5.2: Вершинна форма

У попередньому розділі ви дізналися, що ескіз графіка квадратичної функції є простим завданням, якщо він представлений у вигляді вершин.

$$f(x)=a(x-h)^{2}+k \nonumber$$

Мета поточного розділу - почати з найбільш загальної форми квадратичної функції, а саме

$$f(x)=a x^{2}+b x+c \nonumber$$

і маніпулювати рівнянням у формі вершини. Після того, як у вас є квадратична функція у формі вершини, техніка попереднього розділу повинна дозволити вам побудувати графік квадратичної функції. Однак перш ніж звернути увагу на завдання перетворення загальної квадратики в вершинну форму, нам потрібно переглянути необхідні алгебраїчні основи. Почнемо з огляду важливого алгебраїчного ярлика під назвою квадрат біном.

Квадратне біноміальне

Мономіал - це єдиний алгебраїчний термін, зазвичай побудований у вигляді добутку числа (званого коефіцієнтом) та однієї або декількох змінних, піднятих до невід'ємних інтегральних степеней, таких як$-3 x^{2}$ або 14$y^{3} z^{5}$. Ключова фраза тут - «єдиний термін». Біноміал - це алгебраїчна сума або різниця двох мономов (або членів), таких як$x+2 y$ або$3 a b^{2}-2 c^{3}$. Ключова фраза тут - «два терміни».

Щоб «квадрат біном», почніть з довільного біноміала, такого як a+b, потім помножте його на себе, щоб отримати його квадрат (a + b) (a + b), або, більш компактно,$(a+b)^{2}$. Ми можемо використовувати розподільну властивість, щоб розширити квадрат двочлена a + b.

$$\begin{aligned}(a+b)^{2} &=(a+b)(a+b) \\ &=a(a+b)+b(a+b) \\ &=a^{2}+a b+b a+b^{2} \end{aligned}$$

Оскільки ab = ba, ми можемо додати два середні умови, щоб прийти до наступного властивості.

Нерухомість 3

Квадрат двочлена a + b розширюється наступним чином.

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Розгорнути$(x+4)^{2}$

Рішення

Ми могли б діяти наступним чином.

$$\begin{align*}(x+4)^{2} &=(x+4)(x+4) \\ &=x(x+4)+4(x+4) \\ &=x^{2}+4 x+4 x+16 \\ &=x^{2}+8 x+16 \end{align*}$$

Хоча і правильна, ця методика не допоможе нам з нашою майбутньою задачею. Що нам потрібно зробити, це слідувати алгоритму, запропонованому Property 3.

Алгоритм квадратизації біноміалу

Щоб зробити квадрат двочлена a + b, дійте наступним чином:

1. Квадратний перший термін, щоб отримати$a^2$.
2. Перше і друге члени помножте разом, а потім помножте результат на два, щоб отримати 2ab.
3. Квадратний другий член, щоб отримати$b^2$.

Таким чином, щоб розширити$(x + 4)^2$, слід поступити наступним чином.

1. Квадратний перший термін, щоб отримати$x^2$
2. Помножте перший і другий члени разом, а потім помножте на два, щоб отримати 8x.
3. Квадратний другий член, щоб вийшло 16.

Продовження таким чином дозволяє виконати розширення подумки і просто записати рішення.

$$(x+4)^{2}=x^{2}+2(x)(4)+4^{2}=x^{2}+8 x+16 \nonumber$$

Ось ще кілька прикладів. У кожному ми написали додатковий крок, який допоможе уточнити процедуру. На практиці слід просто записати рішення без будь-яких проміжних кроків.

$$\begin{array}{l}{(x+3)^{2}=x^{2}+2(x)(3)+3^{2}=x^{2}+6 x+9} \\ {(x-5)^{2}=x^{2}+2(x)(-5)+(-5)^{2}=x^{2}-10 x+25} \\ {\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=x^{2}+2(x)\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=x^{2}-x+\frac{1}{4}}\end{array}$$

Обов'язково ви освоїте цей ярлик, перш ніж перейти до решти матеріалу в цьому розділі.

