5.2: Квадратичні функції
Цілі навчання
- Розпізнати характеристики парабол.
- Зрозумійте, як графік параболи пов'язаний з її квадратичною функцією.
- Визначте мінімальне або максимальне значення квадратичної функції.
- Вирішувати задачі, що включають мінімальне або максимальне значення квадратичної функції.
Вигнуті антени, такі як показані на малюнку5.2.1, зазвичай використовуються для фокусування мікрохвильових хвиль та радіохвиль для передачі телевізійних та телефонних сигналів, а також супутникового та космічного зв'язку. Перетин антени має форму параболи, яку можна описати квадратичної функцією.
Малюнок5.2.1: Масив супутникових антен. (кредит: Метью Колвін де Валле, Flickr)
У цьому розділі ми досліджуємо квадратичні функції, які часто моделюють задачі, пов'язані з рухом площі та снаряда. Робота з квадратичними функціями може бути менш складною, ніж робота з функціями більш високого ступеня, тому вони дають хорошу можливість для детального вивчення поведінки функцій.
Визнання характеристик парабол
Графік квадратичної функції - це U-подібна крива, яка називається параболою. Однією з важливих особливостей графіка є те, що він має крайню точку, звану вершиною. Якщо парабола відкривається, вершина представляє найнижчу точку на графіку, або мінімальне значення квадратичної функції. Якщо парабола відкривається вниз, вершина представляє найвищу точку на графіку, або максимальне значення. У будь-якому випадку вершина є поворотною точкою на графіку. Графік також симетричний з вертикальною лінією, проведеної через вершину, званої віссю симетрії. Ці особливості проілюстровані на рис5.2.2.

Y-перехоплення - це точка, в якій парабола перетинаєy вісь -. X-перехоплення - це точки, в яких парабола перетинаєx вісь -. Якщо вони існують, то x-перехоплення представляють нулі, або коріння, квадратичної функції, значенняx при якійy=0.
Приклад5.2.1: Identifying the Characteristics of a Parabola
Визначте вершину, вісь симетрії, нулі та y-перехоплення параболи, наведеного на малюнку5.2.3.

Рішення
Вершина є точкою повороту графа. Ми бачимо, що вершина знаходиться в(3,1). Оскільки ця парабола відкривається вгору, вісь симетрії - це вертикальна лінія, яка перетинає параболу у вершині. Отже, вісь симетрії єx=3. Ця парабола не перетинає вісь x, тому не має нулів. Він перетинаєy вісь -на(0,7) так що це перехоплення y-перехоплення.
Розуміння того, як графіки парабол пов'язані з їх квадратичними функціями
Загальна форма квадратичної функції представляє функцію у вигляді
f(x)=ax2+bx+c
деab, іc є дійсними числами іa≠0. Якщоa>0, парабола відкривається вгору. Якщоa<0, парабола відкривається вниз. Ми можемо використовувати загальну форму параболи, щоб знайти рівняння для осі симетрії.
Вісь симетрії визначається поx=−b2a. Якщо використовувати квадратичну формулуx=−b±√b2−4ac2a, щоб вирішитиax2+bx+c=0 для x-перехоплення, або нулів, ми знайдемо значенняx півдорозі між ними завждиx=−b2a, рівняння для осі симетрії.
Малюнок5.2.4 являє собою графік квадратичної функції, записаний у загальному вигляді якy=x2+4x+3. У такому вигляді,a=1,b=4, іc=3. Тому щоa>0, парабола відкривається вгору. Вісь симетрії єx=−42(1)=−2. Це також має сенс, оскільки ми бачимо з графіка, що вертикальна лініяx=−2 ділить графік навпіл. Вершина завжди виникає уздовж осі симетрії. Для параболи, яка відкривається вгору, вершина зустрічається в найнижчій точці на графіку, в даному випадку,(−2,−1). X-перехоплення, ті точки, де парабола перетинає вісь х, відбуваються при(−3,0) і(−1,0).

Стандартна форма квадратичної функції представляє функцію у вигляді
f(x)=a(x−h)2+k
де(h,k) - вершина. Оскільки вершина з'являється у стандартній формі квадратичної функції, ця форма також відома як вершинна форма квадратичної функції.
