Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.5: Основне значення Коші

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62905

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Перший приклад для мотивації визначення основного значення інтеграла. Ми насправді обчислити інтеграл в наступному розділі.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Нехай

    \[I = \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin (x)}{x} \ dx.\]

    Цей інтеграл не є абсолютно збіжним, але умовно збіжним. Формально, звичайно, ми маємо на увазі

    \[I = \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} \dfrac{\sin (x)}{x} \ dx.\]

    Ми можемо діяти, як у прикладі 10.3.3. Спочатку зверніть увагу,\(\sin (x) /x\) що рівно, так що

    \[I = \dfrac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\sin (x)}{x} \ dx.\]

    Далі, щоб уникнути проблеми, яка\(\sin (z)\) переходить до нескінченності як у верхній, так і в нижній півплощині, ми замінюємо integrand на\(\dfrac{e^{ix}}{x}\).

    Ми змінили проблему на обчислення

    \[\tilde{I} = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{ix}}{x}\ dx.\]

    Проблеми з цим інтегралом викликані полюсом на 0. Найбільша проблема полягає в тому, що інтеграл не сходяться! Інша проблема полягає в тому, що коли ми намагаємося використовувати нашу звичайну стратегію вибору замкнутого контуру, ми не можемо використовувати ту, яка включає\(z = 0\) на реальну вісь. Це наша мотивація для визначення принципової цінності. Ми повернемося до цього прикладу нижче.

    Визначення

    Припустимо, у нас є функція\(f(x)\), яка є безперервною на дійсній лінії, крім точки\(x_1\), тоді ми визначаємо основне значення Коші як

    \[\text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx = \lim_{R \to \infty, r_1 \to 0} \int_{-R}^{x_1 - r_1} f(x)\ dx + \int_{x_1 + r_1}^{R} f(x)\ dx.\]

    За умови, що межа сходиться. Ви повинні помітити, що інтервали навколо\(x_1\) і навколо\(\infty\) симетричні. Звичайно, якщо інтеграл

    \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ dx\]

    сходиться, то так само робить і основне значення, і вони дають однакове значення. Ми можемо зробити визначення більш гнучким, включивши наступні випадки.

    1. Якщо\(f(x)\) є безперервним на всій дійсній лінії, то визначаємо основне значення як
      \[\text{p.v. } \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx = \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} f(x)\ dx\]
    2. Якщо у нас є кілька точок розриву\(x_1 < x_2 < x_3 < \ ... < x_n\), то
      \[\text{p.v. } \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ dx = \lim \int_{-R}^{x_1 - r_1} f(x)\ dx + \int_{x_1 + r_1}^{x_2 - r_2} + \int_{x_2 + r_2}^{x_3 - r_3} + \ ... \int_{x_n + r_n}^{R} f(x)\ dx.\]

    Тут ліміт приймається як\(R \to \infty\) і кожен з\(r_k \to 0\) (рис.\(\PageIndex{1}\)).

    008 - (10.6 визначення) .svg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Інтервали інтеграції для основного значення симетричні навколо\(x_k\) і\(\infty\). (CC BY-NC; Відповідальний)

    Наступний приклад показує, що іноді основне значення сходиться, коли сам інтеграл не робить. Навпаки ніколи не буває правдою. Тобто маємо наступну теорему.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Якщо\(f(x)\) має розриви в\(x_1 < x_2 < \ ... < x_n\) і\(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx\) сходиться, то так і відбувається\(\text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx\).

    Рішення

    Доказ зводиться до розуміння визначення збіжності інтегралів як меж. Інтеграл сходиться означає, що кожна з меж

    \[\begin{array} {r} {\lim_{R_1 \to \infty , a_1 \to 0} \int_{-R_1}^{x_1 - a_1} f(x)\ dx} \\ {\lim_{b_1 \to 0, a_2 \to 0} \int_{x_1 + b_1}^{x_2 - a_2} f(x) \ dx} \\ {...} \\ {\lim_{R_2 \to \infty , b_n \to 0} \int_{x_n + b_n}^{R_2} f(x) \ dx.} \end{array}\]

    сходиться. Немає вимоги симетрії, тобто\(R_1\) і\(R_2\) є повністю незалежними, як є\(a_1\) і\(b_1\) т.д.

    Принципова величина сходиться означає

    \[\lim \int_{-R}^{x_1 - r_1} + \int_{x_1 + r_1}^{x_2 - r_2} + \int_{x_2 + r_2}^{x_3 - r_3} + \ ... \int_{x_n + r_n}^{R} f(x)\ dx\]

    сходиться. Тут ліміт береться по всьому параметру\(R \to \infty, r_k \to 0\). Ця межа має симетрію, наприклад, ми замінили обидва\(a_1\) і\(b_1\) в Рівнянні 10.6.9 на\(r_1\) тощо Звичайно, якщо межі в рівнянні 10.6.9 збігаються, то так само роблять межі в рівнянні 10.6.10. \(\text{QED}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Розглянемо обидва

    \[\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x} \ dx \ \ \ \text{and} \ \ \ \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x} \ dx.\]

    Перший інтеграл розходиться з

    \[\int_{-R_1}^{-r_1} \dfrac{1}{x} \ dx + \int_{r_2}^{R_2} \dfrac{1}{x} \ dx = \text{ln} (r_1) - \text{ln} (R_1) + \text{ln} (R_2) - \text{ln} (r_2).\]

    Це явно розходиться як\(R_1, R_2 \to \infty\) і\(r_1, r_2 \to 0\).

    З іншого боку, симетричний інтеграл

    \[\int_{-R}^{-r} \dfrac{1}{x} \ dx + \int_{r}^{R} \dfrac{1}{x}\ dx = \text{ln} (r) - \text{ln} (R) + \text{ln} (R) - \text{ln} (r) = 0.\]

    Це явно сходиться до 0.

    Ми побачимо, що основне значення виникає природно, коли ми інтегруємо на півкола навколо точок. Готуємося до цього в наступному розділі.