Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.5: Раціональні показники

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58143

    • Anonymous
    • LibreTexts
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    • Пишіть вирази з раціональними показниками в радикальній формі.
    • Напишіть радикальні вирази з раціональними показниками.
    • Виконуйте операції та спрощуйте вирази з раціональними показниками.
    • Виконуйте операції над радикалами з різними показниками.

    Визначення раціональних показників

    Поки що експоненти були обмежені цілими числами. У цьому розділі ми визначимо, що означають раціональні (або дробові) показники і як з ними працювати. Застосовуються всі правила для експонентів, розроблених до цього моменту. Зокрема, нагадаємо правило добутку для експонентів. Дано будь-які раціональні числа m та n, потім

    \[x^{m} \cdot x^{n}=x^{m+n}\]

    Наприклад, якщо у нас є показник\(\frac{1}{2}\), то правило добутку для експонентів передбачає наступне:

    \(5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=5^{1}=5\)

    \(5^{\frac{1}{2}}\)Ось один з двох рівних множників 5; отже, це квадратний корінь 5, і ми можемо написати

    \(5^{1 / 2}=\sqrt{5}\)

    Крім того, ми бачимо, що\(2^{\frac{1}{3}}\) це один з трьох рівних факторів 2.

    \(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{3}}=2^{1}=2\)

    Таким чином,\(2^{\frac{1}{3}}\) є куб корінь 2, і ми можемо записати

    \(2^{1/3}=\sqrt[3]{2}\)

    Це вірно загалом, враховуючи будь-яке ненульове дійсне число a,

    \[a^{1 / n}=\sqrt[n]{a}\]

    Іншими словами, знаменник дробового показника визначає показник n кореня.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Перепишіть як радикал.

    1. \(7^{1/2}\)
    2. \(7^{1/3}\)

    Рішення:

    а.\(7^{1/2} = \sqrt{7}\)

    б.\(7^{1/3} = \sqrt[3]{7}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Перепишіть як радикал, а потім спростіть.

    1. \(81^{1/2}\)
    2. \(81^{1/4}\)

    Рішення:

    1. \(81^{1/2} = \sqrt{81} = 9\)
    2. \(81^{1/4} = \sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^{4}} = 3\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Перепишіть як радикал, а потім спростіть.

    1. \((125x^{3})^{1/3}\)
    2. \((-32y^{10})^{1/5}\)

    Рішення:

    а.

    \(\begin{aligned}\left(125 x^{3}\right)^{1 / 3} &=\sqrt[3]{125 x^{3}} \\ &=\sqrt[3]{5^{3} x^{3}} \\ &=5 x \end{aligned}\)

    б.

    Далі розглянемо дробові показники, де чисельником є ціле число, відмінне від 1. Для прикладу розглянемо наступне:

    \(5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}=5^{\frac{6}{3}}=5^{2}\)

    Це показує, що\(5^{2/3}\) є одним з трьох рівних факторів\(5^{2}\). Іншими словами,\(5^{2/3}\) це куб корінь\(5^{2}\) і ми можемо написати:

    \(5^{2 / 3}=\sqrt[3]{5^{2}}\)

    Загалом, задано будь-яке дійсне число a,

    \[a^{m / n}=\sqrt[n]{a^{m}}\]

    Вираз з раціональним показником еквівалентно радикалу, де знаменником є індекс, а чисельник - показник. Будь-який радикальний вираз можна записати з раціональним показником, який ми називаємо експоненціальною формою.

    \(\begin{aligned}\color{Cerulean}{Radical\:form}\quad \color{Cerulean}{Exponential\:form} \\ \sqrt[5]{x^{2}} \quad=\quad x^{2 / 5}\quad\quad\quad\quad\quad\: \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Перепишіть як радикал.

    1. \(7^{2/5}\)
    2. \(2^{3/4}\)

    Рішення:

    1. \(7^{2/5} = \sqrt[5]{7^{2}} = \sqrt[5]{49}\)
    2. \(2^{3/4} = \sqrt[4]{2^{3}} = \sqrt[4]{8}\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Перепишіть як радикал, а потім спростіть

    1. \(8^{2/3}\)
    2. \((32)^{3 / 5}\)

    Рішення:

    а.

