Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5: Лінійні нерівності графа у двох змінних

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59419

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    РЕЗЮМЕ

    До кінця цього розділу ви зможете:

    • Перевірте рішення нерівності в двох змінних.
    • Визнайте зв'язок між розв'язками нерівності та його графіком.
    • Графік лінійних нерівностей у двох змінних
    • Розв'язуйте програми, використовуючи лінійні нерівності у двох змінних

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Графік\(x>2\) на числовому рядку.
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
    2. Вирішити:\(4x+3>23\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
    3. Перекласти:\(8<x>3\).
      Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].

    Перевірка рішень нерівності в двох змінних

    Раніше ми навчилися вирішувати нерівності лише однією змінною. Тепер ми дізнаємося про нерівності, що містять дві змінні. Зокрема, ми розглянемо лінійні нерівності у двох змінних, які дуже схожі на лінійні рівняння у двох змінних.

    Лінійні нерівності в двох змінних мають багато застосувань. Наприклад, якщо ви керуєте бізнесом, ви хотіли б, щоб ваш дохід був більшим за ваші витрати, щоб ваш бізнес отримував прибуток.

    ЛІНІЙНА НЕРІВ

    Лінійна нерівність - це нерівність, яку можна записати в одну з наступних форм:

    \( \begin{array} {l} { }& {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} &{Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ \end{array} \)

    Де A і B не обидва нуль.

    Нагадаємо, що нерівність з однією змінною мала безліч рішень. Наприклад, розв'язком нерівності x>3x>3 є будь-яке число більше 3. Ми показали це на числовому рядку затінення в числовому рядку праворуч від 3, і поставивши відкриті дужки на 3. Див. Малюнок.

    Зображення числового рядка з цілими числами від від'ємного 5 до 5. Частина числового рядка праворуч від 3 відзначена синьою лінією. Цифра 3 відзначена синьою відкритою дужкою.
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Аналогічно, лінійні нерівності у двох змінних мають багато розв'язків. Будь-яка впорядкована пара (x, y) (x, y), яка робить нерівність істинною, коли ми підставляємо значення, є рішенням лінійної нерівності.

    Розв'язок ЛІНІЙНОЇ НЕРІВНОСТІ

    \((x,y)\)Впорядкована пара - це рішення лінійної нерівності, якщо нерівність істинна, коли ми підставляємо значення x та y.

    Індекс сторінки {1}\)

    Визначте, чи є кожна впорядкована пара розв'язком нерівності y>x+4:y>x+4:

    ⓐ (0,0) (0,0) ⓑ (1,6) (1,6) ⓒ (2,6) ⓓ (−5, −15) (−5, −15) ⓔ (−8,12) (−8,12)

    Відповідь

    ⓐ

    \((0,0)\) .
    . .
    Спростити. .
     

    Отже,\((0,0)\) це не рішення для\(y>x+4\).

    ⓑ

    \((1,6)\) .
    . .
    Спростити. .
      Отже,\((1,6)\) це рішення для\(y>x+4\).

    ⓒ

    \((2,6)\) .
    . .
    Спростити. .
      Отже,\((2,6)\) це не рішення для\(y>x+4\).

    ⓓ

    \((−5,−15)\) .
    . .
    Спростити. .
      Отже,\((−5,−15)\) це не рішення для\(y>x+4\).

    ⓔ

    \((−8,12)\) .
    . .
    Спростити. .
      Отже,\((−8,12)\) це рішення для\(y>x+4\).

    Визначте, чи є кожна впорядкована пара розв'язком нерівності\(y>x−3\):

    ⓐ\((0,0)\) ⓑ\((4,9)\) ⓒ\((−2,1)\) ⓓ\((−5,−3)\) ⓔ\((5,1)\)

    Відповідь

    ⓐ так ⓑ так ⓒ так ⓓ так ⓔ ні

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Визначте, чи є кожна впорядкована пара розв'язком нерівності\(y<x+1\):

    ⓐ\((0,0)\) ⓑ\((8,6)\) ⓒ\((−2,−1)\) ⓓ\((3,4)\) ⓔ\((−1,−4)\)

    Відповідь

    ⓐ так ⓑ так ⓒ ні ⓓ ні ⓔ так

    Визнати зв'язок між розв'язками нерівності та її графіком

    Тепер ми розглянемо, як розв'язки нерівності співвідносяться з його графіком.

