чисел

Тепер ми надамо швидкий огляд ділення великих цілих чисел, використовуючи алгоритм, який зазвичай називають довгим діленням. Це не повинно бути ретельним обговоренням, а побіжним. Ми розраховуємо на те, що наші читачі стикалися з цим алгоритмом на попередніх курсах і знайомі з процесом.

Приклад 3

Спрощення: 575/23.

Рішення

Починаємо з оцінки, скільки разів 23 розділимо на 57, вгадуємо 1. Ставимо 1 в частку вище 7, множимо 1 на 23, поміщаємо відповідь під 57, потім віднімаємо.

\(\begin{array}{c}{23 ) \frac{1}{575}} \\ {\frac{23}{34}}\end{array}\)

Оскільки залишок більше, ніж дільник, наша оцінка занадто мала. Пробуємо ще раз з оцінкою 2.

\(\begin{array}{r}{2} \\ {2 3 \longdiv { 5 7 5 }} \\ {\frac{46}{11}}\end{array}\)

Ось і алгоритм. Ділимо, множимо, потім віднімаємо. Ви можете продовжувати лише тоді, коли залишок менше дільника.

Щоб продовжити, збийте 5, оцініть, що 115 ділиться на 23 дорівнює 5, потім помножте 5 разів дільник і відніміть.

\(\begin{array}{c}{25} \\ {2 3 \longdiv { 5 7 5 }} \\ {\frac{46}{115}} \\ {\frac{115}{0}}\end{array}\)

Оскільки залишок дорівнює нулю, 575/23 = 25.

Вправа

Розділити 980/35

Відповідь

28

Застосування - підрахунок прямокутних масивів

Розглянемо прямокутний масив зірок на малюнку 1.15. Щоб підрахувати кількість зірок у масиві, ми могли б використовувати грубу силу, підраховуючи кожну зірку в масиві по одній за раз, в цілому 20 зірок. Однак, оскільки у нас є чотири ряди по п'ять зірок кожен, множити набагато швидше: 4 · 5 = 20 зірок.

Малюнок 1.15: Чотири рядки і п'ять стовпців.

Малюнок 1.16: Міри площі знаходяться в квадратних одиницях.

Застосування — Область

На малюнку 1.16 (а) зображено один квадратний дюйм (1 в ²), квадрат з одним дюймом з кожного боку. На малюнку 1.16 (b) зображено один квадратний фут (1 фут ²), квадрат з однією ногою з кожного боку. Обидва ці квадрати є мірами площі. Тепер розглянемо прямокутник, показаний на малюнку 1.17. Довжина цього прямокутника становить чотири дюйми (4 дюйма), а ширина - три дюйми (3 дюйма).

Малюнок 1.17: Прямокутник довжиною 4 дюйми і шириною 3 дюйми.

Щоб знайти площу фігури, ми можемо порахувати окремі одиниці площі, які складають площу прямокутника, дванадцять квадратних дюймів (12 в ²) у всіх. Однак, як ми робили при підрахунку зірок у масиві на малюнку 1.15, набагато швидше відзначити, що у нас є три ряди по чотири квадратні дюйми. Значить, набагато швидше помножити кількість квадратів у кожному рядку на кількість квадратів у кожному стовпці: 4·3 = 12 квадратних дюймів.

Представлений вище аргумент призводить до наступного правила знаходження площі прямокутника.

Площа прямокутника

Нехай L і W представляють довжину і ширину прямокутника відповідно.

Щоб знайти площу прямокутника, обчисліть твір довжини і ширини. Тобто, якщо A представляє площу прямокутника, то площа прямокутника задається за формулою

А = LW.

Приклад 4

Прямокутник має ширину 5 футів і довжину 12 футів. Знайдіть площу прямокутника.

Рішення

Заставте L = 12 футів і W = 5 футів у формулу площі.

А = LW

= (12 футів) (5 футів)

= 60 футів ²

Отже, площа прямокутника становить 60 квадратних футів.

Вправа

Прямокутник має ширину 17 дюймів і довжину 33 дюйми. Знайдіть площу прямокутника.

Відповідь

561 квадратних дюймів

Вправи

У вправах 1-4 використовуйте діаграми числових ліній, як показано на малюнку 1.6, щоб зобразити множення.

1. 2 · 4.

2. 3 · 4.

3. 4 · 2.

4. 4 · 3.

