1.2: Розв'язування рівнянь

У цьому розділі ми розглядаємо навички розв'язання рівнянь, які є передумовою успішного завершення матеріалу в цьому тексті. Перш ніж ми перерахуємо інструменти, які використовуються в процесі вирішення рівнянь, давайте переконаємося, що ми розуміємо, що мається на увазі під фразою «вирішити для x».

Вирішити для х.

Використовуючи властивості, які ми надаємо, ви повинні «ізолювати x», щоб ваше остаточне рішення набуло вигляду

\[\text{x = “Stuff, ”} \]

де «Stuff» може бути виразом, що містить числа, константи, інші змінні та математичні оператори, такі як додавання, віднімання, множення, ділення, квадратний корінь тощо.

«Stuff» може містити навіть інші математичні функції, такі як експоненціальні числа, логарифми або тригонометричні функції. Однак важливо, щоб ви розуміли, що є одна річ «Stuff» не повинна містити, і це змінна, яку ви вирішуєте, в даному випадку х, Отже, в певному сенсі, ви хочете ізолювати х на одній стороні рівняння, і поставити всі інші «Stuff» на іншій стороні рівняння.

Тепер давайте надамо інструменти, які допоможуть вам у вирішенні цього завдання.

Власність 1.

Нехай a і b є будь-якими числами, такими, що a = b. тоді, якщо c - будь-яке число,

\[a+c=b+c\]

і,

\[a-c=b-c\]

Словом, перший із цих інструментів дозволяє нам додавати однакову величину до обох сторін рівняння, не впливаючи на рівність. Друге твердження говорить нам, що ми можемо відняти однакову величину з обох сторін рівняння і все ще мати рівність.

Давайте розглянемо приклад.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вирішити рівняння\(x+5=7\) для\(x\).

Рішення

Мета полягає в тому, щоб «ізолювати х на одній стороні рівняння. З цією метою давайте віднімемо 5 з обох сторін рівняння, а потім спростимо.

\[\begin{aligned} x+5 &=7 \\ x+5-5 &=7-5 \\ x &=2 \end{aligned}\]

Важливо перевірити ваше рішення, показавши, що x = 2 «задовольняє» вихідне рівняння. З цією метою підставити x = 2 у вихідне рівняння та спростити обидві сторони результату.

\[\begin{aligned} x+5 &=7 \\ 2+5 &=7 \\ 7 &=7 \end{aligned}\]

Це останнє твердження (тобто 7 = 7) є істинним твердженням, тому х = 2 - це рішення рівняння х + 5 = 7.

Важливим поняттям є ідея рівнозначних рівнянь.

Еквівалентні рівняння.

Кажуть, що два рівняння еквівалентні тоді і лише тоді, коли вони мають однаковий набір розв'язків. Тобто два рівняння еквівалентні, якщо кожен з розв'язків першого рівняння також є розв'язком другого рівняння, і навпаки.

Таким чином, у\(\PageIndex{1}\) прикладі рівняння x+5 = 7 і x = 2 еквівалентні, оскільки обидва вони мають однаковий набір розв'язків {2}. Не випадково інструменти в Property 1 виробляють еквівалентні рівняння. Щоразу, коли ви додаєте однакову величину до обох сторін рівняння, отримане рівняння еквівалентно вихідному рівнянню (вони мають однаковий набір рішень). Це справедливо і для віднімання. Коли ви віднімаєте однакову величину з обох сторін рівняння, отримане рівняння має ті самі розв'язки, що і вихідне рівняння.

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Розв'яжіть рівняння x − 7 = 12 для x.

Рішення

Ми хочемо «ізолювати х» на одній стороні рівняння, тому ми додаємо 7 до обох сторін рівняння і спростити.

\[\begin{aligned} x-7 &=12 \\ x-7+7 &=12+7 \\ x &=19 \end{aligned}\]

Ми залишимо це нашим читачам, щоб перевірити, що x = 19 є розв'язком x − 7 = 12.

Давайте зупинимося на мить і визначимося, що мається на увазі під мономіалом.

Визначення 4

Мономіал - це алгебраїчний вираз, який є добутком числа і нульових або більше змінних, кожна з яких піднімається до деякого довільного показника.