    Давайте подумаємо про номер рядка в показані раніше знову. Точка\(x=3\) розділила цю цифру на дві частини. На одній стороні 3 знаходяться всі числа менше 3. На іншій стороні 3 всі числа більше 3. Див. Малюнок.

    Зображення числового рядка з цілими числами від від'ємного 5 до 5. Частина числового рядка праворуч від 3 відзначена синьою лінією. Цифра 3 відзначена синьою відкритою дужкою. Частина числового рядка праворуч від 3 позначена «числа більше 3». Частина числового рядка зліва від 3 позначена «числа менше 3».
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Рішення\(x>3\) є затіненою частиною числового рядка праворуч від\(x=3\).

    Аналогічно лінія\(y=x+4\) розділяє площину на дві області. З одного боку від лінії розташовані точки с\(y<x+4\). На іншій стороні лінії розташовані точки с\(y>x+4\). Називаємо лінію\(y=x+4\) лінією кордону.

    МЕЖОВА ЛІНІЯ

    Лінія з рівнянням\(Ax+By=C\) є граничною лінією, яка відокремлює область де\(Ax+By>C\) від області де\(Ax+By<C\).

    Для нерівності в одній змінній кінцева точка показана дужками або дужкою залежно від того, чи включена a до розв'язку:

    Два числові рядки показані з серединою, позначеною цифрою «a». В обох числових рядках частина зліва від числа a позначена червоним кольором. Перший числовий рядок позначено «x менше a», а число a позначається відкритою дужкою. Другий числовий рядок позначено «x менше або дорівнює a», а число a позначається відкритою дужкою.

    Аналогічно, для нерівності у двох змінних межа показана суцільною або пунктирною лінією, щоб показати, чи включена лінія до розв'язку.

    \[ \begin{array} {ll} {Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} \\ {\text{Boundary line is }Ax+By=C.} &{\text{Boundary line is }Ax+By=C.} \\ {\text{Boundary line is not included in solution.}} &{\text{Boundary line is not included in solution.}} \\ {\textbf{Boundary line is dashed.}} &{\textbf{Boundary line is solid.}} \\ \nonumber \end{array} \]

    Тепер давайте подивимося на те, що ми знайшли в прикладі. Ми почнемо з графіка лінії\(y=x+4\), а потім ми побудуємо п'ять точок, які ми перевірили, як показано на графіку. Див. Малюнок.

    Ця цифра має графік деяких точок і пряму лінію на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 16 до 16. Точки (від'ємні 8, 12), (від'ємні 5, від'ємні 15), (0, 0), (1, 6) і (2, 6) нанесені та позначені їх координатами. Через точки (від'ємні 4, 0), (0, 4), і (2, 6) проводиться пряма лінія.
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    У прикладі ми виявили, що деякі пункти були розв'язками нерівності,\(y>x+4\) а деякі - ні.

    Які з точок, які ми побудували, є розв'язками нерівності\(y>x+4\)?

    Точки\((1,6)\) і\((−8,12)\) є розв'язками нерівності\(y>x+4\). Зверніть увагу, що вони обидва знаходяться на одній стороні лінії кордону\(y=x+4\).

    Дві точки\((0,0)\) і\((−5,−15)\) знаходяться на іншій стороні граничної лінії\(y=x+4\), і вони не є розв'язками нерівності\(y>x+4\). Для цих двох пунктів,\(y<x+4\).

    А як щодо суті\((2,6)\)? Тому що\(6=2+4\), точка - це рішення рівняння\(y=x+4\), але не рішення нерівності\(y>x+4\). Таким чином, точка\((2,6)\) знаходиться на лінії кордону.

