20.10: Чотиригранні набори

Множина$\mathcal{S}$ в площині називається чотиригранною, якщо для будь-якої$\epsilon>0$ є дві багатокутні множини$\mathcal{P}$ і$\mathcal{Q}$ такі, що

$\mathcal{P} \subset \mathcal{S}\subset\mathcal{Q} \quad \text{and} \quad \text{area }\mathcal{Q}-\text{area } \mathcal{P} < \epsilon.$

Якщо$\mathcal{S}$ чотирикратна, його площа може бути визначена як обов'язково унікальне дійсне число,$s=\text{area }\mathcal{S}$ таке, що нерівність

$\text{area }\mathcal{Q}\le s\le \text{area }\mathcal{P}$

тримає для будь-яких багатокутних множин$\mathcal{P}$ і$\mathcal{Q}$ таких, що$\mathcal{P} \subset \mathcal{S} \subset \mathcal{Q}$.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\mathcal{D}$Дозволяти бути одиничний диск;$\mathcal{D}$ тобто набір, який містить одиницю кола$\Gamma$ і всі точки всередині$\Gamma$.

Показати, що$\mathcal{D}$ це чотирикратний набір.

Підказка

$\mathcal{P}_n$$\mathcal{Q}_n$Дозволяти і бути тверді правильні$n$ -кутники$\Gamma$ так, що вписані$\mathcal{Q}_n$ і обписані навколо$\mathcal{P}_n$. Зрозуміло,$\mathcal{P}_n \subset \mathcal{D} \subset \mathcal{Q}_n$.

Показати, що$\dfrac{\text{area } \mathcal{P}_n}{\text{area } \mathcal{Q}_n} = (\cos \dfrac{\pi}{n})^2$; зокрема,

$\dfrac{\text{area } \mathcal{P}_n}{\text{area } \mathcal{Q}_n} \to 1$як$n \to \infty$.

Далі покажіть цю область$\mathcal{Q}_n < 100$, скажімо для всіх$n \ge 100$.

Ці два твердження мають на увазі це$(\text{area } \mathcal{Q}_n - \text{area } \mathcal{P}_n) \to 0$. Звідси і результат.

Оскільки$\mathcal{D}$ є чотирикратним, вираз має$\text{area }\mathcal{D}$ сенс і константу$\pi$ можна визначити як$\pi=\text{area }\mathcal{D}$.

Виходить, що клас чотиризначних множин є найбільшим класом, для якого однозначно визначена функція area, що задовольняє умовам на сторінці.

Якщо вам не потрібна унікальність, то існують способи розширити функцію області на всі обмежені множини. (Набір у площині називається обмеженим, якщо він лежить всередині кола.) У гіперболічної площині і в сфері подібної конструкції немає. Якщо вам цікаво чому, читайте про подвоєння парадоксу м'яча Фелікса Хаусдорфа, Стефана Банаха та Альфреда Тарського.