6.5: Загальна стратегія факторингу поліноміальних виразів

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Розпізнайте та використовуйте відповідний метод для повного множника

Розпізнайте та використовуйте відповідний метод для повного фактору полінома

Ви зараз ознайомилися з усіма методами факторингу, які вам знадобляться в даному курсі. Наступна діаграма узагальнює всі методи факторингу, які ми розглянули, та окреслює стратегію, яку слід використовувати при факторингу поліномів.

ЗАГАЛЬНА СТРАТЕГІЯ ФАКТОРИНГОВИХ ПОЛІНОМІВ

ВИКОРИСТОВУЙТЕ ЗАГАЛЬНУ СТРАТЕГІЮ ФАКТОРИНГУ ПОЛІНОМІВ.

1. Чи існує найбільший загальний фактор?
   Фактор це поза.
2. Поліном є біноміальним, триноміальним, або існує більше трьох членів?
   Якщо це біном:
   • Це сума?
     З квадратів? Суми квадратів не коефіцієнт.
     З кубиків? Використовуйте шаблон суми кубиків.
   • Це різниця?
     З квадратів? Фактор як добуток кон'югатів.
     З кубиків? Скористайтеся різницею кубиків візерунком.
   Якщо це триноміал:
   • Це форми$x^2+bx+c$? Скасувати фольгу.
   • Це форми$ax^2+bx+c$?
     Якщо a і c є квадратами, перевірте, чи відповідає він триноміальному квадратному візерунку.
     Використовуйте метод проб і помилок або «$ac$».
   Якщо він має більше трьох термінів:
   • Скористайтеся методом групування.
3. Перевірка.
   Чи враХОвано це повністю?
   Чи множиться множник до початкового многочлена?

Пам'ятайте, поліном повністю враховується, якщо, крім мономів, його фактори прості!

Приклад$\PageIndex{1}$

Фактор повністю:$7x^3−21x^2−70x$.

Рішення

$\begin{array} {ll} {7x^3−21x^2−70x} & \\ \text{Is there a GCF? Yes, }7x. & \\ \text{Factor out the GCF.} &7x(x^2−3x−10) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial,} & \\ \text{or are there more terms?} & \\ \text{Trinomial with leading coefficient 1.} & \\ \text{“Undo” FOIL.} &7x(x\hspace{8mm})(x\hspace{8mm}) \\ &7x(x+2)(x−5) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Neither binomial can be factored.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ & \\ & \\ \hspace{15mm}7x(x+2)(x−5) & \\ \hspace{10mm}7x(x^2−5x+2x−10) & \\ \hspace{15mm}7x(x^2−3x−10) & \\ \hspace{13mm}7x^3−21x^2−70x\checkmark & \end{array}$

Спробуйте$\PageIndex{1}$

Фактор повністю:$8y^3+16y^2−24y$.

Відповідь

$8y(y−1)(y+3)$

Спробуйте$\PageIndex{2}$

Фактор повністю:$5y^3−15y^2−270y$.

Відповідь

$5y(y−9)(y+6)$

Будьте обережні, коли вас просять фактор біноміального, оскільки є кілька варіантів!

Приклад$\PageIndex{2}$

Фактор повністю:$24y^2−150$

Рішення

$\begin{array} {ll} &24y^2−150 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }6. & \\ \text{Factor out the GCF.} &6(4y^2−25) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial} & \\ \text{or are there more than three terms? Binomial.} & \\ \text{Is it a sum? No.} & \\ \text{Is it a difference? Of squares or cubes? Yes, squares.} &6((2y)^2−(5)^2) \\ \text{Write as a product of conjugates.} &6(2y−5)(2y+5) \\ & \\ & \\ \hspace{5mm}\text{Is the expression factored completely?} & \\ \hspace{5mm}\text{Neither binomial can be factored.} & \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ \hspace{5mm}\text{Multiply.} & \\ & \\ \hspace{15mm}6(2y−5)(2y+5) & \\ & \\ \hspace{18mm}6(4y^2−25) & \\ \hspace{18mm}24y^2−150\checkmark \end{array}$

Спробуйте$\PageIndex{3}$

Фактор повністю:$16x^3−36x$.

Відповідь

$4x(2x−3)(2x+3)$

Спробуйте$\PageIndex{4}$

Фактор повністю:$27y^2−48$.

Відповідь

$3(3y−4)(3y+4)$

Наступний приклад можна врахувати за допомогою декількох методів. Розпізнавання візерунка триноміальних квадратів полегшить вашу роботу.

Приклад$\PageIndex{3}$

Фактор повністю:$4a^2−12ab+9b^2$.

