11.9: Тече навколо циліндрів

Теорема про коло Мілна-Томсона

Теорема Мілна-Томсона дозволяє вставити коло в двовимірний потік і подивитися, як регулюється потік. Спочатку викладемо і доведемо теорему.

Теорема$\PageIndex{1}$ Milne-Thomson circle theorem

Якщо$f(z)$ складний потенціал з усіма його особливостями зовні,$|z| = R$ то

$$\Phi (z) = f(z) + \overline{f(\dfrac{R^2}{\overline{z}})}$$

це складний потенціал з раціоналізацією$|z| = R$ та тими ж особливостями, що і$f$ в регіоні$|z| > R$.

Доказ

Спочатку зверніть увагу, що$R^2/\overline{z}$ це відображення$z$ в колі$|z| = R$.

Далі ми повинні побачити, що$\overline{f(R^2/\overline{z})}$ є аналітичним для$|z| > R$. За припущенням$f(z)$ є аналітичним для$|z| < R$, тому його можна виразити як ряд Тейлора

$$f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \ ...$$

Тому,

$$\overline{f(\dfrac{R^2}{\overline{z}})} = \overline{a_0} + \overline{a_1} \dfrac{R^2}{z} + \overline{a_2} (\dfrac{R^2}{z})^2 + \ ...$$

Всі особливості$f$ знаходяться поза межами$|z| = R$, тому серія Тейлора в Рівнянні 11.10.2 сходиться для$|z| \le R$. Це означає, що ряд Лорана в рівнянні 11.10.3 сходиться для$|z| \ge R$. Тобто$\overline{f(R^2/\overline{z})}$ є аналітичним$|z| \ge R$, тобто не вводить жодних сингулярів$\Phi (z)$ назовні$|z| = R$.

Останнє, що потрібно показати,$|z| = R$ це обтічність для$\Phi (z)$. Це випливає, тому що для$z = Re^{i \theta}$

$$\Phi (Re^{i \theta}) = f(Re^{i \theta} + \overline{f(Re^{i \theta})}$$

це реально. Тому

$$\psi (Re^{i \theta} = \text{Im} (\Phi (Re^{i \theta}) = 0.$$

Приклади

Думайте про те$f(z)$, що представляє потік, можливо, з джерелами або вихорами зовні$|z| = R$. Потім$\Phi (z)$ представляє новий потік, коли в потоці розміщується кругова перешкода. Ось кілька прикладів.

Приклад$\PageIndex{1}$ Uniform flow around a circle

Ми знаємо з теми 6, що$f(z) = z$ є складним потенціалом для рівномірного потоку праворуч. Отже,

$$\Phi (z) = z + R^2/z$$

є потенціалом для рівномірного потоку навколо кола радіуса,$R$ зосередженого на початку координат.

Рівномірний потік по колу

Просто тому, що вони виглядають красиво, фігура включає в себе обтічні лінії всередині кола. Вони не взаємодіють з потоком поза колом.

Зверніть увагу, що при$z$ отриманні великого потоку виглядає рівномірним. Ми можемо бачити це аналітично, тому що

$$\Phi '(z) = 1 - R^2/z^2$$

переходить до 1, як$z$ стає великим. (Нагадаємо, що поле швидкості є ($\phi _x, \phi _y$), де$\Phi = \phi + i \psi \ ...$)

Приклад$\PageIndex{2}$ Source flow around a circle

Тут джерело знаходиться в$z = -2$ (поза одиничним колом) зі складним потенціалом

$$f(z) = \log (z + 2).$$

З відповідною гілкою вирізати особливості$f$ знаходяться також зовні$|z| = 1$. Таким чином, ми можемо застосувати Мілна-Томсона і отримати

$$\Phi (z) = \log (z + 2) + \overline{\log (\dfrac{1}{\overline{z}} + 2)}$$

Джерело течії по колу

Ми знаємо, що далеко від походження потік повинен виглядати так само, як потік з лише джерелом на$z = -2$.

Давайте розберемося в цьому аналітично. Спочатку констатуємо корисний факт:

Корисний факт

Якщо$g(z)$ аналітичний, то так є$h(z) = \overline{g(\overline{z})}$ і$h'(z) = \overline{g'(\overline{z})}$.

Доказ

Використовуйте серію Тейлора для$g$ отримання серії Тейлора для,$h$ а потім порівняйте$h'(z)$ і$\overline{g'(\overline{z})}$.

Використовуючи це, ми маємо

$$\Phi ' (z) = \dfrac{1}{z + 2} - \dfrac{1}{z(1 + 2z)}$$

Для великих$z$ другий термін розпадається набагато швидше, ніж перший, тому

$$\Phi ' (z) \approx \dfrac{1}{z + 2}.$$

Тобто далеко не поле швидкості виглядає так само$z = 0$, як поле швидкості для$f(z)$, тобто поле швидкості джерела при$z = -2$.

Приклад$\PageIndex{3}$ Transforming flows

Якщо ми використовуємо

$$g(z) = z^2$$

ми можемо перетворити потік з верхньої півплощини в перший квадрант

Джерело протікає навколо чверті кругового кута