3.7: Графіки функцій

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.6E: Вправи
- 3.7E: Вправи

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

Використовуйте тест вертикальної лінії
Визначте графіки основних функцій
Зчитування інформації з графіка функції

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Оцініть: ⓐ $2^3$ ⓑ $3^2$ .
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
Оцініть: ⓐ $|7|$ ⓑ $|−3|$ .
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
Оцініть: ⓐ $\sqrt{4}$ ⓑ $\sqrt{16}$ .
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].

Використовуйте тест вертикальної лінії

В останньому розділі ми дізналися, як визначити, чи є відношення функцією. Відносини, які ми розглядали, були виражені у вигляді набору впорядкованих пар, відображення або рівняння. Зараз ми розглянемо, як визначити, чи є графік функції.

Впорядкована пара $(x,y)$ - це рішення лінійного рівняння, якщо рівняння є істинним твердженням, коли x - і y -значення впорядкованої пари підставляються в рівняння.

Графік лінійного рівняння - це пряма лінія, де кожна точка на лінії є розв'язком рівняння, і кожне рішення цього рівняння є точкою на цій лінії.

На малюнку ми бачимо, що на графіку $y=2x−3$ рівняння для кожного x -значення існує лише одне y -значення, як показано в супровідній таблиці.

літак. Осі x та y проходять від негативних 10 до 10. Лінія проходить через точки (0, від'ємний 3), (1, від'ємний 1), і (2, 1). Рядок маркується y рівно2 х мінус 3. Існує кілька вертикальних стрілок, які пов'язують значення на осі x з точками на лінії. Перша стрілка відносить х рівнонегативного 2 на осі х до точки (негативна 2, негативна 7) на прямій. Друга стрілка відносить х рівнонегативний 1 на осі х до точки (негативна 1, негативна 5) на прямій. Наступна стрілка пов'язує x рівно0 на осі x до точки (0, від'ємна 3) на прямій. Наступна стрілка пов'язує x рівні3 на осі x до точки (3, 3) на лінії. Остання стрілка пов'язує x рівно4 на осі x до точки (4, 5) на лінії. Таблиця має 7 рядків і 3 стовпців. Перший рядок - це рядок заголовка з міткою y рівно2 х мінус 3. Другий рядок — рядок заголовка із заголовками x, y та (x, y). Третій ряд має координати від'ємні 2, від'ємні 7 і (від'ємні 2, від'ємні 7). Четвертий ряд має координати від'ємні 1, від'ємні 5 і (від'ємні 1, негативні 5). П'ятий рядок має координати 0, від'ємний 3 і (0, від'ємний 3). Шостий ряд має координати 3, 3 і (3, 3). Сьомий ряд має координати 4, 5 і (4, 5). — Малюнок $\PageIndex{1}$

Відношення - це функція, якщо кожен елемент домену має рівно одне значення в діапазоні. Таким чином, відношення, визначене рівнянням $y=2x−3$ , є функцією.

Якщо ми подивимося на графік, кожна вертикальна пунктирна лінія перетинає лише лінію в одній точці. Це має сенс, як у функції, для кожного x -значення існує лише одне y -значення.

Якщо вертикальна лінія двічі потрапить на графік, значення x буде зіставлено на два y -значення, і тому графік не буде представляти функцію.

Це призводить нас до тесту вертикальної лінії. Набір точок прямокутної системи координат - це графік функції, якщо кожна вертикальна лінія перетинає графік не більше ніж в одній точці. Якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік у більш ніж одній точці, графік не представляє функції.

ТЕСТ ВЕРТИКАЛЬНОЇ ЛІНІЇ

Набір точок прямокутної системи координат - це графік функції, якщо кожна вертикальна лінія перетинає графік не більше ніж в одній точці.

Якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік у більш ніж одній точці, графік не представляє функції.

Приклад $\PageIndex{1}$

Визначте, чи є кожен графік графіком функції.

$Цифра має два графіки. У графі a є пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 10 до 10. Лінія проходить через точки (0, 2), (3, 0) і (6, негативні 2). У графі b є парабола, що відкривається праворуч, зображена на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 6 до 6. Парабола проходить через точки (негативний 1, 0), (0, 1), (0, негативний 1), (3, 2) і (3, негативний 2).$

Відповідь

ⓐ Оскільки будь-яка вертикальна лінія перетинає графік максимум в одній точці, графік є графіком функції.

$Фігура має пряму лінію, розміщену на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 10 до 10. Лінія проходить через точки (0, 2), (3, 0) і (6, негативні 2). Три пунктирні вертикальні прямі лінії малюються при x рівновід'ємному 5, х дорівнює негативному 3, а x дорівнює 3. Кожна лінія перетинає похилу лінію рівно в одній точці.$

ⓑ Одна з вертикальних ліній, показаних на графіку, перетинає її в двох точках. Цей графік не представляє функцію.