Як і при загальній форміa>0, якщо, парабола відкривається вгору і вершина мінімальна. Якщоa<0, парабола відкривається вниз, а вершина - максимум. Малюнок5.2.5 являє собою графік квадратичної функції, записаної в стандартному вигляді якy=−3(x+2)2+4. Так якx–h=x+2 в даному прикладі,h=–2. У такому вигляді,a=−3,h=−2, іk=4. Тому щоa<0, парабола відкривається вниз. Вершина знаходиться в(−2, 4).

Стандартна форма корисна для визначення того, як графік трансформується з графікаy=x^2. Малюнок\PageIndex{6} - це графік цієї основної функції.

Якщоk>0, графік зміщується вгору, тоді як якщоk<0, графік зміщується вниз. На малюнку\PageIndex{5}k>0, таким чином графік зміщений на 4 одиниці вгору. Якщоh>0, графік зміщується вправо, а якщоh<0, графік зміщується вліво. На малюнку\PageIndex{5}h<0, таким чином графік зміщений на 2 одиниці вліво. Величинаa вказує на розтягнення графіка. Якщо точка|a|>1, пов'язана з певним значенням x, зміщується далі від осі x, отже, графік стає більш вузьким, і виникає вертикальне розтягнення. Але якщо точка|a|<1, пов'язана з певним значенням x, зсувається ближче до осі x, значить, графік стає ширшим, але насправді відбувається вертикальне стиснення. На малюнку\PageIndex{5}|a|>1, таким чином, графік стає вужчим.
Стандартна форма і загальна форма - еквівалентні методи опису однієї і тієї ж функції. Ми можемо переконатися в цьому, розгорнувши загальну форму і встановивши її рівною стандартній формі.
\begin{align*} a(x−h)^2+k &= ax^2+bx+c \\[4pt] ax^2−2ahx+(ah^2+k)&=ax^2+bx+c \end{align*}
Щоб лінійні долі були рівними, коефіцієнти повинні бути рівними.
–2ah=b \text{, so } h=−\dfrac{b}{2a}. \nonumber
Це вісь симетрії, яку ми визначили раніше. Встановлення постійних членів, рівних:
\begin{align*} ah^2+k&=c \\ k&=c−ah^2 \\ &=c−a\cdot\Big(-\dfrac{b}{2a}\Big)^2 \\ &=c−\dfrac{b^2}{4a} \end{align*}
На практиці, однак, як правило, легше запам'ятати, щоk є вихідним значенням функції, коли вхід єh, так щоf(h)=k.
Визначення: Форми квадратичних функцій
Квадратична функція - це функція другого ступеня. Графік квадратичної функції - парабола.
- Загальна форма квадратичної функції - цеf(x)=ax^2+bx+c деab, і єc дійсними числами іa{\neq}0.
- Стандартною формою квадратичної функції єf(x)=a(x−h)^2+k.
- Вершина(h,k) розташована наh=–\dfrac{b}{2a},\;k=f(h)=f(\dfrac{−b}{2a}).
HOWTO: Написати квадратичну функцію в загальному вигляді
Задано графік квадратичної функції, запишіть рівняння функції в загальному вигляді.
- Визначте горизонтальний зсув параболи; це значення єh. Визначте вертикальний зсув параболи; це значення єk.
- Підставляємо значення горизонтального і вертикального зсуву дляh іk. у функціїf(x)=a(x–h)^2+k.
- Підставити значення будь-якої точки, крім вершини, на графі параболи дляx іf(x).
- Вирішити для коефіцієнта розтягування,|a|.
- Якщо парабола розкривається,a>0. Якщо парабола відкривається вниз,a<0 так як це означає, що графік відбився навколо осі х.
- Розгорнути і спростити написання в загальному вигляді.
Приклад\PageIndex{2}: Writing the Equation of a Quadratic Function from the Graph
Напишіть рівняння для квадратичної функції наg малюнку\PageIndex{7} як перетворенняf(x)=x^2, а потім розгорніть формулу і спростіть терміни, щоб записати рівняння в загальному вигляді.

