3.4: Знайти рівняння прямої

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Знайти рівняння прямої з заданим нахилом і y-перехопленням
• Знайти рівняння прямої, заданої нахилом і точкою
• Знайти рівняння прямої, заданої двома точками
• Знайти рівняння прямої, паралельної заданій прямій
• Знайти рівняння прямої, перпендикулярної заданому рядку

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Вирішити:$\frac{2}{5}(x+15)$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
2. Спростити:$−3(x−(−2))$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].
3. Вирішити для y:$y−3=−2(x+1)$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте [посилання].

Як інтернет-компанії знають, що «вам також може сподобатися» конкретний пункт на основі того, що ви тільки що замовили? Як економісти можуть знати, як підвищення мінімальної заробітної плати вплине на рівень безробіття? Як медичні дослідники створюють препарати для націлювання на ракові клітини? Як дорожні інженери можуть передбачити вплив на ваш час поїздки підвищення або зниження цін на газ? Це все математика.

Фізичні науки, соціальні науки та діловий світ сповнені ситуацій, які можуть бути змодельовані за допомогою лінійних рівнянь, що стосуються двох змінних. Щоб створити математичну модель лінійного співвідношення між двома змінними, ми повинні вміти знаходити рівняння прямої. У цьому розділі ми розглянемо кілька способів написання рівняння прямої. Конкретний метод, який ми використовуємо, буде визначатися тим, яку інформацію нам дають.

Знайти рівняння прямої з заданим нахилом та y -перехопленням

Ми можемо легко визначити нахил і перехоплення прямої, якщо рівняння записано у формі ухил-перехоплення,$y=mx+b$. Тепер ми зробимо зворотне - ми почнемо з нахилу та y -перехоплення і використаємо їх, щоб знайти рівняння прямої.

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть рівняння прямої з нахилом$−9$ і y -перехопленням$(0,−4)$.

Відповідь

Оскільки нам дано нахил і y -перехоплення лінії, ми можемо підставити потрібні значення в форму ухил-перехоплення,$y=mx+b$.

Назвіть ухил.
Назвіть y -перехоплення.
Підставте значення на$y=mx+b$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть рівняння прямої з нахилом$25$ і y -перехопленням$(0,4)$.

Відповідь

$y=\frac{2}{5}x+4$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть рівняння прямої з нахилом$−1$ і y -перехопленням$(0,−3)$.

Відповідь

$y=−x−3$

Іноді, нахил і перехоплення потрібно визначати з графіка.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть рівняння прямої, наведеної на графіку.

Відповідь

Нам потрібно знайти нахил і y -перехоплення прямої з графіка, щоб ми могли підставити потрібні значення у форму нахилу перехоплення,$y=mx+b$.

Щоб знайти нахил, вибираємо дві точки на графіку.

Y -перехоплення є$(0,−4)$ і графік проходить$(3,−2)$.

Знайдіть ухил, вважаючи підйом і біг.
Знайдіть y -перехоплення.
Підставляємо значення у y = mx+b.y = mx+b.

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть рівняння прямої, наведеної на графіку.

Відповідь

$y=\frac{3}{5}x+1$

Приклад$\PageIndex{6}$

Знайдіть рівняння прямої, наведеної на графіку.

Відповідь

$y=\frac{4}{3}x−5$

Знайти рівняння прямої з заданим нахилом і точкою

Пошук рівняння прямої за допомогою форми перехоплення нахилу рівняння добре працює, коли вам задано нахил і y -перехоплення або коли ви читаєте їх з графіка. Але що відбувається, коли у вас є інша точка замість y -перехоплення?

Ми будемо використовувати формулу нахилу, щоб отримати іншу форму рівняння прямої.

Припустимо, у нас є лінія, яка має нахил м і яка містить якусь конкретну точку$(x_1,y_1)$ та якусь іншу точку, яку ми просто назвемо$(x,y)$. Ми можемо написати нахил цієї лінії, а потім змінити його на іншу форму.