$Фігура має параболу, що відкривається праворуч на графіку на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 6 до 6. Парабола проходить через точки (негативний 1, 0), (0, 1), (0, негативний 1), (3, 2) і (3, негативний 2). Три пунктирні вертикальні прямі лінії малюються при x рівновід'ємному 2, х дорівнює негативному 1, а x дорівнює 2. Вертикальна лінія x — від'ємна 2 не перетинає параболу. Вертикальна лінія x рівнонегативному 1 перетинає параболу рівно в одній точці. Вертикальна лінія x дорівнює 3 перетинає параболу в двох окремих точках.$

Приклад $\PageIndex{2}$

Визначте, чи є кожен графік графіком функції.

$Цифра має два графіки. У графі a є парабола, що відкривається на графіку на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 6 до 6. Вісь Y проходить від негативних 2 до 10. Парабола проходить через точки (0, негативний 1), (негативний 1, 0), (1, 0), (негативний 2, 3) і (2, 3). У графі b є коло, зображений на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 6 до 6. Вісь Y проходить від негативних 6 до 6. Коло проходить через точки (негативні 2, 0), (2, 0), (0, негативні 2), і (0, 2).$

Відповідь: ⓐ так ⓑ ні

Приклад $\PageIndex{3}$

Визначте, чи є кожен графік графіком функції.

$Цифра має два графіки. У графі a є еліпс, зображений на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 6 до 6. Вісь Y проходить від негативних 6 до 6. Еліпс проходить через точки (0, від'ємний 3), (негативний 2, 0), (2, 0) і (0, 3). У графі b є пряма лінія, зображена на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 12 до 12. Вісь Y проходить від негативних 12 до 12. Лінія проходить через точки (0, від'ємний 2), (2, 0) і (4, 2).$

Відповідь: ⓐ ні ⓑ так

Визначте графіки основних функцій

Ми використовували рівняння $y=2x−3$ та його графік під час розробки тесту вертикальної лінії. Ми сказали, що відношення, визначене рівнянням $y=2x−3$ , є функцією.

Ми можемо написати це як у функції позначення як $f(x)=2x−3$ . Це все ще означає те ж саме. Графік функції - це графік всіх впорядкованих пар $(x,y)$ де $y=f(x)$ . Таким чином, ми можемо написати впорядковані пари як $(x,f(x))$ . Виглядає по-іншому, але графік буде однаковим.

Порівняйте графік $y=2x−3$ раніше показаного на малюнку з графіком, $f(x)=2x−3$ показаним на малюнку. Нічого не змінилося, крім позначення.

Ця цифра має графік поруч з таблицею. Графік має пряму лінію на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 10 до 10. Лінія проходить через точки (0, від'ємний 3), (1, від'ємний 1), і (2, 1). Рядок позначається f з x рівно2 х мінус 3. Існує кілька вертикальних стрілок, які пов'язують значення на осі x з точками на лінії. Перша стрілка відносить х рівнонегативного 2 на осі х до точки (негативна 2, негативна 7) на прямій. Друга стрілка відносить х рівнонегативний 1 на осі х до точки (негативна 1, негативна 5) на прямій. Наступна стрілка пов'язує x рівно0 на осі x до точки (0, від'ємна 3) на прямій. Наступна стрілка пов'язує x рівні3 на осі x до точки (3, 3) на лінії. Остання стрілка пов'язує x рівно4 на осі x до точки (4, 5) на лінії. Таблиця має 7 рядків і 3 стовпців. Перший рядок - це рядок заголовка з міткою f x дорівнює 2 x мінус 3. Другий рядок є рядком заголовка з заголовками x, f або x, і (x, f з x). Третій ряд має координати від'ємні 2, від'ємні 7 і (від'ємні 2, від'ємні 7). Четвертий ряд має координати від'ємні 1, від'ємні 5 і (від'ємні 1, негативні 5). П'ятий рядок має координати 0, від'ємний 3 і (0, від'ємний 3). Шостий ряд має координати 3, 3 і (3, 3). Сьомий ряд має координати 4, 5 і (4, 5). — Малюнок $\PageIndex{2}$

ГРАФІК ФУНКЦІЇ

Графік функції - це графік усіх її впорядкованих пар (x, y) (x, y) або з використанням позначення функції, (x, f (x)) (x, f (x)) де y=f (x) .y=f (x).

$\begin{array} {ll} {f} &{\text{name of function}} \\ {x} &{\text{x-coordinate of the ordered pair}} \\ {f(x)} &{\text{y-coordinate of the ordered pair}} \\ \nonumber \end{array}$

Коли ми рухаємось вперед у нашому дослідженні, корисно ознайомитися з графіками декількох основних функцій та вміти їх ідентифікувати.

Завдяки нашій більш ранній роботі ми знайомі з графіками лінійних рівнянь. Процес, який ми використовували, щоб вирішити, чи $y=2x−3$ є функція, буде застосовуватися до всіх лінійних рівнянь. Всі невертикальні лінійні рівняння є функціями. Вертикальні лінії не є функціями, оскільки значення x має нескінченно багато y -значень.

Ми писали лінійні рівняння в декількох формах, але нам тут буде корисним використовувати форму перехоплення нахилу лінійного рівняння. Форма ухил-перехоплення лінійного рівняння є $y=mx+b$ . У позначенні функції ця лінійна функція стає $f(x)=mx+b$ там, де m - нахил прямої, а b - y -перехоплення.