    Візьмемо ще одну точку над граничною лінією і перевіримо, чи є це розв'язком нерівності\(y>x+4\). Точка\((0,10)\) чітко дивиться над лінією кордону, чи не так? Це рішення нерівності?

    \[\begin{array} {lll} {y} &{>} &{x+4} \\ {10} &{\overset{?}{>}} &{0+4} \\ {10} &{>} &{4} \\ \nonumber \end{array}\]

    Отже,\((0,10)\) це рішення для\(y>x+4\).

    Будь-яка точка, яку ви виберете над лінією кордону, є рішенням нерівності\(y>x+4\). Всі точки над лінією кордону є розв'язками.

    Аналогічно, всі точки нижче лінії кордону, сторона з\((0,0)\) і\((−5,−15)\), не є розв'язками\(y>x+4\), як показано на малюнку.

    Ця цифра має графік деяких точок і пряму лінію на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 16 до 16. Точки (від'ємні 8, 12), (від'ємні 5, від'ємні 15), (0, 0), (1, 6) і (2, 6) нанесені та позначені їх координатами. Через точки (від'ємні 4, 0), (0, 4), і (2, 6) проводиться пряма лінія. Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Верхня ліва половина позначена y більше, ніж x плюс 4. Нижня права половина позначена у менше x плюс 4.
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Графік нерівності\(y>x+4\) наведено нижче.

    Лінія\(y=x+4\) ділить площину на дві області. Затінена сторона показує рішення нерівності\(y>x+4\).

    Точки на граничній лінії, ті де\(y=x+4\), не є розв'язками нерівності\(y>x+4\), тому сама лінія не є частиною розв'язку. Ми показуємо, що зробивши лінію пунктирною, а не суцільною.

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (від'ємні 4, 0), (0, 4), і (2, 6). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Верхня ліва половина пофарбована в червоний колір, щоб вказати, що тут є розв'язки нерівності.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Лінія кордону, показана на цьому графіку, є\(y=2x−1\). Запишіть нерівність, показану графіком.

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (0, від'ємний 1), (1, 1) і (2, 3). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Верхня ліва половина пофарбована червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Відповідь

    Лінія\(y=2x−1\) є лінією кордону. На одній стороні лінії знаходяться точки з,\(y>2x−1\) а з іншого боку лінії - точки с\(y<2x−1\).

    Давайте перевіримо точку\((0,0)\) і подивимося, яка нерівність описує її положення щодо лінії кордону.

    При\((0,0)\), яка нерівність вірна:\(y>2x−1\) або\(y<2x−1\)?

    \[\begin{array} {ll} {y>2x−1} &{y<2x−1} \\ {0\overset{?}{>}2·0−1} &{0\overset{?}{<}2·0−1} \\ {0>−1\text{ True}} &{0<−1\text{ False}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Так як,\(y>2x−1\) правда, сторона лінії з\((0,0)\), є рішенням. Затінена область показує розв'язання нерівності\(y>2x−1\).

    Оскільки межова лінія зображена суцільною лінією, нерівність включає знак рівності.

    Графік показує нерівність\(y\geq 2x−1\).

    Ми могли б використовувати будь-яку точку як контрольну точку, за умови, що вона не знаходиться на лінії. Чому ми вибрали\((0,0)\)? Тому що це найпростіше оцінити. Можливо, ви захочете вибрати точку на іншій стороні лінії кордону і перевірити це\(y<2x−1\).

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Запишіть нерівність, показану графіком, з граничною лінією\(y=−2x+3\).

    Ця цифра має графік прямої лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Пряма лінія проводиться через точки (0, 3), (1, 1) і (3, негативні 3). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Сама лінія і верхня права половина пофарбовані в червоний колір, щоб вказати, що тут є розв'язки нерівності.

    Відповідь

    \(y\geq −2x+3\)

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Запишіть нерівність, показану графіком, з граничною лінією\(y=\frac{1}{2}x−4\).