Рішення
Ми можемо бачити графікg це графікf(x)=x^2 зрушеного вліво 2 і вниз 3, даючи формулу у виглядіg(x)=a(x+2)^2–3.
Підставляючи координати точки на кривій, наприклад(0,−1), ми можемо вирішити для коефіцієнта розтягування.
\begin{align} −1&=a(0+2)^2−3 \\ 2&=4a \\ a&=\dfrac{1}{2} \end{align}
У стандартному вигляді алгебраїчна модель для цього графа єg(x)=\dfrac{1}{2}(x+2)^2–3.
Щоб записати це в загальному многочленном вигляді, ми можемо розширити формулу і спростити терміни.
\begin{align} g(x)&=\dfrac{1}{2}(x+2)^2−3 \\ &=\dfrac{1}{2}(x+2)(x+2)−3 \\ &=\dfrac{1}{2}(x^2+4x+4)−3 \\ &=\dfrac{1}{2}x^2+2x+2−3 \\ &=\dfrac{1}{2}x^2+2x−1 \end{align}
Зверніть увагу, що горизонтальні і вертикальні зсуви основного графіка квадратичної функції визначають розташування вершини параболи; на вершину не впливають розтяжки і стиснення.
Аналіз
Ми можемо перевірити нашу роботу за допомогою функції таблиці на графічній утиліті. Спочатку введіть\mathrm{Y1=\dfrac{1}{2}(x+2)^2−3}. Далі виберіть\mathrm{TBLSET}, потім використовуйте\mathrm{TblStart=–6} і\mathrm{ΔTbl = 2}, і виберіть\mathrm{TABLE}. Див. Таблицю\PageIndex{1}
x | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
y | -5 | -1 | -3 | -1 | 5 |
Впорядковані пари в таблиці відповідають точкам на графіку.
Вправа\PageIndex{2}
Координатна сітка була накладена на квадратичну траєкторію баскетболу на малюнку\PageIndex{8}. Знайдіть рівняння для шляху руху кулі. Чи робить стрілок кошик?
Малюнок\PageIndex{8}: Зупиніть рухомий малюнок хлопчика, який кидає баскетбол у обруч, щоб показати параболічну криву, яку він робить.
(Кредит: модифікація роботи Дена Мейєра)
- Відповідь
-
Шляхи проходять через початок і має вершину в(−4, 7), так щоh(x)=–\frac{7}{16}(x+4)^2+7. Щоб зробити постріл, потрібноh(−7.5) було б близько 4 алеh(–7.5){\approx}1.64; він не робить це.
Задано квадратичну функцію в загальному вигляді, знайдіть вершину параболи.
- Визначитиa,b, іc.
- Знайтиh, x-координату вершини, шляхом підстановкиa іb вh=–\frac{b}{2a}.
- Знайтиk, y-координату вершини, шляхом оцінкиk=f(h)=f\Big(−\frac{b}{2a}\Big).
Приклад\PageIndex{3}: Finding the Vertex of a Quadratic Function
Знайдіть вершину квадратичної функціїf(x)=2x^2–6x+7. Перепишіть квадратику в стандартну форму (вершинна форма).
Рішення
Горизонтальна координата вершини буде на
\begin{align} h&=–\dfrac{b}{2a} \\ &=-\dfrac{-6}{2(2)} \\ &=\dfrac{6}{4} \\ &=\dfrac{3}{2}\end{align}
Вертикальна координата вершини буде на
\begin{align} k&=f(h) \\ &=f\Big(\dfrac{3}{2}\Big) \\ &=2\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^2−6\Big(\dfrac{3}{2}\Big)+7 \\ &=\dfrac{5}{2} \end{align}
Переписуючи в стандартну форму, коефіцієнт розтягування буде таким же, як іa в оригінальній квадратиці.
f(x)=ax^2+bx+c \\ f(x)=2x^2−6x+7
Використовуючи вершину для визначення зрушень,
f(x)=2\Big(x–\dfrac{3}{2}\Big)^2+\dfrac{5}{2}
Аналіз
Одна з причин, по якій ми можемо захотіти визначити вершину параболи, полягає в тому, що ця точка повідомить нам, що таке максимальне або мінімальне значення функції(k), і де вона виникає(h).
