1.4: Складні нерівності

У цьому розділі розглядається методика, яка використовується для вирішення складних нерівностей, яка є фразою, яка зазвичай посилається на пару нерівностей, пов'язаних або словом «і», або словом «або». Перш ніж ми почнемо з просунутої роботи по вирішенню цих нерівностей, давайте спочатку проведемо слово або два (для цілей огляду), обговорюючи рішення простих лінійних нерівностей.

Прості лінійні нерівності

Як і при розв'язанні рівнянь, ви можете додавати або віднімати однакову величину з обох сторін нерівності.

Нерухомість$\PageIndex{1}$

$b$Дозволяти$a$ і бути дійсними числами с$a<b$. Якщо$c$ будь-яке дійсне число, то

$$a+c<b+c$$

і

$$a-c<b-c$$

Ця утиліта однаково діє, якщо ви замінюєте символ «менше ніж» на$>, \leq$ або$\geq$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішити нерівність$x + 3 < 8$ для$x.$

Рішення

Відніміть$3$ з обох сторін нерівність і спростіть.

$$\begin{align*} x+3 &<8 \\ x+3-3 &<8-3 \\ x &<5 \end{align*}$$

Таким чином, всі дійсні числа менше, ніж$5$ є розв'язками нерівності. Традиційно накидати розв'язку множини нерівностей на числовій лінії.

Ми можемо описати набір рішень за допомогою set-builder та інтервальних позначень. Рішення є

$$(-\infty, 5)=\{x : x<5\}\nonumber$$

Важливим поняттям є ідея рівнозначних нерівностей.

Еквівалентні нерівності.

Дві нерівності, як кажуть, еквівалентні тоді і лише тоді, коли вони мають однаковий набір рішень.

Зауважимо, що це визначення схоже з визначенням еквівалентних рівнянь. Тобто дві нерівності рівнозначні, якщо всі розв'язки першої нерівності також є розв'язками другої нерівності, і навпаки.

Таким чином, у$\PageIndex{1}$ прикладі віднімання трьох з обох сторін початкової нерівності призвело до еквівалентної нерівності. Тобто нерівності$x+3 < 8$ і$x < 5$ мають однаковий розв'язок множини, а саме всі дійсні числа, які менше 5. Не випадково інструменти у власності$\PageIndex{1}$ виробляють еквівалентні нерівності. Всякий раз, коли ви додаєте або віднімаєте однакову суму з обох сторін нерівності, отримана нерівність еквівалентна оригіналу (вони мають однаковий набір рішень).

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити нерівність$x-5 \geq 4$ для$x.$

Рішення

Додайте 5 до обох сторін нерівності і спростіть.

$$\begin{align*} x-5 & \geq 4 \\ x-5+5 & \geq 4+5 \\ x & \geq 9 \end{align*}$$

Розтушовуйте розчин на цифровій лінії.

У конструкторі наборів та інтервальних позначеннях рішення є

$$[9, \infty)=\{x : x \geq 9\} \nonumber$$

Ви також можете помножити або розділити обидві сторони на одне і те ж позитивне число.

Нерухомість$\PageIndex{2}$

$b$Дозволяти$a$ і бути дійсними числами с$a<b$. Якщо$c$ є дійсним додатним числом, то

$$a c<b c$$

і

$$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$$

Знову ж таки, ця утиліта однаково дійсна$>, \leq, \text{or} \geq.$, якщо ви замінюєте символ «менше ніж» Інструменти у властивості 4 завжди створюють еквівалентні нерівності.

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити нерівність$3x \leq −18$ для$x.$

Рішення

Розділіть обидві сторони нерівності на$3$ і спростіть.

$$\begin{align*} 3 x & \leq-18 \\ \frac{3 x}{3} & \leq \frac{-18}{3} \\ x & \leq-6 \end{align*}$$

Намалюйте рішення на числовій лінії.