Прикладами мономов є:

\[3 x^{2}, \quad \text { or } \quad-4 a b^{2}, \quad \text { or } \quad 25 x^{3} y^{5}, \quad \text { or } \quad 17, \quad \text { or } \quad-11 x\]

Мономи зазвичай називають «термінами». Ми часто використовуємо алгебраїчні вирази, які є сумою двох або більше термінів. Наприклад, вираз

\[3 x^{3}+2 x^{2}-7 x+8 \quad \text { or equivalently } \quad 3 x^{3}+2 x^{2}+(-7 x)+8\]

це сума чотирьох членів, а саме,\(3 x^{3}, 2 x^{2},-7 x, \text { and } 8\). Зверніть увагу, що терміни - це ті частини виразу, які розділені символами додавання.

Деякі математики вважають за краще використовувати слово «термін» в більш спокійній манері, просто заявляючи, що терміни алгебраїчного виразу - це ті складові виразу, які розділені символами додавання. Наприклад, терміни виразу

\[3 x^{2}-\frac{1}{x}+\frac{2 x^{2}}{x+3} \quad \text { or equivalenty } \quad 3 x^{2}+\left(-\frac{1}{x}\right)+\frac{2 x^{2}}{x+3}\]

є\(3 x^{2},-1 / x,\) і 2\(x^{2} /(x+3)\). Саме це значення ми і будемо використовувати в цьому тексті.

Зробивши визначення того, що мається на увазі під «терміном», повернемося до нашого обговорення рішення рівнянь.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Розв'яжіть рівняння 3x − 3 = 2x + 4 для x.

Рішення

Ми виділимо всі члени, що містять x на лівій стороні цього рівняння (ми могли б так само добре виділити члени, що містять x у правій частині рівняння). З цією метою ми не хочемо, щоб −3 було ліворуч від рівняння (ми хочемо, щоб воно було праворуч), тому ми додаємо 3 до обох сторін рівняння і спрощуємо.

\[\begin{aligned} 3 x-3 &=2 x+4 \\ 3 x-3+3 &=2 x+4+3 \\ 3 x &=2 x+7 \end{aligned}\]

Пам'ятайте, що ми вирішили ізолювати всі члени, що містять x, у лівій частині рівняння. Отже, для нашого наступного кроку ми вибираємо відняти 2x з обох сторін рівняння (це «перемістить» його справа вліво), а потім спростити.

\[\begin{aligned} 3 x &=2 x+7 \\ 3 x-2 x &=2 x+7-2 x \\ x &=7 \end{aligned}\]

Щоб перевірити рішення, підставляємо x = 7 у вихідне рівняння, щоб отримати

\[\begin{aligned} 3 x-3 &=2 x+4 \\ 3(7)-3 &=2(7)+4 \\ 21-3 &=14+4 \\ 18 &=18 \end{aligned}\]

Останній рядок є справжнім твердженням, тому x = 7 перевіряє і є розв'язком 3x − 3 = 2x + 4.

Якщо ви використовуєте техніку Приклад\(\PageIndex{3}\) неодноразово, настає момент, коли ви втомлюєтеся показувати додавання або віднімання однакової суми по обидва боки вашого рівняння. Ось такий інструмент, який при акуратному використанні значно спростить вам роботу.

Корисне клавіатурне скорочення

Коли ви переміщуєте член з однієї сторони рівняння на іншу, тобто, коли ви переміщуєте член з однієї сторони знака рівності на іншу сторону, просто змініть його знак.

Давайте подивимося, як ми б застосувати цей ярлик до рівняння Приклад\(\PageIndex{3}\). Почніть з вихідного рівняння,

\[3 x-3=2 x+4\]

потім перемістіть всі члени, що містять x, до лівої частини рівняння, і перемістіть всі інші члени до правої частини рівняння. Не забудьте змінити знак терміна, якщо він рухається з одного боку знака рівності на іншу. Якщо член не рухається з однієї сторони рівняння в іншу, залиште його знак в спокої. Результат був би

\[3 x-2 x=4+3\]

Таким чином, х = 7 і ви закінчили.

Важливо зазначити, що коли ми переміщаємо −3 з лівого боку вищевказаного рівняння до правої частини рівняння та змінюємо його знак, ми насправді додаємо 3 до обох сторін рівняння. Подібне твердження пояснює, що переміщення 2x з правого боку в ліву сторону і зміна його знака - це просто ярлик для віднімання 2x з обох сторін рівняння.

