8.5: Раціональні показники

Цілі навчання

• Пишіть вирази з раціональними показниками в радикальній формі.
• Напишіть радикальні вирази з раціональними показниками.
• Виконуйте операції та спрощуйте вирази з раціональними показниками.
• Виконуйте операції над радикалами з різними показниками.

Визначення раціональних показників

Поки що експоненти були обмежені цілими числами. У цьому розділі ми визначимо, що означають раціональні (або дробові) показники і як з ними працювати. Застосовуються всі правила для експонентів, розроблених до цього моменту. Зокрема, нагадаємо правило добутку для експонентів. Дано будь-які раціональні числа m та n, потім

$$x^{m} \cdot x^{n}=x^{m+n}$$

Наприклад, якщо у нас є показник$\frac{1}{2}$, то правило добутку для експонентів передбачає наступне:

$5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=5^{1}=5$

$5^{\frac{1}{2}}$Ось один з двох рівних множників 5; отже, це квадратний корінь 5, і ми можемо написати

$5^{1 / 2}=\sqrt{5}$

Крім того, ми бачимо, що$2^{\frac{1}{3}}$ це один з трьох рівних факторів 2.

$2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{3}}=2^{1}=2$

Таким чином,$2^{\frac{1}{3}}$ є куб корінь 2, і ми можемо записати

$2^{1/3}=\sqrt[3]{2}$

Це вірно загалом, враховуючи будь-яке ненульове дійсне число a,

$$a^{1 / n}=\sqrt[n]{a}$$

Іншими словами, знаменник дробового показника визначає показник n кореня.

Приклад$\PageIndex{1}$

Перепишіть як радикал.

1. $7^{1/2}$
2. $7^{1/3}$

Рішення:

а.$7^{1/2} = \sqrt{7}$

б.$7^{1/3} = \sqrt[3]{7}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Перепишіть як радикал, а потім спростіть.

1. $81^{1/2}$
2. $81^{1/4}$

Рішення:

1. $81^{1/2} = \sqrt{81} = 9$
2. $81^{1/4} = \sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^{4}} = 3$

Приклад$\PageIndex{3}$

Перепишіть як радикал, а потім спростіть.

1. $(125x^{3})^{1/3}$
2. $(-32y^{10})^{1/5}$

Рішення:

а.

$\begin{aligned}\left(125 x^{3}\right)^{1 / 3} &=\sqrt[3]{125 x^{3}} \\ &=\sqrt[3]{5^{3} x^{3}} \\ &=5 x \end{aligned}$

б.

Далі розглянемо дробові показники, де чисельником є ціле число, відмінне від 1. Для прикладу розглянемо наступне:

$5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}=5^{\frac{6}{3}}=5^{2}$

Це показує, що$5^{2/3}$ є одним з трьох рівних факторів$5^{2}$. Іншими словами,$5^{2/3}$ це куб корінь$5^{2}$ і ми можемо написати:

$5^{2 / 3}=\sqrt[3]{5^{2}}$

Загалом, задано будь-яке дійсне число a,

$$a^{m / n}=\sqrt[n]{a^{m}}$$

Вираз з раціональним показником еквівалентно радикалу, де знаменником є індекс, а чисельник - показник. Будь-який радикальний вираз можна записати з раціональним показником, який ми називаємо експоненціальною формою.

$\begin{aligned}\color{Cerulean}{Radical\:form}\quad \color{Cerulean}{Exponential\:form} \\ \sqrt[5]{x^{2}} \quad=\quad x^{2 / 5}\quad\quad\quad\quad\quad\: \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Перепишіть як радикал.

1. $7^{2/5}$
2. $2^{3/4}$

Рішення:

1. $7^{2/5} = \sqrt[5]{7^{2}} = \sqrt[5]{49}$
2. $2^{3/4} = \sqrt[4]{2^{3}} = \sqrt[4]{8}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Перепишіть як радикал, а потім спростіть

1. $8^{2/3}$
2. $(32)^{3 / 5}$

Рішення:

а.

$\begin{aligned} 8^{2 / 3} &=\sqrt[3]{8^{2}} \\ &=\sqrt[3]{64} \\ &=\sqrt[3]{4^{3}} \\ &=4 \end{aligned}$

б Ми часто можемо уникнути дуже великих цілих чисел, працюючи з їх простою факторизацією.

