16.1: Евклідовий простір

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59025

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нагадаємо, що евклідовий простір являє собою\(\mathbb{R}^3\) сукупність всіх трійок\((x,y,z)\) дійсних чисел, таких, що відстань між парою точок\(A=(x_A,y_A,z_A)\) і\(B=(x_B,y_B,z_B)\) визначається за такою формулою:

\(AB := \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}.\)

Площини в просторі визначаються як множина розв'язків рівняння

\(a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0\)

для дійсних чисел\(a\)\(b\),\(c\), і\(d\) таких, що хоча б одне з чисел\(a\),\(b\) або не\(c\) дорівнює нулю. Будь-яка площина в евклідовому просторі ізометрична до евклідової площини.

Сфера в просторі є прямим аналогом кола в площині. Формально сфера з центром\(O\) і радіусом\(r\) - це сукупність точок в просторі, які лежать на відстані\(r\) від\(O\).

Дозволяти\(A\) і\(B\) бути дві точки на одиниці сфери з центром в\(O\). Сферична відстань від\(A\) до\(B\) (коротко\(AB_s\)) визначається як\(|\measuredangle AOB|\).

У сферичній геометрії роль ліній відіграють великі кола; тобто перетин сфери з площиною, що проходить через\(O\).

Зверніть увагу, що великі кола не утворюють ліній у значенні Визначення 1.5.1. Також будь-які два чітких великих кола перетинаються в двох антиподальних точках. Зокрема, сфера не задовольняє аксіомам нейтральної площини.