Вправа\PageIndex{3}
З огляду на рівнянняg(x)=13+x^2−6x, запишіть рівняння в загальному вигляді, а потім в стандартному вигляді.
- Відповідь
-
g(x)=x^2−6x+13в загальному вигляді;g(x)=(x−3)^2+4 в стандартній формі.
Пошук області та діапазону квадратичної функції
Будь-яке число може бути вхідним значенням квадратичної функції. Тому область будь-якої квадратичної функції - це всі дійсні числа. Оскільки параболи мають максимальну або мінімальну точку, діапазон обмежений. Оскільки вершина параболи буде або максимумом, або мінімумом, діапазон буде складатися з усіх значень y, більших або рівних y-координаті в точці повороту або менше або дорівнює координаті y в точці повороту, залежно від того, відкривається парабола вгору або вниз.
Визначення: Область та діапазон квадратичної функції
Доменом будь-якої квадратичної функції є всі дійсні числа.
Діапазон квадратичної функції, записаної в загальному виглядіf(x)=ax^2+bx+c з додатнимa значеннямf(x){\geq}f ( −\frac{b}{2a}\Big), дорівнює, або[ f(−\frac{b}{2a}),∞ ) ; діапазон квадратичної функції, записаної в загальному вигляді з від'ємним значенням af(x) \leq f(−\frac{b}{2a}), або(−∞,f(−\frac{b}{2a})].
Діапазон квадратичної функції, записаної в стандартній форміf(x)=a(x−h)^2+k з додатнимa значенням, єf(x) \geq k; діапазоном квадратичної функції, записаної в стандартному вигляді з від'ємнимa значеннямf(x) \leq k.
Задано квадратичну функцію, знайдіть область і діапазон.
- Визначте область будь-якої квадратичної функції як всі дійсні числа.
- aВизначте, позитивний чи негативний. Якщоa позитивний, то парабола має мінімум. Якщоa негативний, то парабола має максимум.
- Визначте максимальне або мінімальне значення параболи,k.
- Якщо парабола має мінімум, діапазон задаєтьсяf(x){\geq}k, або\left[k,\infty\right). Якщо парабола має максимум, дальність задаєтьсяf(x){\leq}k, або\left(−\infty,k\right].
Приклад\PageIndex{4}: Finding the Domain and Range of a Quadratic Function
Знайдіть домен і діапазон доменівf(x)=−5x^2+9x−1.
Рішення
Як і у випадку з будь-якою квадратичною функцією, домен - це всі дійсні числа.
aОскільки негативна, парабола відкривається вниз і має максимальне значення. Нам потрібно визначити максимальне значення. Ми можемо почати з пошуку значення x вершини.
\begin{align} h&=−\dfrac{b}{2a} \\ &=−\dfrac{9}{2(-5)} \\ &=\dfrac{9}{10} \end{align}
Максимальне значення задається за допомогоюf(h).
\begin{align} f(\dfrac{9}{10})&=5(\dfrac{9}{10})^2+9(\dfrac{9}{10})-1 \\&= \dfrac{61}{20}\end{align}
Діапазон - цеf(x){\leq}\frac{61}{20}, або\left(−\infty,\frac{61}{20}\right].
Вправа\PageIndex{4}
Знайдіть домен і діапазон доменівf(x)=2\Big(x−\frac{4}{7}\Big)^2+\frac{8}{11}.
- Відповідь
-
Домен - це всі дійсні числа. Діапазон - цеf(x){\geq}\frac{8}{11}, або\left[\frac{8}{11},\infty\right).
Визначення максимальних і мінімальних значень квадратичних функцій
Виходом квадратичної функції на вершині є максимальне або мінімальне значення функції, що залежить від орієнтації параболи. Максимальне і мінімальне значення ми можемо побачити на малюнку\PageIndex{9}.

Існує багато реальних сценаріїв, які передбачають знаходження максимального або мінімального значення квадратичної функції, таких як додатки, що стосуються площі та доходу.
