20.3: Визначення площі

Площа визначається як функція$\mathcal{P} \mapsto \text{area } \mathcal{P}$, яка повертає невід'ємне дійсне число$\text{area }\mathcal{P}$ для будь-якої багатокутної множини$\mathcal{P}$ і задовольняє наступним умовам:

1. $\text{area }\mathcal{K}_1=1$де$\mathcal{K}_1$ суцільний квадрат з одиничною стороною;
2. умови $$\begin{array} {ccc} {\mathcal{P} \cong \mathcal{Q}} & \Rightarrow & {\text{area } \mathcal{P} = \text{area } \mathcal{Q};} \\ {\mathcal{P} \subset \mathcal{Q}} & \Rightarrow & {\text{area } \mathcal{P} \le \text{area } \mathcal{Q};} \\ {\text{area } \mathcal{P} + \text{area } \mathcal{Q}} & = & {\text{area } (\mathcal{P} \cup \mathcal{Q}) + \text{area } (\mathcal{P} \cap \mathcal{Q})} \end{array}$$ дотримуються для будь-яких двох багатокутних множин$\mathcal{P}$ і$\mathcal{Q}$.

Перша умова називається нормалізацією; по суті це говорить про те, що твердий квадрат одиниці використовується як одиниця виміру площі. Три умови в (b) називаються інваріантністю, монотонністю та адитивністю.

Міра Лебега, дає приклад функції площі; а саме, якщо один приймає,$\text{area }\mathcal{P}$ щоб бути мірою Лебега$\mathcal{P}$, то функція$\mathcal{P}\mapsto\text{area }\mathcal{P}$ задовольняє вищезазначеним умовам.

Побудова міри Лебега можна знайти в будь-якому підручнику з реального аналізу. Ми не обговорюємо це тут.

Якщо читач не знайомий з мірою Лебега, то він повинен сприймати існування функції області як це передбачено; це може розглядатися як додаткова аксіома, але це випливає з аксіом I-V.