Домен - це набір всіх дійсних чисел, а діапазон - це також набір всіх дійсних чисел.

ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ

$Ця фігура має графік прямої на координатній площині x y. Лінія йде через точку (0, б). Поруч з графіком розташовані такі: «f x рівних x плюс b», «m, b: всі дійсні числа», «m: нахил прямої», «b: y-перехоплення», «Домен: (негативна нескінченність, нескінченність)» та «Діапазон: (негативна нескінченність, нескінченність)».$

Ми будемо використовувати методи графіки, які ми використовували раніше, щоб графікувати основні функції.

Приклад $\PageIndex{4}$

Графік: $f(x)=−2x−4$ .

Відповідь

	$f(x)=−2x−4$
Ми визнаємо це як лінійну функцію.
Знайдіть нахил і y -перехоплення.	$m=−2$ $b=−4$
Графік за допомогою перехоплення нахилу.	$.$

Приклад $\PageIndex{5}$

Графік: $f(x)=−3x−1$

Відповідь: $Фігура має графік лінійної функції на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 6 до 6. Лінія проходить через точки (1, від'ємний 4), (0, від'ємний 1), і (від'ємний 1, 2).$

Приклад $\PageIndex{6}$

Графік: $f(x)=−4x−5$

Відповідь: $Фігура має графік лінійної функції на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 6 до 6. Рядок проходить через точки (від'ємний 2, 3), (0, негативний 5), і (негативний 1, негативний 1).$

Наступна функція, графік якої ми розглянемо, називається постійною функцією і її рівняння має вигляд $f(x)=b$ , де b - будь-яке дійсне число. Якщо ми замінимо на $f(x)$ y, ми отримаємо $y=b$ . Ми визнаємо це як горизонтальну лінію, у якої y -перехоплення дорівнює b. Графік функції $f(x)=b$ , також є горизонтальною лінією, у якої y -перехоплення дорівнює b.

Зверніть увагу, що для будь-якого дійсного числа ми ставимо в функцію, значення функції буде b. Це говорить нам, що діапазон має лише одне значення, b.

ПОСТІЙНА ФУНКЦІЯ

$Ця фігура має графік прямої горизонтальної лінії на координатній площині x y. Лінія йде через точку (0, б). Поруч з графіком розташовані такі: «f з x рівнівb», «b: будь-яке дійсне число», «b: y-перехоплення», «Домен: (негативна нескінченність, нескінченність)» та «Діапазон: b».$

Приклад $\PageIndex{7}$

Графік: $f(x)=4$ .

Відповідь

	$f(x)=4$
Ми визнаємо це як постійну функцію.
Графік буде горизонтальною лінією наскрізь $(0,4)$ .	$.$

Приклад $\PageIndex{8}$

Графік: $f(x)=−2$ .

Відповідь: $Фігура має графік постійної функції на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 12 до 12. Вісь Y проходить від негативних 12 до 12. Рядок проходить через точки (0, від'ємний 2), (1, від'ємний 2), і (2, негативний 2).$

Приклад $\PageIndex{9}$

Графік: $f(x)=3$ .

Відповідь: $Фігура має графік постійної функції на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 12 до 12. Вісь Y проходить від негативних 12 до 12. Лінія проходить через точки (0, 3), (1, 3) і (2, 3).$

Функція ідентичності, $f(x)=x$ є окремим випадком лінійної функції. Якщо ми запишемо його у формі лінійної функції $f(x)=1x+0$ , ми бачимо нахил 1, а y -перехоплення дорівнює 0.

ФУНКЦІЯ ІДЕНТИЧНОСТІ

$Ця фігура має графік прямої на координатній площині x y. Лінія проходить через точки (0, 0), (1, 1) і (2, 2). Поруч з графіком розташовані такі: «f x рівноx», «m: 1», «b: 0», «Домен: (негативна нескінченність, нескінченність)» та «Діапазон: (негативна нескінченність, нескінченність)».$

Наступна функція, яку ми розглянемо, - це не лінійна функція. Так що графік не буде лінією. Єдиний метод, який ми повинні графувати цю функцію, - це точкове побудова. Оскільки це незнайома функція, ми переконуємося вибрати кілька позитивних і негативних значень, а також 0 для наших значень x.

Графік: $f(x)=x^2$ .

Відповідь

Вибираємо х -значення. Ми підставляємо їх, а потім створюємо діаграму, як показано на малюнку.

$Ця цифра має графік поруч з таблицею. На графіку є парабола, що відкривається на графіку на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 4 до 4. Вісь Y проходить від негативних 2 до 6. Парабола проходить через точки (негативні 3, 9), (негативні 2, 4), (негативні 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) і (3, 9). Таблиця має 8 рядків і 3 стовпці. Перший рядок є рядком заголовка з заголовками x, f x дорівнює x в квадраті, і (x, f або x). Другий ряд має від'ємні координати 3, 9 і (негативні 3, 9). Третій ряд має від'ємні координати 2, 4 і (від'ємні 2, 4). Четвертий ряд має від'ємні координати 1, 1 і (від'ємні 1, 1). П'ятий рядок має координати 0, 0 та (0, 0). Шостий ряд має координати 1, 1 і (1, 1). Сьомий ряд має координати 2, 4 і (2, 4). Сьомий ряд має координати 3, 9 і (3, 9).$

Приклад $\PageIndex{11}$

Графік: $f(x)=x^2$ .