---

У вправах 5-16 викладіть властивість множення, зображене заданою ідентичністю.

5. 9 · 8=8 · 9

6. 5 · 8=8 · 5

7. 8 · (5 · 6) = (8 · 5) · 6

8. 4 · (6 · 5) = (4 · 6) · 5

9. 6 · 2=2 · 6

10. 8 · 7=7 · 8

11. 3 · (5 · 9) = (3 · 5) · 9

12. 8 · (6 · 4) = (8 · 6) · 4

13. 21 · 1 = 21

14. 39 · 1 = 39

15. 13 · 1 = 13

16. 44 · 1 = 44

---

У вправах 17-28 помножте задані числа.

17. 78 · 3

18. 58 · 7

19. 907 · 6

20. 434 · 80

21. 128 · 30

22. 454 · 90

23. 799 · 60

24. 907 · 20

25. 14 · 70

26. 94 · 90

27. 34 · 90

28. 87 · 20

---

У вправах 29-40 помножте задані числа.

29. 237 · 54

30. 893 · 94

31. 691 · 12

32. 823 · 77

33. 955 · 89

34. 714 · 41

35. 266 · 61

36. 366 · 31

37. 365 · 73

38. 291 · 47

39. 955 · 57

40. 199 · 33

---

41. Підрахуйте кількість об'єктів у масиві.

42. Підрахуйте кількість об'єктів у масиві.

43. Підрахуйте кількість об'єктів у масиві.

44. Підрахуйте кількість об'єктів у масиві.

---

У вправах 45-48 знайдіть площу прямокутника, що має задану довжину і ширину.

45. Л = 50 в, Ш = 25 в

46. L = 48 в, Ш = 24 в

47. L = 47 в, Ш = 13 в

48. Л = 19 в, Ш = 10 в

---

У вправах 49-52 знайдіть периметр прямокутника, що має задану довжину і ширину.

49. Л = 25 в, Ш = 16 в

50. L = 34 в, Ш = 18 в

51. L = 30 в, Ш = 28 в

52. L = 41 в, Ш = 25 в

---

53. Набір бісеру коштує 50 центів за десяток. Яка вартість (в доларах) 19 десятків наборів бісеру?

54. Набір бісеру коштує 60 центів за десяток. Яка вартість (в доларах) 7 десятків наборів бісеру?

55. Якби репетитор з математики працював 47 годин і отримував 15 доларів щогодини, скільки грошей вона б заробила?

56. Якби репетитор з математики працював 46 годин і йому платили по 11 доларів щогодини, скільки б він заробив?

57. Яєць 12 в одному десятку, і 12 десятків в одному брутто. Скільки яєць в партії 24 брутто?

58. Яєць 12 в одному десятку, і 12 десятків в одному брутто. Скільки яєць в партії 11 брутто?

59. Якщо цегла важить по 4 кілограми кожен, який вага (в кілограмах) 5000 цегли?

60. Якщо цегла важить по 4 фунти кожен, яка вага (у фунтах) 2000 цегли?

---

У вправах 61-68, який з наступних чотирьох виразів відрізняється від решти трьох?

61. \(\frac{30}{5}\), 30 ÷ 5,\(5 \longdiv { 3 0 }\), 5 ÷ 30

62. \(\frac{12}{2}\), 12 ÷ 2,\(2 \longiv{12}\), 2 ÷ 12

63. \(\frac{8}{2}\), 8 ÷ 2,\(2 \longdiv{8}\),\(8 \longdiv{2}\)

64. \(\frac{8}{4}\), 8 ÷ 4,\(4 \longdiv { 8 }\),\(8 \longdiv { 4 }\)

65. \(2 \longdiv { 14 }\),\(14 \longdiv { 2 }\),\(\frac{14}{2}\), 14 ÷ 2

66. \(9 \longdiv { 54 }\),\(54 \longdiv { 9 }\),\(\frac{54}{9}\), 54 ÷ 9

67. \(3 \longdiv { 24 }\), 3 ÷ 24\(\frac{24}{3}\), 24 ÷ 3

68. \(3 \longdiv { 15 }\), 3 ÷ 15,\(\frac{15}{3}\), 15 ÷ 3

---

У вправах 69-82 спростіть даний вираз. Якщо відповідь не існує або не визначена, напишіть «undefined».

