6.3: Факторні термінали

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Факторні триміали форми$x^2+bx+c$
• Факторні тріноми форми з$ax^2+bx+c$ використанням проб і помилок
• Факторні тріноми форми з$ax^2+bx+c$ використанням методу$ac$ ''
• Фактор, що використовує заміщення

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Знайти всі фактори 72.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
2. Знайдіть товар:$(3y+4)(2y+5)$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
3. Спростити:$−9(6);\space −9(−6)$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].

Факторні триміали форми$x^2+bx+c$

Ви вже дізналися, як множити біноміали за допомогою FOIL. Тепер вам потрібно буде «скасувати» це множення. Фактор тріноміал означає почати з продукту, а закінчити з факторами.

Щоб з'ясувати, як ми б фактор триноміалу форми$x^2+bx+c$, наприклад,$x^2+5x+6$ і фактор його$(x+2)(x+3)$, давайте почнемо з двох загальних біноміалів форми$(x+m)$ і$(x+n)$.

	$(x+m)(x+n)$
Фольга, щоб знайти продукт.	$x^{2}+m x+n x+m n$
Фактор GCF з середніх термінів.	$x^{2}+(m+n) x+m n$
Наш триноміал має форму$x^2+bx+c$.	$\overbrace{x^{2}+(m+n) x+m n}^{\color{red}x^{2}+b x+c}$

Це говорить нам про те, що для множника триноміалу форми$x^2+bx+c$ нам потрібні два множники$(x+m)$ і$(x+n)$ де два числа$m$ і$n$ помножити$c$ і додати до$b$.

Приклад$\PageIndex{1}$: How to Factor a Trinomial of the form $x^2+bx+c$

Фактор:$x^2+11x+24$.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{2}$

Фактор:$q^2+10q+24$.

Відповідь

$(q+4)(q+6)$

Приклад$\PageIndex{3}$

Фактор:$t^2+14t+24$.

Відповідь

$(t+2)(t+12)$

Давайте підсумуємо кроки, які ми використовували для пошуку факторів.

 

1. Запишіть множники як два біноміали з першими долями x. $\quad \begin{array} {l} x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad) \end{array}$
2. Знайти два числа$m$ і$n$ що
   • помножити на$c$,$m·n=c$
   • додати в$b$,$m+n=b$
3. Використовують$m$ і в$n$ якості останніх термінів чинники. $\quad (x+m)(x+n)$
4. Перевірте, множивши коефіцієнти.

У першому прикладі всі терміни в триноміале були позитивними. Що відбувається, коли є негативні терміни? Ну, це залежить, який термін негативний. Давайте спочатку розглянемо триноми з лише середнім терміном негативним.

Як отримати позитивний твір і негативну суму? Використовуємо два від'ємних числа.

Приклад$\PageIndex{4}$

Фактор:$y^2−11y+28$.

Відповідь

Знову ж таки, з позитивним останнім терміном$28$, і негативним середнім терміном$−11y$, нам потрібні два негативні фактори. Знайти два числа, які множаться$28$ і додати до$−11$.
$\begin{array} {ll} &y^2−11y+28 \\ \text{Write the factors as two binomials with first terms }y. &( y \quad )( y \quad ) \\ \text{Find two numbers that: multiply to }28\text{ and add to }−11.\end{array}$

Фактори$28$	Сума множників
\ (28\)» перевірка даних = «верх">$−1,\space −28$ $−2,\space −14$ $−4,\space −7$	$−1+(−28)=−29$ $−2+(−14)=−16$ $−4+(−7)=−11^∗$

$\begin{array} {ll} \text{Use }−4,\space −7\text{ as the last terms of the binomials.} &(y−4)(y−7) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (y−4)(y−7) & \\ \hspace{25mm} y^2−7y−4y+28 & \\ \hspace{30mm} y^2−11y+28\checkmark & \end{array}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Фактор:$u^2−9u+18$.

Відповідь

$(u−3)(u−6)$

Приклад$\PageIndex{6}$

Фактор:$y^2−16y+63$.