Ідеальні квадратні триноміали

Після того, як ви освоїли квадрат біноміального, як в

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \nonumber$$

це проста справа, щоб визначити і фактор триноми (три терміни), що мають форму$a^{2}+2 a b+b^{2}$. Ви просто «скасуєте» множення. Всякий раз, коли ви помічаєте тріноміал, перший і третій члени якого є ідеальними квадратами, ви повинні підозрювати, що це впливає наступним чином.

$$a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2} \nonumber$$

Триноміал, який впливає відповідно до цього правила або шаблону, називається ідеальним квадратним тріноміалом.

Наприклад, перший і останній члени наступного триноміала - ідеальні квадрати.

$$x^{2}+16 x+64 \nonumber$$

Квадратні коріння першого і останнього членів - х і 8 відповідно. Значить, має сенс спробувати наступне.

$$x^{2}+16 x+64=(x+8)^{2} \nonumber$$

Важливо, щоб ви перевіряли свій результат за допомогою множення. Отже, слідуючи триступінчастому алгоритму квадратизації біноміального:

1. Квадрат х, щоб отримати$x^2$.
2. Помножте x і 8, щоб отримати 8x, потім помножте цей результат на 2, щоб отримати 16x.
3. Квадрат 8, щоб отримати 64.

Отже,$x^2 + 16x + 64$ це ідеальний квадратний триноміал і фактори як$(x + 8)^2$.

Як ще один приклад розглянемо$x^2 − 10x + 25$. Квадратні коріння першого і останнього членів - х і 5 відповідно. Значить, має сенс спробувати

$$x^{2}-10 x+25=(x-5)^{2} \nonumber$$

Знову ж таки, слід перевірити цей результат. Зверніть увагу, що подвоєний добуток x та −5 дорівнює середньому члену ліворуч, а саме −10x.

Завершення площі

Якщо квадратична функція задана у формі вершини, це проста справа, щоб намалювати параболу, представлену рівнянням. Для прикладу розглянемо квадратичну функцію

$$f(x)=(x+2)^{2}+3$$

який знаходиться у формі вершини. Графік цього рівняння являє собою параболу, яка відкривається вгору. Він перекладається 2 одиниці вліво і 3 одиниці вгору. У цьому і полягає перевага вершинної форми. Перетворення, необхідні для малювання графіка функції, легко помітити, коли рівняння записано у формі вершини.

Це проста справа, щоб$f(x) = (x + 2)^2 + 3$ перетворити рівняння в загальну форму квадратичної функції,$f(x) = ax^2 + bx + c$. Ми просто використовуємо триступінчастий алгоритм для квадратного біноміального; потім ми об'єднуємо як терміни.

$$\begin{array}{l}{f(x)=(x+2)^{2}+3} \\ {f(x)=x^{2}+4 x+4+3} \\ {f(x)=x^{2}+4 x+7}\end{array}$$

Однак зауважте, що результат цієї маніпуляції не настільки корисний$f(x) = x^2 + 4x+ 7$, як вершинна форма, оскільки важко визначити перетворення, необхідні для малювання параболи, представленої рівнянням$f(x) = x^2 + 4x + 7$.

Це дійсно зворотне маніпуляції вище, що потрібно. Якщо нам представлено рівняння у формі$f(x) = ax^2 + bx + c$, наприклад$f(x) = x^2 + 4x + 7$, то для перетворення цього рівняння у форму вершини потрібен алгебраїчний метод$f(x) = a(x−h)^2+k$; або в цьому випадку назад до початкової форми вершини$f(x) = (x + 2)^2 + 3$.

Процедура, яку ми шукаємо, називається завершенням квадрата. Назва походить від того, що нам потрібно «завершити» тріноміал з правого боку,$y = x^2 + 4x + 7$ щоб він став ідеальним квадратним триноміалом.

Алгоритм завершення квадрата

Процедура виконання каре передбачає три ключових етапи.