Відповідь: $Ця цифра має графік поруч з таблицею. На графіку є парабола, що відкривається на графіку на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 6 до 6. Вісь Y проходить від негативних 4 до 8. Парабола проходить через точки (негативні 2, 4), (негативні 1, 1), (0, 0), (1, 1) і (2, 4).$

Приклад $\PageIndex{12}$

$f(x)=−x^2$

Відповідь: $Ця цифра має графік поруч з таблицею. На графіку є парабола, що відкривається на графіку на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 6 до 6. Вісь Y проходить від негативних 4 до 8. Парабола проходить через точки (негативний 2, негативний 4), (негативний 1, негативний 1), (0, 0), (1, негативний 1) і (2, негативний 4).$

Дивлячись на результат у прикладі, ми можемо узагальнити особливості квадратної функції. Ми називаємо цей графік параболою. Коли ми розглядаємо домен, зверніть увагу, що будь-яке дійсне число може бути використано як значення x. Домен - це всі дійсні числа.

Діапазон - це не всі дійсні числа. Зверніть увагу, що графік складається з значень y ніколи не опускаються нижче нуля. Це має сенс, оскільки квадрат будь-якого числа не може бути від'ємним. Отже, діапазон квадратної функції - це все невід'ємні дійсні числа.

КВАДРАТНА ФУНКЦІЯ

$Ця фігура має графік параболи, що відкривається, графічний на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 4 до 4. Вісь Y проходить від негативних 2 до 6. Парабола проходить через точки (негативні 2, 4), (негативні 1, 1), (0, 0), (1, 1) і (2, 4). Поруч з графіком розташовані такі: «f x дорівнює x у квадраті», «Домен: (негативна нескінченність, нескінченність)» та «Діапазон: [0, нескінченність)».$

Наступна функція, яку ми розглянемо, також не є лінійною функцією, тому графік не буде лінією. Знову ми будемо використовувати точкові побудови, і переконайтеся, що вибрати кілька позитивних і негативних значень, а також 0 для наших х -values.

Графік: $f(x)=x^3$ .

Відповідь

Вибираємо х -значення. Ми підставляємо їх, а потім створюємо діаграму.

$Ця фігура має вигнуту лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 4 до 4. Вісь Y проходить від негативних 4 до 4. Вигнута лінія проходить через точки (від'ємний 2, негативний 8), (негативний 1, негативний 1), (0, 0), (1, 1) і (2, 8). Поруч з графіком знаходиться таблиця. Таблиця має 6 рядків і 3 стовпців. Перший рядок є рядком заголовка з заголовками x, f x дорівнює x в кубі, і (x, f або x). Другий рядок має координати від'ємні 2, від'ємні 8 і (від'ємні 2, від'ємні 8). Третій рядок має координати від'ємні 1, від'ємні 1 і (від'ємні 1, від'ємні 1). Четвертий рядок має координати 0, 0 та (0, 0). П'ятий ряд має координати 1, 1 і (1, 1). Шостий ряд має координати 2, 8 і (2, 8).$

Приклад $\PageIndex{14}$

Графік: $f(x)=x^3$ .

Відповідь: $Ця фігура має вигнуту лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 6 до 6. Вісь Y проходить від негативних 6 до 6. Вигнута лінія проходить через точки (від'ємний 2, негативний 8), (негативний 1, негативний 1), (0, 0), (1, 1) і (2, 8).$

Приклад $\PageIndex{15}$

Графік: $f(x)=−x^3$ .

Відповідь: $Ця фігура має вигнуту лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 6 до 6. Вісь Y проходить від негативних 6 до 6. Вигнута лінія проходить через точки (негативний 2, 8), (негативний 1, 1), (0, 0), (1, негативний 1), і (2, негативний 8).$

Дивлячись на результат у прикладі, ми можемо узагальнити особливості функції куба. Коли ми розглядаємо домен, зверніть увагу, що будь-яке дійсне число може бути використано як значення x. Домен - це всі дійсні числа.

Діапазон - це всі дійсні числа. Це має сенс, оскільки куб будь-якого ненульового числа може бути позитивним або негативним. Отже, діапазон функції куба - це всі дійсні числа.

ФУНКЦІЯ КУБА

Наступна функція, яку ми розглянемо, не квадрат або куб вхідних значень, а скоріше приймає квадратний корінь цих значень.

Давайте проведемо графік функції, $f(x)=\sqrt{x}$ а потім підсумуємо особливості функції. Пам'ятайте, що ми можемо взяти тільки квадратний корінь невід'ємних дійсних чисел, тому наш домен буде невід'ємними дійсними числами.