У конструкторі наборів та інтервальних позначеннях рішення є

$$(-\infty,-6]=\{x : x \leq-6\} \nonumber$$

До цих пір, здавалося б, немає різниці між технікою, яка використовується для розв'язання нерівностей, і технікою, яка використовується для вирішення рівнянь. Однак є один важливий виняток. Розглянемо на мить справжнє твердження

$$-2<6 \label{eq6}$$

Якщо помножити обидві сторони нерівності\ ref {eq6} на$3,$ ви все ще маєте справжнє твердження; тобто

$$-6<18 \nonumber$$

Але якщо помножити обидві сторони нерівності\ ref {eq6} на$−3,$ вам потрібно «змінити символ нерівності», щоб зберегти істинне твердження; тобто

$$6>-18 \nonumber$$

Це обговорення призводить до наступного властивості.

Нерухомість$\PageIndex{3}$

$b$Дозволяти$a$ і бути дійсними числами с$a < b$. Якщо$c$ будь-яке дійсне від'ємне число, то

$$a c>b c$$

і

$$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$$

Зверніть увагу, що ви «змінюєте символ нерівності», коли ви множите або ділите обидві сторони нерівності на від'ємне число. Знову ж таки, ця утиліта однаково діє, якщо замінити символ «менше ніж» на$>, \leq,$ або$\geq$. Інструменти у власності$\PageIndex{3}$ завжди створюють еквівалентні нерівності.

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити нерівність$−5x > 10$ для$x.$

Рішення

Розділіть обидві сторони нерівності на символ нерівності$−5$ та поверніть назад. Спростити.

$$\begin{array}{r}{-5 x>10} \\ {\dfrac{-5 x}{-5}<\dfrac{10}{-5}} \\ {\quad x<-2}\end{array} \nonumber$$

Намалюйте рішення на числовій лінії.

У конструкторі наборів та інтервальних позначеннях рішення є

$$(-\infty,-2)=\{x : x<-2\} \nonumber$$

Складні нерівності

Тепер звернемо увагу на бізнес вирішення складних нерівностей. У попередньому розділі ми вивчали тонкощі «і» і «або», перетину і об'єднання, і розглянули деякі прості складові нерівності. У цьому розділі ми спираємося на ці основи і звернемо свою увагу на більш складні приклади.

У цьому випадку найкращий спосіб навчання - це робити. Почнемо з прикладу.

Приклад$\PageIndex{5}$

Розв'яжіть наступну складну нерівність для$x.$

$$3-2 x<-1 \quad \text { or } \quad 3-2 x>1 \nonumber$$

Рішення

По-перше, вирішуйте кожне з нерівностей самостійно. При першій нерівності додайте$−3$ до обох сторін нерівності, потім діліть,$−2,$ змінивши знак нерівності.

$$\begin{align*} 3-2 x &<-1 \\-2 x &<-4 \\ x &>2 \end{align*}$$

Розтушовуйте розчин на цифровій лінії.

Точно така ж послідовність операцій може бути використана для розв'язання другої нерівності.

$$\begin{align*} 3-2 x &>1 \\-2 x &>-2 \\ x &<1 \end{align*}$$

Незважаючи на те, що ви вирішуєте кожну сторону нерівності самостійно, ви хочете організувати свою роботу наступним чином, укладаючи розв'язок числової лінії для першої нерівності вище, ніж друга нерівність.

$$\begin{array}{rlllrll}{3-2 x}&{<}&{-1} & {\text { or }} & {\quad 3-2 x}&{>}&{1} \\ {-2 x}&{<}&{-4} & &{-2 x}&{>}&{-2} \\ {x}&{>}&{2} && {x}&{<}&{1}\end{array} \nonumber$$

Малюнок$\PageIndex{1}$. Розв'язок складної нерівності$3 − 2x < −1$ або$3 − 2x > 1$

Рішення, в інтервальній і множинній позначеннях, є

$$(-\infty, 1) \cup(2, \infty)=\{x : x<1 \text { or } x>2\} \nonumber$$

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{6}$

Розв'яжіть наступну складну нерівність для$x.$

$$-1<3-2 x<1 \label{eq12}$$

Рішення

Нагадаємо,$a < x < b$ що ідентично твердженню$x > a$ і$x < b.$ Таким чином, ми можемо записати складне нерівність$−1 < 3 − 2x < 1$ у вигляді

$$3-2 x>-1 \quad \text { and } \quad 3-2 x<1 \label{eq13}$$

Вирішіть кожну нерівність самостійно, влаштовуючи свою роботу наступним чином.