    Ця цифра має графік прямої лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Пряма лінія проводиться через точки (0, від'ємний 4), (2, негативний 3), і (4, негативний 2). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Сама лінія та нижня права половина пофарбовані червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Відповідь

    \(y\leq \frac{1}{2}x−4\)

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Лінія кордону, показана на цьому графіку, є\(2x+3y=6\). Запишіть нерівність, показану графіком.

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (0, 2), (3, 0) і (6, негативні 2). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Нижня ліва половина пофарбована в червоний колір, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Відповідь

    Лінія\(2x+3y=6\) є лінією кордону. На одній стороні лінії знаходяться точки з,\(2x+3y>6\) а з іншого боку лінії - точки с\(2x+3y<6\).

    Давайте перевіримо точку\((0,0)\) і подивимося, яка нерівність описує її сторону межової лінії.

    При\((0,0)\), яка нерівність вірна:\(2x+3y>6\) або\(2x+3y<6\)?

    \[\begin{array} {ll} {2x+3y>6} &{2x+3y<6} \\ {2(0)+3(0)\overset{?}{>}6} &{2(0)+3(0)\overset{?}{<}6} \\ {0>6\text{ False}} &{0<6\text{ True}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Так що сторона з\((0,0)\) є стороною де\(2x+3y<6\).

    (Можливо, ви захочете вибрати точку на іншій стороні лінії кордону і перевірити це\(2x+3y>6\).)

    Оскільки межова лінія графікується як пунктирна лінія, нерівність не включає знак рівності.

    Затінена область показує рішення нерівності\(2x+3y<6\).

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Запишіть нерівність, показану затіненою областю, на графіку з граничною лінією\(x−4y=8\).

    Ця цифра має графік прямої лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Пряма лінія проводиться через точки (0, від'ємний 2), (4, негативний 1), і (8, 0). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Сама лінія та верхня ліва половина пофарбовані червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Відповідь

    \(x−4y\leq 8\)

    Приклад\(\PageIndex{9}\)

    Запишіть нерівність, показану затіненою областю, на графіку з граничною лінією\(3x−y=6\).

    Ця цифра має графік прямої лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Пряма лінія проводиться через точки (0, від'ємний 6), (1, негативний 3), і (2, 0). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Сама лінія та нижня права половина пофарбовані червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Відповідь

    \(3x−y\geq 6\)

    Лінійні нерівності графа у двох змінних

    Тепер, коли ми знаємо, як виглядає графік лінійної нерівності і як він пов'язаний з крайовим рівнянням, ми можемо використовувати ці знання для графіка заданої лінійної нерівності.

    Приклад\(\PageIndex{10}\): How to Graph a Linear Equation in Two Variables

    Графік лінійної нерівності\(y\geq \frac{3}{4}x−2\).

    Відповідь

    Крок 1 полягає у визначенні та графіку лінії кордону. Якщо нерівність менше або дорівнює або більше або дорівнює, межа є суцільною. Якщо нерівність менше або більше, межова лінія штриховою. У цьому прикладі знак нерівності більше або дорівнює, тому ми проводимо суцільну лінію. Замініть знак нерівності знаком рівності, щоб знайти межу. Графік лінії кордону y = 3 поділений на 4 рази x мінус 2. Потім на малюнку показано графік прямої лінії на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 12 до 12. Лінія проходить через точки (0, від'ємний 2), (4, 1) і (8, 4).Крок 2 полягає в перевірці точки, яка не знаходиться на лінії кордону. Це рішення нерівності? Будемо тестувати (0, 0). At (0, 0) y більше або дорівнює 3 ділиться на 4 рази х мінус 2? 0 більше або дорівнює 3 ділиться на 4 рази 0 мінус 2? 0 більше або дорівнює від'ємним 2, тому (0, 0) є розв'язком.Крок 3 полягає в розтушовуванні в одній зі сторін лінії кордону. Якщо контрольною точкою є розчин, затіньте в ту сторону, яка включає точку. Якщо контрольна точка не є розчином, розтушуйте в протилежну сторону. Тестова точка (0, 0) - це рішення y більше або дорівнює 3, поділеному на 4 рази х мінус 2. Таким чином, ми тіні в стороні, яка містить (0, 0). Потім на малюнку показано графік прямої лінії на координатній площині x y. Осі x та y проходять від негативних 12 до 12. Лінія проходить через точки (0, від'ємний 2), (4, 1) і (8, 4). Верхню ліву половину координатної площини затінюють, щоб вказати, що саме там знаходиться набір рішень.