Рішення

$\begin{array} {ll} &4a^2−12ab+9b^2 \\ \text{Is there a GCF? No.} & \\ \text{Is it a binomial, trinomial, or are there more terms?} & \\ \text{Trinomial with }a\neq 1.\text{ But the first term is a perfect square.} \\ \text{Is the last term a perfect square? Yes.} &(2a)^2−12ab+(3b)^2 \\ \text{Does it fit the pattern, }a^2−2ab+b^2?\text{ Yes.} &(2a)^2 −12ab+ (3b)^2 \\ &\hspace{7mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{−2(2a)(3b)}{\,}^{\swarrow}\\ \text{Write it as a square.} &(2a−3b)^2 \\ & \\ & \\ \quad\text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \quad\text{The binomial cannot be factored.} & \\ \text{Check your answer.} \\ & \\ & \\ \quad\text{Multiply.} & \\ \hspace{30mm}(2a−3b)^2 \\ \hspace{20mm} (2a)^2−2·2a·3b+(3b)^2 \\ \hspace{24mm}4a^2−12ab+9b^2\checkmark & \end{array}$

Спробуйте$\PageIndex{5}$

Фактор повністю:$4x^2+20xy+25y^2$.

Відповідь

$(2x+5y)^2$

Спробуйте$\PageIndex{6}$

Фактор повністю:$9x^2−24xy+16y^2$.

Відповідь

$(3x−4y)^2$

Пам'ятайте, суми квадратів не коефіцієнт, але суми кубів роблять!

Приклад$\PageIndex{4}$

Фактор повністю$12x^3y^2+75xy^2$.

Рішення

$\begin{array} {ll} &12x^3y^2+75xy^2 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }3xy^2. & \\ \text{Factor out the GCF.} &3xy^2(4x^2+25) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are} & \\ \text{there more than three terms? Binomial.} & \\ & \\ \text{Is it a sum? Of squares? Yes.} &\text{Sums of squares are prime.} \\ & \\ & \\ \quad\text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ \quad\text{Multiply.} & \\ \hspace{15mm}3xy^2(4x^2+25) & \\ \hspace{14mm}12x^3y^2+75xy^2\checkmark \end{array}$

Спробуйте$\PageIndex{7}$

Фактор повністю:$50x^3y+72xy$.

Відповідь

$2xy(25x^2+36)$

Спробуйте$\PageIndex{8}$

Фактор повністю:$27xy^3+48xy$.

Відповідь

$3xy(9y^2+16)$

При використанні суми або різниці кубиків візерунком, будьте обережні зі знаками.

Приклад$\PageIndex{5}$

Фактор повністю:$24x^3+81y^3$.

Рішення

Чи є GCF? Так, 3.
Фактор це.
У дужках це біноміальне, триноміальне, чи існує більше трьох членів? Біноміальний.
Це сума чи різниця? Сума.
З квадратів або кубиків? Сума кубів.
Напишіть його, використовуючи шаблон суми кубиків.
Чи повністю враХОвано вираз? Так.
Перевірка шляхом множення.

Спробуйте$\PageIndex{9}$

Фактор повністю:$250m^3+432n^3$.

Відповідь

$2(5m+6n)(25m^2−30mn+36n^2)$

Спробуйте$\PageIndex{10}$

Фактор повністю:$2p^3+54q^3$.

Відповідь

$2(p+3q)(p^2−3pq+9q^2)$

Приклад$\PageIndex{6}$

Фактор повністю:$3x^5y−48xy$.

Рішення

$\begin{array} {ll} &3x^5y−48xy \\ \text{Is there a GCF? Factor out }3xy &3xy(x^4−16) \\ \begin{array} {l} \text{Is the binomial a sum or difference? Of squares or cubes?} \\ \text{Write it as a difference of squares.} \end{array} &3xy\left((x^2)^2−(4)2\right) \\ \text{Factor it as a product of conjugates} &3xy(x^2−4)(x^2+4) \\ \text{The first binomial is again a difference of squares.} &3xy\left((x)^2−(2)^2\right)(x^2+4) \\ \text{Factor it as a product of conjugates.} &3xy(x−2)(x+2)(x^2+4) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ 3xy(x−2)(x+2)(x^2+4) & \\ 3xy(x^2−4)(x^2+4) & \\ 3xy(x^4−16) & \\ 3x^5y−48xy\checkmark & \end{array}$

Спробуйте$\PageIndex{11}$

Фактор повністю:$4a^5b−64ab$.

Відповідь

$4ab(a^2+4)(a−2)(a+2)$

Спробуйте$\PageIndex{12}$

Фактор повністю:$7xy^5−7xy$.

Відповідь

$7xy(y^2+1)(y−1)(y+1)$

Приклад$\PageIndex{7}$

Фактор повністю:$4x^2+8bx−4ax−8ab$.

