Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.2: Розв'язування рівнянь

У цьому розділі ми розглядаємо навички розв'язання рівнянь, які є передумовою успішного завершення матеріалу в цьому тексті. Перш ніж ми перерахуємо інструменти, які використовуються в процесі вирішення рівнянь, давайте переконаємося, що ми розуміємо, що мається на увазі під фразою «вирішити для x».

Вирішити для х.

Використовуючи властивості, які ми надаємо, ви повинні «ізолювати x», щоб ваше остаточне рішення набуло вигляду

x = “Stuff, ”

де «Stuff» може бути виразом, що містить числа, константи, інші змінні та математичні оператори, такі як додавання, віднімання, множення, ділення, квадратний корінь тощо.

«Stuff» може містити навіть інші математичні функції, такі як експоненціальні числа, логарифми або тригонометричні функції. Однак важливо, щоб ви розуміли, що є одна річ «Stuff» не повинна містити, і це змінна, яку ви вирішуєте, в даному випадку х, Отже, в певному сенсі, ви хочете ізолювати х на одній стороні рівняння, і поставити всі інші «Stuff» на іншій стороні рівняння.

Тепер давайте надамо інструменти, які допоможуть вам у вирішенні цього завдання.

Власність 1.

Нехай a і b є будь-якими числами, такими, що a = b. тоді, якщо c - будь-яке число,

a+c=b+c

і,

ac=bc

Словом, перший із цих інструментів дозволяє нам додавати однакову величину до обох сторін рівняння, не впливаючи на рівність. Друге твердження говорить нам, що ми можемо відняти однакову величину з обох сторін рівняння і все ще мати рівність.

Давайте розглянемо приклад.

Приклад1.2.1

Вирішити рівнянняx+5=7 дляx.

Рішення

Мета полягає в тому, щоб «ізолювати х на одній стороні рівняння. З цією метою давайте віднімемо 5 з обох сторін рівняння, а потім спростимо.

x+5=7x+55=75x=2

Важливо перевірити ваше рішення, показавши, що x = 2 «задовольняє» вихідне рівняння. З цією метою підставити x = 2 у вихідне рівняння та спростити обидві сторони результату.

x+5=72+5=77=7

Це останнє твердження (тобто 7 = 7) є істинним твердженням, тому х = 2 - це рішення рівняння х + 5 = 7.

Важливим поняттям є ідея рівнозначних рівнянь.

Еквівалентні рівняння.

Кажуть, що два рівняння еквівалентні тоді і лише тоді, коли вони мають однаковий набір розв'язків. Тобто два рівняння еквівалентні, якщо кожен з розв'язків першого рівняння також є розв'язком другого рівняння, і навпаки.

Таким чином, у1.2.1 прикладі рівняння x+5 = 7 і x = 2 еквівалентні, оскільки обидва вони мають однаковий набір розв'язків {2}. Не випадково інструменти в Property 1 виробляють еквівалентні рівняння. Щоразу, коли ви додаєте однакову величину до обох сторін рівняння, отримане рівняння еквівалентно вихідному рівнянню (вони мають однаковий набір рішень). Це справедливо і для віднімання. Коли ви віднімаєте однакову величину з обох сторін рівняння, отримане рівняння має ті самі розв'язки, що і вихідне рівняння.

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад1.2.2

Розв'яжіть рівняння x − 7 = 12 для x.

Рішення

Ми хочемо «ізолювати х» на одній стороні рівняння, тому ми додаємо 7 до обох сторін рівняння і спростити.

x7=12x7+7=12+7x=19

Ми залишимо це нашим читачам, щоб перевірити, що x = 19 є розв'язком x − 7 = 12.

Давайте зупинимося на мить і визначимося, що мається на увазі під мономіалом.

Визначення 4

Мономіал - це алгебраїчний вираз, який є добутком числа і нульових або більше змінних, кожна з яких піднімається до деякого довільного показника.

Прикладами мономов є:

3x2, or 4ab2, or 25x3y5, or 17, or 11x

Мономи зазвичай називають «термінами». Ми часто використовуємо алгебраїчні вирази, які є сумою двох або більше термінів. Наприклад, вираз

3x3+2x27x+8 or equivalently 3x3+2x2+(7x)+8

це сума чотирьох членів, а саме,3x3,2x2,7x, and 8. Зверніть увагу, що терміни - це ті частини виразу, які розділені символами додавання.