1. Візьміть половину коефіцієнта х і квадратний результат.
2. Складіть і відніміть величину з першого кроку, щоб права частина рівняння не змінилася.
3. Порахуйте отриманий квадрат ідеальним триноміалом і комбінуйте постійні терміни.

Простежимо за цією процедурою і розмістимо$f(x) = x^2 + 4x + 7$ у вигляді вершини.

1. Візьміть половину коефіцієнта х. таким чином, (1/2) (4) = 2. Квадратний цей результат. Таким чином,$2^2 = 4$.
2. Додайте і відніміть 4 у правій частині рівняння$f(x) = x^2 + 4x + 7$ $$f(x)=x^{2}+4 x+4-4+7$$
3. Згрупуйте перші три члени праворуч. Вони утворюють ідеальний квадратний тріноміал.

$$f(x)=\left(x^{2}+4 x+4\right)-4+7 \nonumber$$

Тепер вважайте ідеальний квадратний триноміал і об'єднайте константи в кінці, щоб отримати

$$f(x)=(x+2)^{2}+3 \nonumber$$

Ось і все, ми закінчили! Ми повернули загальну квадратичну$f(x) = x^2 + 4x + 7$ назад до вершинної форми$f(x) = (x + 2)^2 + 3$.

Спробуємо ще раз.

Приклад$\PageIndex{2}$

Помістіть квадратичну функцію$f(x) = x^2 − 8x − 9$ у вигляді вершини.

Рішення

Слідуємо триетапному алгоритму виконання квадрата.

1. Візьмемо половину коефіцієнта х і квадрат: т. Е. $$[(1 / 2)(-8)]^{2}=[-4]^{2}=16 \nonumber$$
2. Додайте і відніміть цю суму в праву частину функції. $$f(x)=x^{2}-8 x+16-16-9 \nonumber$$
3. Згрупуйте перші три члени праворуч. Вони утворюють ідеальний квадратний тріноміал. $$f(x)=\left(x^{2}-8 x+16\right)-16-9 \nonumber$$

Порахуйте ідеальний квадратний триноміал і об'єднайте коефіцієнти в кінці.

$$f(x)=(x-4)^{2}-25 \nonumber$$

Тепер давайте подивимося, як ми можемо використовувати техніку завершення квадрата, щоб допомогти у малюванні графіків загальних квадратичних функцій.

Робота з$f(x) = x^2 + bx + c$

Приклади в цьому розділі матимуть вигляд$f(x) = x^2 + bx + c$. Зверніть увагу, що коефіцієнт$x^2$ дорівнює 1. У наступному розділі ми будемо працювати з більш жорсткою формою$f(x) = ax^2 + bx + c$, де$a \neq 1$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Заповніть квадрат, щоб розмістити$f(x) = x^2 + 6x + 2$ у формі вершини та намалюйте його графік.

Рішення

Спочатку візьміть половину коефіцієнта х і квадрат; т$[(1/2)(6)]^2 = 9$. Е. У правій частині рівняння складіть і відніміть цю величину, щоб не змінювати рівняння.

$$f(x)=x^{2}+6 x+9-9+2 \nonumber$$

Згрупуйте перші три члени праворуч.

$$f(x)=\left(x^{2}+6 x+9\right)-9+2 \nonumber$$

Перші три терміни з правого боку утворюють ідеальний квадратний триноміал, який легко враховується. Також з'єднайте константи в кінці.

$$f(x)=(x+3)^{2}-7 \nonumber$$

Це парабола, яка відкривається вгору. Нам потрібно зрушити параболу на 3 одиниці вліво, а потім на 7 одиниць вниз, розмістивши вершину в (−3, −7), як показано на малюнку$\PageIndex{1}$ (a). Віссю симетрії є вертикальною лінією x = −3. Таблиця на малюнку$\PageIndex{1}$ (б) обчислює дві точки праворуч від осі симетрії, а дзеркальні точки зліва від осі симетрії роблять для точної ділянки параболи.

Малюнок$\PageIndex{1}$. Побудова графіка квадратичної функції$f(x) = (x + 3)^2 − 7$.

