2: Послідовності
Введемо поняття межі спочатку через послідовності. Як згадувалося в розділі 1, послідовність - це просто функція з доменомN. Точніше, послідовність елементів множиниA - це функціяf:N→A. Ми будемо позначати зображенняn під функцією з індексованими змінними, наприклад,an=f(n). Ми також позначимо послідовності по{an}∞n=1{an}n, або навіть{an}. Кожне значенняan називається терміном послідовності, точніше,n -им терміном послідовності.
Розглянемо послідовністьan=1n дляn∈N.
Рішення
Це послідовність раціональних чисел. Іноді, коли закономірність зрозуміла, ми можемо перерахувати терміни явно, як у
(1,12,13,14,15,…
Нехайan=(−1)n дляn∈N. Це послідовність цілих чисел, а саме:
−1,1,−1,1,−1,1,…
Рішення
Зверніть увагу, що послідовність приймає тільки два значення. Це не слід плутати з двоелементним набором{1,−1}.
- 2.4: Теорема Болазно-Вейєрштрасса
- Теорема Больцано-Вейєрштрасса знаходиться в основі багатьох результатів аналізу. вона, по суті, еквівалентна аксіомі повноти дійсних чисел.