Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10: Визначені інтеграли з використанням теореми про залишок

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62890

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У цій темі ми будемо використовувати теорему залишку для обчислення деяких реальних визначених інтегралів.

    \[\int_{a}^{b} f(x)\ dx\]

    Загальний підхід завжди однаковий.

    1. Знайдіть складну аналітичну функцію\(g(z)\), яка або дорівнює\(f\) на дійсній осі, або яка тісно пов'язана\(f\), наприклад\(f(x) = \cos (x)\),\(g(z) = e^{iz}\).
    2. Виберіть замкнутий контур\(C\), який включає частину дійсної осі в інтеграл.
    3. Контур буде складатися з шматочків. Він повинен бути таким, що ми можемо\(\int g(z)\ dz\) обчислити кожну з частин, крім частини на реальній осі.
    4. Використовуйте теорему про залишок для обчислення\(\int_C g(z)\ dz\).
    5. Об'єднайте попередні кроки, щоб вивести значення інтеграла, який ми хочемо.