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{4}$

Заповніть квадрат, щоб розмістити$f(x) = x^2 − 8x + 21$ у формі вершини та намалюйте його графік.

Рішення

Спочатку візьміть половину коефіцієнта х і квадрат; т$[(1/2)(−8)]^2 = 16$. Е. У правій частині рівняння складіть і відніміть цю величину, щоб не змінювати рівняння.

$$f(x)=x^{2}-8 x+16-16+21 \nonumber$$

Згрупуйте перші три члени в правій частині рівняння.

$$f(x)=\left(x^{2}-8 x+16\right)-16+21 \nonumber$$

Перші три терміни утворюють ідеальний квадратний триноміал, який легко враховується. Також комбінуйте константи в кінці.

$$f(x)=(x-4)^{2}+5 \nonumber$$

Це парабола, яка відкривається вгору. Нам потрібно зрушити параболу 4 одиниці вправо, а потім 5 одиниць вгору, розмістивши вершину на (4, 5), як показано на малюнку$\PageIndex{2}$ (а). Таблиця на малюнку$\PageIndex{2}$ (б) обчислює дві точки праворуч від осі симетрії, а дзеркальні точки зліва від осі симетрії роблять для точної ділянки параболи.

Малюнок$\PageIndex{2}$. Побудова графіка квадратичної функції$f(x) = (x − 4)^2 + 5$.

Робота з$f(x) = ax^2 + bx + c$

В останніх двох прикладах коефіцієнт$x^2$ дорівнював 1. У цьому розділі ми дізнаємося, як завершити квадрат, коли коефіцієнт$x^2$ дорівнює деякому числу, відмінному від 1.

Приклад$\PageIndex{5}$

Заповніть квадрат, щоб розмістити$f(x)=2 x^{2}+4 x-4$ у формі вершини та намалюйте його графік.

Рішення

В останніх двох прикладах ми отримали деяку міру успіху, коли коефіцієнт$x^2$ становив 1. Ми просто освоювалися з цією ситуацією, і ми хотіли б продовжувати бути зручними, так що давайте почнемо з факторингу 2 з кожного члена на правій стороні рівняння.

$$f(x)=2\left[x^{2}+2 x-2\right] \nonumber$$

Якщо ми ігноруємо множник 2 поза спереду, коефіцієнт$x^2$ в триноміальному виразі всередині дужок дорівнює 1. Ах, знайома земля! Ми будемо діяти так, як ми робили раніше, але ми будемо нести коефіцієнт 2 поза дужками на кожному кроці. Почніть з взяття половини коефіцієнта х і зведення результату в квадрат; т$[(1/2)(2)]^2 = 1$. Е.

Додайте і відніміть цю суму всередині дужок, щоб не змінювати рівняння.

$$f(x)=2\left[x^{2}+2 x+1-1-2\right] \nonumber$$

Згрупуйте перші три члени всередині дужок і об'єднайте константи.

$$f(x)=2\left[\left(x^{2}+2 x+1\right)-3\right] \nonumber$$

Згруповані терміни всередині дужок утворюють ідеальний квадратний триноміал, який легко враховується.

$$f(x)=2\left[(x+1)^{2}-3\right] \nonumber$$

Нарешті, перерозподіліть 2.

$$f(x)=2(x+1)^{2}-6 \nonumber$$

Це парабола, яка відкривається вгору. Крім того, він розтягується в 2 рази, тому буде дещо вужче, ніж наші попередні приклади. Параболу також зміщують на 1 одиницю вліво, потім на 6 одиниць вниз, розміщуючи вершину в (−1, −6), як показано на малюнку$\PageIndex{3}$ (а). Таблиця на малюнку$\PageIndex{3}$ (б) обчислює дві точки праворуч від осі симетрії, а дзеркальні точки зліва від осі симетрії роблять для точної ділянки параболи.

Малюнок$\PageIndex{3}$. Побудова графіка квадратичної функції$f(x) = 2x^2 + 4x − 4$.

Давайте розглянемо приклад, де коефіцієнт від$x^2$ негативний.