    Приклад\(\PageIndex{11}\)

    Графік лінійної нерівності\(y>\frac{5}{2}x−4\).

    Відповідь

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 10 до 10. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (0, від'ємний 4), (2, 1) і (4, 6). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Верхня ліва половина затінена червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Усі точки в затіненій області та на лінії кордону представляють рішення\(y>\frac{5}{2}x−4\).

    Приклад\(\PageIndex{12}\)

    Графік лінійної нерівності\(y<\frac{2}{3}x−5\).

    Відповідь

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 10 до 10. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (0, від'ємний 5), (3, негативний 3), і (5, негативний 1). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Верхня ліва половина затінена червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Усі точки в затіненій області, але не ті, що знаходяться на граничній лінії, представляють рішення\(y<\frac{2}{3}x−5\).

    Кроки, які ми робимо для графіку лінійної нерівності, підсумовуються тут.

    ГРАФІК ЛІНІЙНОЇ НЕРІВНОСТІ В ДВОХ ЗМІННИХ.
    1. Визначте та графуйте лінію кордону.
      • Якщо нерівність дорівнює\ leq або\ geq,\ leq або\ geq, гранична лінія є суцільною.
      • Якщо нерівність є <or><or>, гранична лінія буде пунктирною.
    2. Перевірте точку, яка не знаходиться на лінії кордону. Це рішення нерівності?
    3. Заштрихуйте в одну сторону лінії кордону.
      • Якщо контрольною точкою є розчин, затіньте в ту сторону, яка включає точку.
      • Якщо контрольна точка не є розчином, розтушуйте в протилежну сторону.
    Приклад\(\PageIndex{13}\)

    Графік лінійної нерівності\(x−2y<5\).

    Відповідь

    Спочатку графуємо лінію кордону\(x−2y=5\). Нерівність полягає в\(<\) тому, що ми проводимо пунктирну лінію.

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (негативний 3, негативний 4), (1, негативний 2), і (5, 0).

    Потім ми перевіряємо точку. Ми будемо використовувати\((0,0)\) знову, тому що це легко оцінити, і це не на лінії кордону.

    Чи\((0,0)\) є рішенням\(x−2y<5\)?

    Чи є 0 мінус 2 рази 0 менше, ніж 5? Чи є 0 мінус 0 менше, ніж 5? 0 менше 5.

    Точка\((0,0)\) є рішенням\(x−2y<5\), тому ми затінюємо в цій стороні лінії кордону.

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (негативний 3, негативний 4), (1, негативний 2), і (5, 0). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Верхня ліва половина затінена червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Усі точки в затіненій області, але не ті, що знаходяться на граничній лінії, представляють рішення\(x−2y<5\).

    Приклад\(\PageIndex{14}\)

    Графік лінійної нерівності:\(2x−3y<6\).

    Відповідь

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 10 до 10. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (0, від'ємний 2), (3, 0) і (6, 2). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Верхня ліва половина затінена червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Усі точки в затіненій області, але не ті, що знаходяться на граничній лінії, представляють рішення\(2x−3y<6\).

    Приклад\(\PageIndex{15}\)

    Графік лінійної нерівності:\(2x−y>3\).

    Відповідь

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 10 до 10. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (0, від'ємний 3), (1, негативний 1), і (2, 1). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Нижня права половина затінена червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Усі точки в затіненій області, але не ті, що знаходяться на граничній лінії, представляють рішення\(2x−y>3\).

