4.42:45-45-90 Прямі трикутники

Час катета\(\sqrt{2}\) дорівнює гіпотенузі.

Прямокутний трикутник з конгруентними ніжками та гострими кутами - це рівнобедрений прямокутний трикутник. Цей трикутник ще називають трикутником 45-45-90 (названий на честь кутових мір).

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

\(\Delta ABC\)є прямокутним трикутником з\(m\angle A=90^{\circ}\),\(\overline{AB}\cong \overline{AC}\) і\(m\angle B=m\angle C=45^{\circ}\).

45-45-90 Теорема: Якщо прямокутний трикутник рівнобедрений, то його сторони знаходяться в співвідношенні\(x:x:x\sqrt{2}\). Для будь-якого рівнобедреного прямокутного трикутника катети є x, а гіпотенуза завжди\(x\sqrt{2}\).

Що робити, якщо вам дали рівнобедрений прямокутний трикутник і довжину однієї з його сторін? Як ви могли з'ясувати довжини його інших сторін?

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Знайти довжину\(x\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Рішення

Використовуйте\(x:x:x\sqrt{2}\) співвідношення.

Тут нам дається гіпотенуза. Вирішити для\(x\) в співвідношенні.

\(\begin{aligned} x\sqrt{2}&=16 \\ x&=\dfrac{16}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{16\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайти довжину\(x\), де\(x\) - гіпотенуза трикутника 45-45-90 з довжинами катетів\(5\sqrt{3}\).

Рішення

Використовуйте\(x:x:x\sqrt{2}\) співвідношення.

\(x=5\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{6}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть довжину відсутньої сторони.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Рішення

Використовуйте\(x:x:x\sqrt{2}\) співвідношення. \(TV=6\)тому що вона дорівнює\(ST\). Отже,\(SV=6\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть довжину відсутньої сторони.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Рішення

Використовуйте\(x:x:x\sqrt{2}\) співвідношення. \(AB=9\sqrt{2}\)тому що вона дорівнює\(AC\). Отже,\(BC=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=9\cdot 2=18\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Квадрат має діагональ довжиною 10, які довжини сторін?

Рішення

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Ми знаємо, що половина квадрата - це трикутник 45-45-90, отже\(10=s\sqrt{2}\).

\(\begin{aligned} s\sqrt{2}&=10 \\ s&=10\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\sqrt{2}=10\sqrt{2}2=5\sqrt{2}\end{aligned}\)

Рецензія

1. У рівнобедреному прямокутному трикутнику, якщо катет дорівнює 4, то гіпотенуза дорівнює __________.
2. У рівнобедреному прямокутному трикутнику, якщо катет\(x\), то гіпотенуза дорівнює __________.
3. Квадрат має сторони довжиною 15. Яка довжина діагоналі?
4. Діагональ квадрата дорівнює 22. Яка довжина кожної сторони?

Для питань 5-11 знайдіть довжини відсутніх сторін. Спростити всі радикали.

5. 

   Малюнок\(\PageIndex{6}\)

6. 

   Малюнок\(\PageIndex{7}\)

7. 

   Малюнок\(\PageIndex{8}\)

8. 

   Малюнок\(\PageIndex{9}\)

9. 

   Малюнок\(\PageIndex{10}\)

10. 

    Малюнок\(\PageIndex{11}\)

11. 

    Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.5.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
45-45-90 Теорема	Для будь-якого рівнобедреного прямокутного трикутника, якщо катети мають довжину x одиниць, гіпотенуза завжди\(x\sqrt{2}\).
45-45-90 Трикутник	Трикутник 45-45-90 - це спеціальний прямокутний трикутник з кутами\(45^{\circ}\)\(45^{\circ}\), і\(90^{\circ}\).
Гіпотенуза	Гіпотенуза прямокутного трикутника - найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона знаходиться поперек від прямого кута.
Ніжки прямокутного трикутника	Ніжки прямокутного трикутника - це дві коротші сторони прямокутного трикутника. Ноги примикають до прямого кута.
Радикальний	Знак\(\sqrt\), або квадратний корінь.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Розв'язування спеціальних правильних трикутників

Види діяльності: 45-45-90 Прямі трикутники Обговорення Питання

Навчальні посібники: Спеціальні правильні трикутники навчальний посібник

Практика: 45-45-90 Прямі трикутники

Реальний світ: боротьба з війною з наркотиками за допомогою геометрії та спеціальних трикутників