    \(\begin{aligned} 8^{2 / 3} &=\sqrt[3]{8^{2}} \\ &=\sqrt[3]{64} \\ &=\sqrt[3]{4^{3}} \\ &=4 \end{aligned}\)

    б Ми часто можемо уникнути дуже великих цілих чисел, працюючи з їх простою факторизацією.

    \(\begin{aligned}(32)^{3 / 5} &=\sqrt[5]{(32)^{3}}\qquad\color{Cerulean}{Replace\:32\:with\:2^{5}.} \\ &=\sqrt[5]{\left(2^{5}\right)^{3}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:exponents.} \\ &=\sqrt[5]{2^{15}}\qquad\:\:\:\:\color{Cerulean}{15\div5=3,\:so\:2^{15}=(2^{3})^{5}.} \\ &=\sqrt[5]{\left(2^{3}\right)^{5}}\qquad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=2^{3} \\ &=8 \end{aligned}\)

    З огляду на радикальний вираз, нам буде запропоновано знайти еквівалент в експоненціальній формі. Припустимо, що всі змінні є позитивними.

    Приклад\(\PageIndex{6}\)

    Перепишіть за допомогою раціональних показників:

    \(\sqrt[3]{x^{2}}\)

    Рішення:

    Тут індекс дорівнює 3, а потужність - 2. Ми можемо написати

    \(\sqrt[3]{x^{2}}=x^{2 / 3}\)

    Відповідь:

    \(x^{2 / 3}\)

    Приклад\(\PageIndex{7}\)

    Перепишіть за допомогою раціональних показників:

    \(\sqrt[6]{y^{3}}\)

    Рішення:

    Тут індекс дорівнює 6, а потужність дорівнює 3. Ми можемо написати

    \(\begin{aligned} \sqrt[6]{y^{3}} &=y^{3 / 6} \\ &=y^{1 / 2} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(y^{1 / 2}\)

    Важливо відзначити, що наступні є рівнозначними.

    \[\sqrt[n]{a^{m}}=(\sqrt[n]{a})^{m}\]

    Іншими словами, не має значення, застосовуємо ми спочатку владу або корінь спочатку. Наприклад, ми можемо застосувати владу перед коренем:

    \(27^{2 / 3}=\sqrt[3]{27^{2}}=\sqrt[3]{\left(3^{3}\right)^{2}}=\sqrt[3]{3^{6}}=3^{2}=9\)

    Або ми можемо застосувати їх в корені перед силою:

    \(27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^{2}=\left(\sqrt[3]{3^{3}}\right)^{2}=3^{2}=9\)

    Результати однакові.

    Приклад\(\PageIndex{8}\)

    Перепишіть як радикал, а потім спростіть:

    \((-8)^{2 / 3}\)

    Рішення:

    Тут індекс дорівнює 3, а потужність - 2. Ми можемо написати

    \((-8)^{2 / 3}=(\sqrt[3]{-8})^{2}=(-2)^{2}=4\)

    Відповідь:

    \(4\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Перепишіть як радикал, а потім спростіть:

    \(25^{3/2}\)

    Відповідь

    \(125\)

    Деякі калькулятори мають кнопку каретки\(ˆ\). Якщо так, ми можемо обчислити наближення для радикалів, використовуючи його та раціональні показники. Наприклад, для обчислення\(\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2\wedge (1/2) \approx 1.414\) ми б набрали

    \(2\: \wedge\:(\:1\:\div\:2\:)\:=\)

    Для розрахунку\(\sqrt[3]{2^{2}} = 2^{2/3} = 2\wedge (2/3) = \approx 1.587\) ми б набрали

    \(2\: \wedge\:(\:2\:\div\:3\:)\:=\)

    Операції з використанням правил показників

    У цьому розділі ми розглядаємо всі правила показників, які поширюються на включення раціональних показників. Якщо задано будь-які раціональні числа m і n, то ми маємо