Приклад$\PageIndex{6}$

Заповніть квадрат, щоб розмістити$f(x) = −x^2 + 6x − 2$ у формі вершини та намалюйте його графік.

Рішення

В останньому прикладі ми врахували коефіцієнт$x^2$. Це залишило нам триноміал, який має провідний коефіцієнт 1, який дозволив нам діяти так само, як ми робили раніше: вдвічі зменшити середній коефіцієнт і квадрат, додати і відняти цю суму, коефіцієнт отриманого ідеального квадратного триноміала. Оскільки ми досягли успіху з цією методикою в останньому прикладі, давайте почнемо знову з факторингу провідного коефіцієнта, в даному випадку a −1.

$$f(x)=-1\left[x^{2}-6 x+2\right] \nonumber$$

Якщо проігнорувати коефіцієнт −1 поза фронтом, коефіцієнт$x^2$ у триноміальному виразі всередині дужок дорівнює 1. Знову знайома земля! Ми будемо діяти так, як ми робили раніше, але ми будемо переносити коефіцієнт −1 поза дужками на кожному кроці. Почніть з взяття половини коефіцієнта х і зведення результату в квадрат; т$[(1/2)(−6)]^2 = 9$. Е.

Додайте і відніміть цю суму всередині дужок, щоб не змінювати рівняння.

$$f(x)=-1\left[x^{2}-6 x+9-9+2\right] \nonumber$$

Згрупуйте перші три члени всередині дужок і об'єднайте константи.

$$f(x)=-1\left[\left(x^{2}-6 x+9\right)-7\right] \nonumber$$

Згруповані терміни всередині дужок утворюють ідеальний квадратний триноміал, який легко враховується.

$$f(x)=-1\left[(x-3)^{2}-7\right] \nonumber$$

Нарешті, перерозподіліть −1.

$$f(x)=-(x-3)^{2}+7 \nonumber$$

Це парабола, яка відкривається вниз. Параболу також зміщують на 3 одиниці вправо, потім на 7 одиниць вгору, розміщуючи вершину на (3, 7), як показано на малюнку$\PageIndex{4}$ (а). Таблиця на малюнку$\PageIndex{4}$ (б) обчислює дві точки праворуч від осі симетрії, а дзеркальні точки зліва від осі симетрії роблять для точної ділянки параболи.

Малюнок$\PageIndex{4}$. Побудова графіка квадратичної функції$f(x) = −(x − 3)^2 + 7$.

Спробуємо ще один приклад.

Приклад$\PageIndex{7}$

Заповніть квадрат, щоб розмістити$f(x) = 3x^2 + 4x − 8$ у формі вершини та намалюйте його графік.

Рішення

Почнемо знову з факторингу провідного коефіцієнта, в даному випадку a 3.

$$f(x)=3\left[x^{2}+\frac{4}{3} x-\frac{8}{3}\right] \nonumber$$

Дроби додають ступінь складності, але, якщо ви будете дотримуватися тієї ж процедури, що і в попередніх прикладах, ви повинні мати можливість отримати необхідний результат. Візьміть половину коефіцієнта х і квадратний результат; т$[(1/2)(4/3)]^2 = [2/3]^2 = 4/9$. Е.

Додайте і відніміть цю суму всередині дужок, щоб не змінювати рівняння.

$$f(x)=3\left[x^{2}+\frac{4}{3} x+\frac{4}{9}-\frac{4}{9}-\frac{8}{3}\right] \nonumber$$

Групуйте перші три члени всередині дужок. Вам знадобиться спільний знаменник, щоб об'єднати константи.

$$f(x)=3\left[\left(x^{2}+\frac{4}{3} x+\frac{4}{9}\right)-\frac{4}{9}-\frac{24}{9}\right] \nonumber$$

Згруповані терміни всередині дужок утворюють ідеальний квадратний триноміал, який легко враховується.

$$f(x)=3\left[\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{28}{9}\right] \nonumber$$

Нарешті, перерозподіліть 3.

$$f(x)=3\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}-\frac{28}{3} \nonumber$$

Це парабола, яка відкривається вгору. Вона також розтягується в 3 рази, тому буде вужче, ніж всі наші попередні приклади. Параболу також зміщують на 2/3 одиниць вліво, потім на 28/3 одиниці вниз, розміщуючи вершину в (−2/3, −28/3), як показано на малюнку$\PageIndex{5}$ (а). Таблиця на малюнку$\PageIndex{5}$ (б) обчислює дві точки праворуч від осі симетрії, а дзеркальні точки зліва від осі симетрії роблять для точної ділянки параболи.