$$\begin{array}{rlllrll}{3-2 x}&{>}&{-1} & {\text { and }} & {\quad 3-2 x}&{<}&{1} \\ {-2 x}&{>}&{-4} & &{-2 x}&{<}&{-2} \\ {x}&{<}&{2} && {x}&{>}&{1}\end{array} \label{eq14}$$

Затінюйте рішення кожної нерівності на окремих дійсних лініях, одна над іншою

Малюнок$\PageIndex{2}$. Розв'язок складної нерівності$−1 < 3 − 2x < 1.$

Рішення, як в інтервалі, так і в позначеннях set-builder, є

$$(1,2)=\{x : 1<x<2\} \nonumber$$

Зауважимо, що ми використовували компактну форму складної нерівності у нашій відповіді. Ми могли б так само добре використовувати

$$(1,2)=\{x : x>1 \text { and } x<2\} \nonumber$$

Обидві форми позначення set-builder однаково дійсні. Ви можете використовувати будь-який з них, але ви повинні розуміти обидва.

Альтернативний підхід. Можливо, ви помітили, що при розв'язанні другої нерівності в\ ref {eq14} ви повторювали однакові операції, що використовуються для розв'язання першої нерівності. Тобто ви віднімали$3$ з обох сторін нерівності, а потім розділили обидві сторони нерівності,$−2,$ змінивши знак нерівності.

Це повторення дратує і пропонує можливий ярлик у цій конкретній ситуації. Замість того, щоб розділити складну нерівність\ ref {eq12} на дві частини (як у\ ref {eq13}), давайте збережемо нерівність разом, як у

$$-1<3-2 x<1 \label{eq16}$$

Тепер, ось правила роботи з цією формою.

Нерухомість$\PageIndex{4}$

При роботі з складеним нерівністю, що має вигляд

$$a<x<b$$

Ви можете додати (або відняти) однакову суму до (з) всіх трьох частин нерівності, як у

$$a+c<x+c<b+c$$

або

$$a-c<x-c<b-c$$

Ви також можете помножити всі три частини на те ж додатне число$c > 0,$, що і в

$$c a<c x<c b$$

Однак, якщо помножити всі три частини на одне і те ж негативне число,$c < 0,$ то не забудьте змінити знаки нерівності, як у

$$c a>c x>c b$$

Правила ділення ідентичні правилам множення. Якщо$c > 0$ (позитивний), то

$$\frac{a}{c}<\frac{x}{c}<\frac{b}{c}$$

Якщо$c < 0$ (негативний), то зворотні знаки нерівності при діленні.

$$\frac{a}{c}>\frac{x}{c}>\frac{b}{c}$$

Кожен з інструментів у власності$\PageIndex{4}$ завжди виробляє еквівалентні нерівності.

Отже, повернемося до складної нерівності\ ref {eq16} і віднімемо$3$ з усіх трьох членів нерівності.

$$\begin{array}{c}{-1<3-2 x<1} \\ {-1-3<3-2 x-3<1-3} \\ {-4<-2 x<-2}\end{array} \nonumber$$

Далі розділіть всі три члени,$−2,$ змінюючи знаки нерівності, як ви це робите.

$$\begin{array}{c}{-4<-2 x<-2} \\ {\dfrac{-4}{-2}>\dfrac{-2 x}{-2}>\dfrac{-2}{-2}} \\ {2>x>1}\end{array} \nonumber$$

Звичайним є зміна порядку цієї останньої нерівності. Прочитавши нерівність справа наліво, отримуємо

$$1<x<2 \nonumber$$

який описує дійсні числа, які більші за 1 і менше$2.$ Розв'язок малюється на наступній дійсній лінії.

Малюнок$\PageIndex{3}$. Розв'язок складної нерівності$−1 < 3 − 2x < 1$.