Ось ще два корисних інструменту для розв'язання рівнянь.

Нерухомість 6

Нехай a і b будь-які числа такі, що a = b. тоді, якщо c - будь-яке число, відмінне від нуля,

\[ac = bc\]

Якщо c - будь-яке число, відмінне від нуля, то

\[\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\]

Словом, перший з цих інструментів дозволяє нам помножити обидві сторони рівняння на одне і те ж число. Аналогічне твердження тримає і для ділення, за умови, що ми не ділимо на нуль (ділення на нуль безглуздо). Обидва ці інструменти виробляють еквівалентні рівняння.

Давайте розглянемо приклад.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Розв'яжіть рівняння 5х = 15 для х.

Рішення

При цьому тільки один член містить змінну x і цей член вже ізольований з одного боку рівняння. Ми розділимо обидві сторони цього рівняння на 5, потім спростимо, отримавши

\[\begin{aligned} 5 x &=15 \\ \frac{5 x}{5} &=\frac{15}{5} \\ x &=3 \end{aligned}\]

Ми залишимо це нашим читачам, щоб перевірити це рішення.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Розв'яжіть рівняння x/2 = 7 для х

Рішення

Знову ж таки, існує лише один член, який містить x, і він вже ізольований на одній стороні рівняння. Обидві сторони рівняння помножимо на 2, потім спростимо, отримавши

\[\begin{aligned} \frac{x}{2} &=7 \\ 2\left(\frac{x}{2}\right) &=2(7) \\ x &=14 \end{aligned}\]

Знову ж таки, ми залишимо це нашим читачам, щоб перевірити це рішення.

Давайте застосуємо все, що ми дізналися в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Розв'яжіть рівняння 7x − 4 = 5 − 3x для x.

Рішення

Зауважте, що у нас є терміни, що містять x по обидва боки рівняння. Таким чином, першим кроком є виділення членів, що містять x на одній стороні рівняння (зліва або справа, на ваш вибір) .3 Ми перемістимо члени, що містять х, в ліву частину рівняння, все інше буде переміщено в праву частину рівняння. Запам'ятайте правило, якщо термін рухається з одного боку знака рівності на іншу, змініть знак терміна, який ви рухаєте. Таким чином,

\[\begin{aligned} 7 x-4 &=5-3 x \\ 7 x+3 x &=5+4 \end{aligned}\]

Спростити

\[10 x=9\]

Розділіть обидві сторони цього останнього результату на 10.

\[\begin{aligned} 10 x &=9 \\ \frac{10 x}{10} &=\frac{9}{10} \\ x &=\frac{9}{10} \end{aligned}\]

Щоб перевірити це рішення, підставити x = 9/10 в обидві сторони вихідного рівняння і спростити.

\[\begin{aligned} 7 x-4 &=5-3 x \\ 7\left(\frac{9}{10}\right)-4 &=5-3\left(\frac{9}{10}\right) \\ \frac{63}{10}-4 &=5-\frac{27}{10} \end{aligned}\]

Нам знадобиться спільний знаменник, щоб переконатися, що наше рішення правильне. Тобто,

\[\begin{aligned} \frac{63}{10}-\frac{40}{10} &=\frac{50}{10}-\frac{27}{10} \\ \frac{23}{10} &=\frac{23}{10} \end{aligned}\]

Таким чином, x = 9/10 перевіряє і є розв'язком 7x − 4 = 5 − 3x.

Зверніть увагу, що перевірка іноді може бути складніше, ніж рішення рівняння. Це одна з причин того, що ми схильні лінуватися і не перевіряти свої рішення. Однак нам не потрібно говорити вам, що, ймовірно, станеться, якщо ви не перевіряєте свою роботу.

Існує обхідний шлях, який передбачає використання графічного калькулятора. Ми спочатку зберігаємо рішення для x в нашому калькуляторі, потім обчислюємо кожну сторону вихідного рівняння і порівняємо результати.

1. Введіть 9/10 у вікні калькулятора, а потім

2. натискаємо\(\blacktriangleright\) клавішу STO, потім

3. натисніть клавішу X, а потім клавішу ENTER.

Результат показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\) (а).

