6.5: Площа трапеції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58880

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

На$\PageIndex{1}$ малюнку$b_1$ і$b_2$ є підстави трапеції$ABCD$ і$h$ є висотою або висотою. Формула для площі наведена в наступній теоремі:

Знімок екрана 2020-12-28 о 11.40.42 AM.png — Малюнок$\PageIndex{1}$: Трапеція$ABCD$ з підставами$b_1$$b_2$ і висотою$h$.

Теорема$\PageIndex{1}$

Площа трапеції дорівнює половині добутку її висоти і суми її підстав.

\[A = \dfrac{1}{2} h(b_1 + b_2)\]

Доказ: На$\PageIndex{1}$ малюнку малюємо$BD$ (див. Малюнок$\PageIndex{2}$). Зверніть увагу, що$CD = b_2$ є базою і$BF = h$ є висотою$\triangle BCD$. Площа трапеції$ABCD =$ Площа$\triangle ABD$ + Площа$\triangle BCD$ =$\dfrac{1}{2} b_1h + \dfrac{1}{2} b_2 h = \dfrac{1}{2} h(b_1 + b_2)$.

$Знімок екрана 2020-12-28 о 11.46.50 AM.png$
Малюнок$\PageIndex{2}$: Малювати$BD$. $CD$є підставою і$BF$ є висотою$\triangle BCD$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть місцевість:

$Знімок екрана 2020-12-28 о 11.42.45 AM.png$

Рішення

$A = \dfrac{1}{2} h(b_1 + b_2)= \dfrac{1}{2} (6)(28 + 16) = \dfrac{1}{2} (6)(44) = 132$.

Відповідь:$A = 132$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть площу і периметр:

$Знімок екрана 2020-12-28 о 11.48.05 AM.png$

Рішення

Намалюйте висоти$DE$ і$CF$ (Малюнок$\PageIndex{3}$). $\triangle ADE$$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$трикутник. Так$AE$ = короткий катет =$\dfrac{1}{2}$ гіпотенуза =$\dfrac{1}{2}(10) = 5$, а$DE$ = довгий катет = (короткий катет) ($\sqrt{3}$) =$5\sqrt{3}$. $CDEF$це прямокутник так$EF = CD = 10$. Тому$BF = AB - EF = 22 -10 - 5 = 7$. Нехай$x = BC$.

Знімок екрана 2020-12-28 о 11.50.59 AM.png — Малюнок$\PageIndex{3}$: Намалюйте висоти$DE$ і$CF$.

\[\begin{array} {rcl} {\text{CF}^2 + \text{BF}^2} & = & {\text{BC}^2} \\ {(5\sqrt{3})^2 + 7^2} & = & {x^2} \\ {75 + 49} & = & {x^2} \\ {124} & = & {x^2} \\ {x} & = & {\sqrt{124} = \sqrt{4} \sqrt{31} = 2\sqrt{31}} \end{array}\]

Площа =$\dfrac{1}{2} h(b_1 + b_2) = \dfrac{1}{2} (5\sqrt{3}) (22 + 10) = \dfrac{1}{2} (5\sqrt{3})(32) = 80\sqrt{3}$.

Периметр =$22 + 10 + 10 + 2\sqrt{31} = 42 + 2\sqrt{31}$.

Відповідь:$A = 80\sqrt{3}$,$P = 42 + 2\sqrt{31}$.