$\begin{array} {llll} {} &{m} &= &{\frac{y-y_1}{x-x_1}} \\ {\text{Multiply both sides of the equation by }x−x_1.} &{m(x-x_1)} &= &{\left( \frac{y−y_1}{x−x_1} \right)(x−x_1)} \\ {\text{Simplify.}} &{m(x-x_1)} &= &{y-y_1} \\ {\text{Rewrite the equation with theyterms on the left.}} &{y-y_1} &= &{m(x-x_1)} \\ \end{array}$

Цей формат називається точково-нахилом форми рівняння прямої.

ТОЧКОВО-НАХИЛЬНА ФОРМА РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ

Точка-нахил форми рівняння прямої з нахилом m і містить точку$(x_1,y_1)$:

$$y−y_1=m(x−x_1) \nonumber$$

Ми можемо використовувати точку-нахил форми рівняння, щоб знайти рівняння прямої, коли ми знаємо нахил і принаймні одну точку. Потім ми перепишемо рівняння у формі нахилу-перехоплення. Більшість застосувань лінійних рівнянь використовують форму нахилу-перехоплення.

Як знайти рівняння прямої з заданою точкою та нахилом

Приклад$\PageIndex{7}$

Знайдіть рівняння прямої з нахилом$m=−\frac{1}{3}$, яка містить точку$(6,−4)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{8}$

Знайдіть рівняння прямої з нахилом$m=−\frac{2}{5}$ і містить точку$(10,−5)$.

Відповідь

$y=−\frac{2}{5}x−1$

Приклад$\PageIndex{9}$

Знайдіть рівняння прямої з$m=−\frac{3}{4}$ нахилом і містить точку$(4,−7)$.

Відповідь

$y=−\frac{3}{4}x−4$

Перерахуємо кроки для зручності ознайомлення.

ДЛЯ ПОШУКУ РІВНЯННЯ ЛІНІЇ ЗАДАНО НАХИЛ І ТОЧКУ.

1. Визначте ухил.
2. Визначте точку.
3. Підставляємо значення в точку-нахил форми,$y−y_1=m(x−x_1)$.
4. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Приклад$\PageIndex{10}$

Знайдіть рівняння горизонтальної лінії, яка містить точку$(−2,−6)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

Кожна горизонтальна лінія має нахил 0. Ми можемо замінити нахил і точки в точку-нахил форми,$y−y_1=m(x−x1)$.

Визначте ухил.
Визначте точку.
Підставити значення на y−y1=m (x−x1) .y−y1=m (x−x1).
Спростити.
Пишіть у формі ухил-перехоплення.	Це у -формі, але може бути написано$y=0x−6$.

Чи закінчилися ми з формою горизонтальної лінії,$y=a$?

Приклад$\PageIndex{11}$

Знайдіть рівняння горизонтальної лінії, що містить точку$(−3,8)$.

Відповідь

$y=8$

Приклад$\PageIndex{12}$

Знайдіть рівняння горизонтальної лінії, що містить точку$(−1,4)$.

Відповідь

$y=4$

Знайти рівняння прямої за двома точками

Коли збираються реальні дані, лінійна модель може бути створена з двох точок даних. У наступному прикладі ми побачимо, як знайти рівняння прямої, коли задано лише дві точки.

Поки що у нас є два варіанти знаходження рівняння прямої: ухил-перехоплення або точка-нахил. Коли ми починаємо з двох точок, має сенс використовувати форму точка-нахил.

Але тоді нам потрібен ухил. Чи можемо ми знайти схил лише з двома точками? Так. Потім, коли ми маємо нахил, ми можемо використовувати його та одну з заданих точок, щоб знайти рівняння.

Як знайти рівняння прямої за двома точками

Приклад$\PageIndex{13}$

Знайдіть рівняння рядка, що містить точки,$(−3,−1)$ і$(2,−2)$ Запишіть рівняння у формі нахилу-перехоплення.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{14}$

Знайдіть рівняння рядка, що містить точки$(−2,−4)$ і$(1,−3)$.

Відповідь

$y=\frac{1}{3}x−\frac{10{3}$

Приклад$\PageIndex{15}$

Знайдіть рівняння рядка, що містить точки$(−4,−3)$ і$(1,−5)$.

Відповідь

$y=−\frac{2}{5}x−\frac{23}{5}$

Кроки підсумовуються тут.