Відповідь

$(y−7)(y−9)$

Тепер, що робити, якщо останній термін у триноміалі негативний? Подумайте про ФОЛЬГУ. Останній термін є добутком останніх членів у двох біноміалах. Негативний твір є результатом множення двох чисел з протилежними знаками. Ви повинні бути дуже обережними, щоб вибрати фактори, щоб переконатися, що ви отримаєте правильний знак для середнього терміну, теж.

Як отримати негативний продукт і позитивну суму? Використовуємо одне позитивне і одне негативне число.

Коли ми враховуємо триноми, ми повинні мати терміни, написані в порядку спадання - для того, щоб від найвищого ступеня до найнижчого ступеня.

Приклад$\PageIndex{7}$

Фактор:$2x+x^2−48$.

Відповідь

$\begin{array} {ll} &2x+x^2−48 \\ \text{First we put the terms in decreasing degree order.} &x^2+2x−48 \\ \text{Factors will be two binomials with first terms }x. &(x\quad)(x\quad) \end{array}$

Фактори −48−48	Сума множників
$−1,\space 48$ $−2,\space 24$ $−3,\space 16$ $−4,\space 12$ $−6,\space 8$	$−1+48=47$ $−2+24=22$ $−3+16=13$ $−4+12=8$ $−6+8=2^∗$

$\begin{array} {ll} \text{Use }−6,\space 8\text{ as the last terms of the binomials.} &(x−6)(x+8) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (x−6)(x+8) & \\ \hspace{25mm} x^2−6q+8q−48 & \\ \hspace{30mm} x^2+2x−48\checkmark & \end{array}$

Приклад$\PageIndex{8}$

Фактор:$9m+m^2+18$.

Відповідь

$(m+3)(m+6)$

Приклад$\PageIndex{9}$

Фактор:$−7n+12+n^2$.

Відповідь

$(n−3)(n−4)$

Іноді вам потрібно буде враховувати тріноми форми$x^2+bxy+cy^2$ з двома змінними, наприклад$x^2+12xy+36y^2$. Перший термін,$x^2$, є добутком перших членів біноміальних факторів,$x·x$. $y^2$Останній термін означає, що другі члени біноміальних факторів повинні містити кожен$y$. Щоб отримати коефіцієнти$b$ і$c$, ви використовуєте той самий процес, узагальнений в How To Factor trinomials.

Приклад$\PageIndex{10}$

Фактор:$r^2−8rs−9s^2$.

Відповідь

Нам потрібно$r$ в першому семестрі кожного двочлена і$s$ в другому. Останній термін триноміала негативний, тому фактори повинні мати протилежні ознаки.
$\begin{array} {ll} &r^2−8rs−9s^2 \\ \text{Note that the first terms are }r,\text{last terms contain }s. &(r\quad s)(r\quad s) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−9\text{ and add to }−8. \end{array}$

Фактори$−9$	Сума множників
\ (−9\)» перевірка даних ="верх">$1,\space −9$	$−1+9=8$
\ (−9\)» перевірка даних ="верх">$−1,\space 9$	$1+(−9)=−8^∗$
\ (−9\)» перевірка даних ="верх">$3,\space −3$	$3+(−3)=0$

$\begin{array} {ll} \text{Use }1,\space -9\text{ as coefficients of the last terms.} &(r+s)(r−9s) \\ \text{Check:} & \\ \hspace{30mm} (r−9s)(r+s) & \\ \hspace{25mm} r^2+rs−9rs−9s^2 & \\ \hspace{30mm} r^2−8rs−9s^2\checkmark & \end{array}$

Приклад$\PageIndex{11}$

Фактор:$a^2−11ab+10b^2$.

Відповідь

$(a−b)(a−10b)$

Приклад$\PageIndex{12}$

Фактор:$m^2−13mn+12n^2$.

Відповідь

$(m−n)(m−12n)$

Деякі триноміали є простими. Єдиний спосіб бути впевненим, що триноміал є простим - це перерахувати всі можливості і показати, що жодна з них не працює.

