7.6: Теорема Тейлора переглянута

Далі наведено версію теореми Тейлора з альтернативною формою терміну, що залишився.

Теорема$\PageIndex{1}$

(Теорема Тейлора)

Припустимо$f \in C^{(n+1)}(a, b), \alpha \in(a, b),$, і

$$P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\alpha)}{k !}(x-\alpha)^{k}.$$

Тоді, для будь-якого$x \in(a, b)$,

$$f(x)=P_{n}(x)+\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n !}(x-t)^{n} d t.$$

Доказ

За фундаментальною теоремою обчислення ми маємо

$$\int_{\alpha}^{x} f^{\prime}(t) d t=f(x)-f(\alpha),$$

що означає, що

$$f(x)=f(\alpha)+\int_{\alpha}^{x} f^{\prime}(t) d t.$$

Звідси теорема тримає для$n=0 .$ припустимо, що результат має для$n=k-1,$ того, що є,

$$f(x)=P_{k-1}(x)+\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1) !}(x-t)^{k-1} d t.$$

Нехай

$$F(t)=f^{(k)}(t),$$

$$g(t)=\frac{(x-t)^{k-1}}{(k-1) !},$$

і

$$G(t)=-\frac{(x-t)^{k}}{k !}.$$

Тоді

$$\begin{aligned} \int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1) !}(x-t)^{k-1} d t &=\int_{\alpha}^{x} F(t) g(t) d t \\ &=F(x) G(x)-F(\alpha) G(\alpha)-\int_{\alpha}^{x} F^{\prime}(t) G(t) d t \\ &=\frac{f^{(k)}(\alpha)(x-\alpha)^{k}}{k !}+\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k !}(x-t)^{k} d t, \end{aligned}$$

Звідси

$$f(x)=P_{k}(x)+\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k !}(x-t)^{k} d t,$$

і тому теорема тримає для$n=k$. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{1}$

(Коші форма залишку)

За умов теореми Тейлора, як тільки що сказано, показують, що

$$\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n !}(x-t)^{n} d t=\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{n !}(x-\gamma)^{n}(x-\alpha)$$

для деяких$\gamma$ між$\alpha$ і$x .$

Вправа$\PageIndex{2}$

(Лагранж форма залишку)

За умов теореми Тейлора, як тільки що сказано, показують, що

$$\int_{\alpha}^{x} \frac{f^{(n+1)}(t)}{n !}(x-t)^{n} d t=\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !}(x-\alpha)^{n+1}$$

для деяких$\gamma$ між$\alpha$ і$x .$ Зверніть увагу, що це форма залишку в теоремі,$6.6 .1,$ хоча при дещо більш обмежувальних припущеннях.