Малюнок$\PageIndex{5}$. Побудова графіка квадратичної функції$f(x) = 3(x + 2/3)^2 − 28/3$.

Вправа

У вправах 1 - 8 розширити біном.

Вправа$\PageIndex{1}$

$(x+\frac{4}{5})^2$

Відповідь

$x^2+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}$

Вправа$\PageIndex{2}$

$(x−\frac{4}{5})^2$

Вправа$\PageIndex{3}$

$(x+3)^2$

Відповідь

$x^2+6x+9$

Вправа$\PageIndex{4}$

$(x+5)^2$

Вправа$\PageIndex{5}$

$(x−7)^2$

Відповідь

$x^2−14x+49$

Вправа$\PageIndex{6}$

$(x−\frac{2}{5})^2$

Вправа$\PageIndex{7}$

$(x−6)^2$

Відповідь

$x^2−12x+36$

Вправа$\PageIndex{8}$

$(x−\frac{5}{2})^2$

У вправах 9 - 16, фактор ідеальний квадратний триноміал.

Вправа$\PageIndex{9}$

$x^2−\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}$

Відповідь

$(x−\frac{3}{5})^2$

Вправа$\PageIndex{10}$

$x^2+5x+\frac{25}{4}$

Вправа$\PageIndex{11}$

$x^2−12x+36$

Відповідь

$(x−6)^2$

Вправа$\PageIndex{12}$

$x^2+3x+\frac{9}{4}$

Вправа$\PageIndex{13}$

$x^2+12x+36$

Відповідь

$(x+6)^2$

Вправа$\PageIndex{14}$

$x^2−\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}$

Вправа$\PageIndex{15}$

$x^2+18x+81$

Відповідь

$(x+9)^2$

Вправа$\PageIndex{16}$

$x^2+10x+25$

У Вправах 17 - 24 перетворіть задану квадратичну функцію у форму вершини,$f(x) = (x−h)^2+k$ заповнивши квадрат.

Вправа$\PageIndex{17}$

$f(x) = x^2−x+8$

Відповідь

$(x−\frac{1}{2})^2+\frac{31}{4}$

Вправа$\PageIndex{18}$

$f(x) = x^2+x−7$

Вправа$\PageIndex{19}$

$f(x) = x^2−5x−4$

Відповідь

$(x−\frac{5}{2})^2−\frac{41}{4}$

Вправа$\PageIndex{20}$

$f(x) = x^2+7x−1$

Вправа$\PageIndex{21}$

$f(x) = x^2+2x−6$

Відповідь

$(x+1)^2−7$

Вправа$\PageIndex{22}$

$f(x) = x^2+4x+8$

Вправа$\PageIndex{23}$

$f(x) = x^2−9x+3$

Відповідь

$(x−\frac{9}{2})−\frac{69}{4}$

Вправа$\PageIndex{24}$

$f(x) = x^2−7x+8$

У Вправах 25 - 32 перетворіть задану квадратичну функцію у форму вершини,$f(x) = a(x−h)^2+k$ заповнивши квадрат.

Вправа$\PageIndex{25}$

$f(x) = −2x^2−9x−3$

Відповідь

$−2(x+\frac{9}{4})^2+\frac{57}{8}$

Вправа$\PageIndex{26}$

$f(x) = −4x^2−6x+1$

Вправа$\PageIndex{27}$

$f(x) = 5x^2+5x+5$

Відповідь

$5(x+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}$

Вправа$\PageIndex{28}$

$f(x) = 3x^2−4x−6$

Вправа$\PageIndex{29}$

$f(x) = 5x^2+7x−3$

Відповідь

$5(x+\frac{7}{10})^2−\frac{109}{20}$

Вправа$\PageIndex{30}$

$f(x) = 5x^2+6x+4$

Вправа$\PageIndex{31}$

$f(x) = −x^2−x+4$

Відповідь

$−1(x+\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}$

Вправа$\PageIndex{32}$

$f(x) = −3x^2−6x+4$

У вправах 33 - 38 знайти вершину графа заданої квадратичної функції.

