6.3: Введення в пропорцію
У розділі 6.1 ми ввели поняття або співвідношення і ставка. У цьому розділі ми прирівнюємо ці співвідношення в конструкції, яка називається пропорцією.
Пропорції
Пропорція - це твердження, яке прирівнює два коефіцієнта або ставки.
Наприклад, кожне з рівнянь
13=26, 15 miles2 hours=30 miles4 hours, and ab=cd
порівняти два співвідношення або ставки і є пропорцією.
Пропорція
13=26
читається «один до трьох, як два до шести». Чотири числа, що складають цю пропорцію, називаються термінами пропорції і впорядковуються природним чином.
Крайнощі і засоби
Перший і четвертий члени називаються крайнощами пропорції. Другий і третій члени називаються засобами пропорції.
У пропорції
ab=cd,
терміни a і d є крайнощами; терміни b і c - це засоби.
Якщо помножити обидві сторони пропорції на спільний знаменник,
bd(ab)=bd(cd)
потім скасувати,
bd(ab)=bd(cd)
отримуємо наступний результат.
ad=bc
Це призводить до наступного спостереження.
Добуток крайнощів і засобів
У пропорції
ab=cd
добуток кошти дорівнює добутку крайнощів. Тобто,
ad=bc.
Ми можемо отримати еквівалентний результат, використовуючи техніку під назвою перехресне множення.
Приклад 1
Що з наведених нижче є дійсною пропорцією: (a)23=712, або (b)49=1227.
Рішення
(а) Перехресне множення
щоб отримати
24 = 21.
Отже, добуток крайнощів не дорівнює добутку засобів, тому 2/3 = 7/12 не є дійсною пропорцією.
(б) Перехресне множення
щоб отримати
108 = 108.
Значить, добуток крайнощів дорівнює добутку засобів, тому 4/9 = 12/27 - допустима пропорція.
Вправа
Чи є наступна пропорція? 43=1611
- Відповідь
-
Ні
Розв'язування пропорцій
У нас вже є всі інструменти, необхідні для вирішення пропорцій. Почнемо з першого прикладу.
Приклад 2
Розв'яжіть пропорцію для x:34=x12.
Рішення
Перехресне множення, потім вирішите отримане рівняння.
34=x12 Original proportion.4⋅x=3⋅12 Products of means and extremes are equal.4x=36 Simplify.4x4=364 Divide both sides by 4.x=9 Simplify.
Перевірити
Підставте 9 на х у вихідну пропорцію і перевірте.
34=x12 Original proportion.34=912 Substitute 9 for x.
Перехресне множення.
Таким чином, рішення 9 перевіряє.
Вправа
Розв'яжіть пропорцію для n:23=n9
- Відповідь
-
6
Приклад 3
Розв'яжіть пропорцію для n:32=24n.
Рішення
Перехресне множення, потім вирішите отримане рівняння.
32=24n Original proportion.3⋅n=2⋅24 Products of means and extremes are equal.3n=48 Simplify.3n3=483 Divide both sides by 3.n=16 Simplify.
Перевірити
Заставте 16 на n в початкову пропорцію і перевірте.
32=24n Original proportion.32=2416 Substitute 16 for n.
Перехресне множення.
Таким чином, рішення 16 перевірок.
Вправа
Розв'яжіть пропорцію для м:96=m4
- Відповідь
-
6
Приклад 4
Розв'яжіть пропорцію для x:2x+115=13.
Рішення
Перехресне множення, потім вирішите отримане рівняння.
2x+115=13 Original proportion.3(2x+1)=15(1) Products f means and extremes are equal.6x+3=15 On the left, distribute. On the right, multiply.6x+3−3=15−3 Subtract 3 from both sides.6x=12 Simplify.6x6=126 Divide both sides by 6.x=2 Simplify both sides.
Перевірити
Ми залишимо це нашим читачам, щоб перевірити це рішення.
Вправа
Розв'яжіть пропорцію для y:6+2y18=89
- Відповідь
-
5
Додатки
Ряд практичних застосувань передбачає вирішення пропорції.
Приклад 5
Якщо 5 апельсинів коштують 1,15 долара, якою буде вартість 15 апельсинів (якщо припустити рівну ставку)?
Рішення
Нехай х представляють вартість на 15 апельсинів. Припускаючи, що ставка на 5 апельсинів в $1.15 дорівнює ставці для 15 апельсинів при невідомій вартості х, ми встановили наступну пропорцію.
51.15=15x
Перехресне множення
щоб отримати
5x=17.25.
Вирішити для х.
5x5=17.255x=3.45
Таким чином, 15 апельсинів коштують $3,45.
Вправа
Якщо 7 яблук коштують 3,15 долара, скільки коштуватимуть 10 яблук (якщо припустити рівну ставку)?
