20.10: Чотиригранні набори

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59117

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Множина\(\mathcal{S}\) в площині називається чотиригранною, якщо для будь-якої\(\epsilon>0\) є дві багатокутні множини\(\mathcal{P}\) і\(\mathcal{Q}\) такі, що

\(\mathcal{P} \subset \mathcal{S}\subset\mathcal{Q} \quad \text{and} \quad \text{area }\mathcal{Q}-\text{area } \mathcal{P} < \epsilon.\)

Якщо\(\mathcal{S}\) чотирикратна, його площа може бути визначена як обов'язково унікальне дійсне число,\(s=\text{area }\mathcal{S}\) таке, що нерівність

\(\text{area }\mathcal{Q}\le s\le \text{area }\mathcal{P}\)

тримає для будь-яких багатокутних множин\(\mathcal{P}\) і\(\mathcal{Q}\) таких, що\(\mathcal{P} \subset \mathcal{S} \subset \mathcal{Q}\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(\mathcal{D}\)Дозволяти бути одиничний диск;\(\mathcal{D}\) тобто набір, який містить одиницю кола\(\Gamma\) і всі точки всередині\(\Gamma\).

Показати, що\(\mathcal{D}\) це чотирикратний набір.

Підказка

\(\mathcal{P}_n\)\(\mathcal{Q}_n\)Дозволяти і бути тверді правильні\(n\) -кутники\(\Gamma\) так, що вписані\(\mathcal{Q}_n\) і обписані навколо\(\mathcal{P}_n\). Зрозуміло,\(\mathcal{P}_n \subset \mathcal{D} \subset \mathcal{Q}_n\).

Показати, що\(\dfrac{\text{area } \mathcal{P}_n}{\text{area } \mathcal{Q}_n} = (\cos \dfrac{\pi}{n})^2\); зокрема,

\(\dfrac{\text{area } \mathcal{P}_n}{\text{area } \mathcal{Q}_n} \to 1\)як\(n \to \infty\).

Далі покажіть цю область\(\mathcal{Q}_n < 100\), скажімо для всіх\(n \ge 100\).

Ці два твердження мають на увазі це\((\text{area } \mathcal{Q}_n - \text{area } \mathcal{P}_n) \to 0\). Звідси і результат.

Оскільки\(\mathcal{D}\) є чотирикратним, вираз має\(\text{area }\mathcal{D}\) сенс і константу\(\pi\) можна визначити як\(\pi=\text{area }\mathcal{D}\).

Виходить, що клас чотиризначних множин є найбільшим класом, для якого однозначно визначена функція area, що задовольняє умовам на сторінці.

Якщо вам не потрібна унікальність, то існують способи розширити функцію області на всі обмежені множини. (Набір у площині називається обмеженим, якщо він лежить всередині кола.) У гіперболічної площині і в сфері подібної конструкції немає. Якщо вам цікаво чому, читайте про подвоєння парадоксу м'яча Фелікса Хаусдорфа, Стефана Банаха та Альфреда Тарського.