ДЛЯ ПОШУКУ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ ЗАДАНО ДВІ ТОЧКИ.

1. Знайдіть ухил, використовуючи задані точки. $m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}$
2. Виберіть один пункт.
3. Підставляємо значення у форму точка-нахил:$y−y_1=m(x−x_1)$.
4. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Приклад$\PageIndex{16}$

Знайдіть рівняння прямої, яка містить точки$(−3,5)$ і$(−3,4)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

Знову ж таки, першим кроком буде пошук ухилу.

Знайти нахил лінії через$(−3,5)$ і$(−3,4)$.

$$m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber$$

$$m=\frac{4−5}{−3−(−3)} \nonumber$$

$$m=\frac{−1}{0} \nonumber$$

Ухил невизначений.

Це говорить нам, що це вертикальна лінія. Обидві наші точки мають x -координату$−2$. Таким чином, наше рівняння прямої є$x=−2$. Оскільки немає y, ми не можемо записати його у формі перехоплення нахилу.

Можливо, ви захочете намалювати графік, використовуючи дві задані точки. Чи згоден ваш графік з нашим висновком, що це вертикальна лінія?

Приклад$\PageIndex{17}$

Знайдіть рівняння рядка, що містить точки$(5,1)$ і$(5,−4)$.

Відповідь

$x=5$

Приклад$\PageIndex{18}$

Знайдіть рівняння рядка, що містить точки$(−4,4)$ і$(−4,3)$.

Відповідь

$x=−4$

Ми бачили, що ми можемо використовувати або форму нахилу, або форму точки-нахилу, щоб знайти рівняння прямої. Яку форму ми використовуємо, залежатиме від наданої нам інформації.

Написати рівняння прямої
Якщо дано:	Використання:	Форма:
Ухил і y -перехоплення	ухил-перехоплення	$y=mx+b$
Нахил і точка	точка-нахил	$y−y_1=m(x−x_1)$
Дві точки	точка-нахил	$y−y_1=m(x−x_1)$

Знайти рівняння прямої, паралельної заданій прямій

Припустимо, нам потрібно знайти рівняння прямої, яка проходить через певну точку і паралельна заданій прямій. Можна використовувати той факт, що паралельні лінії мають однаковий нахил. Таким чином, у нас буде точка і нахил - саме те, що нам потрібно використовувати рівняння точка-нахил.

Спочатку давайте подивимося на це графічно.

Цей графік показує$y=2x−3.$ Ми хочемо намалювати лінію, паралельну цій лінії і проходить через точку$(−2,1)$.

Ми знаємо, що паралельні лінії мають однаковий нахил. Так друга лінія буде мати такий же ухил, як$y=2x−3$. Цей нахил є$m_∥=2$. Ми будемо використовувати позначення mmдля представлення нахилу прямої паралельної лінії з нахилом m. (Зверніть увагу, що індекс || виглядає як дві паралельні лінії.)

Друга лінія буде проходити наскрізь$(−2,1)$ і мати$m=2$.

Для побудови графіка лінії починаємо з$(−2,1)$ і відраховуємо підйом і біг.

З$m=2$ (або$m=\frac{2}{1}$) відраховуємо підйом 2 і пробіг 1. Проводимо лінію, як показано на графіку.

Чи з'являються лінії паралельно? Чи проходить друга лінія$(−2,1)$?

Нас попросили графік лінії, тепер давайте подивимося, як це зробити алгебраїчно.

Ми можемо використовувати або форму перехоплення нахилу, або форму точки-нахилу, щоб знайти рівняння прямої. Тут ми знаємо одну точку і можемо знайти схил. Так ми будемо використовувати точково-ухил форму.

Як знайти рівняння прямої, паралельної заданій прямій і точці

Приклад$\PageIndex{19}$

Знайдіть рівняння прямої$y=2x−3$, паралельної до якої міститься точка$(−2,1)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

Подивіться на графік з паралельними лініями, показаними раніше. Чи має сенс це рівняння? Що таке y -перехоплення лінії? Що таке ухил?

Приклад$\PageIndex{20}$

Знайдіть рівняння прямої, паралельної лінії$y=3x+1$, яка містить точку$(4,2)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

$y=3x−10$

Приклад$\PageIndex{21}$

Знайдіть рівняння прямої, паралельної лінії$y=12x−3$, яка містить точку$(6,4)$.

Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

$y=\frac{1}{2}x+1$

ЗНАЙДІТЬ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ, ПАРАЛЕЛЬНОЇ ЗАДАНІЙ ЛІНІЇ.

1. Знайдіть нахил заданої лінії.
2. Знайдіть ухил паралельної лінії.
3. Визначте точку.
4. Підставляємо значення у форму точка-нахил:$y−y_1=m(x−x_1)$.
5. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Знайти рівняння прямої, перпендикулярної заданій прямій

Тепер розглянемо перпендикулярні лінії. Припустимо, нам потрібно знайти пряму, що проходить через певну точку і яка перпендикулярна заданій прямій. Можна використовувати той факт, що перпендикулярні лінії мають нахили, які є негативними зворотними. Ми знову будемо використовувати рівняння точка-нахил, як ми це робили з паралельними лініями.

Цей графік показує$y=2x−3$. Тепер, ми хочемо, щоб графік лінії перпендикулярно цій лінії і проходить через$(−2,1)$.

Ми знаємо, що перпендикулярні лінії мають нахили, які є негативними зворотними.

Ми будемо використовувати позначення$m_⊥$ для представлення нахилу лінії, перпендикулярної лінії з нахилом m. (Зверніть увагу, що індекс$⊥$ виглядає як прямі кути, зроблені двома перпендикулярними лініями.)

$$y=2x−3 perpendicular line \nonumber$$

$$m=2 m⊥=−12\nonumber$$

Тепер ми знаємо, що перпендикулярна лінія буде проходити через$(−2,1)$ с$m⊥=−12$.

Щоб навести графік лінії, ми почнемо з$(−2,1)$ і відраховуємо підйом$−1$ і пробіг$2$. Потім проводимо лінію.

Чи з'являються лінії перпендикулярно? Чи проходить друга лінія$(−2,1)$?

Нас попросили графік лінії, тепер, давайте подивимося, як це зробити алгебраїчно.

Ми можемо використовувати або форму перехоплення нахилу, або форму точки-нахилу, щоб знайти рівняння прямої. У цьому прикладі ми знаємо одну точку і можемо знайти нахил, тому ми будемо використовувати точку-нахил форми.

Як знайти рівняння прямої, перпендикулярної заданій прямій і точці

Приклад$\PageIndex{22}$

Знайдіть рівняння прямої, перпендикулярної до$y=2x−3$ якої міститься точка$(−2,1)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

Приклад$\PageIndex{23}$

Знайдіть рівняння прямої, перпендикулярної лінії$y=3x+1$, яка містить точку$(4,2)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

$y=−\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}$

Приклад$\PageIndex{24}$

Знайдіть рівняння прямої, перпендикулярної лінії$y=12x−3$, яка містить точку$(6,4)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

$y=−2x+16$

ЗНАЙДІТЬ РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЇ ЗАДАНІЙ ЛІНІЇ.

1. Знайдіть нахил заданої лінії.
2. Знайдіть нахил перпендикулярної лінії.
3. Визначте точку.
4. Підставляємо значення в точку-нахил форми,$y−y_1=m(x−x_1)$.
5. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Приклад$\PageIndex{24}$

Знайдіть рівняння прямої, перпендикулярної до$x=5$ якої міститься точка$(3,−2)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

Знову ж таки, оскільки ми знаємо одну точку, варіант точки-нахилу здається більш перспективним, ніж варіант перехоплення ухилу. Нам потрібен нахил, щоб використовувати цю форму, і ми знаємо, що нова лінія буде перпендикулярна x = 5.x=5. Ця лінія вертикальна, тому її перпендикуляр буде горизонтальним. Це говорить нам про m= 0.m= 0.

Визначте точку.Визначте нахил перпендикулярної лінії підставити значення вy−y1=m (x−x1) .Спростити. (3, −2) my−y1y− (−2) y+2y=====0m (x−x1) 0 (x−3) 0−2Визначте точку. (3, −2) Визначте нахил перпендикулярної лінії. y1=m (x−x1) .спрощувати.m= 0y−y1=M (x−x1) y− (−2) =0 (x−3) y+2=0y=−2

Намалюйте графік обох ліній. На вашому графіку лінії здаються перпендикулярними?