Приклад $\PageIndex{16}$

$f(x)=\sqrt{x}$

Відповідь

Вибираємо х -значення. Оскільки ми будемо брати квадратний корінь, ми вибираємо числа, які є ідеальними квадратами, щоб полегшити нашу роботу. Ми підставляємо їх, а потім створюємо діаграму.

$Ця фігура має вигнуту півлінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь x працює від 0 до 8. Вісь Y працює від 0 до 8. Вигнута напівлінія починається в точці (0, 0), а потім йде вгору і вправо. Вигнута напівлінія проходить через точки (1, 1) і (4, 2). Поруч з графіком знаходиться таблиця. Таблиця має 5 рядків і 3 стовпці. Перший рядок є рядком заголовка з заголовками x, f x дорівнює квадратному кореню x, і (x, f або x). Другий рядок має координати 0, 0 та (0, 0). Третій ряд має координати 1, 1 і (1, 1). Четвертий ряд має координати 4, 2 і (4, 2). П'ятий ряд має координати 9, 3 і (9, 3).$

Приклад $\PageIndex{17}$

Графік: $f(x)=x$ .

Відповідь: $Ця фігура має вигнуту півлінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь x працює від 0 до 10. Вісь Y працює від 0 до 10. Вигнута напівлінія починається в точці (0, 0), а потім йде вгору і вправо. Вигнута половина лінії проходить через точки (1, 1), (4, 2), і (9, 3).$

Приклад $\PageIndex{18}$

Графік: $f(x)=−\sqrt{x}$ .

Відповідь: $Ця фігура має вигнуту півлінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь x працює від 0 до 10. Вісь Y працює від від'ємного 10 до 0. Вигнута напівлінія починається в точці (0, 0), а потім йде вниз і вправо. Вигнута половина лінії проходить через точки (1, негативний 1), (4, негативний 2), і (9, негативний 3).$

ФУНКЦІЯ КВАДРАТНОГО КОРЕНЯ

Наша остання основна функція - це функція абсолютного значення, $f(x)=|x|$ . Майте на увазі, що абсолютне значення числа - це його відстань від нуля. Оскільки ми ніколи не вимірюємо відстань як від'ємне число, ми ніколи не отримаємо негативне число в діапазоні.

Графік: $f(x)=|x|$ .

Відповідь

Вибираємо х -значення. Ми підставляємо їх, а потім створюємо діаграму.

$Ця фігура має v-подібну лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 4 до 4. Вісь Y проходить від негативного 1 до 6. V-подібна лінія проходить через точки (негативні 3, 3), (від'ємні 2, 2), (негативні 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) і (3, 3). Поруч з графіком знаходиться таблиця. Таблиця має 8 рядків і 3 стовпці. Перший рядок є рядком заголовка з заголовками x, f x дорівнює абсолютному значенню x, а (x, f x). Другий ряд має від'ємні координати 3, 3 і (від'ємні 3, 3). Третій ряд має від'ємні координати 2, 2 і (від'ємні 2, 2). Четвертий ряд має від'ємні координати 1, 1 і (від'ємні 1, 1). П'ятий рядок має координати 0, 0 та (0, 0). Шостий ряд має координати 1, 1 і (1, 1). Сьомий ряд має координати 2, 2 і (2, 2). Восьмий ряд має координати 3, 3 і (3, 3).$

Приклад $\PageIndex{20}$

Графік: $f(x)=|x|$ .

Відповідь: $Ця фігура має v-подібну лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 6 до 6. Вісь Y проходить від негативних 2 до 10. V-подібна лінія проходить через точки (негативні 3, 3), (від'ємні 2, 2), (негативні 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) і (3, 3).$

Приклад $\PageIndex{21}$

Графік: $f(x)=−|x|$ .

Відповідь: $Ця фігура має v-подібну лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 6 до 6. Вісь Y проходить від негативних 8 до 4. V-подібна лінія проходить через точки (негативний 3, негативний 3), (негативний 2, негативний 2), (негативний 1, негативний 1), (0, 0), (1, негативний 1), (2, негативний 2) і (3, негативний 3).$

ФУНКЦІЯ АБСОЛЮТНОГО ЗНАЧЕННЯ

Читання інформації з графіка функції

У науках та бізнесі дані часто збираються, а потім графуються. Графік аналізується, інформація отримується з графіка і потім часто з даних робляться прогнози.

Ми почнемо з читання домену та діапазону функції з її графіка.

Пам'ятайте, що домен - це набір всіх x -значень у впорядкованих парах у функції. Щоб знайти домен, ми дивимося на графік і знаходимо всі значення x, які мають відповідне значення на графіку. Дотримуйтесь значення x вгору або вниз по вертикалі. Якщо ви потрапили на графік функції, то x знаходиться в домені.

Пам'ятайте, що діапазон - це набір всіх y -значень у впорядкованих парах у функції. Щоб знайти діапазон, ми дивимося на графік і знаходимо всі значення y, які мають відповідне значення на графіку. Дотримуйтесь значення y вліво або вправо по горизонталі. Якщо ви потрапили на графік функції, то y знаходиться в діапазоні.