Рішення

$\begin{array} {ll} &4x^2+8bx−4ax−8ab \\ \text{Is there a GCF? Factor out the GCF, }4. &4(x^2+2bx−ax−2ab) \\ \text{There are four terms. Use grouping.} &4[x(x+2b)−a(x+2b)]4(x+2b)(x−a) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{25mm}4(x+2b)(x−a) & \\ \hspace{20mm} 4(x^2−ax+2bx−2ab) & \\ \hspace{20mm}4x^2+8bx−4ax−8ab\checkmark \end{array}$

Спробуйте$\PageIndex{13}$

Фактор повністю:$6x^2−12xc+6bx−12bc$.

Відповідь

$6(x+b)(x−2c)$

Спробуйте$\PageIndex{14}$

Фактор повністю:$16x^2+24xy−4x−6y$.

Відповідь

$2(4x−1)(2x+3y)$

Виймаючи повний GCF на першому кроці, завжди полегшить вашу роботу.

Приклад$\PageIndex{8}$

Фактор повністю:$40x^2y+44xy−24y$.

Рішення

$\begin{array} {ll} &40x^2y+44xy−24y \\ \text{Is there a GCF? Factor out the GCF, }4y. &4y(10x^2+11x−6) \\ \text{Factor the trinomial with }a\neq 1. &4y(10x^2+11x−6) \\ &4y(5x−2)(2x+3) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{25mm}4y(5x−2)(2x+3) & \\ \hspace{24mm}4y(10x^2+11x−6) & \\ \hspace{22mm}40x^2y+44xy−24y\checkmark \end{array}$

Спробуйте$\PageIndex{15}$

Фактор повністю:$4p^2q−16pq+12q$.

Відповідь

$4q(p−3)(p−1)$

Спробуйте$\PageIndex{16}$

Фактор повністю:$6pq^2−9pq−6p$.

Відповідь

$3p(2q+1)(q−2)$

Коли ми перерахували многочлен з чотирма долями, найчастіше ми розділили його на дві групи з двох членів. Пам'ятайте, що ми також можемо розділити його на тріноміал, а потім один термін.

Приклад$\PageIndex{9}$

Фактор повністю:$9x^2−12xy+4y^2−49$.

Рішення

$\begin{array} {ll} &9x^2−12xy+4y^2−49 \\ \text{Is there a GCF? No.} & \\ \begin{array} {l} \text{With more than 3 terms, use grouping. Last 2 terms} \\ \text{have no GCF. Try grouping first 3 terms.} \end{array} &9x^2−12xy+4y^2−49 \\ \begin{array} {l} \text{Factor the trinomial with }a\neq 1. \text{ But the first term is a} \\ \text{perfect square.} \end{array} & \\ \text{Is the last term of the trinomial a perfect square? Yes.} &(3x)^2−12xy+(2y)^2−49 \\ \text{Does the trinomial fit the pattern, }a^2−2ab+b^2? \text{ Yes.} &(3x)^2 −12xy+ (2y)^2−49 \\ &\hspace{7mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{−2(3x)(2y))}{\,}^{\swarrow} \\ \text{Write the trinomial as a square.} &(3x−2y)^2−49 \\ \begin{array} {ll} \text{Is this binomial a sum or difference? Of squares or} \\ \text{cubes? Write it as a difference of squares.} \end{array} &(3x−2y)^2−72 \\ \text{Write it as a product of conjugates.} &((3x−2y)−7)((3x−2y)+7) \\ &(3x−2y−7)(3x−2y+7) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{23mm}(3x−2y−7)(3x−2y+7) & \\ \hspace{10mm}9x^2−6xy−21x−6xy+4y^2+14y+21x−14y−49 \qquad & \\ \hspace{25mm}9x^2−12xy+4y^2−49\checkmark & \end{array}$

Спробуйте$\PageIndex{17}$

Фактор повністю:$4x^2−12xy+9y^2−25$.

Відповідь

$(2x−3y−5)(2x−3y+5)$

Спробуйте$\PageIndex{18}$

Фактор повністю:$16x^2−24xy+9y^2−64$.

Відповідь

$(4x−3y−8)(4x−3y+8)$

Ключові поняття

• Як використовувати загальну стратегію факторингу поліномів.
  1. Чи існує найбільший загальний фактор?
     Фактор це поза.
  2. Поліном є біноміальним, триноміальним, або існує більше трьох членів?
     Якщо це біном:
     це сума?
     З квадратів? Суми квадратів не коефіцієнт.
     З кубиків? Використовуйте шаблон суми кубиків.
     Це різниця?
     З квадратів? Фактор як добуток кон'югатів.
     З кубиків? Скористайтеся різницею кубиків візерунком.
     Якщо це триноміал:
     це форма$x^2+bx+c$? Скасувати фольгу.
     Це форми$ax^2+bx+c$?
     Якщо a і c є квадратами, перевірте, чи відповідає він триноміальному квадратному візерунку.
     Використовуйте метод проб і помилок або «$ac$».
     Якщо він містить більше трьох термінів:
     скористайтеся методом групування.
  3. Перевірка.
     Чи враХОвано це повністю?
     Чи множиться множник до початкового многочлена?