7.4: Кути трикутників

Теорема$\PageIndex{1}$

У будь-якому$\triangle ABC$, у нас є

$\measuredangle ABC + \measuredangle BCA + \measuredangle CAB \equiv \pi.$

Доказ

Спочатку зауважте,$\triangle ABC$ що якщо вироджений, то рівність випливає з Слідство 2.4.1. Далі припускаємо, що$\triangle ABC$ є невиродженим.

$X$Дозволяти відображенням$C$ через середину$M$$[AB]$. За пропозицією 7.2.1$\measuredangle BAX = \measuredangle ABC$. Зверніть увагу, що$(AX)$ це відображення$(CB)$ поперек$M$; отже, теорема 7.2.1,$(AX) \parallel (CB)$.

Так як$[BM]$ і$[MX]$ не перетинаються$(CA)$$B, M$, точки і$X$ лежать на одній стороні$(CA)$. Застосовуючи поперечну властивість для поперечного$(CA)$ до$(AX)$ і$(CB)$, ми отримуємо, що

$$\measuredangle BCA + \measuredangle CAX \equiv \pi.$$

З тих пір$\measuredangle BAX = \measuredangle ABC$, у нас є

$\measuredangle CAX \equiv \measuredangle CAB + \measuredangle ABC$

Остання ідентичність і 7.4.1 мають на увазі теорему.

Вправа$\PageIndex{1}$

$\triangle ABC$Дозволяти бути невиродженим трикутником. Припустимо, є$D \in [BC]$ такий момент, що

$\measuredangle BAD \equiv \measuredangle DAC, BA = AD = DC.$

Знайдіть кути$\triangle ABC$.

Підказка

Застосовуйте двічі теорему 4.3.1 і двічі теорему$\PageIndex{1}$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Покажіть, що

$|\measuredangle ABC| + |\measuredangle BCA| + |\measuredangle CAB| = \pi$

для будь-якого$\triangle ABC$.

Підказка

Якщо$\triangle ABC$ вироджений, то одна з вимірювань кута дорівнює,$\pi$ а дві інші - 0. Звідси і результат.

Припустімо$\triangle ABC$, що є невиродженим. Набір$\alpha = \measuredangle CAB$,$\beta = \measuredangle ABC$, і$\gamma = \measuredangle BCA$.

За теоремою 3.3.1, можна припустити, що$0 < \alpha, \beta, \gamma < \pi$. Тому,

$$0 > \alpha + \beta + \gamma < 3 \cdot \pi.$$

За$\Pageindex{1}$ теоремою

$$\alpha + \beta +\gamma \equiv \pi.$$

З 7.4.2 і 7.4.3 випливає результат.

Вправа$\PageIndex{3}$

$\triangle ABC$Дозволяти бути ізоселевий невироджений трикутник з основою$[AC]$. Припустимо,$D$ це відображення$A$ поперек$B$. Покажіть,$\angle ACD$ що правильно.

Підказка

Застосовуйте двічі теорему 4.3.1 і двічі теорему$\PageIndex{1}$.

Вправа$\PageIndex{4}$

$\triangle ABC$Дозволяти рівнобедрений невироджений трикутник з основою$[AC]$. Припустімо, що коло проходить через$A$, по центру в точці на$[AB]$, і$(BC)$ дотичною до точки$X$. Покажіть, що$\measuredangle CAX = \pm \dfrac{\pi}{4}$.

Підказка

Припустимо, що$O$ позначає центр кола.

Зверніть увагу, що$\triangle AOX$ є рівнобедреним і$\angle OXC$ є правильним. Застосовуючи теорему$\PageIndex{1}$ і теорему 4.3.1 і спрощуючи, ми повинні отримати$4 \cdot \measuredangle CAX \equiv \pi$.

Покажіть, що$\angle CAX$ має бути гострим. Звідси випливає, що$\measuredangle CAX = \pm \dfrac{\pi}{4}$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Покажіть, що для будь-якого чотирикутника$ABCD$ ми маємо

$\measuredangle ABC + \measuredangle BCD + \measuredangle CDA + \measuredangle DAB \equiv 0$.

Підказка

Застосувати теорему$\PageIndex{1}$ до$\triangle ABC$ і$\triangle BDA$.