Приклад\PageIndex{5}: Finding the Maximum Value of a Quadratic Function
Фермер на задньому дворі хоче облагородити прямокутний простір для нового саду в її обгородженому дворі. Вона придбала 80 футів дротяної огорожі, щоб обкласти три сторони, і вона буде використовувати секцію огорожі заднього двору як четверту сторону.
- Знайдіть формулу для площі, огородженої парканом, якщо сторони огорожі перпендикулярні існуючому паркану мають довжинуL.
- Якими габаритами вона повинна зробити свій сад, щоб максимально закрити закриту територію?
Рішення
Давайте використаємо діаграму типу Figure\PageIndex{10} для запису заданої інформації. Також корисно ввести тимчасову зміннуW, щоб представити ширину саду та довжину секції паркану паралельно паркану на задньому дворі.

a Ми знаємо, що у нас є тільки 80 футів паркану доступніL+W+L=80, і, простіше кажучи,2L+W=80. Це дозволяє нам представляти ширинуW, з точки зоруL.
W=80−2L
Тепер ми готові написати рівняння для площі, яку огороджує паркан. Ми знаємо, що площа прямокутника дорівнює довжині, помноженої на ширину, так
\begin{align} A&=LW=L(80−2L) \\ A(L)&=80L−2L^2 \end{align}
Ця формула представляє площу огорожі в перерахунку на змінну довжинуL. Функція, написана в загальному вигляді, є
A(L)=−2L^2+80L.
Квадратика має негативний провідний коефіцієнт, тому графік відкриється вниз, а вершина буде максимальним значенням для площі. Знаходячи вершину, ми повинні бути обережними, оскільки рівняння не записується в стандартній поліноміальній формі з спадними ступенями. Саме тому ми переписали функцію в загальному вигляді вище. Так якa є коефіцієнт квадрата члена,a=−2,b=80, іc=0.
Щоб знайти вершину:
\begin{align} h& =−\dfrac{80}{2(−2)} &k&=A(20) \\ &=20 & \text{and} \;\;\;\; &=80(20)−2(20)^2 \\ &&&=800 \end{align}
Максимальне значення функції - площа 800 квадратних футів, яка виникає приL=20 футах. Коли коротші сторони 20 футів, для довшої сторони залишається 40 футів огорожі. Щоб максимізувати площу, вона повинна огородити сад так, щоб дві коротші сторони мали довжину 20 футів, а довша сторона, паралельна існуючому паркану, має довжину 40 футів.
Аналіз
Цю проблему також можна вирішити шляхом побудови графіків квадратичної функції. Ми можемо побачити, де максимальна площа відбувається на графіку квадратичної функції на малюнку\PageIndex{11}.

З огляду на додаток, що передбачає дохід, використовуйте квадратне рівняння, щоб знайти максимум.
- Напишіть квадратне рівняння доходу.
- Знайдіть вершину квадратного рівняння.
- Визначте значення y вершини.
Приклад\PageIndex{6}: Finding Maximum Revenue
Ціна одиниці товару впливає на його попит і пропозицію. Тобто, якщо ціна за одиницю піде вгору, попит на товар, як правило, зменшиться. Наприклад, місцева газета наразі має 84 000 передплатників за щоквартальну плату в розмірі 30 доларів. Дослідження ринку припускають, що якщо власники підвищать ціну до 32 доларів, вони втратять 5000 передплатників. Припускаючи, що підписки лінійно пов'язані з ціною, яку ціну повинна стягувати газета за квартальну підписку, щоб максимізувати свій дохід?
Рішення
Дохід - це сума грошей, яку компанія приносить. В цьому випадку дохід можна знайти, помноживши ціну за підписку на кількість передплатників, або кількість. Ми можемо ввести змінні,p для ціни за підписку таQ для кількості, даючи нам рівняння\text{Revenue}=pQ.