Тепер, коли ми зберегли x = 9/10 у пам'яті калькулятора, давайте оцінюємо кожну сторону рівняння 7x − 4 = 5 − 3x за цим значенням x. Введіть 7* X-4 у вашому калькуляторі та натисніть ENTER. Результат показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\) (b), де ми бачимо, що 7x − 4, оцінений при x = 9/10, дорівнює 2,3.

Далі вводимо 5-3*X і натискаємо ENTER. Результат показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\) (c), де ми бачимо, що 5 − 3x, оцінений при x = 9/10, також дорівнює 2,3 (до речі, це еквівалентно 23/10, який ми знайшли в нашій ручній перевірці вище).

Оскільки вирази на кожній стороні рівняння рівні, коли x = 9/10 (обидва рівні 2.3), рішення перевіряє.

Рисунок\(\PageIndex{1}\) Перевірка розв'язку 7x − 4 = 5 − 3x за допомогою графічного калькулятора.

Якщо вам потрібно вирішити рівняння, що містить дроби, одна дуже корисна стратегія - очистити рівняння дробів шляхом множення обох сторін рівняння на найменш спільний знаменник.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Розв'яжіть рівняння\[\frac{2}{3} x-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}-\frac{3}{2} x\] для x.

Рішення

Найменш спільний знаменник дорівнює 12, тому ми помножимо обидві сторони цього рівняння на 12.

\[12\left(\frac{2}{3} x-\frac{3}{4}\right)=12\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2} x\right)\]

Розподіліть 12 і спростіть.

\[\begin{aligned} 12\left(\frac{2}{3} x\right)-12\left(\frac{3}{4}\right) &=12\left(\frac{1}{4}\right)-12\left(\frac{3}{2} x\right) \\ 8 x-9 &=3-18 x \end{aligned}\]

Перемістіть всі члени, що містять x, в ліву частину рівняння, все інше вправо, а потім спростіть.

\[\begin{aligned} 8 x+18 x &=3+9 \\ 26 x &=12 \end{aligned}\]

Розділіть обидві сторони цього останнього результату на 26 і спростіть (завжди зменшуйте до найнижчих — у цьому випадку ми можемо розділити і чисельник, і знаменник на 2).

\[\begin{aligned} \frac{26 x}{26} &=\frac{12}{26} \\ x &=\frac{6}{13} \end{aligned}\]

Ми залишаємо це нашим читачам перевірити це рішення. Використовуйте свій графічний калькулятор, як показано в прикладі\(\PageIndex{6}\).

Ви можете очистити десяткові числа з рівняння, помноживши на відповідну ступінь 10.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Розв'яжіть рівняння 1.23x − 5.46 = 3.72x для х.

Рішення

Давайте помножимо обидві сторони цього рівняння на 100, що переміщує десяткові два розряди вправо, чого достатньо для очищення десяткових знаків від цієї задачі.

\[100(1.23 x-5.46)=100(3.72 x)\]

Розподілити і спростити.

\[\begin{aligned} 100(1.23 x)-100(5.46) &=100(3.72 x) \\ 123 x-546 &=372 x \end{aligned}\]

Перемістіть кожен член, що містить x, до правої частини рівняння (перший раз, коли ми вирішили це зробити - це дозволяє уникнути негативного знака в коефіцієнті x) і спростити.

\[\begin{array}{l}{-546=372 x-123 x} \\ {-546=249 x}\end{array}\]

Розділити обидві сторони рівняння на 249 і спростити (в цьому випадку ми можемо зменшити, розділивши чисельник і знаменник на 3).

\[\begin{array}{l}{\frac{-546}{249}=\frac{249 x}{249}} \\ {-\frac{182}{83}=x}\end{array}\]

Перепишіть свою відповідь, розмістивши x в лівій частині рівняння.

\[x=-\frac{182}{83}\]

Перевірте результат за допомогою калькулятора. Важливо бути впевненим, що ви завжди використовуєте оригінальну проблему, коли перевіряєте свій результат. Етапи показані на малюнку\(\PageIndex{2}\) (a), (b) та (c).

Малюнок\(\PageIndex{2}\). Перевірка того, що x = −182/83 є розв'язком 1.23x − 5.46 = 3.72x.

Формули

Наука наповнена формулами, які включають в себе більше однієї змінної і ряд констант. У хімії та фізиці інструктор буде очікувати, що ви зможете маніпулювати цими рівняннями, вирішуючи для однієї змінної або постійної з точки зору інших в рівнянні.