Приклад$\PageIndex{13}$

Фактор:$u^2−9uv−12v^2$.

Відповідь

Нам потрібно$u$ в першому семестрі кожного двочлена і$v$ в другому. Останній термін триноміала негативний, тому фактори повинні мати протилежні ознаки.
$\begin{array} {ll} &u^2−9uv−12v^2 \\ \text{Note that the first terms are }u,\text{ last terms contain }v. &(u\quad v)(u\quad v) \\ \text{Find the numbers that multiply to }−12\text{ and add to }−9. & \end{array}$

Фактори$−12$	Сума множників
\ (−12\)» перевірка даних="верх">$1,−12$ $−1,12$ $2,−6$ $−2,6$ $3,−4$ $−3,4$	$1+(−12)=−11$ $−1+12=11$ $2+(−6)=−4$ $−2+6=4$ $3+(−4)=−1$ $−3+4=1$

Зверніть увагу, що немає пар факторів, які дають нам$−9$ як суму. Триноміал є простим.

Приклад$\PageIndex{14}$

Фактор:$x^2−7xy−10y^2$.

Відповідь

прем'єр

Приклад$\PageIndex{15}$

Фактор:$p^2+15pq+20q^2$.

Відповідь

прем'єр

Давайте підсумуємо метод, який ми тільки що розробили для фактора триноміалів форми$x^2+bx+c$.

СТРАТЕГІЯ ФАКТОРИНГУ ТРИНОМІАЛІВ ФОРМИ$x^2+bx+c$

Коли ми фактуємо триноміал, ми спочатку дивимося на ознаки його термінів, щоб визначити ознаки біноміальних факторів.

	$x^{2}+b x+c$
	$(x+m)(x+n)$
Коли$c$ позитивний,$m$ і$n$ мають однаковий знак.
$b$позитивний		$b$негативний
$m,n$позитивний		$m,n$негативний
$x^{2}+5 x+6$		$x^{2}-6 x+8$
$(x+2)(x+3)$		$(x-4)(x-2)$
ті ж ознаки		ті ж ознаки
Коли$c$ негативний,$m$ і$n$ мають протилежний знак.
$x^{2}+x-12$		$x^{2}-2 x-15$
$(x+4)(x-3)$		$(x-5)(x+3)$
протилежні ознаки		протилежні ознаки

Зверніть увагу, що в разі, коли$m$ і$n$ мають протилежні знаки, знак того, що має більшу абсолютну величину, відповідає знаку$b$.

Фактор Тримінали виду ax ² + bx + c використанням методу проб і помилок

Наступним нашим кроком є множник тріномів, провідний коефіцієнт яких не дорівнює 1, триноміали форми$ax^2+bx+c$.

Пам'ятайте, що завжди спочатку перевіряйте наявність GCF! Іноді, після того, як ви фактор GCF, провідний коефіцієнт триноміалу стає,$1$ і ви можете зарахувати його методами, які ми використовували досі. Давайте зробимо приклад, щоб побачити, як це працює.

Приклад$\PageIndex{16}$

Фактор повністю:$4x^3+16x^2−20x$.

Відповідь

$\begin{array} {lll} \text{Is there a greatest common factor?} &\qquad &4x^3+16x^2−20x \\ \quad \text{Yes, }GCF=4x.\text{ Factor it.} & &4x(x^2+4x−5) \\ & & \\ & & \\ \text{Binomial, trinomial, or more than three terms?} & & \\ \quad \text{It is a trinomial. So “undo FOIL.”} & &4x(x\quad)(x\quad) \\ & & \\ & & \\ \text{Use a table like the one shown to find two numbers that} & &4x(x−1)(x+5) \\ \text{multiply to }−5\text{ and add to }4. & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Фактори$−5$	Сума множників
\ (−5\)» перевірка даних ="верх">$−1,5$ $1,−5$	$−1+5=4^∗$ $1+(−5)=−4$

$\begin{array} {l} \text{Check:}\\ \hspace{27mm}4x(x−1)(x+5) \\ \hspace{25mm} 4x(x^2+5x−x−5) \\ \hspace{30mm} 4x(x^2+4x−5) \\ \hspace{25mm} 4x^3+16x2−20x\checkmark \end{array}$

Приклад$\PageIndex{17}$

Фактор повністю:$5x^3+15x^2−20x$.

