1.3: Послідовності

Під нескінченною послідовністю (коротко послідовністю) ми маємо на увазі відображення (називаємо його доменом), домен$u )$ якого є$N$ (всі натуральні числа також$1,2,3, \dots ) ; D_{u}$ можуть містити$0 .$

Кінцева послідовність - це карта,$u$ в якій$D_{u}$ складається з усіх позитивних (або невід'ємних) цілих чисел, менших$p .$ за фіксоване ціле. Діапазон$D_{u}^{\prime}$ будь-якої послідовності$u$ може бути довільним набором,$B ;$ ми тоді називаємо$u$ послідовність елементів$B,$ або в$B .$ Наприклад,

$$u=\left( \begin{array}{lllllll}{1} & {2} & {3} & {4} & {\ldots} & {n} & {\ldots} \\ {2} & {4} & {6} & {8} & {\ldots} & {2 n} & {\dots}\end{array}\right)$$

це послідовність з

$$D_{u}=N=\{1,2,3, \ldots\}$$

і зі значеннями функцій

$$u(1)=2, u(2)=4, u(n)=2 n, \quad n=1,2,3, \ldots$$

Замість того, щоб$u(n)$ ми зазвичай пишемо$u_{n}$ («індексні позначення»), і називаємо$u_{n}$$n^{th}$ термін послідовності. Якщо$n$ трактується як змінна,$u_{n}$ називається загальним терміном послідовності, і$\left\{u_{n}\right\}$ використовується для позначення всієї (нескінченної) послідовності, а також її діапазону$D_{u}^{\prime}$ (в залежності від того, що мається на увазі, буде зрозуміло з контексту). Формула$\left\{u_{n}\right\} \subseteq B$ означає, що$D_{u}^{\prime} \subseteq B,$ тобто,$u$ тобто послідовність в$B$. Щоб
визначити послідовність, досить визначити її загальний термін$u_{n}$ за якоюсь формулою або правилом. У$(1)$ вище,$u_{n}=2 n$.

Часто ми опускаємо згадку про$D_{u}=N$ (так як відомо) і наводимо тільки діапазон$D_{u}^{\prime} .$ Таким чином замість коротко$(1),$ пишемо

$$2,4,6, \ldots, 2 n, \ldots$$

або, якщо говорити загалом,

$$u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}, \dots$$

Ще слід пам'ятати, що$u$ це набір пар (карта).

Якщо всі$u_{n}$ відмінні (відрізняються один від одного),$u$ це карта один до одного. Однак цього не повинно бути так. Може навіть статися, що$u_{n}$ всі рівні (тоді кажуть,$u$ що вони постійні); наприклад,$u_{n}=1$ дає послідовність$1,1,1, \ldots, 1, \ldots,$ тобто

$$u=\left( \begin{array}{cccccc}{1} & {2} & {3} & {\ldots} & {n} & {\ldots} \\ {1} & {1} & {1} & {\ldots} & {1} & {\ldots}\end{array}\right)$$

Зверніть увагу,$u$ що тут нескінченна послідовність (оскільки$D_{u}=N$), хоча її діапазон$D_{u}^{\prime}$ має лише один елемент,$D_{u}^{\prime}=\{1\} .$ (У множині повторювані терміни вважаються одним елементом; але послідовність$u$ складається з нескінченно багатьох різних pairs$(n, 1) .$) Якщо всі$u_{n}$ дійсні числа, ми називаємо$u$ реальну послідовність. Для таких послідовностей у нас є наступні визначення.

Визначення 1

Справжня$\left\{u_{n}\right\}$ послідовність, як кажуть, монотонна (або монотонна), якщо вона або не зменшується, тобто

$$(\forall n) \quad u_{n} \leq u_{n+1}$$

або незростаючі, т. Е.

$$(\forall n) \quad u_{n} \geq u_{n+1}$$

Позначення:$\left\{u_{n}\right\} \uparrow$ і$\left\{u_{n}\right\} \downarrow,$ відповідно. Якщо замість цього у нас суворі нерівності$u_{n}<u_{n+1}$ (відповідно,$u_{n}>u_{n+1} ),$ ми називаємо$\left\{u_{n}\right\}$ строго монотонними (зростаючими або зменшуючими).

Аналогічне визначення застосовується і до послідовностей множин.

Визначення 2

Послідовність множин$A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, \ldots$, як кажуть, є монотонною, якщо вона або розширюється, тобто

$$(\forall n) \quad A_{n} \subseteq A_{n+1}$$

або укладення контрактів, тобто

$$(\forall n) \quad A_{n} \supseteq A_{n+1}$$

Позначення:$\left\{A_{n}\right\} \uparrow$ і$\left\{A_{n}\right\} \downarrow,$ відповідно. Наприклад, будь-яка послідовність концентричних твердих сфер (розглядається як множини точок), зі збільшенням радіусів, розширюється; якщо радіуси зменшуються, то отримуємо стискаючу послідовність.

Визначення 3

$\left\{u_{n}\right\}$Дозволяти будь послідовності, і нехай

$$n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{k}<\cdots$$

бути строго зростаючою послідовністю натуральних чисел. Виберіть з$\left\{u_{n}\right\}$ тих термінів, чиї$n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}, \ldots$ індекси є Потім послідовність$\left\{u_{n_{k}}\right\}$ таким чином вибрана (з$k$ тим терміном, рівним,$u_{n_{k}} ),$ називається підпослідовністю$\left\{u_{n}\right\},$ визначається індексами$n_{k}, k=1,2,3, \ldots$.

Таким чином (приблизно) підпослідовність - це будь-яка послідовність, отримана від$\left\{u_{n}\right\}$ скидання деяких членів, без зміни порядку інших членів (це забезпечується нерівностями,$n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{k}<\cdots$ де$n_{k}$ є індекси інших членів). Наприклад, виділимо з (1) підпослідовності термінів, індекси яких є простими (включаючи 1). Тоді підпослідовність

$$2,4,6,10,14,22, \dots$$

т. е.

$$u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{5}, u_{7}, u_{11}, \dots$$

Усі ці визначення відповідно застосовуються до скінченних послідовностей. Зверніть увагу, що кожна послідовність виникає шляхом «нумерації» елементів свого діапазону (термінів):$u_{1}$$u_{2}$ це перший член, другий член і так далі. За такою нумерацією ми ставимо терміни в певному порядку, визначеному їх індексами$1,2,3, \ldots$ (наприклад, нумерацією будівель на вулиці, книг в бібліотеці і т.д.$) .$ зараз виникає питання: з урахуванням набору$A,$, чи завжди можна «пронумерувати» його елементи цілими числами. ? Як ми побачимо в$\$ 4,$ цьому не завжди так. Це призводить нас до наступного визначення.

Визначення 4

Набір$A$ вважається підрахунковим, якщо$A$ міститься в діапазоні деякої послідовності (коротко, елементи$A$ можуть бути поставлені в послідовність).

Якщо, зокрема, цю послідовність можна вибрати скінченну, ми називаємо$A$ скінченну множину. (Порожній набір є кінцевим.)

Множини, які не є кінцевими, кажуть, нескінченні.

Набори, які не підлягають підрахунку, вважаються незліченними.

Зауважте, що всі скінченні множини підлягають підрахунку. Найпростішим прикладом нескінченного зліченного множини є$N=\{1,2,3, \ldots\}$.