    Правило продукту: \[x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}\]
    Правило частки: \[\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}, x\neq 0\]
    Правило харчування: \[(x^{m})^{n}=x^{m\cdot n}\]
    Правило харчування для виробу: \[(xy)^{n} = x^{n}y^{n}\]
    Правило харчування для частки: \[(\frac{x}{y})^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}}, y\neq 0\]
    Негативні показники: \[x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}\]
    Нульовий показник: \[x^{0}=1, x\neq 0\]
    Таблиця\(\PageIndex{1}\)

    Ці правила дозволяють виконувати операції з раціональними показниками.

    Приклад\(\PageIndex{9}\)

    Спростити:

    \(2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}\)

    Рішення:

    \(\begin{aligned} 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}&=2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{6}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:x^{m}\:\cdot\:x^{n}=x^{m+n}}.\\ &=2^{\frac{4}{6}+\frac{1}{6}}\qquad\color{Cerulean}{Find\:equivalent\:fractions\:with\:a\:common\:denominator\:and\:then\:add.}\\&=2^{\frac{5}{6}} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(2^{\frac{5}{6}}\)

    Приклад\(\PageIndex{10}\)

    Спростити:

    \(\frac{x^{1 / 2}}{x^{1 / 3}}\)

    Рішення:

    \(\begin{aligned} \frac{x^{1 / 2}}{x^{1 / 3}} &=x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.} \\ &=x^{\frac{3}{6}-\frac{2}{6}} \qquad\color{Cerulean}{Find\:equivalent\:fractions\:with\:a\:common\:denominator\:and\:then\:subtract.} \\ &=x^{\frac{1}{6}} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(x^{\frac{1}{6}}\)

    Приклад\(\PageIndex{11}\)

    Спростити:

    \(\left(y^{3 / 4}\right)^{2 / 3}\)

    Рішення:

    \(\begin{aligned}\left(y^{3 / 4}\right)^{2 / 3} &=y^{\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:(x^{m})^{n}=x^{m\cdot n}.} \\ &=y^{\frac{6}{12}}\:\:\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:the\:exponents\:and\:reduce.} \\ &=y^{\frac{1}{2}} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(y^{\frac{1}{2}}\)

    Приклад\(\PageIndex{12}\)

    Спростити:

    \(\left(16 a^{4} b^{8}\right)^{3 / 4}\)

    Рішення:

    \(\begin{aligned}\left(16 a^{4} b^{8}\right)^{3 / 4} &=\left(2^{4} a^{4} b^{8}\right)^{3 / 4} \qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Rewrite\:16\:as\:2^{4}.} \\ &=\left(2^{4}\right)^{3 / 4}\left(a^{4}\right)^{3 / 4}\left(b^{8}\right)^{3 / 4} \:\:\:\:\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:a\:product\:(xy)^{n}\:=\:x^{n}y^{n}.}\\ &=2^{4\cdot\frac{3}{4}}a^{4\cdot\frac{3}{4}}b^{8\cdot\frac{3}{4}} \qquad\qquad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:to\:each\:factor.}\\&=2^{3}a^{3}b^{6}\qquad\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Simplify.}\\&=8a^{3}b^{6} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(8 a^{3} b^{6}\)

    Приклад\(\PageIndex{13}\)

    Спростити:

    Рішення:

    Відповідь:

    \(\frac{1}{125}\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Спростити:

    \((8a^{3/4}b^{3})^{2/3}a^{1/3}\)

    Відповідь

    \(4a^{1/6}b^{2}\)

    Радикальні вирази з різними індексами

    Щоб застосувати продукт або часткове правило для радикалів, показники радикалів, що беруть участь, повинні бути однаковими. Якщо індекси різні, то спочатку перепишіть радикали в експоненціальну форму, а потім застосовуйте правила для показників.

    Приклад\(\PageIndex{14}\)

    Помножити:

    \(\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}\)

    Рішення:

    У цьому прикладі індекс кожного радикального фактора різний. Звідси правило продукту для радикалів не застосовується. Почніть з перетворення радикалів в еквівалентну форму за допомогою раціональних показників. Потім застосуйте правило продукту для експонентів.