69. 0 ÷ 11

70. 0 ÷ 5

71. 17 ÷ 0

72. 24 ÷ 0

73. 10 · 0

74. 20 · 0

75. \(\frac{7}{0}\)

76. \(\frac{23}{0}\)

77. \(16 \longdiv { 0 }\)

78. \(25 \longdiv { 0 }\)

79. \(\frac{0}{24}\)

80. \(\frac{0}{22}\)

81. \(0 \longdiv { 0 }\)

82. 0 ÷ 0

---

У вправах 83-94 розділіть задані числа.

83. \(\frac{2816}{44}\)

84. \(\frac{1998}{37}\)

85. \(\frac{2241}{83}\)

86. \(\frac{2716}{97}\)

87. \(\frac{3212}{73}\)

88. \(\frac{1326}{17}\)

89. \(\frac{8722}{98}\)

90. \(\frac{1547}{91}\)

91. \(\frac{1440}{96}\)

92. \(\frac{2079}{27}\)

93. \(\frac{8075}{85}\)

94. \(\frac{1587}{23}\)

---

У вправах 95-106 розділіть задані числа.

95. \(\frac{17756}{92}\)

96. \(\frac{46904}{82}\)

97. \(\frac{11951}{19}\)

98. \(\frac{22304}{41}\)

99. \(\frac{18048}{32}\)

100. \(\frac{59986}{89}\)

101. \(\frac{29047}{31}\)

102. \(\frac{33264}{86}\)

103. \(\frac{22578}{53}\)

104. \(\frac{18952}{46}\)

105. \(\frac{12894}{14}\)

106. \(\frac{18830}{35}\)

---

107. Бетонний тротуар укладається квадратними блоками, які вимірюють 6 футів з кожного боку. Скільки блоків буде в прогулянці, що 132 футів завдовжки?

108. Бетонний тротуар укладається квадратними блоками, які вимірюють 5 футів з кожного боку. Скільки блоків буде в прогулянці, що 180 футів завдовжки?

109. Один човен на острів може прийняти 5 осіб. Скільки поїздок доведеться здійснити катер, щоб переправити 38 осіб на острів? (Підказка: округляйте свою відповідь.)

110. Один човен на острів може прийняти 4 людини. Скільки поїздок доведеться здійснити катер, щоб переправити 46 осіб на острів? (Підказка: округляйте свою відповідь.)

111. Якщо вуличні ліхтарі розміщені на відстані не більше 145 футів один від одного, скільки вуличних ліхтарів знадобиться для вулиці довжиною 4 милі, припускаючи, що на кожному кінці вулиці є ліхтарі? (Примітка: 1 миля = 5280 футів.)

112. Якщо вуличні ліхтарі розміщені на відстані не більше 70 футів один від одного, скільки вуличних ліхтарів знадобиться для вулиці довжиною 3 милі, припускаючи, що на кожному кінці вулиці є ліхтарі? (Примітка: 1 миля = 5280 футів.)

113. Бетонний тротуар укладається квадратними блоками, які вимірюють 4 фути з кожного боку. Скільки блоків буде в прогулянці довжиною 292 футів?

114. Бетонний тротуар укладається квадратними блоками, які вимірюють 5 футів з кожного боку. Скільки блоків буде в прогулянці, яка 445 футів завдовжки?

115. Один човен на острів може прийняти 3 людини. Скільки поїздок доведеться здійснити човен, щоб переправити 32 людини на острів? (Підказка: округляйте свою відповідь.)

116. Один човен на острів може прийняти 4 людини. Скільки поїздок доведеться здійснити катер, щоб переправити 37 осіб на острів? (Підказка: округляйте свою відповідь.)

117. Якщо вуличні ліхтарі розміщені на відстані не більше 105 футів один від одного, скільки вуличних ліхтарів знадобиться для вулиці довжиною 2 милі, припускаючи, що на кожному кінці вулиці є ліхтарі? (Примітка: 1 миля = 5280 футів.)

118. Якщо вуличні ліхтарі розміщені на відстані не більше 105 футів один від одного, скільки вуличних ліхтарів знадобиться для вулиці довжиною 3 милі, припускаючи, що на кожному кінці вулиці є ліхтарі? (Примітка: 1 миля = 5280 футів.)

---

119. Написання статей. Елі пише в середньому 4 статті на день, п'ять днів на тиждень, для підтримки продажів продукції. Скільки статей пише Елі за один тиждень?