    Що робити, якщо межа проходить через початок? Тоді ми не зможемо використовувати\((0,0)\) як тестову точку. Немає проблем - ми просто виберемо якусь іншу точку, яка не знаходиться на лінії кордону.

    Приклад\(\PageIndex{16}\)

    Графік лінійної нерівності:\(y\leq −4x\).

    Відповідь

    Спочатку графуємо лінію кордону\(y=−4x\). Він знаходиться у формі нахилу—перехоплення, з\(m=−4\) і\(b=0\). Нерівність полягає в\(\leq\) тому, що ми проводимо суцільну лінію.

    Ця цифра має графік прямої лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Пряма проводиться через точки (0, 0), (1, від'ємний 4), і (негативний 1, 4).

    Тепер нам потрібна контрольна точка. Ми бачимо, що точка (1,0) (1,0) не знаходиться на граничній лінії.

    Чи\((1,0)\) є рішенням\(y\leq −4x\)?

    .

    Точка не\((1,0)\) є рішенням\(y\leq −4x\), тому затінюємо в протилежну сторону лінії кордону.

    0 менше або дорівнює негативному 4 рази 1? 0 не менше або дорівнює від'ємному 4.

    Усі точки в затіненій області та на лінії кордону представляють рішення\(y\leq −4x\).

    Приклад\(\PageIndex{17}\)

    Графік лінійної нерівності:\(y>−3x\).

    Відповідь

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 10 до 10. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (негативні 1, 3), (0, 0), і (1, негативні 3). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Верхня права половина затінена червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться рішення нерівності.

    Усі точки в затіненій області, але не ті, що знаходяться на граничній лінії, представляють рішення\(y>−3x\).

    Приклад\(\PageIndex{18}\)

    Графік лінійної нерівності:\(y\geq −2x\).

    Відповідь

    Ця фігура має графік прямої пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 10 до 10. Пряма пунктирна лінія проводиться через точки (від'ємні 1, 2), (0, 0), і (1, негативні 2). Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Верхня права половина затінена червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться рішення нерівності.

    Усі точки в затіненій області та на лінії кордону представляють рішення\(y\geq −2x\).

    Деякі лінійні нерівності мають лише одну змінну. Вони можуть мати х, але ні у, або у, але не х. У цих випадках лінія кордону буде або вертикальною, або горизонтальною лінією.

    Нагадаємо, що:

    \[\begin{array} {ll} {x=a} &{\text{vertical line}} \\ {y=b} &{\text{horizontal line}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Приклад\(\PageIndex{19}\)

    Графік лінійної нерівності:\(y>3\).

    Відповідь

    Спочатку графуємо лінію кордону\(y=3\). Вона являє собою горизонтальну лінію. Нерівність полягає в\(>\) тому, що ми проводимо пунктирну лінію.

    Тестуємо точку\((0,0)\).

    \[y>3\nonumber\]\[0\slashed{>}3\nonumber\]

    Отже,\((0,0)\) це не рішення для\(y>3\).

    Таким чином, ми затінюємо сторону, яка не включає\((0,0)\), як показано на цьому графіку.

    Ця фігура має графік прямої горизонтальної пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 8 до 8. Через точки (від'ємні 1, 3), (0, 3), і (1, 3) проводиться горизонтальна пунктирна лінія. Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Верхня половина затінена червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться рішення нерівності.

    Усі точки в затіненій області, але не ті, що знаходяться на граничній лінії, представляють рішення\(y>3\).

    Приклад\(\PageIndex{20}\)

    Графік лінійної нерівності:\(y<5\).

    Відповідь

    Ця фігура має графік прямої горизонтальної пунктирної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 10 до 10. Через точки (від'ємні 1, 5), (0, 5) і (1, 5) проводиться горизонтальна пунктирна лінія. Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Нижня половина затінена червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться рішення нерівності.

    Усі точки в затіненій області, але не ті, що знаходяться на граничній лінії, представляють рішення\(y<5\).

