7.7: Аполлонське коло

Вправи в цьому розділі наведені як ілюстрації до методу координат — він не буде використовуватися далі в продовженні.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що для фіксованих дійсних значень$a$$b$, і$c$ рівняння

$x^2 + y^2 + a \cdot x + b \cdot y + c = 0$

описує коло, одноточкову множину або порожню множину.

Показати, що якщо це коло, то він має центр$(- \dfrac{a}{2}, -\dfrac{b}{2})$ і радіус$r = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 - 4 \cdot c}$.

Підказка

Перепишіть його наступним чином і подумайте

$(x + \dfrac{a}{2})^2 + (y + \dfrac{b}{2})^2 = (\dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{b}{2})^2 - c$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Скористайтеся попередньою вправою, щоб показати, що задано дві різні точки$A$$B$ та додатне дійсне число$k \ne 1$, місце$M$ розташування точок,$AM = k \cdot BM$ таких як коло.

Підказка

Ми можемо вибрати координати так, що$B = (0, 0)$ і$A = (a, 0)$ для деяких$a > 0$. Якщо$M = (x, y)$, то рівняння$AM = k \cdot BM$ можна записати в координатах як

$k^2 \cdot (x^2 + y^2) = (x - a)^2 + y^2.$

Залишилося переписати це рівняння як у Вправі$\PageIndex{1}$.

Коло у вправі вище - приклад так званого аполлонського кола з фокусами$A$ і$B$. Мало хто з цих кіл для різних значень$k$ показані на діаграмі; бо$k = 1$, вона стає перпендикулярною бісектрисою до$[AB]$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Зробіть лінійку і компас побудови аполлонського кола з заданими$A$ фокусами і$B$ через задану точку$M$.

Підказка

Припустимо$M \not\in (AB)$. Покажіть і використовуйте, що точки$P$ і$Q$ побудовані на наступній схемі лежать на аполлонівському колі.