- Відповідь
-
$4.50
Перевірка одиниць надзвичайно важлива
При налаштуванні пропорції перевірте, чи обидва чисельники мають однакові одиниці і обидва знаменника мають однакові одиниці.
Наприклад, у прикладі 5 обидва чисельники мають «апельсини» як одиниці, а обидва знаменники мають «долари» як одиниці.
Ця пропорція налаштована правильно, тому що обидва чисельника мають однакові одиниці і обидва знаменника мають однакові одиниці. З іншого боку, якщо ми неправильно встановили пропорцію наступним чином,
швидка перевірка одиниць виявляє похибку; тобто чисельники мають різні одиниці, а знаменники мають різні одиниці. Перевірка одиниць допомагає нам уникнути помилок!
приклад 6
Ділан і Девід планують туристичну поїздку в Національний парк Йосеміті. На їх карті легенда вказує, що 1,2 сантиметра представляють 2 милі. Скільки триває їхня поїздка, якщо маршрут вимірює 10,6 сантиметра на карті? Округлите відповідь до найближчої десятої частки милі.
Рішення
Давайте встановимо пропорцію з одиницями.
1.2 cm2 mi=10.6 cmx mi
Зверніть увагу, як включення одиниць допомоги в налаштуванні пропорції. Тепер давайте скинемо одиниці і вирішимо для х.
1.22=10.6x Original proportion.1.2x=(2)(10.6) Cross multiply.1.2x=21.2 Simplify right-side hand.1.2x1.2=21.21.2 Divide both sides by 1.2.x≈17.66 On the right: Divide.
Ми провели ділення праворуч на один десятковий розряд повз десятого місця. Цифра округлення дорівнює 6, а наступна тестова цифра - 6. Додайте 1 до округлення цифрі і обрізати.
До найближчої десятої частини милі маршрут для альпіших прогулянок становить приблизно 17.7 миль.
Вправа
Елоїза і Сюзанна планують поїздку в Національний парк Секвойя. На їх карті 3 дюйми представляють 50 миль. Скільки триває їхня поїздка, якщо маршрут вимірює412 дюйми на карті?
- Відповідь
-
75 миль
Приклад 7
Рецепт приготування 2 десятка печива вимагає134 чашок борошна, серед інших інгредієнтів. Якщо пекар бажає зробити вдвічі більшу кількість печива, скільки борошна потрібно?
Рішення
Двічі 2 десятка - це 4 десятка печива. Нехай х представляють кількість борошна, необхідного для 4 десятків печива. Припускаючи рівну норму для 2 десятків печива (на 2 десятка потрібно 1 3 склянки борошна 4), встановлюємо наступну пропорцію. Знову ж таки, використання одиниць допомагає нам створити правильну пропорцію.
2 dozen134 cups=4 dozenx cups
Зверніть увагу, як включення одиниць допомоги в налаштуванні пропорції. Тепер давайте скинемо одиниці і вирішимо для х.
2134=4x Original proportion.2x=134⋅4 Cross multiply.2x=74⋅4 Change to improper fraction.2x=7 Multiply.
Розділіть обидві сторони рівняння на 2 і закінчіть.
2x2=72 Divide both sides by 2.x=72
Міняйте неправильну фракцію на змішану. Таким чином, знадобиться312 склянки борошна, щоб зробити 4 десятка печива.
Вправа
Для тіста на 3 піци потрібно812 склянки борошна. Якщо пекар бажає зробити 9 піц, скільки потрібно чашок борошна?
- Відповідь
-
2512чашки
Вправи
У вправах 1-12, яка з нижченаведеного є справжньою пропорцією?
1. 97=2721, 43=97, 72=89, 48=96
2. 67=1821, 23=86, 43=32, 89=38
3. 76=2824, 56=54, 95=73, 92=89
4. 76=28, 45=57, 34=1520, 84=87
5. 65=2420, 73=24, 24=26, 52=28
6. 98=43, 57=1014, 86=54, 85=26
7. 35=28, 37=614, 56=24, 74=59
8. 73=76, 47=814, 53=78, 57=69
9. 54=2520, 93=96, 74=36, 35=94
10. 76=69, 73=25, 67=3035, 47=28
11. 97=43, 94=79, 35=610, 39=95
12. 43=87, 26=58, 72=36, 94=3616
У вправах 13-36 розв'яжіть задану пропорцію.