Оскільки кількість передплатників змінюється разом з ціною, нам потрібно знайти зв'язок між змінними. Ми знаємо, що в даний часp=30 іQ=84,000. Ми також знаємо, що якщо ціна підвищиться до 32 доларів, газета втратить 5000 передплатників, даючи другу пару цінностей,p=32 іQ=79,000. З цього ми можемо знайти лінійне рівняння, що стосується двох величин. Ухил буде
\begin{align} m&=\dfrac{79,000−84,000}{32−30} \\ &=−\dfrac{5,000}{2} \\ &=−2,500 \end{align}
Це говорить нам, що папір втратить 2500 передплатників за кожен долар, який вони підвищують ціну. Потім ми можемо вирішити для y-перехоплення.
\begin{align} Q&=−2500p+b &\text{Substitute in the point $Q=84,000$ and $p=30$} \\ 84,000&=−2500(30)+b &\text{Solve for $b$} \\ b&=159,000 \end{align}
Це дає нам лінійне рівняння,Q=−2,500p+159,000 що стосується вартості та абонентів. Тепер ми повернемося до нашого рівняння доходів.
\begin{align} \text{Revenue}&=pQ \\ \text{Revenue}&=p(−2,500p+159,000) \\ \text{Revenue}&=−2,500p^2+159,000p \end{align}
Тепер у нас є квадратична функція доходу як функція плати за підписку. Щоб знайти ціну, яка дозволить максимізувати дохід для газети, ми можемо знайти вершину.
\begin{align} h&=−\dfrac{159,000}{2(−2,500)} \\ &=31.8 \end{align}
Модель говорить нам, що максимальний дохід відбудеться, якщо газета стягне 31,80 долара за підписку. Щоб дізнатися, який максимальний дохід, оцінюємо функцію доходу.
\begin{align} \text{maximum revenue}&=−2,500(31.8)^2+159,000(31.8) \\ &=2,528,100 \end{align}
Аналіз
Це також може бути вирішено графіком квадратичного зображення, як на малюнку\PageIndex{12}. Максимальний дохід ми можемо побачити на графіку квадратичної функції.

Пошук x- та Y-перехоплень квадратичної функції
Так само, як ми робили в прикладних задачах вище, нам також потрібно знайти перехоплення квадратичних рівнянь для графічних парабол. Нагадаємо, що ми знаходимо y-перехоплення квадратичного шляхом оцінки функції на вході нуля, і знаходимо x-перехоплення в місцях, де вихід дорівнює нулю. Зверніть увагу на малюнку\PageIndex{13}, що кількість x-перехоплень може змінюватися залежно від місця розташування графіка.
Задано квадратичну функціюf(x), знайдіть y- та x-перехоплення.
- Оцінітьf(0), щоб знайти y-перехоплення.
- Розв'яжіть квадратне рівняння,f(x)=0 щоб знайти х-перехоплення.
Приклад\PageIndex{7}: Finding the y- and x-Intercepts of a Parabola
Знайдіть y- і x-перехоплення квадратичногоf(x)=3x^2+5x−2.
Рішення
Знаходимо y-перехоплення шляхом оцінкиf(0).
\begin{align} f(0)&=3(0)^2+5(0)−2 \\ &=−2 \end{align}
Таким чином, y-перехоплення знаходиться на(0,−2).
Для x-перехоплень знаходимо всі рішенняf(x)=0.
0=3x^2+5x−2
При цьому квадратичність може бути врахована легко, надаючи найпростіший спосіб вирішення.
0=(3x−1)(x+2)
\begin{align} 0&=3x−1 & 0&=x+2 \\ x&= \frac{1}{3} &\text{or} \;\;\;\;\;\;\;\; x&=−2 \end{align}
Таким чином, Х-перехоплення знаходяться в(\frac{1}{3},0) і(−2,0).
Аналіз
Графікуючи функцію, ми можемо підтвердити, що графік перетинаєy -вісь на(0,−2). Ми також можемо підтвердити, що графік перетинає вісь x в\Big(\frac{1}{3},0\Big) і(−2,0). Див\PageIndex{14}. Малюнок.

Рерайтинг квадратики в стандартному вигляді
У\PageIndex{7} прикладі квадратика легко вирішувалася факторингом. Однак є багато квадратиків, які не можуть бути враховані. Ми можемо вирішити ці квадратики, попередньо переписавши їх в стандартному вигляді.