Немає нічого нового, щоб сказати тут, як ви повинні слідувати тим же правилам, які ми дали до цього часу, коли єдина змінна була х, проте, студенти зазвичай знаходять ці трохи лякає через наявність декількох змінних і констант, так що давайте не поспішаємо і пройдемо через пару прикладів.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Ісааку Ньютону приписують формулу, яка визначає величину F сили тяжіння між двома планетами. Формула така

\[F=\frac{G m M}{r^{2}}\]

де m - маса меншої планети, M - маса більшої планети, r - відстань між двома планетами, а G - універсальна гравітаційна константа. Розв'яжіть це рівняння для G.

Рішення

По-перше, слово обережності.

Попередження: При використанні формул науки ніколи не змінюйте регістр змінної або константи. Якщо він у верхньому регістрі, запишіть його у верхньому регістрі на домашній роботі. Ця ж директива застосовується, якщо змінна або константа представлені малими літерами. Напишіть його малими літерами на домашнє завдання.

Це рівняння має в ньому дроби, тому почнемо з множення обох сторін рівняння на загальний знаменник, який в даному випадку є\(r^2\).

\[r^{2}(F)=r^{2}\left(\frac{G m M}{r^{2}}\right)\]

Це дає нам

\[r^{2} F=G m M\]

У цьому випадку існує лише один член з G, і цей член вже ізольований на одній стороні рівняння. Наступний крок - розділити обидві сторони рівняння на коефіцієнт G, потім спростити

\[\begin{aligned} \frac{r^{2} F}{m M} &=\frac{G m M}{m M} \\ \frac{r^{2} F}{m M} &=G \end{aligned}\]

Отже,

\[G=\frac{r^{2} F}{m M}\]

Зауважте, що у нас є G = «Stuff», і найголовніше, «Stuff» не має жодного входження змінної G. Це те, що означає «вирішити для G.»

Давайте розглянемо остаточний приклад.

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Вода замерзає при\(0^{\circ}\) Цельсії і кипить при\(100^{\circ}\) Цельсії. Американці, напевно, більше знайомі з температурою Фаренгейта, де вода замерзає за\(32^{\circ}\) Фаренгейтом і кипить при\(212^{\circ}\) Фаренгейті. Формула перетворення температури Цельсія C в температуру Фаренгейта F становить

\[F=\frac{9}{5} C+32 \nonumber \]

Розв'яжіть це рівняння для C.

Рішення

Знову ж таки, рівняння має в ньому дроби, тому нашим першим кроком буде усунення дробів шляхом множення обох сторін рівняння на загальний знаменник (в даному випадку 5).

\[\begin{aligned} 5 F &=5\left(\frac{9}{5} C+32\right) \\ 5 F &=5\left(\frac{9}{5} C\right)+5(32) \\ 5 F &=9 C+160 \end{aligned}\]

Ми вирішуємо для C, так що перемістити всі терміни, що містять C в одну сторону рівняння, і всі інші члени на іншу сторону рівняння.

\[5 F-160=9 C\]

Розділіть обидві сторони цього останнього рівняння на 9.

\[\begin{aligned} \frac{5 F-160}{9} &=\frac{9 C}{9} \\ \frac{5 F-160}{9} &=C \end{aligned}\]

Таким чином,

\[C=\frac{5 F-160}{9}\]

Зверніть увагу, що у нас є C = «Stuff», і найголовніше, «Stuff» не має жодного входження змінної C.

Після того, як ви вирішите формулу з науки для певної змінної, ви можете використовувати результат для перетворення або прогнозів.

Приклад\(\PageIndex{11}\)

У\(\PageIndex{10}\) прикладі співвідношення між температурами Фаренгейта та Цельсія дається результатом

\[C=\frac{5 F-160}{9}\]

Над берегом в Евриці, штат Каліфорнія, знак проголошує, що температура за Фаренгейтом є\(40^{\circ} F\). Яка температура за Цельсієм?

Рішення

Замініть температуру Фаренгейта у формулу (16). Тобто підставляємо F = 40.

\[C=\frac{5 F-160}{9}=\frac{5(40)-160}{9}=\frac{40}{9} \approx 4.44\]

Значить, температура за Цельсієм приблизно\(4.44^{\circ} \mathrm{C}\). Зверніть увагу, що ви завжди повинні включати одиниці з остаточною відповіддю.