Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.5: Спеціальні правильні трикутники

Існує два види прямокутного трикутника, які заслуговують на особливу увагу:306090 прямокутний трикутник і прямокутний трикутник.454590

30° -60° −90° Прямі трикутники

Трикутник, кути якого90 є30,60, і називається306090 трикутником. ABCна малюнку4.5.1 -306090 трикутник зі стороноюAC=1.

clipboard_ed678ddbcb09d3654cc9eba5d242c0f79.png
Малюнок4.5.1:306090 Трикутник.
clipboard_ec10cffb32fcd849cb5d0285d670860ed.png
Малюнок4.5.2: МалюємоBD іCD.

Щоб дізнатися більше про цей трикутник, намалюємо лініїBD іCD як на малюнку4.5.2. ABCDBCbyASA=ASA soAC=DC=1.ABD є рівнокутний трикутник, тому всі сторони повинні бути рівні2.. ТомуAB=2 (рис.4.5.3).

clipboard_e43a62a5040176eee2263715ec187b75b.png
Малюнок4.5.3:ABD рівнокутна з усіма сторонами, рівними 2.

Нехайx=BC. Давайте знайдемоx. Застосовуючи теорему Піфагора доABC,

leg2+leg2=hyp212+x2=x21+x2=4x2=3x=3

Тепер припустимо, нам дано ще один306090 трикутникDEF, зі стороноюDF=8 (рис.4.5.4). DEFсхожийABC на малюнок4.5.3 Тому

DFAC=DEAB81=DE216=DEіDFAC=EFBC81=EF383=EF

clipboard_ebf457adce79b4af3bd3bbf861aa3ffb1.png
Малюнок4.5.3:

Наші висновки про трикутникиABC іDEF припускають наступну теорему:

Теорема4.5.1

У306090 трикутнику гіпотенуза завжди вдвічі більша за катет, протилежний30 куту (коротший катет). Нога, протилежна60 куту (довша нога) завжди дорівнює коротшому часу ноги3.

clipboard_e0fe7722615621b15eee5df801e479d4b.png
Малюнок4.5.5: Гіпотенуза вдвічі коротший катет, а довший катет дорівнює коротшому катету разів більше3.

На малюнку4.5.5s= коротший катет,L= довший катет, а гіп = гіпотенуза. Теорема4.5.1 говорить, що

hyp=2sL=s3

Зверніть увагу, що довша нога завжди нога протилежна (найвіддаленіша від)60 кута, а коротша нога завжди нога протилежна (найвіддаленіша від)30 кута.

Приклад4.5.1

Знайтиx іy:

clipboard_ebf457adce79b4af3bd3bbf861aa3ffb1.png

Рішення

B=180(60+90)=180150=30, ТакABC і306090 трикутник. За4.5.1 теоремою

hyp=2sy=2(7)=14.L=s3x=73

Відповідь

x=73,y=14.

Приклад4.5.2

Знайтиx іy:

2020-11-17 9.26.53.PNG

Рішення

B=60такABC це306090 трикутник. За4.5.1 теоремою

L=s310=x3103=x33x=103=10333=1033.hyp=2sy=2x=2(1033)=2033

Відповідь

x=1033,y=2033.

45° -45° −90° Прямі трикутники

Другий особливий трикутник, який ми розглянемо, - це454590 трикутник. Трикутник, кути якого є4545, і90 називається454590 трикутником або рівнобедреним прямокутним трикутником. ABCна малюнку4.5.6 -454590 трикутник зі стороноюAC=1.

2020-11-17 9.40.51.png
Малюнок4.5.6:454590 Трикутник.

Так якA=B=45, сторони, протилежні цим кутам, повинні бути рівними (Теорема 2.5.2, Розділ 2.5). ТомуAC=BC=1.

2020-11-17 9.43.07.пнг
Малюнок4.5.7: Ніжки454590 трикутника рівні.

Нехайx=AB (рис.4.5.7). За теоремою Піфагора

leg2+leg2=hyp212+12=x21+1=x22=x22=x

Приклад4.5.3

Знайтиx:

2020-11-17 9.51.26 PNG

Рішення

B=180(45+90)=180135=45. ТакABC і454590 трикутник. AC=BC=8тому що ці сторони протилежні рівні кути. За теоремою Піфагора

leg2+leg2=hyp282+82=x264+64=x2128=x2x=128=642=82

Відповідь

x=82.

Трикутники фігури4.5.6 та приклад4.5.3 припускають наступну теорему:

Теорема4.5.2

У454590 трикутнику катети рівні, а гіпотенуза дорівнює будь-якому разу катета2.