Задано квадратичну функцію, знайдіть x-перехоплення шляхом перезапису в стандартному вигляді.
- Підставляємо а іb вh=−\frac{b}{2a}.
- x=hПідставляємо в загальну форму квадратичної функції, щоб знайтиk.
- Перепишіть квадратику в стандартному вигляді за допомогоюh іk.
- Вирішіть, коли вихід функції буде нульовим, щоб знайти x-перехоплення.
Приклад\PageIndex{8}: Finding the x-Intercepts of a Parabola
Знайдіть x-перехоплення квадратичної функціїf(x)=2x^2+4x−4.
Рішення
Починаємо з вирішення, коли на виході буде нуль.
0=2x^2+4x−4 \nonumber
Оскільки квадратичне не є легко факторинним у цьому випадку, ми вирішуємо для перехоплень, спочатку переписуючи квадратику в стандартному вигляді.
f(x)=a(x−h)^2+k\nonumber
Ми це знаємоa=2. Тоді вирішуємо заh іk.
\begin{align*} h&=−\dfrac{b}{2a} & k&=f(−1) \\ &=−\dfrac{4}{2(2)} & &=2(−1)^2+4(−1)−4 \\ &=−1 & &=−6 \end{align*}
Так що тепер ми можемо переписати в стандартному вигляді.
f(x)=2(x+1)^2−6\nonumber
Тепер ми можемо вирішити, коли на виході буде нуль.
\begin{align*} 0&=2(x+1)^2−6 \\ 6&=2(x+1)^2 \\ 3&=(x+1)^2 \\ x+1&={\pm}\sqrt{3} \\ x&=−1{\pm}\sqrt{3} \end{align*}
Графік має x-перехоплення в(−1−\sqrt{3},0) і(−1+\sqrt{3},0).
Аналіз
Ми можемо перевірити нашу роботу, намалювавши задану функцію на графічній утиліті та спостерігаючи за перехопленнями x. Див\PageIndex{15}. Малюнок.

Вправа\PageIndex{1}
У Try\PageIndex{1} It ми знайшли стандартну та загальну форму функціїg(x)=13+x^2−6x. Тепер знайдіть y- і x-перехоплення (якщо такі є).
- Відповідь
-
y-перехоплення at(0, 13), немає x-перехоплення
Приклад\PageIndex{9}: Solving a Quadratic Equation with the Quadratic Formula
Вирішитиx^2+x+2=0.
Рішення
Почнемо з написання квадратичної формули:x=\frac{−b{\pm}\sqrt{b^2−4ac}}{2a}.
При застосуванні квадратичної формули виділяємо коефіцієнтиa,b іc. Дляx^2+x+2=0 рівняння ми маємоa=1,b=1, іc=2. Підставляючи ці значення в формулу, ми маємо:
\begin{align*} x&=\dfrac{−b{\pm}\sqrt{b^2−4ac}}{2a} \\ &=\dfrac{−1{\pm}\sqrt{1^2−4⋅1⋅(2)}}{2⋅1} \\ &=\dfrac{−1{\pm}\sqrt{1−8}}{2} \\ &=\dfrac{−1{\pm}\sqrt{−7}}{2} \\ &=\dfrac{−1{\pm}i\sqrt{7}}{2} \end{align*}
Розв'язками рівняння єx=\frac{−1+i\sqrt{7}}{2} іx=\frac{−1-i\sqrt{7}}{2} абоx=−\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{7}}{2} іx=\frac{-1}{2}−\frac{i\sqrt{7}}{2}.
Приклад\PageIndex{10}: Applying the Vertex and x-Intercepts of a Parabola
М'яч кидається вгору з вершини 40 футів висотою будівлі зі швидкістю 80 футів в секунду. Висота кулі над землею може бути змодельована рівняннямH(t)=−16t^2+80t+40.
Коли м'яч досягає максимальної висоти?
Яка максимальна висота кулі?
Коли м'яч б'є об землю?
Куля досягає максимальної висоти у вершини параболи.
\begin{align} h &= −\dfrac{80}{2(−16)} \\ &=\dfrac{80}{32} \\ &=\dfrac{5}{2} \\ & =2.5 \end{align}
М'яч досягає максимальної висоти через 2,5 секунди.