Приклад $\PageIndex{22}$

Використовуйте графік функції, щоб знайти її область і діапазон. Запишіть домен і діапазон в інтервальному позначенні.

$Ця фігура має вигнутий відрізок лінії, зображений на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 4 до 4. Вісь Y проходить від негативних 4 до 4. Вигнутий відрізок лінії проходить через точки (негативний 3, негативний 1), (1,5, 3) і (3, 1). На горизонтальній осі відзначається інтервал [негативний 3, 3]. На вертикальній осі відзначається інтервал [негативний 1, 3].$

Відповідь

Щоб знайти домен, ми дивимося на графік і знаходимо всі значення x, які відповідають точці на графіку. Домен виділений червоним кольором на графіку. Домен є $[−3,3]$ .

Щоб знайти діапазон, ми дивимося на графік і знаходимо всі значення y, які відповідають точці на графіку. Діапазон виділений синім кольором на графіку. Асортимент є $[−1,3]$ .

Приклад $\PageIndex{23}$

$Ця фігура має вигнутий відрізок лінії, зображений на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 6 до 6. Вісь Y проходить від негативних 6 до 6. Вигнутий відрізок лінії проходить через точки (негативний 5, негативний 4), (0, негативний 3), і (1, 2). На горизонтальній осі відзначається інтервал [мінус 5, 1]. На вертикальній осі відзначається інтервал [мінус 4, 2].$

Відповідь: Домен є $[−5,1]$ . Асортимент є $[−4,2]$ .

Приклад $\PageIndex{24}$

$Ця фігура має вигнутий відрізок лінії, зображений на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 4 до 5. Вісь Y проходить від негативних 6 до 4. Вигнутий відрізок лінії проходить через точки (негативні 2, 1), (0, 3) і (4, негативні 5). На горизонтальній осі відзначається інтервал [мінус 2, 4]. На вертикальній осі відзначається інтервал [мінус 5, 3].$

Відповідь: Домен є $[−2,4]$ . Асортимент є $[−5,3]$ .

Тепер ми збираємося читати інформацію з графіка, яку ви можете побачити в майбутніх класах математики.

Приклад $\PageIndex{25}$

Використовуйте графік функції, щоб знайти зазначені значення.

$Ця фігура має хвилясту вигнуту лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь x проходить від негативного 2 рази pi до 2 разів pi. Вісь Y проходить від негативних 4 до 4. Вигнутий відрізок лінії проходить через точки (негативний 2 рази пі, 0), (негативний 3 ділиться на 2 рази пі, 1), (негативний пі, 0), (негативний 1 ділиться на 2 рази пі, негативний 1), (0, 0), (1 ділиться на 2 рази пі, 1), (пі, 0), (3 ділиться на 2 рази пі, 0), і (2 рази пі, 0). Точки (від'ємні 3, поділені на 2 рази пі, 1) і (1 поділена на 2 рази пі, 1) є найвищими точками на графіку. Точки (від'ємний 1 поділений на 2 рази пі, від'ємний 1) і (3 поділений на 2 рази пі, від'ємний 1) є найнижчими точками на графіку. Візерунок поширюється нескінченно вліво і вправо.$

ⓐ Знайти: $f(0)$ .
ⓑ Знайти: $f(32\pi)$ .
ⓒ Знайти: $f(−12\pi)$ .
ⓓ Знайдіть значення для x, коли $f(x)=0$ .
ⓔ Знайдіть x -перехоплення.
ⓕ Знайдіть y -перехоплення.
ⓖ Знайти домен. Запишіть його в інтервальних позначеннях.
ⓗ Знайдіть асортимент. Запишіть його в інтервальних позначеннях.

Відповідь: ⓐ Коли $x=0$ функція перетинає вісь y на 0. Отже, $f(0)=0$ .
ⓑ Коли $x=32\pi$ , y -значення функції є $−1$ . Отже, $f(32\pi)=−1$ .
ⓒ Коли $x=−12\pi$ , y -значення функції є $−1$ . Отже, $f(−12\pi)=−1$ .
ⓓ Функція дорівнює 0 в точках, $(−2\pi,0), (−\pi,0), (0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$ . Значення x, коли $f(x)=0$ є $−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi$ .
ⓔ X -перехоплення відбуваються, коли $y=0$ . Таким чином, x -перехоплення відбуваються, коли $f(x)=0$ . X -перехоплює є $(−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$ .
ⓕ Y -перехоплення відбуваються, коли x = 0.x = 0. Таким чином, у -перехоплення відбуваються на $f(0)$ . Y -перехоплення є $(0,0)$ .
ⓖ Ця функція має значення, коли x від $−2\pi$ до $2\pi$ . Тому домен в інтервальному позначенні є $[−2\pi,2\pi]$ .
ⓗ Значення цієї функції, або y -значення переходять від $−1$ до 1. Тому діапазон, в інтервальних позначеннях, є $[−1,1]$ .

Приклад $\PageIndex{26}$

Використовуйте графік функції, щоб знайти зазначені значення.