    \(\begin{aligned} \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} &=2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}\qquad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ &=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}\qquad\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:exponents.} \\ &=2^{\frac{3+2}{6}} \\ &=2^{\frac{5}{6}} \\ &=\sqrt[6]{2^{5}} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(\sqrt[6]{2^{5}}\)

    Приклад\(\PageIndex{15}\)

    Розділити:

    \(\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[5]{2}}\)

    Рішення:

    В даному прикладі індекс радикала в чисельнику відрізняється від показника радикала в знаменнику. Звідси часткове правило для радикалів не застосовується. Почніть з перетворення радикалів у еквівалентну форму за допомогою раціональних показників, а потім застосуйте правило частки для експонентів.

    \(\begin{aligned} \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[5]{2}} &=\frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2}} \\ &=\frac{2^{\frac{3}{3}}}{2^{\frac{1}{5}}}\qquad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ &=2^{\frac{2}{3}-\frac{1}{5}}\quad\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:exponents.} \\&=2^{\frac{10-3}{15}}\\&=2^{\frac{7}{15}}\\&=\sqrt[15]{2^{7}} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(\sqrt[15]{2^{7}}\)

    Приклад\(\PageIndex{16}\)

    Спростити:

    \(\sqrt{\sqrt[3]{4}}\)

    Рішення:

    Тут радиканд квадратного кореня - кубічний корінь. Після перезапису цього виразу з використанням раціональних показників ми побачимо, що застосовується правило потужності для експонентів.

    \(\begin{aligned} \sqrt{\sqrt[3]{4}} &=\sqrt{\sqrt[3]{2^{2}}} \\ &=\left(2^{2 / 3}\right)^{1 / 2}\qquad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ &=2^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:exponents.} \\ &=2^{\frac{1}{3}} \\ &=\sqrt[3]{2} \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(\sqrt[3]{2}\)

    Ключові винос

    • При перетворенні дробових показників в радикали використовуйте чисельник в якості степеня і знаменник як індекс радикала.
    • Всі правила показників застосовуються до виразів з раціональними показниками.

    Вправа\(\PageIndex{3}\) Rational Exponents

    Експрес з використанням раціональних показників.

    1. \(\sqrt{6}\)
    2. \(\sqrt{10}\)
    3. \(\sqrt[3]{11}\)
    4. \(\sqrt[4]{2}\)
    5. \(\sqrt[3]{5^{2}}\)
    6. \(\sqrt[4]{2^{3}}\)
    7. \(\sqrt[5]{x}\)
    8. \(\sqrt[6]{x}\)
    9. \(\sqrt[6]{x^{7}}\)
    10. \(\sqrt[5]{x^{4}}\)
    Відповідь

    1. \(6^{1/2}\)

    3. \(11^{1/3}\)

    5. \(5^{2/3}\)

    7. \(x^{1/5}\)

    9. \(x^{7/6}\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\) Rational Exponents

    Експрес в радикальній формі.

    1. \(2^{1/2}\)
    2. \(5^{1/3}\)
    3. \(7^{2/3}\)
    4. \(2^{3/5}\)
    5. \(x^{3/4}\)
    6. \(x^{5/6}\)
    7. \(x^{−1/2}\)
    8. \(x^{−3/4}\)
    9. \((\frac{1}{x})^{−1/3}\)
    10. \((\frac{1}{x})^{−3/5}\)
    Відповідь

    1. \(\sqrt{2}\)

    3. \(\sqrt[3]{7^{2}}\)

    5. \(\sqrt[4]{x^{3}}\)

    7. \(\sqrt{\frac{1}{x}}\)

    9. \(\sqrt[3]{x}\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\) Rational Exponents

    Пишіть як радикал, а потім спрощуйте.

