Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

20.3: Визначення площі

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59122

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Площа визначається як функція\(\mathcal{P} \mapsto \text{area } \mathcal{P}\), яка повертає невід'ємне дійсне число\(\text{area }\mathcal{P}\) для будь-якої багатокутної множини\(\mathcal{P}\) і задовольняє наступним умовам:

    1. \(\text{area }\mathcal{K}_1=1\)де\(\mathcal{K}_1\) суцільний квадрат з одиничною стороною;
    2. умови\[\begin{array} {ccc} {\mathcal{P} \cong \mathcal{Q}} & \Rightarrow & {\text{area } \mathcal{P} = \text{area } \mathcal{Q};} \\ {\mathcal{P} \subset \mathcal{Q}} & \Rightarrow & {\text{area } \mathcal{P} \le \text{area } \mathcal{Q};} \\ {\text{area } \mathcal{P} + \text{area } \mathcal{Q}} & = & {\text{area } (\mathcal{P} \cup \mathcal{Q}) + \text{area } (\mathcal{P} \cap \mathcal{Q})} \end{array}\] дотримуються для будь-яких двох багатокутних множин\(\mathcal{P}\) і\(\mathcal{Q}\).

    Перша умова називається нормалізацією; по суті це говорить про те, що твердий квадрат одиниці використовується як одиниця виміру площі. Три умови в (b) називаються інваріантністю, монотонністю та адитивністю.

    Міра Лебега, дає приклад функції площі; а саме, якщо один приймає,\(\text{area }\mathcal{P}\) щоб бути мірою Лебега\(\mathcal{P}\), то функція\(\mathcal{P}\mapsto\text{area }\mathcal{P}\) задовольняє вищезазначеним умовам.

    Побудова міри Лебега можна знайти в будь-якому підручнику з реального аналізу. Ми не обговорюємо це тут.

    Якщо читач не знайомий з мірою Лебега, то він повинен сприймати існування функції області як це передбачено; це може розглядатися як додаткова аксіома, але це випливає з аксіом I-V.