Вправа$\PageIndex{33}$

$f(x) = −2x^2+5x+3$

Відповідь

$(\frac{5}{4}, \frac{49}{8})$

Вправа$\PageIndex{34}$

$f(x) = x^2+5x+8$

Вправа$\PageIndex{35}$

$f(x) = −4x^2−4x+1$

Відповідь

$(−\frac{1}{2}, 2)$

Вправа$\PageIndex{36}$

$f(x) = 5x^2+7x+8$

Вправа$\PageIndex{37}$

$f(x) = 4x^2+2x+8$

Відповідь

$(−\frac{1}{4}, \frac{31}{4})$

Вправа$\PageIndex{38}$

$f(x) = x^2+x−7$

У вправах 39 - 44 знайти вісь симетрії графіка заданої квадратичної функції.

Вправа$\PageIndex{39}$

$f(x) = −5x^2−7x−8$

Відповідь

$x = −\frac{7}{10}$

Вправа$\PageIndex{40}$

$f(x) = x^2+6x+3$

Вправа$\PageIndex{41}$

$f(x) = −2x^2−5x−8$

Відповідь

$x = −\frac{5}{4}$

Вправа$\PageIndex{42}$

$f(x) = −x^2−6x+2$

Вправа$\PageIndex{43}$

$f(x) = −5x^2+x+6$

Відповідь

$x = \frac{1}{10}$

Вправа$\PageIndex{44}$

$f(x) = x^2−9x−6$

Для кожної з квадратичних функцій у Вправах 45 - 66 виконайте кожне з наступних завдань.

1. Використовуйте техніку завершення квадрата, щоб розмістити задану квадратичну функцію у вигляді вершини.
2. Налаштуйте систему координат на аркуші графічного паперу. Позначте та масштабуйте кожну вісь.
3. Намалюйте вісь симетрії і позначте її рівнянням. Покладіть вершину і позначте її координатами.
4. Налаштуйте таблицю біля вашої системи координат, яка обчислює координати двох точок по обидві сторони від осі симетрії. Помістіть ці точки і їх дзеркальне відображення поперек осі симетрії. Намалюйте параболу і позначте її рівнянням
5. Використовуйте графік параболи для визначення області та діапазону квадратичної функції. Опишіть домен і діапазон за допомогою інтервальних позначень.

Вправа$\PageIndex{45}$

$f(x) = x^2−8x+12$

Відповідь

$f(x) = (x−4)^2−4$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = [−4,$\infty$)

Вправа$\PageIndex{46}$

$f(x) = x^2+4x−1$

Вправа$\PageIndex{47}$

$f(x) = x^2+6x+3$

Відповідь

$f(x) = (x+3)^2−6$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = [−6,$\infty$)

Вправа$\PageIndex{48}$

$f(x)=x^2−4x+1$

Вправа$\PageIndex{49}$

$f(x) = x^2−2x−6$

Відповідь

$f(x) = (x−1)^2−7$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = [−7,$\infty$)

Вправа$\PageIndex{50}$

$f(x) = x^2+10x+23$

Вправа$\PageIndex{51}$

$f(x) = −x^2+6x−4$

Відповідь

$f(x) = −(x−3)^2+5$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = (−$\infty$, 5]

Вправа$\PageIndex{52}$

$f(x) = −x^2−6x−3$

Вправа$\PageIndex{53}$

$f(x) = −x^2−10x−21$

Відповідь

$f(x) = −(x+5)^2+4$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = (−$\infty$, 4]