    1. \(25^{1/2}\)
    2. \(36^{1/2}\)
    3. \(121^{1/2}\)
    4. \(144^{1/2}\)
    5. \(\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}\)
    6. \(\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}\)
    7. \((4)^{-\frac{1}{2}}\)
    8. \((9)^{-\frac{1}{2}}\)
    9. \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}\)
    10. \((\frac{1}{16})^{−1/2}\)
    11. \(8^{1/3}\)
    12. \(125^{1/3}\)
    13. \(\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}}\)
    14. \((\frac{8}{125})^{1/3}\)
    15. \((-27)^{\frac{1}{3}}\)
    16. \((−64)^{1/3}\)
    17. \(16^{1/4}\)
    18. \(625^{1/4}\)
    19. \(81^{−1/4}\)
    20. \(16^{−1/4}\)
    21. \(100,000^{1/5}\)
    22. \((−32)^{1/5}\)
    23. \(\left(\frac{1}{32}\right)^{\frac{1}{5}}\)
    24. \((\frac{1}{243})^{1/5}\)
    25. \(9^{3/2}\)
    26. \(4^{3/2}\)
    27. \(8^{5/3}\)
    28. \(27^{2/3}\)
    29. \(16^{3/2}\)
    30. \(32^{2/5}\)
    31. \((\frac{1}{16})^{3/4}\)
    32. \((\frac{1}{81})^{3/4}\)
    33. \((−27)^{2/3}\)
    34. \((−27)^{4/3}\)
    35. \((−32)^{3/5}\)
    36. \((−32)^{4/5}\)
    Відповідь

    1. 5

    3. 11

    5. \(\frac{1}{2}\)

    7. \(\frac{1}{2}\)

    9. 2

    11. 2

    13. \(\frac{1}{3}\)

    15. −3

    17. 2

    19. \(\frac{1}{3}\)

    21. 10

    23. \(\frac{1}{2}\)

    25. 27

    27. 32

    29. 64

    31. \(\frac{1}{8}\)

    33. 9

    35. −8

    Вправа\(\PageIndex{6}\) Rational Exponents

    Використовуйте калькулятор, щоб приблизити відповідь, округлену до найближчих сотих.

    1. \(2^{3/4}\)
    2. \(3^{2/3}\)
    3. \(5^{1/5}\)
    4. \(7^{1/7}\)
    5. \((−9)^{3/2}\)
    6. \(−9^{3/2}\)
    7. Поясніть, чому\((−4)^{(3/2)}\) видає помилку на калькуляторі і\(−4^{(3/2)}\) дає відповідь −8.
    8. Марсі отримала текстове повідомлення від Марка з проханням її, скільки їй років. У відповідь Марсі написала назад «\(125^{(2/3)}\)років». Допоможіть Марку визначити, скільки років Марсі.
    Відповідь

    1. 1,68

    3. 1,38

    5. Чи не дійсне число

    7. У першому виразі квадратний корінь від'ємного числа створює умову помилки на калькуляторі. Квадратний корінь від'ємного числа не є дійсним. У другому виразі через порядок операцій негативний знак застосовується до відповіді після того, як 4 підвищується до (3/2) ступеня.

    Вправа\(\PageIndex{7}\) Rational Exponents

    Виконайте операції і спростіть. Залиште відповіді в експоненціальній формі.