    Приклад\(\PageIndex{21}\)

    Графік лінійної нерівності:\(y\leq −1\).

    Відповідь

    Ця цифра має графік прямої горизонтальної лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від негативних 10 до 10. Через точки (від'ємний 1, негативний 1), (0, негативний 1), і (1, негативний 1) проводиться горизонтальна лінія. Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Лінія та нижня половина затінені червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    Усі точки в затіненій області та на лінії кордону представляють рішення\(y\leq −1\).

    Розв'язуйте програми за допомогою лінійних нерівностей у двох змінних

    Багато полів використовують лінійні нерівності для моделювання задачі. Хоча наші приклади можуть стосуватися простих ситуацій, вони дають нам можливість розвивати свої навички та відчути, як вони можуть бути використані.

    Приклад\(\PageIndex{22}\)

    Хіларія працює на двох робочих місцях, щоб заробити достатньо грошей, щоб виконати свої зобов'язання щонайменше 240 доларів на тиждень. Її робота в сфері харчування платить $10 на годину, а її робота репетиторства в кампусі платить $15 на годину. Скільки годин потрібно Хіларії, щоб працювати на кожній роботі, щоб заробити не менше 240 доларів?

    ⓐ Нехай xx - це кількість годин, які вона працює на роботі в сфері харчування, і нехай y - кількість годин, які вона працює репетиторством. Напишіть нерівність, яка б моделювала цю ситуацію.

    ⓑ Графік нерівності.

    ⓒ Знайдіть три впорядковані пари\((x,y)\), які були б розв'язками нерівності. Потім поясніть, що це означає для Хіларії.

    Відповідь

    ⓐ Ми дозволяємо х бути кількістю годин, які вона працює на роботі в сфері харчування, і нехай y - кількість годин, які вона працює репетиторством.

    Вона заробляє 10 доларів на годину на роботі в сфері харчування і 15 доларів на годину навчання. На кожній роботі кількість годин, помножена на погодинну заробітну плату, дасть суму, зароблену на цій роботі.

    10 х плюс 15 у більше 240. Значок «10 х» позначається як «Сума, зароблена на роботі в сфері харчування». «15 у» позначається як «сума заробленого репетиторства». Значок «більше 240» позначається як «не менше 240».

    ⓑ Для графіку нерівності ми ставимо її у формі нахилу — перехоплення.

    \[\begin{align} {10x+15y} &\geq 240 \\ 15y &\geq -10x+240 \\ y &\geq {−\frac{2}{3}x+16} \\ \nonumber \end{align}\]

    Ця цифра має графік прямої лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від 0 до 25. Через точки (0, 16), (15, 6) і (24, 0) проводиться лінія. Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Лінія та верхня права половина затінені червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    ⓒ З графіка ми бачимо, що впорядковані пари\((15,10)\)\((0,16)\),\((24,0)\) представляють три з нескінченно багатьох рішень. Перевірте значення в нерівності.

    Спочатку перевіряємо точку (15, 10) на нерівність 10 х плюс 15 у більше або дорівнює 240. У 10 разів 15 плюс 15 разів 10 більше або дорівнює 240? Так як 300 більше або дорівнює 240 (15, 10) є розчином. Далі перевіряємо точку (0, 16) на нерівність 10 х плюс 15 у більше або дорівнює 240. У 10 разів 0 плюс 15 разів 16 більше або дорівнює 240? Так як 240 більше або дорівнює 240 (0, 16) є рішенням. Потім перевіряємо точку (24, 0) на нерівність 10 х плюс 15 у більше або дорівнює 240. У 10 разів 24 плюс 15 разів 0 більше або дорівнює 240? Оскільки 240 більше або дорівнює 240 (24, 0) є рішенням.

    Для Хіларії це означає, що, щоб заробити не менше 240 доларів, вона може працювати 15 годин репетиторства і 10 годин на своїй роботі швидкого харчування, заробити всі свої гроші на репетиторстві протягом 16 годин, або заробити всі свої гроші, працюючи 24 години на роботі в сфері громадського харчування.