Деякі математики вважають за краще використовувати слово «термін» в більш спокійній манері, просто заявляючи, що терміни алгебраїчного виразу - це ті складові виразу, які розділені символами додавання. Наприклад, терміни виразу

3x21x+2x2x+3 or equivalenty 3x2+(1x)+2x2x+3

є3x2,1/x, і 2x2/(x+3). Саме це значення ми і будемо використовувати в цьому тексті.

Зробивши визначення того, що мається на увазі під «терміном», повернемося до нашого обговорення рішення рівнянь.

Приклад1.2.3

Розв'яжіть рівняння 3x − 3 = 2x + 4 для x.

Рішення

Ми виділимо всі члени, що містять x на лівій стороні цього рівняння (ми могли б так само добре виділити члени, що містять x у правій частині рівняння). З цією метою ми не хочемо, щоб −3 було ліворуч від рівняння (ми хочемо, щоб воно було праворуч), тому ми додаємо 3 до обох сторін рівняння і спрощуємо.

3x3=2x+43x3+3=2x+4+33x=2x+7

Пам'ятайте, що ми вирішили ізолювати всі члени, що містять x, у лівій частині рівняння. Отже, для нашого наступного кроку ми вибираємо відняти 2x з обох сторін рівняння (це «перемістить» його справа вліво), а потім спростити.

3x=2x+73x2x=2x+72xx=7

Щоб перевірити рішення, підставляємо x = 7 у вихідне рівняння, щоб отримати

3x3=2x+43(7)3=2(7)+4213=14+418=18

Останній рядок є справжнім твердженням, тому x = 7 перевіряє і є розв'язком 3x − 3 = 2x + 4.

Якщо ви використовуєте техніку Приклад1.2.3 неодноразово, настає момент, коли ви втомлюєтеся показувати додавання або віднімання однакової суми по обидва боки вашого рівняння. Ось такий інструмент, який при акуратному використанні значно спростить вам роботу.

Корисне клавіатурне скорочення

Коли ви переміщуєте член з однієї сторони рівняння на іншу, тобто, коли ви переміщуєте член з однієї сторони знака рівності на іншу сторону, просто змініть його знак.

Давайте подивимося, як ми б застосувати цей ярлик до рівняння Приклад1.2.3. Почніть з вихідного рівняння,

3x3=2x+4

потім перемістіть всі члени, що містять x, до лівої частини рівняння, і перемістіть всі інші члени до правої частини рівняння. Не забудьте змінити знак терміна, якщо він рухається з одного боку знака рівності на іншу. Якщо член не рухається з однієї сторони рівняння в іншу, залиште його знак в спокої. Результат був би

3x2x=4+3

Таким чином, х = 7 і ви закінчили.

Важливо зазначити, що коли ми переміщаємо −3 з лівого боку вищевказаного рівняння до правої частини рівняння та змінюємо його знак, ми насправді додаємо 3 до обох сторін рівняння. Подібне твердження пояснює, що переміщення 2x з правого боку в ліву сторону і зміна його знака - це просто ярлик для віднімання 2x з обох сторін рівняння.

Ось ще два корисних інструменту для розв'язання рівнянь.

Нерухомість 6

Нехай a і b будь-які числа такі, що a = b. тоді, якщо c - будь-яке число, відмінне від нуля,

ac=bc

Якщо c - будь-яке число, відмінне від нуля, то

ac=bc

Словом, перший з цих інструментів дозволяє нам помножити обидві сторони рівняння на одне і те ж число. Аналогічне твердження тримає і для ділення, за умови, що ми не ділимо на нуль (ділення на нуль безглуздо). Обидва ці інструменти виробляють еквівалентні рівняння.

Давайте розглянемо приклад.

Приклад1.2.4

Розв'яжіть рівняння 5х = 15 для х.

Рішення

При цьому тільки один член містить змінну x і цей член вже ізольований з одного боку рівняння. Ми розділимо обидві сторони цього рівняння на 5, потім спростимо, отримавши

5x=155x5=155x=3

Ми залишимо це нашим читачам, щоб перевірити це рішення.

Приклад1.2.5

Розв'яжіть рівняння x/2 = 7 для х

Рішення

Знову ж таки, існує лише один член, який містить x, і він вже ізольований на одній стороні рівняння. Обидві сторони рівняння помножимо на 2, потім спростимо, отримавши

x2=72(x2)=2(7)x=14

Знову ж таки, ми залишимо це нашим читачам, щоб перевірити це рішення.

Давайте застосуємо все, що ми дізналися в наступному прикладі.