$Ця фігура має хвилясту вигнуту лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь x проходить від негативного 2 рази pi до 2 разів pi. Вісь Y проходить від негативних 6 до 6. Вигнутий відрізок лінії проходить через точки (негативний 2 рази пі, 0), (негативний 3 ділиться на 2 рази пі, 2), (негативний пі, 0), (негативний 1 ділиться на 2 рази пі, від'ємний 2), (0, 0), (1 поділений на 2 рази пі, 2), (пі, 0), (3 ділиться на 2 рази пі, 0), і (2 рази пі, 0). Точки (від'ємні 3, поділені на 2 рази пі, 2) і (1 поділена на 2 рази пі, 2) є найвищими точками на графіку. Точки (від'ємний 1 поділений на 2 рази пі, від'ємний 2) і (3 поділений на 2 рази пі, від'ємний 2) є найнижчими точками на графіку. Лінія тягнеться нескінченно вліво і вправо.$

ⓐ Знайти: f (0) .f (0).
ⓑ Знайти: f (12\ пі) .f (12\ пі).
ⓒ Знайти: f (−32\ pi) .f (−32\ pi).
ⓓ Знайдіть значення для x, коли f (x) = 0.f (x) =0.
ⓔ Знайдіть x -перехоплення.
ⓕ Знайдіть y -перехоплення.
ⓖ Знайти домен. Запишіть його в інтервальних позначеннях.
ⓗ Знайдіть асортимент. Запишіть його в інтервальних позначеннях.

Відповідь: ⓐ $f(0)=0$ ⓑ $f=(\pi2)=2$ ⓒ $f=(−3\pi2)=2$ ⓓ $f(x)=0$ за $x=−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi$ ⓔ $(−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$ ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ $[−2\pi,2\pi]$ ⓗ $[−2,2]$

Приклад $\PageIndex{27}$

Використовуйте графік функції, щоб знайти зазначені значення.

$Ця фігура має хвилясту вигнуту лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь x проходить від негативного 2 рази pi до 2 разів pi. Вісь Y проходить від негативних 6 до 6. Вигнутий відрізок лінії проходить через точки (негативний 2 рази пі, 1), (негативний 3 ділиться на 2 рази пі, 0), (негативний пі, від'ємний 1), (негативний 1 ділиться на 2 рази пі, 0), (0, 1), (1 ділиться на 2 рази пі, 0), (пі, від'ємний 1), (3 ділиться на 2 рази пі, 0) і (2 рази пі, 1). Точки (від'ємні 2 рази pi, 1), (0, 1) і (2 рази pi, 1) є найвищими точками на графіку. Точки (від'ємний пі, від'ємний 1) і (пі, від'ємний 1) є найнижчими точками на графіку. Візерунок поширюється нескінченно вліво і вправо.$

ⓐ Знайти: $f(0)$ .
ⓑ Знайти: $f(\pi)$ .
ⓒ Знайти: $f(−\pi)$ .
ⓓ Знайдіть значення для x, коли $f(x)=0$ .
ⓔ Знайдіть x -перехоплення.
ⓕ Знайдіть y -перехоплення.
ⓖ Знайти домен. Запишіть його в інтервальних позначеннях.
ⓗ Знайдіть асортимент. Запишіть його в інтервальних позначеннях.

Відповідь: ⓐ $f(0)=1$ ⓑ $f(\pi)=−1$ ⓒ $f(−\pi)=−1$ ⓓ $f(x)=0$ за $x=−3\pi2,−\pi2,\pi2,3\pi2$ ⓔ $(−2pi,0),(−pi,0),(0,0),(pi,0),(2pi,0)$ ⓕ $(0,1)$ ⓖ $[−2pi,2pi]$ ⓗ $[−1,1]$

Отримайте доступ до цього інтернет-ресурсу для додаткової інструкції та практики з графіками функцій.