Вправа$\PageIndex{54}$

$f(x) = −x^2+12x−33$

Вправа$\PageIndex{55}$

$f(x) = 2x^2−8x+3$

Відповідь

$f(x) = 2(x−2)^2−5$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = [−5,$\infty$)

Вправа$\PageIndex{56}$

$f(x) = 2x^2+8x+4$

Вправа$\PageIndex{57}$

$f(x) = −2x^2−12x−13$

Відповідь

$f(x) = −2(x+3)^2+5$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = (−$\infty$, 5]

Вправа$\PageIndex{58}$

$f(x) = −2x^2+24x−70$

Вправа$\PageIndex{59}$

$f(x) = \frac{1}{2}x^2−4x+5$

Відповідь

$f(x) = \frac{1}{2}(x−4)^2−3$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = [−3,$\infty$)

Вправа$\PageIndex{60}$

$f(x) = \frac{1}{2}x^2+4x+6$

Вправа$\PageIndex{61}$

$f(x) = −\frac{1}{2}x^2−3x+\frac{1}{2}$

Відповідь

$f(x) = −\frac{1}{2}(x+3)^2+5$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = (−$\infty$, 5]

Вправа$\PageIndex{62}$

$f(x) = −\frac{1}{2}x^2+4x−2$

Вправа$\PageIndex{63}$

$f(x) = 2x^2+7x−2$

Відповідь

$f(x) = 2(x+\frac{7}{4})^2− \frac{65}{8}$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = [$−\frac{65}{8}$,$\infty$)

Вправа$\PageIndex{64}$

$f(x) = −2x^2−5x−4$

Вправа$\PageIndex{65}$

$f(x) = −3x^2+8x−3$

Відповідь

$f(x) = −3(x−\frac{4}{3})^2+\frac{7}{3}$

Домен =$\mathbb{R}$, Діапазон = (−$\infty$,$\frac{7}{3}$]

Вправа$\PageIndex{66}$

$f(x) = 3x^2+4x−6$

У Вправах 67 - 72 знайти діапазон заданої квадратичної функції. Висловлюйте свою відповідь в обох інтервалах і встановлених позначеннях.

Вправа$\PageIndex{67}$

$f(x) = −2x^2+4x+3$

Відповідь

($−\infty$, 5] = {x|$x \le 5$}

Вправа$\PageIndex{68}$

$f(x) = x^2+4x+8$

Вправа$\PageIndex{69}$

$f(x) = 5x^2+4x+4$

Відповідь

[$\frac{16}{5}$,$\infty$) = {x|$x \ge 5$}

Вправа$\PageIndex{70}$

$f(x) = 3x^2−8x+3$

Вправа$\PageIndex{71}$

$f(x) = −x^2−2x−7$

Відповідь

($−\infty$, −6] = {x|$x \le −6$}

Вправа$\PageIndex{72}$

$f(x) = x^2+x+9$

Дриль для майстерності. У вправах 73 - 76 оцініть функцію при заданому значенні b.

Вправа$\PageIndex{73}$

$f(x) = 9x^2−9x+4$; б = −6

Відповідь

382

Вправа$\PageIndex{74}$

$f(x) = −12x^2+5x+2$; б = −3

Вправа$\PageIndex{75}$

$f(x) = 4x^2−6x−4$; б = 11

Відповідь

414

Вправа$\PageIndex{76}$

$f(x) = −2x^2−11x−10$; б = −12

Дриль для майстерності. У вправах 77 - 80 оцініть функцію за заданим виразом.

Вправа$\PageIndex{77}$

Оцініть f (x+4) якщо$f(x) = −5x^2+4x+2$.

Відповідь

$−5x^2−36x−62$

Вправа$\PageIndex{78}$

Оцінити f (−4x−5), якщо$f(x) = 4x^2+x+1$.

Вправа$\PageIndex{79}$

Оцінити f (4x−1), якщо$f(x) = 4x^2+3x−3$.

Відповідь

$64x^2−20x−2$

Вправа$\PageIndex{80}$

Оцінити f (−5x−3), якщо$f(x) = −4x^2+x+4$.