Приклад$\PageIndex{25}$

Знайдіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до$x=4$ прямої, яка містить точку$(4,−5)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

$y=−5$

Приклад$\PageIndex{26}$

Знайдіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до$x=2$ прямої, яка містить точку$(2,−1)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

$y=−1$

У прикладі ми використали форму точки-нахилу, щоб знайти рівняння. Ми могли б подивитися на це по-іншому.

Ми хочемо, щоб знайти лінію, яка перпендикулярна до$x=5$ того, що містить точку$(3,−2)$. Цей графік показує нам лінію$x=5$ і точку$(3,−2)$.

Ми знаємо, що кожна лінія, перпендикулярна вертикальній лінії, є горизонтальною, тому ми накидаємо горизонтальну лінію$(3,−2)$.

Чи з'являються лінії перпендикулярно?

Якщо ми подивимося на кілька точок на цій горизонтальній лінії, ми помітимо, що всі вони мають y -координати$−2$. Отже, рівняння прямої, перпендикулярної вертикальній лінії$x=5$, є$y=−2$.

Приклад$\PageIndex{27}$

Знайти рівняння прямої, яка перпендикулярна до$y=−3$ того, що містить точку$(−3,5)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

Лінія$y=−3$ являє собою горизонтальну лінію. Будь-яка перпендикулярна їй лінія повинна бути вертикальною, за формою$x=a$. Оскільки перпендикулярна лінія вертикальна і проходить наскрізь$(−3,5)$, кожна точка на ній має x -координату$−3$. Рівняння перпендикулярної прямої є$x=−3$.

Можливо, ви захочете намалювати лінії. Чи з'являються вони перпендикулярно?

Приклад$\PageIndex{28}$

Знайдіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до$y=1$ прямої, яка містить точку$(−5,1)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

$x=−5$

Приклад$\PageIndex{29}$

Знайдіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до$y=−5$ прямої, яка містить точку$(−4,−5)$. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Відповідь

$x=−4$

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з пошуком рівняння лінії.

• Запишіть рівняння прямої з урахуванням її нахилу та Y-перехоплення
• Використовуючи форму нахилу точки для написання рівняння прямої, знайдіть рівняння заданого нахилу та точки
• Знайти рівняння за двома точками
• Знайти рівняння перпендикулярної і паралельної ліній

Ключові концепції

• Як знайти рівняння прямої, заданої нахилом і точкою.
  1. Визначте ухил.
  2. Визначте точку.
  3. Підставляємо значення в точку-нахил форми,$y−y_1=m(x−x_1)$.
  4. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.
     
     
• Як знайти рівняння прямої, заданої двома точками.
  1. Знайдіть ухил, використовуючи задані точки. $m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}$
  2. Виберіть один пункт.
  3. Підставляємо значення у форму точка-нахил:$y−y_1=m(x−x_1)$.
  4. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

     Написати рівняння прямої
     Якщо дано:	Використання:	Форма:
     Ухил і y -перехоплення	ухил-перехоплення	$y=mx+b$
     Нахил і точка	точка-нахил	$y−y_1=m(x−x_1)$
     Дві точки	точка-нахил	$y−y_1=m(x−x_1)$

• Як знайти рівняння прямої, паралельної заданій прямій.
  1. Знайдіть нахил заданої лінії.
  2. Знайдіть ухил паралельної лінії.
  3. Визначте точку.
  4. Підставляємо значення у форму точка-нахил:$y−y_1=m(x−x_1)$.
  5. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення
• Як знайти рівняння прямої, перпендикулярної заданій прямій.
  1. Знайдіть нахил заданої лінії.
  2. Знайдіть нахил перпендикулярної лінії.
  3. Визначте точку.
  4. Підставляємо значення в точку-нахил форми,$y−y_1=m(x−x_1)$.
  5. Запишіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

Глосарій

точка-нахил форми

Точка-нахил форми рівняння прямої з нахилом m і містить точку$(x_1,y_1)$ є$y−y_1=m(x−x_1)$.