    1. \(2^{2/3}\cdot 2^{4/3}\)
    2. \(3^{3/2}\cdot 3^{1/2}\)
    3. \(5^{1/2}\cdot 5^{1/3}\)
    4. \(2^{1/6}\cdot 2^{3/4}\)
    5. \(y^{1/4}\cdot y^{2/5}\)
    6. \(x^{1/2}\cdot x^{1/4}\)
    7. \(\frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}\)
    8. \(\frac{2^{9/2}}{2^{1/2}}\)
    9. \(\frac{2 a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}}\)
    10. \(\frac{3 b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{3}}}\)
    11. \(\left(8^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
    12. \((3^{6})^{2/3}\)
    13. \(\left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\)
    14. \(\left(y^{\frac{3}{4}}\right)^{ \frac{4}{5}}\)
    15. \(\left(\frac{4 x^{2}}{y^{4}}\right)^{\frac{1}{2}}\)
    16. \(\left(\frac{9 x^{6}}{y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\)
    17. \(\left(\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}}\right)^{3}\)
    18. \(\left(\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}\right)^{2}\)
    19. \(\left(\frac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{4}{3}}\)
    20. \(\left(\frac{b^{\frac{4}{5}}}{b^{\frac{1}{10}}}\right)^{\frac{10}{3}}\)
    21. \(\left(\frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{y^{4}}\right)^{\frac{1}{2}}\)
    22. \(\left(\frac{27 x^{\frac{3}{4}}}{y^{9}}\right)^{\frac{1}{3}}\)
    23. \(y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{6}}}\)
    24. \(x^{\frac{2}{5}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{10}}}\)
    25. \(\frac{x y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}}\)
    26. \(\frac{x^{\frac{5}{4}} y}{x y^{\frac{2}{5}}}\)
    27. \(\frac{49 a^{\frac{5}{7}} b^{\frac{3}{2}}}{7 a^{\frac{3}{7}} b^{\frac{1}{4}}}\)
    28. \(\frac{16 a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{5}{4}}}{8 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{2}{3}}}\)
    29. \(\left(\frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{y^{6}}\right)^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} y\)
    30. \(\left(\frac{125 x^{3}}{y^{\frac{3}{5}}}\right)^{\frac{2}{3}} x y^{\frac{1}{3}}\)
    31. \(\frac{\left(27 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}}\)
    32. \(\frac{\left(25 a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{3}}}\)
    Відповідь

    1. \(4\)

    3. \(5^{5/6}\)

    5. \(y^{13/20}\)

    7. 25

    9. \(2a^{1/2}\)

    11. 2

    13. \(x^{1/3}\)

    15. \(\frac{2 x}{y^{2}}\)

    17. \(\frac{8 x}{y^{2}}\)

    19\(a^{1/3}\)

    21. \(\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{y^{2}}\)

    23. г

    25. \(x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{3}}\)

    27. \(7 a^{\frac{2}{7}} b^{\frac{5}{4}}\)

    29. \(\frac{27 x^{\frac{3}{2}}}{y^{8}}\)

    31. \(9b^{1/2}\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\) Mixed Indices

    Виконайте операції.

    1. \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[5]{3}\)
    2. \(\sqrt{5}\cdot\sqrt[5]{25}\)
    3. \(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\)
    4. \(\sqrt{y}\cdot\sqrt[4]{y}\)
    5. \(\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x}\)
    6. \(\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}\)
    7. \(\frac{\sqrt[3]{100}}{\sqrt{10}}\)
    8. \(\frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[3]{4}}\)
    9. \(\frac{\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt{a}}\)
    10. \(\frac{\sqrt[5]{b^{4}}}{\sqrt[3]{b}}\)
    11. \(\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[5]{x^{3}}}\)
    12. \(\frac{\sqrt[4]{x^{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}\)
    13. \(\sqrt[5]{\sqrt{16}}\)
    14. \(\sqrt[3]{\sqrt{9}}\)
    15. \(\sqrt[3]{\sqrt[5]{2}}\)
    16. \(\sqrt[3]{\sqrt[5]{5}}\)
    17. \(\sqrt[3]{\sqrt{7}}\)
    18. \(\sqrt[3]{\sqrt{3}}\)
    Відповідь

    1. \(\sqrt[15]{3^13}\)

    3. х

    5. \(\sqrt[12]{x^{11}}\)

    7. \(\sqrt[6]{10}\)

    9. \(\sqrt[6]{a}\)

    11. \(\sqrt[15]{x}\)

    13. \(\sqrt[5]{4}\)

    15. \(\sqrt[15]{2}\)

    17. \(\sqrt[6]{7}\)

    Вправа\(\PageIndex{9}\) Discussion Board

    1. Кому зараховують за розробку позначень для раціональних показників? Які інші його досягнення?
    2. При використанні тексту найкраще спілкуватися в коренях за допомогою раціональних показників. Наведемо приклад.
    Відповідь

    1. Відповіді можуть відрізнятися