4.6: Відстань від точки до лінії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58842

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Припустимо, нам дано точку$P$ і лінію,$\overleftrightarrow{AB}$ як на малюнку$\PageIndex{1}$. Ми хотіли б знайти найкоротший відрізок лінії, який можна провести від$P$ до$\overleftrightarrow{AB}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Точка$P$ і лінія$\overleftrightarrow{AB}$.

Спочатку доведемо теорему:

Теорема$\PageIndex{1}$

У прямокутному трикутнику гіпотенуза більше будь-якого катета. На малюнку$\PageIndex{1}$,$c>a$ і$c>b$. (Символ «>» означає «більше».)

$c$Малюнок$\PageIndex{2}$: більше, ніж будь-який$a$ або$b$.

Доказ

За теоремою Піфагора

$c = \sqrt{a^2 + b^2} > \sqrt{a^2} = a.$

$c = \sqrt{a^2 + b^2} > \sqrt{b^2} = b.$

Тепер ми можемо дати відповідь на наше питання:

Теорема$\PageIndex{2}$

Перпендикуляр - це найкоротший відрізок лінії, який можна провести від точки до прямої.

На малюнку$\PageIndex{3}$ найкоротший відрізок лінії від$P$ до$\overleftrightarrow{AB}$ є$PD$. Будь-який інший відрізок лінії, наприклад$PC$, повинен бути довшим.

Малюнок$\PageIndex{3}$:$PD$ найкоротший відрізок лінії від$P$ до$\overleftrightarrow{AB}$.

Доказ: $PC$гіпотенуза прямокутного трикутника$PCD$. Тому за теоремою$\PageIndex{1}$,$PC > PD$.

Ми визначаємо відстань від точки до лінії, щоб бути довжиною перпендикуляра.

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть відстань від$P$ до$\overleftrightarrow{AB}$:

$2020-11-18 2.48.18png$

Рішення

Намалюйте$PD$ перпендикулярно до$\overleftrightarrow{AB}$ (рис.$\PageIndex{4}$). $\triangle PCD$являє собою$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ трикутник.