Відповідь

$5x(x−1)(x+4)$

Приклад$\PageIndex{18}$

Фактор повністю:$6y^3+18y^2−60y$.

Відповідь

$6y(y−2)(y+5)$

Що відбувається, коли провідного$1$ коефіцієнта немає і немає ГКФ? Існує кілька методів, які можуть бути використані для фактора цих триноміалів. Для початку скористаємося методом проб і помилок.

Давайте врахуємо тріноміал$3x^2+5x+2$.

З нашої попередньої роботи ми очікуємо, що це буде коефіцієнт на два біноміали.

$$3x^2+5x+2\nonumber$$ $$(\quad)(\quad)\nonumber$$

Ми знаємо, що перші члени біноміальних факторів будуть множитися, щоб дати нам$3x^2$. Єдиними факторами$3x^2$ є$1x,\space 3x$. Ми можемо розмістити їх у двочленах.

Перевірте: Чи є$1x·3x=3x^2$?

Ми знаємо, що останні члени біноміалів будуть множитися на$2$. Оскільки цей триноміал має всі позитивні моменти, потрібно лише враховувати позитивні фактори. Єдиними факторами$2$ є$1$ і$2$. Але тепер у нас є два випадки, щоб розглянути, як це буде мати значення, якщо ми пишемо$1$,$2$ або$2$,$1$.

Які чинники правильні? Щоб вирішити, що, множимо внутрішній і зовнішній члени.

Так як середній термін триноміала є$5x$, то фактори в першому випадку спрацюють. Давайте використовувати FOIL для перевірки.

$$(x+1)(3x+2)\nonumber$$ $$3x^2+2x+3x+2\nonumber$$ $$3x^2+5x+2\checkmark\nonumber$$

Нашим результатом факторингу є:

$$3x^2+5x+2\nonumber$$ $$(x+1)(3x+2)\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{19}$: How to Factor a Trinomial Using Trial and Error

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$3y^2+22y+7$.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{20}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$2a^2+5a+3$.

Відповідь

$(a+1)(2a+3)$

Приклад$\PageIndex{21}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$4b^2+5b+1$.

Відповідь

$(b+1)(4b+1)$

ФАКТОРНІ ТРИМІНАЛИ ФОРМИ$ax^2+bx+c$ USING TRIAL AND ERROR.

1. Напишіть триноміал у порядку спадання градусів за потребою.
2. Фактор будь-якого GCF.
3. Знайти всі пари коефіцієнтів першого члена.
4. Знайти всі пари множників третього члена.
5. Перевірте всі можливі комбінації факторів, поки не буде знайдений правильний продукт.
6. Перевірка шляхом множення.

Пам'ятайте, коли середній термін негативний, а останній - позитивний, ознаки в біноміалах повинні бути негативними.

Приклад$\PageIndex{22}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$6b^2−13b+5$.

Відповідь

Триноміал знаходиться вже в порядку спадання.
Знайдіть фактори першого терміну.
Знайдіть фактори останнього терміну. Розглянемо прикмети. Оскільки останній термін, є позитивним$5$, його фактори повинні бути як позитивними, так і негативними. Коефіцієнт середньострокового негативний, тому використовуємо негативні фактори.

Розглянемо всі комбінації факторів.