На малюнку4.5.8,hyp є гіпотенузою іL є довжиною кожного катета. Теорема4.5.2 говорить, що

hyp=2L

2020-11-17 10.00.30.png
Малюнок4.5.8: Ніжки рівні, а гіпотенуза дорівнює будь-якому часу катета2.
Приклад4.5.4

Знайтиx іy:

2020-11-17 10.02.32.png

Рішення

B=45. Так виглядаєABC рівнобедрений прямокутний трикутник іx=y.

x2+y2=42x2+x2=162x2=16x2=8x=8=42=22

Відповідь:x=y=22.

Ще один метод:

ABCявляє собою454590 трикутник. Отже, за теоремою4.5.2,

hyp=L24=x242=x22x=42=4222=422=22

Відповідь

x=y=22.

Приклад4.5.5

ЗнайтиAB:

2020-11-18 2.08.01.PNG

Рішення

ADEявляє собою454590 трикутник. Звідси

hyp=L210=x2102=x22x=102=10222=1022=52AE=x=52

Тепер проведітьCF перпендикулярно доAB (рис.4.5.9). B=45так якABCD є рівнобедреною трапецією (Теорема 3.2.4, розділ 3.2).

2020-11-18 2.11.23.png
Малюнок4.5.9: МалюємоCF перпендикулярноAB.

ТакBCF454590 трикутник конгруентнийADE і томуBF=52. CDEFє прямокутником і томуEF=10. У нас єAB=AE+EF+FB=52+10+52=102+10.

Відповідь

AB=102+10.

Приклад4.5.6

ЗнайтиAC іBD:

2020-11-18 2.15.08.PNG

Рішення

ABCDце ромб. ДіагоналіAC іBD перпендикулярні і бісекційні один одного. AEB=90іABE=180(9030)=60. ТакAEB і306090 трикутник.

hyp=2s4=2(BE)2=BEbd=2+2=4L=s3AE=23AC=23+23AC=43

Відповідь

AC=43,BD=4.

Історична примітка: Ірраціональні числа

Піфагорійці вважали, що всі фізичні відносини кораблів можуть бути виражені цілими числами. Однак сторони спеціальних трикутників, описаних в цьому розділі, пов'язані ірраціональними числами,2 і3. Ірраціональне число - це число, яке може бути наближеним, але не вираженим точно, співвідношенням цілих чисел. Наприклад,2 може бути наближений з підвищенням точності такими співвідношеннями1.4=14101.41=141100, як1.414=14141000,, і т.д., але немає дробу цілих чисел, рівно рівному2. (Більш детальну інформацію та докази див. у книзі Річардсона, переліченій у літературі). Піфагорійці виявили, що2 було ірраціональним приблизно в V столітті до н.е., Це було величезним шоком для них, що не всі трикутники можна виміряти «точно». Можливо, вони навіть намагалися зберегти це відкриття в таємниці, побоюючись шкоди, яку вона завдасть їхній філософській достовірності.

Нездатність піфагорійців приймати ірраціональні числа мала сумні наслідки для розвитку математики. Пізніше грецькі математики уникали давати числові значення довжинам відрізків ліній. Задачі, алгебраїчні розв'язки яких можуть бути ірраціональними числами, наприклад, із квадратними рівняннями, були викладені та вирішені геометрично. Результатом стало те, що геометрія процвітала за рахунок алгебри. Індусам і арабам залишилося воскресити вивчення алгебри в середні віки. І лише в 19 столітті ірраціональні числа були поміщені в такі логічні рамки, які греки надали геометрії 2000 років тому.

Проблеми

1 - 10. Знайтиx іy:

1.

Знімок екрана 2020-11-18 о 2.29.15 PM.png

2.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.29.34 PM.png

3.

Знімок екрана 2020-11-18 о 2.29.52 PM.png

4.

Знімок екрана 2020-11-18 о 2.30.08 PM.png

5.

Знімок екрана 2020-11-18 о 2.30.25 PM.png

6.

Знімок екрана 2020-11-18 о 2.30.43 PM.png

7.

Знімок екрана 2020-11-18 о 2.30.59 PM.png

8.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.31.14 PM.png

9.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.31.38 PM.png

10.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.31.57 PM.png

11 - 14. Знайтиx:

11.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.32.12 PM.png

12.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.32.32 PM.png

13.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.32.56 PM.png

14.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.33.16 PM.png

15 - 20. Знайтиx іy:

15.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.34.07 PM.png

16.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.34.26 PM.png

17.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.34.44 PM.png

18.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.35.40 PM.png

19.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.35.57 PM.png

20.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.36.11 PM.png

21 - 22. Знайтиx іAB:

21.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.36.29 PM.png

22.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.36.49 PM.png

23 - 24. Знайтиx іy:

23.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.37.05 PM.png

24.

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.37.20 PM.png

25. ЗнайтиAC іBD:

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.37.37 PM.png

26. Знайтиx,AC іBD:

Знімок екрана 2020-11-18 у 2.37.50 PM.png