Пошук домену та діапазону

Ключові концепції

Тест вертикальної лінії
- Набір точок прямокутної системи координат - це графік функції, якщо кожна вертикальна лінія перетинає графік не більше ніж в одній точці.
- Якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік у більш ніж одній точці, графік не представляє функції.
Графік функції
- Графік функції - це графік усіх її впорядкованих пар (x, y) (x, y) або з використанням позначення функції, (x, f (x)) (x, f (x)) де y=f (x) .y=f (x).
  fxf (x) назва функції-координата впорядкованої пара-координати впорядкованої pairfname функціїxx-координата впорядкованої пари (x) y-координати впорядкованої пари
Лінійна функція
$Ця фігура має графік прямої на координатній площині x y. Лінія йде через точку (0, б). Поруч з графіком розташовані такі: «f x рівних x плюс b», «m, b: всі дійсні числа», «m: нахил прямої», «b: y-перехоплення», «Домен: (негативна нескінченність, нескінченність)» та «Діапазон: (негативна нескінченність, нескінченність)».$
Постійна функція
$Ця фігура має графік прямої горизонтальної лінії на координатній площині x y. Лінія йде через точку (0, б). Поруч з графіком розташовані такі: «f з x рівнівb», «b: будь-яке дійсне число», «b: y-перехоплення», «Домен: (негативна нескінченність, нескінченність)» та «Діапазон: b».$
Функція ідентичності
$Ця фігура має графік прямої на координатній площині x y. Лінія проходить через точки (0, 0), (1, 1) і (2, 2). Поруч з графіком розташовані такі: «f x рівноx», «m: 1», «b: 0», «Домен: (негативна нескінченність, нескінченність)» та «Діапазон: (негативна нескінченність, нескінченність)».$
Квадратна функція
$Ця фігура має графік параболи, що відкривається, графічний на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 4 до 4. Вісь Y проходить від негативних 2 до 6. Парабола проходить через точки (негативні 2, 4), (негативні 1, 1), (0, 0), (1, 1) і (2, 4). Поруч з графіком розташовані такі: «f x дорівнює x у квадраті», «Домен: (негативна нескінченність, нескінченність)» та «Діапазон: [0, нескінченність)».$
Функція куба
$Ця фігура має вигнуту лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 4 до 4. Вісь Y проходить від негативних 4 до 4. Вигнута лінія проходить через точки (від'ємний 2, негативний 8), (негативний 1, негативний 1), (0, 0), (1, 1) і (2, 8).). Поруч з графіком розташовані такі: «f x рівноx в кубі», «Домен: (негативна нескінченність, нескінченність)» і «Діапазон: (негативна нескінченність, нескінченність)».$
Функція квадратного кореня
$Ця фігура має вигнуту півлінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь x працює від 0 до 8. Вісь Y працює від 0 до 8. Вигнута напівлінія починається в точці (0, 0), а потім йде вгору і вправо. Вигнута напівлінія проходить через точки (1, 1) і (4, 2). Поруч з графіком розташовані такі: «f з x рівноквадратний корінь x», «Домен: [0, нескінченність)» і «Діапазон: [0, нескінченність)».$
Функція абсолютного значення
$Ця фігура має v-подібну лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь X проходить від негативних 4 до 4. Вісь Y проходить від негативного 1 до 6. V-подібна лінія проходить через точки (негативні 3, 3), (від'ємні 2, 2), (негативні 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) і (3, 3). Точка (0, 0), де лінія змінює нахил, називається вершиною. Поруч з графіком розташовані наступні: «f з x рівняєабсолютному значенню x», «Домен: (негативна нескінченність, нескінченність)» і «Діапазон: [0, нескінченність)».$

Цілі навчання

Використовуйте тест вертикальної лінії

ТЕСТ ВЕРТИКАЛЬНОЇ ЛІНІЇ

Приклад3.7.1\PageIndex{1}

Приклад3.7.2\PageIndex{2}

Приклад3.7.3\PageIndex{3}

Визначте графіки основних функцій

ГРАФІК ФУНКЦІЇ

ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ

Приклад3.7.4\PageIndex{4}

Приклад3.7.5\PageIndex{5}

Приклад3.7.6\PageIndex{6}

ПОСТІЙНА ФУНКЦІЯ

Приклад3.7.7\PageIndex{7}

Приклад3.7.8\PageIndex{8}

Приклад3.7.9\PageIndex{9}

ФУНКЦІЯ ІДЕНТИЧНОСТІ

Приклад3.7.11\PageIndex{11}

Приклад3.7.12\PageIndex{12}

КВАДРАТНА ФУНКЦІЯ

Приклад3.7.14\PageIndex{14}

Приклад3.7.15\PageIndex{15}

ФУНКЦІЯ КУБА

Приклад3.7.16\PageIndex{16}

Приклад3.7.17\PageIndex{17}

Приклад3.7.18\PageIndex{18}

ФУНКЦІЯ КВАДРАТНОГО КОРЕНЯ

Приклад3.7.20\PageIndex{20}

Приклад3.7.21\PageIndex{21}

ФУНКЦІЯ АБСОЛЮТНОГО ЗНАЧЕННЯ

Читання інформації з графіка функції

Приклад3.7.22\PageIndex{22}

Приклад3.7.23\PageIndex{23}

Приклад3.7.24\PageIndex{24}

Приклад3.7.25\PageIndex{25}

Приклад3.7.26\PageIndex{26}

Приклад3.7.27\PageIndex{27}

Ключові концепції

Приклад $\PageIndex{1}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Приклад $\PageIndex{3}$

Приклад $\PageIndex{4}$

Приклад $\PageIndex{5}$

Приклад $\PageIndex{6}$

Приклад $\PageIndex{7}$

Приклад $\PageIndex{8}$

Приклад $\PageIndex{9}$

Приклад $\PageIndex{11}$

Приклад $\PageIndex{12}$

Приклад $\PageIndex{14}$

Приклад $\PageIndex{15}$

Приклад $\PageIndex{16}$

Приклад $\PageIndex{17}$

Приклад $\PageIndex{18}$

Приклад $\PageIndex{20}$

Приклад $\PageIndex{21}$

Приклад $\PageIndex{22}$

Приклад $\PageIndex{23}$

Приклад $\PageIndex{24}$

Приклад $\PageIndex{25}$

Приклад $\PageIndex{26}$

Приклад $\PageIndex{27}$