9.6: Залишок при ∞
- Page ID
- 62800
Залишок на\(\infty\) - це розумний пристрій, який іноді може дозволити нам замінити обчислення багатьох залишків обчисленням одного залишку.
Припустимо, що\(f\) є аналітичним за\(C\) винятком кінцевого числа сингулярностей. Дозвольте\(C\) бути позитивно орієнтованою кривою, яка є достатньо великою, щоб містити всі особливості.
Визначимо залишок\(f\) на нескінченності по
\[\text{Res} (f, \infty) = -\dfrac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\ dz.\]
Ми повинні спочатку пояснити ідею тут. Внутрішня частина простої замкнутої кривої - це все, що залишилося під час проходження кривої. Крива\(C\) орієнтована проти годинникової стрілки, тому її внутрішня частина містить всі полюси\(f\). Теорема залишку говорить, що інтеграл над\(C\) визначається залишками цих полюсів.
З іншого боку, внутрішня частина кривої\(-C\) - це все поза межами\(C\). У цьому регіоні немає полюсів.\(f\) Якщо ми хочемо, щоб теорема про залишок трималася (що ми робимо - це так важливо), то єдиний варіант - мати залишок на\(\infty\) і визначити його, як ми це зробили.
Визначення залишку на нескінченності передбачає, що всі полюси\(f\) знаходяться всередині\(C\). Тому теорема про залишок має на увазі
\[\text{Res} (f, \infty) = -\sum \text{ the residues of } f.\]
Щоб зробити це корисним, нам потрібен спосіб обчислення залишку безпосередньо. Це дається наступною теоремою.
Якщо\(f\) є аналітичним за\(C\) винятком кінцевого числа сингулярностей, то
\[\text{Res} (f, \infty) = -\text{Res} \left(\dfrac{1}{w^2} f(1/w), 0\right).\]
- Доказ
-
Доказом є лише зміна змінних:\(w = 1/z\).
Малюнок\(\PageIndex{1}\): Зміна змінних. (CC BY-NC; Відповідальний) Зміна змінної:\(w = 1/z\)
Спочатку зверніть увагу, що\(z = 1/w\) і
\[dz = -(1/w^2)\ dw.\]
Далі зверніть увагу, що карта\(w = 1/z\) несе позитивно орієнтоване\(z\) -коло радіуса\(R\) до негативно орієнтованого\(w\) -кола радіуса\(1/R\). (Щоб побачити орієнтацію, дотримуйтесь обведених точок 1, 2, 3, 4 на\(C\)\(z\) -площині, оскільки вони відображаються на точках\(\tilde{C}\) у\(w\) -plane.) Таким чином,
\[\text{Res} (f, \infty) = -\dfrac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\ dz = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\tilde{C}} f(1/w) \dfrac{1}{w^2}\ dw\]
Нарешті, зауважте, що\(z = 1/w\) всі полюси всередині кола\(C\) відображає точки за межами кола\(\tilde{C}\). Таким чином, єдиний можливий полюс\((1/w^2) f(1/w)\), що знаходиться всередині\(\tilde{C}\) знаходиться в\(w = 0\). Тепер, оскільки\(\tilde{C}\) орієнтована за годинниковою стрілкою, теорема залишку говорить
\[\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\tilde{C}} f(1/w) \dfrac{1}{w^2}\ dw = -\text{Res}(\dfrac{1}{w^2} f(1/w), 0)\]
Порівняння цього з рівнянням трохи вище закінчує доказ.
Нехай
\[f(z) = \dfrac{5z - 2}{z(z - 1)}. \nonumber\]
Раніше ми обчислювали
\[\int_{|z| = 2} f(z)\ dz = 10 \pi i \nonumber\]
шляхом обчислення залишків при\(z = 0\) і\(z = 1\). Переобчислити цей інтеграл, обчисливши один залишок на нескінченності.
Рішення
\[\dfrac{1}{w^2} f(1/w) = \dfrac{1}{w^2} \dfrac{5/w - 2}{(1/w)(1/w - 1)} = \dfrac{5 - 2w}{w(1 - w)}. \nonumber\]
Ми легко обчислюємо це
\[\text{Res} (f, \infty) = -\text{Res} (\dfrac{1}{w^2} f(1/w), 0) = -5. \nonumber\]
Оскільки\(|z| = 2\) містить всі особливості, які\(f\) ми маємо
\[\int_{|z| = 2} f(z)\ dz = -2\pi i \text{Res} (f, \infty) = 10 \pi i. \nonumber\]
Це та сама відповідь, яку ми отримали раніше!