    Приклад\(\PageIndex{23}\)

    Х'ю працює дві роботи на неповній зайнятості. Один в продуктовому магазині, який платить 10 доларів на годину, а інший - няня за 13 доларів годину. Між двома робочими місцями Х'ю хоче заробляти щонайменше 260 доларів на тиждень. Скільки годин Х'ю потрібно працювати на кожній роботі, щоб заробити не менше 260 доларів?

    ⓐ Нехай x - це кількість годин, які він працює в продуктовому магазині, і нехай y - кількість годин, які він працює нянею. Напишіть нерівність, яка б моделювала цю ситуацію.

    ⓑ Графік нерівності.

    ⓒ Знайдіть три впорядковані пари (x, y), які були б розв'язками нерівності. Потім поясніть, що це означає для Х'ю.

    Відповідь

    ⓐ\(10x+13y\geq 260\)
    ⓑ

    Ця цифра має графік прямої лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від 0 до 30. Через точки (0, 20), (13, 10) і (26, 0) проводиться лінія. Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Лінія та верхня права половина затінені червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    ⓒ Відповіді будуть відрізнятися..

    Приклад\(\PageIndex{24}\)

    Вероніка працює на двох роботах неповного робочого часу, щоб заробити достатньо грошей, щоб виконати свої зобов'язання щонайменше 280 доларів на тиждень. Її робота в денному спа-центрі платить $10 на годину, а її адміністративна робота помічника в кампусі платить $17.50 на годину. Скільки годин потрібно Вероніці, щоб працювати на кожній роботі, щоб заробити не менше 280 доларів?

    ⓐ Нехай x - кількість годин, які вона працює в денному спа-центрі, і нехай y - кількість годин, які вона працює адміністративним помічником. Напишіть нерівність, яка б моделювала цю ситуацію.

    ⓑ Графік нерівності.

    ⓒ Знайдіть три впорядковані пари (x, y), які були б розв'язками нерівності. Потім поясніть, що це означає для Вероніки

    Відповідь

    ⓐ\(10x+17.5y\geq 280\)
    ⓑ

    Ця цифра має графік прямої лінії на координатній площині x y. Осі x і y проходять від 0 до 25. Через точки (0, 16) і (28, 0) проводиться лінія. Лінія ділить площину координат x y на дві половини. Лінія та верхня права половина затінені червоним кольором, щоб вказати, що саме тут знаходяться розв'язки нерівності.

    ⓒ Відповіді будуть відрізнятися.

    Отримайте доступ до цього онлайн-ресурсу для додаткових інструкцій та практики з графіком лінійних нерівностей у двох змінних.

    Ключові поняття

    • Як графувати лінійну нерівність у двох змінних.
      1. Визначте та графуйте лінію кордону.
        Якщо нерівність дорівнює\(\leq\) або\(\geq\), межова лінія суцільна.
        Якщо нерівність дорівнює\(<\) або\(>\), межова лінія буде пунктирною.
      2. Перевірте точку, яка не знаходиться на лінії кордону. Це рішення нерівності?
      3. Заштрихуйте в одну сторону лінії кордону.
        Якщо контрольною точкою є розчин, затіньте в ту сторону, яка включає точку.
        Якщо контрольна точка не є розчином, розтушуйте в протилежну сторону.

    Глосарій

    межова лінія
    Лінія з рівнянням\(Ax+By=C\) є граничною лінією, яка відокремлює область де\(Ax+By>C\) від області де\(Ax+By<C\).
    лінійна нерівність
    Лінійна нерівність - це нерівність, яка може бути записана в одній з наступних форм:\(Ax+By>C\)\(Ax+By\geq C\),\(Ax+By<C\),\(Ax+By\leq C\), або, де A і B не обидва нуль.
    розв'язок лінійної нерівності
    \((x,y)\)Впорядкована пара - це рішення лінійної нерівності, якщо нерівність істинна, коли ми підставляємо значення x та y.