6.5: Площа трапеції

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.4: Площа ромба
- 7: Регулярні багатокутники та кола

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

На $\PageIndex{1}$ малюнку $b_1$ і $b_2$ є підстави трапеції $ABCD$ і $h$ є висотою або висотою. Формула для площі наведена в наступній теоремі:

Знімок екрана 2020-12-28 о 11.40.42 AM.png — Малюнок $\PageIndex{1}$ : Трапеція $ABCD$ з підставами $b_1$ $b_2$ і висотою $h$ .

Теорема $\PageIndex{1}$

Площа трапеції дорівнює половині добутку її висоти і суми її підстав.

$A = \dfrac{1}{2} h(b_1 + b_2)$

Доказ: На $\PageIndex{1}$ малюнку малюємо $BD$ (див. Малюнок $\PageIndex{2}$ ). Зверніть увагу, що $CD = b_2$ є базою і $BF = h$ є висотою $\triangle BCD$ . Площа трапеції $ABCD =$ Площа $\triangle ABD$ + Площа $\triangle BCD$ = $\dfrac{1}{2} b_1h + \dfrac{1}{2} b_2 h = \dfrac{1}{2} h(b_1 + b_2)$ .

$Знімок екрана 2020-12-28 о 11.46.50 AM.png$
Малюнок $\PageIndex{2}$ : Малювати $BD$ . $CD$ є підставою і $BF$ є висотою $\triangle BCD$ .

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайдіть місцевість:

$Знімок екрана 2020-12-28 о 11.42.45 AM.png$

Рішення

$A = \dfrac{1}{2} h(b_1 + b_2)= \dfrac{1}{2} (6)(28 + 16) = \dfrac{1}{2} (6)(44) = 132$ .

Відповідь: $A = 132$ .

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайдіть площу і периметр:

$Знімок екрана 2020-12-28 о 11.48.05 AM.png$

Рішення

Намалюйте висоти $DE$ і $CF$ (Малюнок $\PageIndex{3}$ ). $\triangle ADE$ $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ трикутник. Так $AE$ = короткий катет = $\dfrac{1}{2}$ гіпотенуза = $\dfrac{1}{2}(10) = 5$ , а $DE$ = довгий катет = (короткий катет) ( $\sqrt{3}$ ) = $5\sqrt{3}$ . $CDEF$ це прямокутник так $EF = CD = 10$ . Тому $BF = AB - EF = 22 -10 - 5 = 7$ . Нехай $x = BC$ .

Знімок екрана 2020-12-28 о 11.50.59 AM.png — Малюнок $\PageIndex{3}$ : Намалюйте висоти $DE$ і $CF$ .

$\begin{array} {rcl} {\text{CF}^2 + \text{BF}^2} & = & {\text{BC}^2} \\ {(5\sqrt{3})^2 + 7^2} & = & {x^2} \\ {75 + 49} & = & {x^2} \\ {124} & = & {x^2} \\ {x} & = & {\sqrt{124} = \sqrt{4} \sqrt{31} = 2\sqrt{31}} \end{array}$

Площа = $\dfrac{1}{2} h(b_1 + b_2) = \dfrac{1}{2} (5\sqrt{3}) (22 + 10) = \dfrac{1}{2} (5\sqrt{3})(32) = 80\sqrt{3}$ .