Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.3: Тригонометричні інтеграли

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62918

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Хитрість тут полягає в тому, щоб зібрати деякі елементарні властивості\(z = e^{i \theta}\) на одиничному колі.

    1. \(e^{-i \theta} = 1/z.\)
    2. \(\cos (\theta) = \dfrac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} = \dfrac{z + 1/z}{2}.\)
    3. \(\sin (\theta) = \dfrac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} = \dfrac{z - 1/z}{2i}.\)

    Почнемо з прикладу. Після цього ми викладемо більш загальну теорему.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Обчислити

    \[\int_{0}^{2\pi} \dfrac{d \theta}{1 + a^2 - 2a \cos (\theta)}.\]

    Припустимо, що\(|a| \ne 1\).

    Рішення

    Зверніть увагу,\([0, 2\pi]\) що інтервал використовується для параметризації одиничного кола як\(z = e^{i \theta}\). Нам потрібно зробити дві заміни:

    \[\begin{array} {rcl} {\cos (\theta)} & = & {\dfrac{z + 1/z}{2}} \\ {dz} & = & {i e^{i \theta} \ d\theta \ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ d \theta = \dfrac{dz}{iz}} \end{array}\]

    Роблячи ці заміни ми отримуємо

    \[\begin{array} {rcl} {I} & = & {\int_{0}^{2\pi} \dfrac{d \theta}{1 + a^2 - 2a \cos (\theta)}} \\ {} & = & {\int_{|z| = 1} \dfrac{1}{1 + a^2 - 2a (z + 1/z)/2} \cdot \dfrac{dz}{iz}} \\ {} & = & {\int_{|z| = 1} \dfrac{1}{i((1 + a^2) z - a(z^2 +1))} \ dz.} \end{array}\]

    Отже, нехай

    \[f(z) = \dfrac{1}{i((1 + a^2) z - a(z^2 + 1))}.\]

    Теорема про залишок має на увазі

    \[I = 2\pi i \sum \text{ residues of } f \text{ inside the unit circle.}\]

    Ми можемо перерахувати знаменник:

    \[f(z) = \dfrac{-1}{ia (z - a) (z - 1/a)}.\]

    Полюси знаходяться при\(a\),\(1/a\). Один знаходиться всередині одиничного кола, а один - зовні.

    Якщо\(|a| > 1\) потім\(1/a\) знаходиться всередині одиниці кола і\(\text{Res} (f, 1/a) = \dfrac{1}{i(a^2 - 1)}\)

    Якщо\(|a| < 1\) потім\(a\) знаходиться всередині одиниці кола і\(\text{Res} (f, a) = \dfrac{1}{i(1 - a^2)}\)

    У нас є

    \[I = \begin{cases} \dfrac{2 \pi}{a^2 - 1} & \text{if } |a| > 1 \\ \dfrac{2 \pi}{1 - a^2} & \text{if } |a| < 1 \end{cases}\]

    Приклад ілюструє загальну техніку, яку ми зараз заявляємо.

    Теорема\(\PageIndex{1}\)

    Припустимо,\(R(x, y)\) це раціональна функція без полюсів на колі

    \[x^2 + y^2 = 1\]

    то для

    \[f(z) = \dfrac{1}{iz} R (\dfrac{z + 1/z}{2}, \dfrac{z - 1/z}{2i})\]

    у нас є

    \[\int_{0}^{2\pi} R(\cos (\theta), \sin (\theta)) \ d \theta = 2 \pi i \sum \text{ residues of } f \text{ inside } |z| = 1.\]

    Доказ

    Робимо ті ж заміни, що і в прикладі 10.4.1. Отже,

    \[\int_{0}^{2\pi} R(\cos (\theta), \sin (\theta)) \ d \theta = \int_{|z| = 1} R (\dfrac{z + 1/z}{2}, \dfrac{z - 1/z}{2i}) \dfrac{dz}{iz}\]

    Припущення про полюсах означає, що не\(f\) має полюсів на контурі\(|z| = 1\). Теорема про залишок тепер має на увазі теорему.