120. Кулемет. Зенітний кулемет калібру 0,50-го калібру може стріляти по 800 пострілів щохвилини. Скільки патронів могло вистрілити за три хвилини? Асоційований прес Часи Стандарт 4/15/09

121. Кола. Відстань до плавального басейну готелю CalCourts становить 25 метрів. Якщо одне коло вгору і назад знову, скільки ярдів Wendell плавав робити 27 кіл?

122. Потужність холодильника. Звичайний холодильник буде працювати близько 12 годин щодня, може використовувати 150 Вт потужності щогодини. Скільки Вт потужності буде використовувати холодильник протягом дня?

123. Кінське сіно. Повнорослий кінь повинен з'їдати мінімум 12 фунтів сіна щодня і може з'їсти набагато більше залежно від їх ваги. Скільки фунтів мінімум з'їсть кінь протягом року?

124. Витрати на коледж. Після $662 підвищення зборів, жителі Каліфорнії, які хочуть відвідувати Каліфорнійський університет як студент повинні розраховувати заплатити $8,700 в майбутній навчальний рік 2009- 2010. Якщо вартість повинна була залишитися незмінною протягом наступних кількох років, скільки студент повинен розраховувати заплатити за чотирирічну програму ступеня в школі UC?

125. Витрати нерезидента. Іногородні студенти, які хочуть відвідувати коледж Каліфорнійського університету, повинні розраховувати заплатити близько $22,000 за майбутній навчальний рік. Якщо припустити, що витрати залишаються незмінними, що може коштувати чотирирічний градус?

126. Студентський податок. Майер Провіденс, Род-Айленд хоче оподаткувати своїх студентів університету 25,000 Браун 150 доларів кожен, щоб внести свій внесок у податкові надходження, кажучи, що студенти повинні платити за ресурси, які вони використовують так само, як жителі міста. Скільки доларів буде генерувати майер?

127. Новий айсберг. Новий айсберг, збитий льодовиком після зіткнення з іншим айсбергом, вимірює близько 48 миль в довжину і 28 миль в ширину. Яка приблизна площа нового айсберга? Associated PressTimes - стандарт 02/27/10 2 Величезні айсберги розкинулися біля узбережжя Антарктиди.

128. Сонячні батареї. Одна з сонячних панелей на Міжнародній космічній станції має довжину 34 метри і ширину 11 метрів. Якщо їх вісім, яка загальна площа для збору сонячної енергії?

129. Тротуарна. Бетонний тротуар повинен бути довжиною 80 футів і шириною 4 футів. Скільки буде коштувати укладання тротуару по 8 доларів за квадратний фут?

130. Тюки сіна. Середній тюк сіна важить близько 60 фунтів. Якщо кінь з'їдає 12 фунтів сіна в день, скільки днів один тюк буде годувати коня?

131. Сонячні плями. Сонячні плями, де магнітне поле сонця набагато вище, зазвичай виникають парами. Якщо загальна кількість сонячних плям становить 72, скільки пар сонячних плям?

Відповіді

1. \(2 \cdot 4=\underbrace{4+4}_{2 \text { times }}=8\)

3. \(4 \cdot 2=\underbrace{2+2+2+2}_{4 \text { times }}=8\)

5. Комутативна властивість множення

7. Асоціативна властивість множення

9. Комутативна властивість множення

11. Асоціативна властивість множення

13. Властивість мультиплікативної ідентичності

15. Властивість мультиплікативної ідентичності

17. 234

19. 5442

21. 3840

23. 47940

25. 980

27. 3060

29. 12798

31. 8292

33. 84995

35. 16226

37. 26645

39. 5435

41. 64

43. 56

45. 1250 у ²

47. 611 у ²

49. 82 хв

51. 116 дюймів

53. 9,50

55. 705

57. 3456

59. 20000

61. 5 ÷ 30

63. \(8 \sqrt{2}\)

65. \(14 \sqrt{2}\)

67. 3 ÷ 24

69. 0

71. Невизначений

73. 0

75. Невизначений

77. 0

79. 0

81. Невизначений

83. 64

85. 27

87. 44

89. 89

91. 15

93. 95

95. 193

97. 629

99. 564

101. 937

103. 426

105. 921

107. 22

109. 8

111. 147

113. 73

115. 11

117. 102

119. 20 статей

121. 1350 ярдів

123. 4380 фунтів сіна

125. $88 000

127. 1344 км ²

129. 2,560 доларів

131. 36