5.2: Пропорції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 103213

Kelly Brooks
Eastern Gateway Community College

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Пропорція визначає зв'язок між двома змінними, оскільки вона стосується величини або розміру змінних. Пропорційне співвідношення показує, що два співвідношення еквівалентні, такі, що при зміні однієї суми інша сума змінюється на відносну суму.

Для вирішення пропорційних задач ми встановили рівняння таким чином, щоб два співвідношення були еквівалентними:

\[\dfrac{\text{One characteristic from one item}}{\text{A second characteristic from the same item}}=\dfrac{\text{the same first characteristic from a second item}}{\text{the same second characteristic from the second item}} \label{ratio} \]

Приклад$\PageIndex{1}$

Сім контейнерів хімічної речовини коштує 125 доларів. Якщо вартість контейнерів пропорційна, тобто ціна одиниці не змінюється, визначте вартість 12 контейнерів того ж хімічного речовини.

Рішення

Почнемо з налаштування дробів, як у Equation\ ref {ratio}:

\[\begin{align*} \dfrac{\text{Number of containers}}{\text{Cost of those containers}} &=\dfrac{\text{Number of another set of containers}}{\text{Cost of those containers}} \\[4pt] \dfrac{7\, \text{containers}}{\$125} &=\dfrac{12\, \text{containers}}{x} \end{align*}\]

Для вирішення проблеми$x$ ми можемо використовувати один з двох методів:

Спосіб 1: Вирішіть для$x$, ізолюючи$x$ (використовуючи інформацію, вивчену в блоці 3)

Помножте обидві сторони рівняння на$x$:\[\dfrac{7}{125}x=12 \nonumber\]

Помножте обидві сторони рівняння на 125$:\[\begin{align*} 7x &=12\cdot 125 \\[4pt] 7x&=1500 \end{align*}\]

Розділіть обидві сторони рівняння на 7 контейнерів:\[x=\dfrac{1500}{7}=\$214.29 \nonumber\]

Спосіб 2: Використовуйте перехресне множення: Помножте чисельник першого дробу на знаменник другого дробу і встановіть його рівним множенню чисельника другого дробу на знаменник першого дробу.

\[\begin{align*} \left(7 \, \text{containers}\right)\cdot \left(\$x\right) &=\left(12 \, \text{containers} \right)\cdot \left(\$125\right) \\[4pt] 7x &=1500 \\[4pt] x&=\dfrac{1500}{7} \\[4pt] &=\$214.29 \end{align*}\]

Отже, вартість 12 контейнерів становить $214.29.

Приклад$\PageIndex{2}$

Ми хочемо оцінити кількість риб у водоймі. Припустимо, ми захоплюємо 280 риб, закладаємо їх і кидаємо назад у водойму. Через пару днів повертаємося до водойми і захоплюємо 420 риб, з яких 28 позначені мітками. Оцініть кількість риб у водоймі.

Приклад$\PageIndex{3}$

Ми хочемо змішати розчин гіпохлориту і води, розчинивши 4,8 фунта гіпохлориту в 70 галонів води. Для тієї ж концентрації, скільки фунтів гіпохлориту ми повинні розчинити в 20 галонів води?

Рішення

Почнемо з налаштування дробів, як у Equation\ ref {ratio}:

\[\begin{align*} \dfrac{\text{Number of pounds of hypochlorite}}{\text{Number of gallons of water}}&=\dfrac{\text{Number of pounds of hypochlorite}}{\text{Number of gallons of water}} \\[4pt] \dfrac{4.8\, \text{lbs}}{70\, \text{gal}} &=\dfrac{x\, \text{lbs}}{20\, \text{gal}} \\[4pt] \left(4.8 \, \text{lbs}\right)\left(20\, \text{gal}\right) &=\left(70\, \text{gal}\right)\left(x \, \text{lbs}\right) \\[4pt] 96 &=70x \\[4pt] \dfrac{96}{70} &=x \\[4pt] x &=1.4\, \text{lbs} \end{align*}\]

Отже, нам потрібно 1,4 фунта гіпохлориту, щоб розчинити в 20 галонів води, щоб створити таку ж концентрацію.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)