10.6: Інтеграли над частинами кіл

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62897

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нам знадобиться наступна теорема для того, щоб об'єднати основне значення і теорему залишку.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Припустимо,\(f(z)\) має простий полюс в\(z_0\). \(C_r\)Дозволяти півколом\(\gamma (\theta) = z_0 + re^{i \theta}\), с\(0 \le \theta \le \pi\). Тоді

\[\lim_{r \to 0} \int_{C_r} f(z) \ dz = \pi i \text{Res} (f, z_0)\]

009 - (Теорема 10.7.1) .svg — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Мале півколо радіуса\(r\) навколо\(z_0\). (CC BY-NC; Відповідальний)

Доказ

Оскільки ми приймаємо межу, як\(r\) йде до 0, ми можемо припустити, що\(r\) це досить малий, що\(f(z)\) має розширення Лоран проколотого диска радіуса з\(r\) центром\(z_0\). Тобто, так як полюс простий,

\[f(z) = \dfrac{b_1}{z - z_0} + a_0 + a_1 (z - z_0) + \ ... \ \ \ \ \text{for } 0 < |z - z_0| \le r.\]

Таким чином,

\[\int_{C_r} f(z)\ dz = \int_{0}^{\pi} f(z_0 + re^{i \theta}) rie^{i \theta} \ d \theta = \int_{0}^{\pi} (b_1 i + a_0 ire^{i \theta} + a_1 ir^2 e^{i 2 \theta} + \ ...)\ d \theta\]

\(b_1\)Термін дає\(\pi i b_1\). Зрозуміло, що всі інші терміни йдуть до 0 як\(r \to 0\). \(\text{QED}\)

Якщо полюс не простий, теорема не тримається і, по суті, межі не існує.

Це ж доказ дає трохи більш загальна теорема.

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Припустимо,\(f(z)\) має простий полюс в\(z_0\). \(C_r\)Дозволяти кругової\(\text{arc } \gamma (\theta) = z_0 + re^{i \theta}\), с\(\theta_0 \le \theta \le \theta_0 + \alpha\). Тоді

\[\lim_{r \to 0} \int_{C_r} f(z)\ dz = \alpha i \text{Res} (f, z_0)\]

100 - (Теорема 10.7.2) .svg — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Мала кругова дуга радіуса\(r\) навколо\(z_0\). (CC BY-NC; Відповідальний)

Приклад\(\PageIndex{1}\) Return to Example 10.6.1

Давним-давно ми зупинилися на прикладі 10.6.1, щоб визначити основне значення. Давайте тепер використаємо основне значення для обчислення

\[\tilde{I} = \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{ix}}{x} \ dx.\]

Рішення

Використовуємо контур з відступом, показаний нижче. Відступ - це маленьке півколо, яке йде навколо\(z = 0\). Всередині контуру немає полюсів, тому теорема про залишок має на увазі

\[\int_{C_1 - C_r + C_2 + C_R} \dfrac{e^{iz}}{z} \ dz = 0.\]

011 - (Приклад 10.7.1 Повернутися до прикладу 10.6.1) .svg — Малюнок\(\PageIndex{3}\): (CC BY-NC; Уміт Кая)

Далі розбиваємо контур на шматочки.

\[\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_1 + C_2} \dfrac{e^{iz}}{z}\ dz = \tilde{I}.\]

Теорема 10.2.2 (а) передбачає

\[\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{e^{iz}}{z} \ dz = 0.\]

Рівняння 10.7.1 в теоремі 10.7.1 говорить нам, що

\[\lim_{r \to 0} \int_{C_r} \dfrac{e^{iz}}{z} \ dz = \pi i \text{Res} (\dfrac{e^{iz}}{z}, 0) = \pi i\]

Поєднуючи все це разом, ми маємо

\[\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_1 - C_r + C_2 + C_R} \dfrac{e^{iz}}{z} \ dz = \tilde{I} - \pi i = 0,\]

так\(\tilde{I} = \pi i\). Таким чином, озираючись назад на прикладі 10.3.3, де\(I = \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin (x)}{x} \ dx\), ми маємо

\[I = \dfrac{1}{2} \text{Im} (\tilde{I}) = \dfrac{\pi}{2},\]

Існує тонкість щодо конвергенції, про яку ми згадували вище. Тобто є справжнім (умовно) збіжним інтегралом, але існує\(\tilde{I}\) тільки як основне значення.\(I\) Однак, оскільки\(I\) це конвергентний інтеграл, ми знаємо, що обчислення принципового значення, як ми тільки що зробили, достатньо, щоб дати значення конвергентного інтеграла.