13. 173=x18
14. 165=x20
15. 6x+106=113
16. 4x+812=53
17. 179=x18
18. 89=x18
19. 112=x8
20. 114=x8
21. 7x+1515=103
22. 7x+38=54
23. 112=x10
24. 196=x18
25. 5x+812=23
26. 3x+126=32
27. 215=24x
28. 78=14x
29. 316=6x
30. 421=12x
31. 522=20x
32. 322=21x
33. 2x+106=143
34. 2x+99=133
35. 72=21x
36. 215=18x
37. Якщо 13 кісток собаки коштують 1,97 долара, якою буде вартість 7 кісток собаки (за умови рівної ставки)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
38. Якщо 2 кавуна коштують 3,89 долара, якою буде вартість 11 кавунів (за умови рівної ставки)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
39. Якщо 7 бананів коштують 2,55 долара, якою буде вартість 14 бананів (якщо припустити рівну ставку)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
40. Якщо 2 яблука коштують 2,05 долара, якою буде вартість 8 яблук (за умови рівної ставки)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
41. Якщо 13 апельсинів коштують $3.61, яка буде вартість для 11 апельсинів (припускаючи рівну ставку)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
42. Якщо 3 кавуна коштують 1,05 долара, якою буде вартість 9 кавунів (за умови рівної ставки)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
43. Якщо 3 кісточки собаки коштують 1,23 долара, якою буде вартість 13 кісток собаки (за умови рівної ставки)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
44. Якщо 3 кавуна коштують $4,41, то якою буде вартість на 7 кавунів (за умови рівної ставки)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
45. Якщо 3 яблука коштують 3,24 долара, якою буде вартість 13 яблук (за умови рівної ставки)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
46. Якщо 6 яблук коштують $3,43, то якою буде вартість на 7 яблук (за умови рівної ставки)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
47. Якщо 4 кістки собаки коштують $1.03, то якою буде вартість 8 кісток собаки (за умови рівної ставки)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
48. Якщо 4 апельсини коштують $4.28, яка буде вартість для 3 апельсинів (припускаючи рівну ставку)? Округлите відповідь до найближчої копійки.
49. Два рулону. На Гаїті два плоских рулону коштують 5 гурдів, близько 12 центів. Скільки центів коштувало б 20 рулонів? Associated Press-Times-Standard 02/18/10 табори землетрусу Гаїті перетворюються на тру
50. Турбіни. Як було запропоновано, проект Shell Wind Energy складається з 25 турбін на верхівці хребта, які можуть генерувати до 50 мегават або достатньо для постачання електроенергії приблизно 1000 будинків. Оцініть кількість турбін на вершині хребта, які знадобляться для постачання електроенергії до 70 000 будинків, приблизну кількість об'єктів нерухомості в окрузі Гумбольдт, штат Каліфорнія. Джон Дрісколл Таймс-Стандарт 12/24/09 Проект вітроенергетики проходить аналіз.
51. Самоскиди. Американське шосе 199 було зсув, де на дорозі впало цілих 3000 кубічних ярдів матеріалу, як повідомляється, вимагаючи близько 200 великих самоскидів, щоб видалити. Лише тижнем раніше на шосе 96 впало 40 000 кубічних ярдів матеріалу. Оцініть кількість самоскидів, необхідних для цього слайда, округленого до найближчого цілого числа. Асоційований прес-Час-Стандарт 03/09/10 Ще одна магістраль закрита гіркою.
52. Продаж деревини. 26 000 квадратних миль Tongass Національний лісовий план Аляски дозволяє продажі деревини до 267 мільйонів дощок-футів на рік - достатньо для майже 27 000 будинків з двома спальнями, але попит на деревину далеко не вистачає цього. Менше 25 мільйонів бортових футів було зареєстровано в лісі в 2009 році. Чиновники лісової служби заявили, що сподіваються збільшити лісозаготівлю в Тонгасі приблизно до 100 мільйонів бортових футів на рік. Associated Press-Times-Стандарт 02/18/10 Промисловість втрачає позов за лісозаготів
i) Оцініть кількість будинків з 2 спальнями, які 25 мільйонів дошки футів деревини буде будувати.
ii) Скільки будинків з 2 спальнями буде 100 мільйонів дошки футів деревини побудувати?
53. Дорогий розлив. В Австралії штрафи на кораблі, що спричиняють розливи нафти, становлять приблизно 1,75 мільйона австралійських доларів, що еквівалентно приблизно 1,64 мільйона доларів США. Після того, як нафтовий танкер був заземлений на кораловий риф, австралійські чиновники розглядають можливість підвищення штрафу до 10 мільйонів австралійських доларів. Яким буде новий штраф у доларах США? Округлите свою відповідь до найближчої сотої частки мільйона доларів. Associated Прес-Times-Стандарт 04/13/10 Корабель, який просочився нафтою на Великому Бар'єрному рифі
Відповіді
1. 97=2721це пропорція
3. 76=2824це пропорція
5. 65=2420це пропорція
7. 37=614це пропорція
9. 54=2520це пропорція
11. 35=610це пропорція
13. 102
15. 2
17. 34
19. 44
21. 5
23. 55
25. 0
27. 180
29. 32
31. 88
33. 9
35. 6
37. $1.06
39. $5.10
41. 3,05 дол
43. $5,33
45. $14.04
47. $2.06
49. $0,48
51. 2, 667 навантажень
53. $9,37 млн доларів США