Зверніть увагу, що це ідентично розв'язку, встановленому на реальній лінії на малюнку$\PageIndex{2}$. Зверніть увагу також, що цей другий альтернативний метод є більш ефективним, особливо якщо ви робите трохи роботи в голові. Розглянемо наступну послідовність, де ми віднімаємо три з усіх трьох членів, потім ділимо всі три члени,$−2,$ змінивши знаки нерівності, а потім, нарешті, читаємо нерівність у зворотному напрямку.

$$\begin{array}{c}{-1<3-2 x<1} \\ {-4<-2 x<-2} \\ {\quad 2>x>1} \\ {\quad 1<x<2}\end{array} \nonumber$$

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{7}$

Розв'яжіть наступну складну нерівність для$x.$

$$-1<x-\frac{x+1}{2} \leq 2 \nonumber$$

Рішення

Для початку давайте помножимо всі три члени$2,$ на, щоб очистити дроби.

$$2(-1)<2\left(x-\frac{x+1}{2}\right) \leq 2(2) \nonumber$$

$$-2<2(x)-2\left(\frac{x+1}{2}\right) \leq 4 \nonumber$$

Скасувати. Зверніть увагу на використання дужок, що має вирішальне значення, коли задіяний знак мінус.

$$-2<2 x-\cancel{2}\left(\frac{x+1}{\cancel{2}}\right) \leq 4 \nonumber$$

$$-2<2 x-(x+1) \leq 4 \nonumber$$

Розподіліть знак мінус і спростіть.

$$\begin{align*} -2 &< &&2x-x-1 &&\leq 4 \\ -2 &< &&x-1&& \leq 4\end{align*}$$

Додайте$1$ до всіх трьох членів.

$$-1<x \leq 5 \nonumber$$

Це рішення описує дійсні числа, які більше$-1$ і менше, ніж$5,$ включаючи$5.$ Тобто дійсні числа, які потрапляють між$-1$ і в$5,$ тому числі$5,$ затінені на дійсній лінії на малюнку$\PageIndex{4}$.

Малюнок$\PageIndex{4}$. Рішення набір$−1 < x − (x + 1)/2 \leq 2$.

Відповідь, описана як в інтервалі, так і в позначеннях set-builder:

$$(-1,5]=\{x :-1<x \leq 5\} \nonumber$$

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{8}$

Розв'яжіть наступну складну нерівність для$x.$

$$x \leq 2 x-3 \leq 5 \nonumber$$

Рішення

Припустимо, що ми намагаємося ізолювати$x$, як ми зробили в прикладі$\PageIndex{7}$. Можливо, ми спробуємо додати$−x$ до всіх трьох членів.

$$\begin{align*} x &\leq &&2x-3 &&\leq 5 \\ x-x &\leq &&2x-3-x &&\leq 5-x \\ 0 &\leq &&x-3 &&\leq 5-x \end{align*}$$

Ну, це не дуже допомогло, просто перенесення проблеми$x$ з іншим кінцем нерівності. Подібні спроби не допоможуть в ізоляції$x.$ Отже, що ж нам робити?

Рішення полягає в тому, що ми розділимо нерівність (зі словом «і», звичайно).

$$x \leq 2 x-3 \quad \text { and } \quad 2 x-3 \leq 5 \nonumber$$

Ми можемо вирішити першу нерівність шляхом віднімання$2x$ з обох сторін нерівності, а потім множення обох сторін$−1,$ шляхом зворотного нерівності в процесі

$$\begin{align*} x & \leq 2 x-3 \\-x & \leq-3 \\ x & \geq 3 \end{align*}$$

Щоб вирішити другу нерівність, додайте$3$ в обидві сторони, потім розділіть обидві сторони на$2$:

$$\begin{align*} 2 x-3 & \leq 5 \\ 2 x & \leq 8 \\ x & \leq 4 \end{align*}$$

Звичайно, ви, ймовірно, захочете організувати свою роботу наступним чином

$$\begin{array}{rllrl} x & \leq 2 x-3 & \text{and} &2 x-3 & \leq 5 \\ -x & \leq-3 && 2 x & \leq 8 \\ x & \geq 3 & & x & \leq 4\end{array} \nonumber$$

Таким чином, нам потрібно затінювати на числовому рядку всі дійсні числа, які більше або рівні$3$ і менше або рівні,$4,$ як показано на малюнку$\PageIndex{5}$.

Малюнок.$\PageIndex{5}$ При$x \leq 2 x-3 \leq 5$ затіненні розчину ми «заповнюємо» кінцеві точки.

Рішення, описане як в інтервалі, так і в позначеннях set-builder,

$$[3,4]=\{x : 3 \leq x \leq 4\} \nonumber$$