Приклад1.2.6

Розв'яжіть рівняння 7x − 4 = 5 − 3x для x.

Рішення

Зауважте, що у нас є терміни, що містять x по обидва боки рівняння. Таким чином, першим кроком є виділення членів, що містять x на одній стороні рівняння (зліва або справа, на ваш вибір) .3 Ми перемістимо члени, що містять х, в ліву частину рівняння, все інше буде переміщено в праву частину рівняння. Запам'ятайте правило, якщо термін рухається з одного боку знака рівності на іншу, змініть знак терміна, який ви рухаєте. Таким чином,

7x4=53x7x+3x=5+4

Спростити

10x=9

Розділіть обидві сторони цього останнього результату на 10.

10x=910x10=910x=910

Щоб перевірити це рішення, підставити x = 9/10 в обидві сторони вихідного рівняння і спростити.

7x4=53x7(910)4=53(910)63104=52710

Нам знадобиться спільний знаменник, щоб переконатися, що наше рішення правильне. Тобто,

63104010=501027102310=2310

Таким чином, x = 9/10 перевіряє і є розв'язком 7x − 4 = 5 − 3x.

Зверніть увагу, що перевірка іноді може бути складніше, ніж рішення рівняння. Це одна з причин того, що ми схильні лінуватися і не перевіряти свої рішення. Однак нам не потрібно говорити вам, що, ймовірно, станеться, якщо ви не перевіряєте свою роботу.

Існує обхідний шлях, який передбачає використання графічного калькулятора. Ми спочатку зберігаємо рішення для x в нашому калькуляторі, потім обчислюємо кожну сторону вихідного рівняння і порівняємо результати.

1. Введіть 9/10 у вікні калькулятора, а потім

2. натискаємо клавішу STO, потім

3. натисніть клавішу X, а потім клавішу ENTER.

Результат показаний на малюнку1.2.1 (а).

Тепер, коли ми зберегли x = 9/10 у пам'яті калькулятора, давайте оцінюємо кожну сторону рівняння 7x − 4 = 5 − 3x за цим значенням x. Введіть 7* X-4 у вашому калькуляторі та натисніть ENTER. Результат показаний на малюнку1.2.1 (b), де ми бачимо, що 7x − 4, оцінений при x = 9/10, дорівнює 2,3.

Далі вводимо 5-3*X і натискаємо ENTER. Результат показаний на малюнку1.2.1 (c), де ми бачимо, що 5 − 3x, оцінений при x = 9/10, також дорівнює 2,3 (до речі, це еквівалентно 23/10, який ми знайшли в нашій ручній перевірці вище).

Оскільки вирази на кожній стороні рівняння рівні, коли x = 9/10 (обидва рівні 2.3), рішення перевіряє.

F1.png

Рисунок1.2.1 Перевірка розв'язку 7x − 4 = 5 − 3x за допомогою графічного калькулятора.

Якщо вам потрібно вирішити рівняння, що містить дроби, одна дуже корисна стратегія - очистити рівняння дробів шляхом множення обох сторін рівняння на найменш спільний знаменник.

Приклад1.2.7

Розв'яжіть рівняння23x34=1432x для x.

Рішення

Найменш спільний знаменник дорівнює 12, тому ми помножимо обидві сторони цього рівняння на 12.

12(23x34)=12(1432x)

Розподіліть 12 і спростіть.

12(23x)12(34)=12(14)12(32x)8x9=318x

Перемістіть всі члени, що містять x, в ліву частину рівняння, все інше вправо, а потім спростіть.

8x+18x=3+926x=12

Розділіть обидві сторони цього останнього результату на 26 і спростіть (завжди зменшуйте до найнижчих — у цьому випадку ми можемо розділити і чисельник, і знаменник на 2).

26x26=1226x=613

Ми залишаємо це нашим читачам перевірити це рішення. Використовуйте свій графічний калькулятор, як показано в прикладі1.2.6.

Ви можете очистити десяткові числа з рівняння, помноживши на відповідну ступінь 10.

Приклад1.2.8

Розв'яжіть рівняння 1.23x − 5.46 = 3.72x для х.

Рішення

Давайте помножимо обидві сторони цього рівняння на 100, що переміщує десяткові два розряди вправо, чого достатньо для очищення десяткових знаків від цієї задачі.

100(1.23x5.46)=100(3.72x)

Розподілити і спростити.

100(1.23x)100(5.46)=100(3.72x)123x546=372x

Перемістіть кожен член, що містить x, до правої частини рівняння (перший раз, коли ми вирішили це зробити - це дозволяє уникнути негативного знака в коефіцієнті x) і спростити.

