16.1: Евклідовий простір

Нагадаємо, що евклідовий простір являє собою$\mathbb{R}^3$ сукупність всіх трійок$(x,y,z)$ дійсних чисел, таких, що відстань між парою точок$A=(x_A,y_A,z_A)$ і$B=(x_B,y_B,z_B)$ визначається за такою формулою:

$AB := \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}.$

Площини в просторі визначаються як множина розв'язків рівняння

$a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0$

для дійсних чисел$a$$b$,$c$, і$d$ таких, що хоча б одне з чисел$a$,$b$ або не$c$ дорівнює нулю. Будь-яка площина в евклідовому просторі ізометрична до евклідової площини.

Сфера в просторі є прямим аналогом кола в площині. Формально сфера з центром$O$ і радіусом$r$ - це сукупність точок в просторі, які лежать на відстані$r$ від$O$.

Дозволяти$A$ і$B$ бути дві точки на одиниці сфери з центром в$O$. Сферична відстань від$A$ до$B$ (коротко$AB_s$) визначається як$|\measuredangle AOB|$.

У сферичній геометрії роль ліній відіграють великі кола; тобто перетин сфери з площиною, що проходить через$O$.

Зверніть увагу, що великі кола не утворюють ліній у значенні Визначення 1.5.1. Також будь-які два чітких великих кола перетинаються в двох антиподальних точках. Зокрема, сфера не задовольняє аксіомам нейтральної площини.