7.5: Паралелограми

Чотирикутник$ABCD$ в евклідовій площині називається невиродженим, якщо на одній прямій не$A, B, C, D$ лежать три точки.

Невироджений чотирикутник називається паралелограмом, якщо його протилежні сторони паралельні.

Лемма$\PageIndex{1}$

Будь-який паралелограм центрально симетричний відносно середини однієї з його діагоналей.

Зокрема, якщо$\square ABCD$ це паралелограм, то

(а) його діагоналі$[AC]$ і$[BD]$ перетинаються один з одним в їх середніх точках;

(б)$\measuredangle ABC = \measuredangle CDA$;

(c)$AB = CD$.

Доказ

$\square ABCD$Дозволяти бути паралелограм. $M$Позначають середньою точкою$[AC]$.

Оскільки$(AB)\parallel (CD)$, Теорема 7.2.1 передбачає, що$(CD)$ це відображення$(AB)$ поперек$M$. Таким же чином$(BC)$ відбувається відображення$(DA)$ поперек$M$. Оскільки$\square ABCD$ є невиродженим, то випливає, що$D$ є відображенням$B$ поперек$M$; іншими словами,$M$ це середина$[BD]$.

Решта тверджень слідують, оскільки відображення поперек$M$ є прямим рухом площини (див. Пропозиція 7.2.1).

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо,$ABCD$ це чотирикутник такий, що

$AB = CD = BC = DA.$

Такий, що$ABCD$ є паралелограмом.

Підказка

Так$\triangle ABC$ як рівнобедрений,$\measuredangle CAB = \measuredangle BCA$.

За ССС,$\triangle ABC \cong \triangle CDA$. Тому,$\pm \measuredangle DCA = \measuredangle BCA = \measuredangle CAB$.

Так як$D \ne C$, отримуємо «-» в останній формулі. Використовуйте поперечну властивість (теорема 7.3.1), щоб показати це$(AB) \parallel (CD)$. Повторіть аргумент, щоб показати це$(AD) \parallel (BC)$.

Чотирикутник, як у вправі вище, називається ромбом.

Чотирикутник ABCD називається прямокутником, якщо кути ABC, BCD, CDA та DAB мають рацію. Зверніть увагу, що згідно поперечному властивості (теорема 7.3.1) будь-який прямокутник є паралелограмом.

Прямокутник з рівними сторонами називається квадратом.

Вправа$\PageIndex{2}$

Показати, що паралелограм$ABCD$ є прямокутником, якщо і тільки якщо$AC = BD$.

Підказка

За Лемма$\PageIndex{1}$ і ССС,$AC = BD$ якщо і тільки якщо$\angle ABC = \pm \measuredangle BCD$. За поперечною властивістю (Теорема 7.3.1),$\measuredangle ABC + \measuredangle BCD \equiv \pi$.

Тому$AC = BD$ якщо і тільки якщо$\measuredangle ABC = \measuredangle BCD = \pm \dfrac{\pi}{2}$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Показати, що паралелограм$ABCD$ є ромбом тоді і тільки якщо$(AC) \perp (BD)$.

Підказка

Закріпіть паралелограм$ABCD$. За лемою$\PageIndex{1}$, його діагоналі$[AC]$ і$[BD]$ мають загальну середину; позначають її по$M$.

Використовуйте SSS та Lemma$\PageIndex{1}$, щоб показати, що

$AB = CD \Leftrightarrow \triangle AMB \cong \triangle AMD \Leftrightarrow \measuredangle AMB = \pm \dfrac{\pi}{2}.$

Припустимо$\ell \parallel m$, і$X, Y \in m$. Нехай$X'$ і$Y'$ позначають точки стопи$X$ і$Y$ далі$\ell$. Зверніть увагу, що$\square XYY'X'$ це прямокутник. Лемма$\PageIndex{1}$,$XX' = YY'$. Тобто будь-яка точка на$m$ лежить на однаковій відстані від$\ell$. Ця відстань називається відстанню між$\ell$ і$m$.