546=372x123x546=249x

Розділити обидві сторони рівняння на 249 і спростити (в цьому випадку ми можемо зменшити, розділивши чисельник і знаменник на 3).

546249=249x24918283=x

Перепишіть свою відповідь, розмістивши x в лівій частині рівняння.

x=18283

Перевірте результат за допомогою калькулятора. Важливо бути впевненим, що ви завжди використовуєте оригінальну проблему, коли перевіряєте свій результат. Етапи показані на малюнку1.2.2 (a), (b) та (c).

F2.png

Малюнок1.2.2. Перевірка того, що x = −182/83 є розв'язком 1.23x − 5.46 = 3.72x.

Формули

Наука наповнена формулами, які включають в себе більше однієї змінної і ряд констант. У хімії та фізиці інструктор буде очікувати, що ви зможете маніпулювати цими рівняннями, вирішуючи для однієї змінної або постійної з точки зору інших в рівнянні.

Немає нічого нового, щоб сказати тут, як ви повинні слідувати тим же правилам, які ми дали до цього часу, коли єдина змінна була х, проте, студенти зазвичай знаходять ці трохи лякає через наявність декількох змінних і констант, так що давайте не поспішаємо і пройдемо через пару прикладів.

Приклад1.2.9

Ісааку Ньютону приписують формулу, яка визначає величину F сили тяжіння між двома планетами. Формула така

F=GmMr2

де m - маса меншої планети, M - маса більшої планети, r - відстань між двома планетами, а G - універсальна гравітаційна константа. Розв'яжіть це рівняння для G.

Рішення

По-перше, слово обережності.

Попередження: При використанні формул науки ніколи не змінюйте регістр змінної або константи. Якщо він у верхньому регістрі, запишіть його у верхньому регістрі на домашній роботі. Ця ж директива застосовується, якщо змінна або константа представлені малими літерами. Напишіть його малими літерами на домашнє завдання.

Це рівняння має в ньому дроби, тому почнемо з множення обох сторін рівняння на загальний знаменник, який в даному випадку єr2.

r2(F)=r2(GmMr2)

Це дає нам

r2F=GmM

У цьому випадку існує лише один член з G, і цей член вже ізольований на одній стороні рівняння. Наступний крок - розділити обидві сторони рівняння на коефіцієнт G, потім спростити

r2FmM=GmMmMr2FmM=G

Отже,

G=r2FmM

Зауважте, що у нас є G = «Stuff», і найголовніше, «Stuff» не має жодного входження змінної G. Це те, що означає «вирішити для G.»

Давайте розглянемо остаточний приклад.

Приклад1.2.10

Вода замерзає при0 Цельсії і кипить при100 Цельсії. Американці, напевно, більше знайомі з температурою Фаренгейта, де вода замерзає за32 Фаренгейтом і кипить при212 Фаренгейті. Формула перетворення температури Цельсія C в температуру Фаренгейта F становить

F=95C+32

Розв'яжіть це рівняння для C.

Рішення

Знову ж таки, рівняння має в ньому дроби, тому нашим першим кроком буде усунення дробів шляхом множення обох сторін рівняння на загальний знаменник (в даному випадку 5).

5F=5(95C+32)5F=5(95C)+5(32)5F=9C+160

Ми вирішуємо для C, так що перемістити всі терміни, що містять C в одну сторону рівняння, і всі інші члени на іншу сторону рівняння.

5F160=9C

Розділіть обидві сторони цього останнього рівняння на 9.

5F1609=9C95F1609=C

Таким чином,

C=5F1609

Зверніть увагу, що у нас є C = «Stuff», і найголовніше, «Stuff» не має жодного входження змінної C.

Після того, як ви вирішите формулу з науки для певної змінної, ви можете використовувати результат для перетворення або прогнозів.

Приклад1.2.11

У1.2.10 прикладі співвідношення між температурами Фаренгейта та Цельсія дається результатом

C=5F1609

Над берегом в Евриці, штат Каліфорнія, знак проголошує, що температура за Фаренгейтом є40F. Яка температура за Цельсієм?

Рішення

Замініть температуру Фаренгейта у формулу (16). Тобто підставляємо F = 40.

C=5F1609=5(40)1609=4094.44

Значить, температура за Цельсієм приблизно4.44C. Зверніть увагу, що ви завжди повинні включати одиниці з остаточною відповіддю.

 

 

 

  • Was this article helpful?