$6b^2−13b+5$
Можливі фактори	Продукт
\ (6b^2−13b+5\) Можливі фактори» data-valign="top">$(b−1)(6b−5)$	\ (6b^2−13b+5\) Продукт» перевірка даних = «верх">$6b^2−11b+5$
\ (6b^2−13b+5\) Можливі фактори» data-valign="top">$(b−5)(6b−1)$	\ (6b^2−13b+5\) Продукт» перевірка даних = «верх">$6b^2−31b+5$
\ (6b^2−13b+5\) Можливі фактори» data-valign="top">$(2b−1)(3b−5)$	\ (6b^2−13b+5\) Продукт» перевірка даних = «середина» >$6b^2−13b+5^∗$
\ (6b^2−13b+5\) Можливі фактори» data-valign="top">$(2b−5)(3b−1)$	\ (6b^2−13b+5\) Продукт» перевірка даних = «середина» >$6b^2−17b+5$

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} &(2b−1)(3b−5) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} (2b−1)(3b−5) & \\ \hspace{47mm} 6b^2−10b−3b+5 & \\ \hspace{50mm} 6b^2−13b+5\checkmark & \end{array}$

Приклад$\PageIndex{23}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$8x^2−14x+3$.

Відповідь

$(2x−3)(4x−1)$

Приклад$\PageIndex{24}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$10y^2−37y+7$.

Відповідь

$(2y−7)(5y−1)$

Коли ми враховуємо вираз, ми завжди спочатку шукаємо найбільший загальний фактор. Якщо вираз не має найбільшого спільного фактора, у його факторах теж не може бути такого. Це може допомогти нам усунути деякі можливі комбінації факторів.

Приклад$\PageIndex{25}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$18x^2−37xy+15y^2$.

Відповідь

Триноміал знаходиться вже в порядку спадання.
Знайдіть фактори першого терміну.
Знайдіть фактори останнього терміну. Розглянемо прикмети. Оскільки 15 позитивний, а коефіцієнт середньострокового негативний, використовуємо негативні фактори.

Розглянемо всі комбінації факторів.

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product is} & \\ \text{the original trinomial.} &(2x−3y)(9x−5y) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ & \\ & \\ & \\ \hspace{50mm} (2x−3y)(9x−5y) & \\ \hspace{45mm}18x^2−10xy−27xy+15y^2 & \\ \hspace{47mm}18x^2−37xy+15y^2\checkmark & \end{array}$

Приклад$\PageIndex{26}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок$18x^2−3xy−10y^2$.

Відповідь

$(3x+2y)(6x−5y)$

Приклад$\PageIndex{27}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$30x^2−53xy−21y^2$.

Відповідь

$(3x+y)(10x−21y)$

Не забудьте спочатку шукати GCF і згадати, чи провідний коефіцієнт негативний, так само як і GCF.

Приклад$\PageIndex{28}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$−10y^4−55y^3−60y^2$.

Відповідь

Зверніть увагу на найбільший загальний фактор, тому спочатку вважайте його.
Фактор триноміалу.

Розглянемо всі комбінації.

$\begin{array} {ll} \text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial. Remember to include} & \\ \text{the factor }−5^y2. &−5y^2(y+4)(2y+3) \\ \text{Check by multiplying:} & \\ \hspace{50mm} −5y^2(y+4)(2y+3) & \\ \hspace{45mm} −5y^2(2y^2+8y+3y+12) & \\ \hspace{47mm}−10y^4−55y^3−60y^2\checkmark & \end{array}$

Приклад$\PageIndex{29}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$15n^3−85n^2+100n$.

Відповідь

$5n(n−4)(3n−5)$

Приклад$\PageIndex{30}$

Фактор повністю за допомогою проб і помилок:$56q^3+320q^2−96q$.

Відповідь

$8q(q+6)(7q−2)$

Факторні триноміали форми$ax^2+bx+c$ методом «$ac$»

Ще одним способом фактора триномів форми$ax^2+bx+c$ є метод «$ac$». (Метод «$ac$» іноді називають методом групування.) Метод «$ac$» насправді є розширенням методів, які ви використовували в останньому розділі, до факторних тріномів з провідним коефіцієнтом один. Цей метод дуже структурований (тобто покроковий), і він завжди працює!

Приклад$\PageIndex{31}$: How to Factor Trinomials using the “ac” Method

Фактор за допомогою методу «$ac$»:$6x^2+7x+2$.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{32}$

Фактор за допомогою методу «$ac$»:$6x^2+13x+2$.