Щоб знайти максимальну висоту, знайдіть y-координату вершини параболи.
\begin{align} k &=H(−\dfrac{b}{2a}) \\ &=H(2.5) \\ &=−16(2.5)^2+80(2.5)+40 \\ &=140 \end{align}
М'яч досягає максимальної висоти 140 футів.
Щоб знайти, коли м'яч вдариться об землю, нам потрібно визначити, коли висота дорівнює нулю,H(t)=0.
Використовуємо квадратичну формулу.
\begin{align} t & =\dfrac{−80±\sqrt{80^2−4(−16)(40)}}{2(−16)} \\ & = \dfrac{−80±\sqrt{8960}}{−32} \end{align}
Оскільки квадратний корінь не спрощує красиво, ми можемо скористатися калькулятором для наближення значень рішень.
t=\dfrac{−80-\sqrt{8960}}{−32} ≈5.458 \text{ or }t=\dfrac{−80+\sqrt{8960}}{−32} ≈−0.458
Друга відповідь знаходиться поза розумною сферою нашої моделі, тому ми робимо висновок, що м'яч вдарить об землю приблизно через 5.458 секунд. Див\PageIndex{16}. Малюнок.

\PageIndex{5}: Скеля кидається вгору з вершини 112-футової скелі з видом на океан зі швидкістю 96 футів в секунду. Висота скелі над океаном може бути змодельована рівняннямH(t)=−16t^2+96t+112.
- Коли скеля досягає максимальної висоти?
- Яка максимальна висота породи?
- Коли скеля потрапила в океан?
Рішення
a. 3 секунди б. 256 футів c. 7 секунд
Ключові рівняння
- загальна форма квадратичної функції:f(x)=ax^2+bx+c
- квадратична формула:x=\dfrac{−b{\pm}\sqrt{b^2−4ac}}{2a}
- стандартна форма квадратичної функції:f(x)=a(x−h)^2+k
Ключові поняття
- Поліноміальна функція другого ступеня називається квадратичною функцією.
- Графік квадратичної функції - парабола. Парабола - це U-подібна крива, яка може відкриватися або вгору, або вниз.
- Віссю симетрії є вертикальна лінія, що проходить через вершину. Нулі, або x-перехоплення, - це точки, в яких парабола перетинає вісь x. Y-перехоплення - це точка, в якій парабола перетинаєy вісь -.
- Квадратичні функції часто пишуться в загальному вигляді. Стандартна або вершинна форма корисна для легкого визначення вершини параболи. Будь-яка форма може бути записана з графіка.
- Вершину можна знайти з рівняння, що представляє квадратичну функцію.
- Область квадратичної функції - це всі дійсні числа. Діапазон варіюється в залежності від функції.
- Мінімальне або максимальне значення квадратичної функції задається значенням y вершини.
- Мінімальне або максимальне значення квадратичної функції може бути використано для визначення діапазону функції та для вирішення багатьох видів реальних проблем, включаючи проблеми, пов'язані з площею та доходами.
- Деякі квадратні рівняння повинні бути вирішені за допомогою квадратичної формули.
- Вершина та перехоплення можуть бути ідентифіковані та інтерпретовані для вирішення реальних проблем.
Глосарій
вісь симетрії
- вертикальна лінія, проведена через вершину параболи, навколо якої парабола симетрична; вона визначаєтьсяx=−\frac{b}{2a}.
загальна форма квадратичної функції функція
, яка описує параболу, записану у виглядіf(x)=ax^2+bx+c, деa,b, іc є дійсними числами і a0.
стандартна форма квадратичної функції
- функція, яка описує параболу, записану у виглядіf(x)=a(x−h)^2+k, де(h, k) знаходиться вершина.
вершина
- точка, в якій парабола змінює напрямок, що відповідає мінімальному або максимальному значенню квадратичної функції
вершинна форма квадратичної функції
інша назва стандартної форми квадратичної функції
нулі
в заданій функції, значенняx при якихy=0, також називаються корінням