Відповідь

$(x+2)(6x+1)$

Приклад$\PageIndex{33}$

Фактор за допомогою методу «$ac$»:$4y^2+8y+3$.

Відповідь

$(2y+1)(2y+3)$

Метод «$ac$» підсумований тут.

ФАКТОРНІ ТРИМІНАЛИ ФОРМИ$ax^2+bx+c$ USING THE “$ac$” METHOD.

1. Фактор будь-якого GCF.
2. Знайдіть товар$ac$.
3. Знайдіть два числа$m$ і$n$ що:
   $\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac &m·n=a·c \\ \text{Add to }b &m+n=b \\ &ax^2+bx+c \end{array}$
4. Розділіть середній термін, використовуючи$m$ і$n$. $ax^2+mx+nx+c$
5. Фактор за групуванням.
6. Перевірте, множивши коефіцієнти.

Не забувайте шукати загальний фактор!

Приклад$\PageIndex{34}$

Фактор за допомогою методу «$ac$»:$10y^2−55y+70$.

Відповідь

Чи існує найбільший загальний фактор?
Так. GCF є$5$.
Фактор його.
Триноміал всередині дужок має провідний коефіцієнт, який не є$1$.
Знайдіть товар$ac$.	$ac=28$
Знайти два числа, які множаться на$ac$	$(−4)(−7)=28$
і додати в$b$.	$−4(−7)=−11$
Розділіть середньостроковий термін.
Фактор тріноміалу шляхом групування.
Перевірте, перемноживши всі три коефіцієнти. $\hspace{50mm} 5(y−2)(2y−7)$ $\hspace{45mm} 5(2y^2−7y−4y+14)$ $\hspace{48mm} 5(2y^2−11y+14)$ $\hspace{49mm} 10y^2−55y+70\checkmark$

Приклад$\PageIndex{35}$

Фактор за допомогою методу «$ac$»:$16x^2−32x+12$.

Відповідь

$4(2x−3)(2x−1)$

Приклад$\PageIndex{36}$

Фактор за допомогою методу «$ac$»:$18w^2−39w+18$.

Відповідь

$3(3w−2)(2w−3)$

Фактор, що використовує підстановку

Іноді триноміал виявляється не в$ax^2+bx+c$ формі. Однак ми часто можемо зробити продуману заміну, яка дозволить нам зробити її під$ax^2+bx+c$ форму. Це називається факторингом шляхом заміни. Стандартно використовувати$u$ для заміни.

У$ax^2+bx+c$, середній член має змінну$x$, а його квадрат$x^2$, є змінною частиною першого члена. Шукайте ці відносини, намагаючись знайти підміну.

Приклад$\PageIndex{37}$

Коефіцієнт шляхом заміщення:$x^4−4x^2−5$.

Відповідь

Змінна частина середнього члена є$x^2$ і його квадрат$x^4$,, є змінною частиною першого члена. (Ми знаємо$(x^2)^2=x^4)$. Якщо ми дозволимо$u=x^2$, ми можемо поставити наш триноміал у$ax^2+bx+c$ формі, яку нам потрібно враховувати.

	$x^4−4x^2−5$
Перепишіть триноміал, щоб підготуватися до заміни.	$(x^2)^2−4(x^2)-5$
Нехай$u=x^2$ і підставляємо.	$(u)^2−4(u)-5$
Фактор триноміалу.	$(u+1)(u-5)$
$u$Замінити на$x^2$.	$(x^2+1)(x^2-5)$
Перевірка: $\begin{array} {l} \hspace{37mm} (x^2+1)(x^2−5) \\ \hspace{35mm}x^4−5x^2+x^2−5 \\ \hspace{40mm}x^4−4x^2−5\checkmark\end{array}$

Приклад$\PageIndex{38}$

Коефіцієнт шляхом заміщення:$h^4+4h^2−12$.

Відповідь

$(h^2−2)(h^2+6)$

Приклад$\PageIndex{39}$

Коефіцієнт шляхом заміщення:$y^4−y^2−20$.

Відповідь

$(y^2+4)(y^2−5)$

Іноді підставляється вираз не є мономіальним.

Приклад$\PageIndex{40}$

Коефіцієнт заміщення:$(x−2)^2+7(x−2)+12$

Відповідь

Біноміал в середньому семестрі,$(x−2)$ знаходиться в квадраті в першому семестрі. Якщо ми дозволимо$u=x−2$ і підставимо, наш триноміал буде за$ax^2+bx+c$ формою.

Перепишіть триноміал, щоб підготуватися до заміни.
Нехай$u=x−2$ і підставляємо.
Фактор триноміалу.
$u$Замінити на$x−2$.
Спростити всередині дужок.

Це також може бути враховано спочатку множенням, а потім об'єднанням подібних термінів, а потім факторингом.$(x−2)^2$$7(x−2)$ Більшість студентів віддають перевагу методу заміщення.

Приклад$\PageIndex{41}$

Коефіцієнт шляхом заміщення:$(x−5)^2+6(x−5)+8$.

Відповідь

$(x−3)(x−1)$

Приклад$\PageIndex{42}$

Коефіцієнт шляхом заміщення:$(y−4)^2+8(y−4)+15$.

Відповідь

$(y−1)(y+1)$

Перегляньте це відео для додаткової інструкції та практики з факторингом.

Ключові концепції

• Як враховувати триноми форми$x^2+bx+c$.
  1. Запишіть множники як два біноміали з першими долями x. $\quad \begin{array} (l) x^2+bx+c \\ (x\quad)(x\quad)\end{array}$
  2. Знайти два числа$m$ і$n$ що
     $\begin{array} {ll} \text{multiply to} &c,\space m·n=c \\ \text{add to} &b,\space m+n=b\end{array}$
  3. Використовують$m$ і в$n$ якості останніх термінів чинники. $\qquad (x+m)(x+n)$
  4. Перевірте, множивши коефіцієнти.
• Стратегія факторингу триноміалів форми$x^2+bx+c$: Коли ми фактуємо триноміал, ми спочатку розглядаємо ознаки його термінів, щоб визначити ознаки біноміальних факторів.
  
  Для тріномів форми:$x^2+bx+c = (x+m)(x+n)$
  
  Коли$c$ позитивний,$m$ і$n$ повинен мати однаковий знак (і це буде ознака$b$ ).
  
  Приклади:$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$,$x^2−6x+8 = (x−4)(x−2)$
  
  Коли$c$ негативний,$m$ і$n$ мають протилежні ознаки. Більший з$m$ і$n$ буде мати знак$b$.
  
  Приклади:$x^2+x−12=(x+4)(x−3)$,$x^2−2x−15=(x−5)(x+3)$
  
  Зверніть увагу, що в разі, коли$m$ і$n$ мають протилежні знаки, знак того, що має більшу абсолютну величину, відповідає знаку$b$.
• Як зарахувати триноми форми за$ax^2+bx+c$ допомогою проб і помилок.
  1. Напишіть триноміал у порядку спадання градусів за потребою.
  2. Фактор будь-якого GCF.
  3. Знайти всі пари коефіцієнтів першого члена.
  4. Знайти всі пари множників третього члена.
  5. Перевірте всі можливі комбінації факторів, поки не буде знайдений правильний продукт.
  6. Перевірка шляхом множення.
• Як зарахувати триноми форми за$ax^2+bx+c$ допомогою методу «$ac$».
  1. Фактор будь-якого GCF.
  2. Знайдіть товар$ac$.
  3. Знайдіть два числа$m$ і$n$ що:
     $\begin{array} {ll} \text{Multiply to }ac. &m·n=a·c \\ \text{Add to }b. &m+n=b \\ &ax^2+bx+c\end{array}$
  4. Розділіть середній термін, використовуючи$m$ і$n$. $\quad ax^2+mx+nx+c$
  5. Фактор за групуванням.
  6. Перевірте, множивши коефіцієнти.