$\begin{aligned}(32)^{3 / 5} &=\sqrt[5]{(32)^{3}}\qquad\color{Cerulean}{Replace\:32\:with\:2^{5}.} \\ &=\sqrt[5]{\left(2^{5}\right)^{3}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:exponents.} \\ &=\sqrt[5]{2^{15}}\qquad\:\:\:\:\color{Cerulean}{15\div5=3,\:so\:2^{15}=(2^{3})^{5}.} \\ &=\sqrt[5]{\left(2^{3}\right)^{5}}\qquad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=2^{3} \\ &=8 \end{aligned}$

З огляду на радикальний вираз, нам буде запропоновано знайти еквівалент в експоненціальній формі. Припустимо, що всі змінні є позитивними.

Приклад$\PageIndex{6}$

Перепишіть за допомогою раціональних показників:

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Рішення:

Тут індекс дорівнює 3, а потужність - 2. Ми можемо написати

$\sqrt[3]{x^{2}}=x^{2 / 3}$

Відповідь:

$x^{2 / 3}$

Приклад$\PageIndex{7}$

Перепишіть за допомогою раціональних показників:

$\sqrt[6]{y^{3}}$

Рішення:

Тут індекс дорівнює 6, а потужність дорівнює 3. Ми можемо написати

$\begin{aligned} \sqrt[6]{y^{3}} &=y^{3 / 6} \\ &=y^{1 / 2} \end{aligned}$

Відповідь:

$y^{1 / 2}$

Важливо відзначити, що наступні є рівнозначними.

$$\sqrt[n]{a^{m}}=(\sqrt[n]{a})^{m}$$

Іншими словами, не має значення, застосовуємо ми спочатку владу або корінь спочатку. Наприклад, ми можемо застосувати владу перед коренем:

$27^{2 / 3}=\sqrt[3]{27^{2}}=\sqrt[3]{\left(3^{3}\right)^{2}}=\sqrt[3]{3^{6}}=3^{2}=9$

Або ми можемо застосувати їх в корені перед силою:

$27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^{2}=\left(\sqrt[3]{3^{3}}\right)^{2}=3^{2}=9$

Результати однакові.

Приклад$\PageIndex{8}$

Перепишіть як радикал, а потім спростіть:

$(-8)^{2 / 3}$

Рішення:

Тут індекс дорівнює 3, а потужність - 2. Ми можемо написати

$(-8)^{2 / 3}=(\sqrt[3]{-8})^{2}=(-2)^{2}=4$

Відповідь:

$4$

Вправа$\PageIndex{1}$

Перепишіть як радикал, а потім спростіть:

$25^{3/2}$

Відповідь

$125$

Деякі калькулятори мають кнопку каретки$ˆ$. Якщо так, ми можемо обчислити наближення для радикалів, використовуючи його та раціональні показники. Наприклад, для обчислення$\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2\wedge (1/2) \approx 1.414$ ми б набрали

$2\: \wedge\:(\:1\:\div\:2\:)\:=$

Для розрахунку$\sqrt[3]{2^{2}} = 2^{2/3} = 2\wedge (2/3) = \approx 1.587$ ми б набрали

$2\: \wedge\:(\:2\:\div\:3\:)\:=$

Операції з використанням правил показників

У цьому розділі ми розглядаємо всі правила показників, які поширюються на включення раціональних показників. Якщо задано будь-які раціональні числа m і n, то ми маємо

Таблиця$\PageIndex{1}$

Правило продукту:	$$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$$
Правило частки:	$$\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}, x\neq 0$$
Правило харчування:	$$(x^{m})^{n}=x^{m\cdot n}$$
Правило харчування для виробу:	$$(xy)^{n} = x^{n}y^{n}$$
Правило харчування для частки:	$$(\frac{x}{y})^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}}, y\neq 0$$
Негативні показники:	$$x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}$$
Нульовий показник:	$$x^{0}=1, x\neq 0$$

Ці правила дозволяють виконувати операції з раціональними показниками.

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:

$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}$

Рішення:

$\begin{aligned} 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}&=2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{6}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:x^{m}\:\cdot\:x^{n}=x^{m+n}}.\\ &=2^{\frac{4}{6}+\frac{1}{6}}\qquad\color{Cerulean}{Find\:equivalent\:fractions\:with\:a\:common\:denominator\:and\:then\:add.}\\&=2^{\frac{5}{6}} \end{aligned}$

Відповідь:

$2^{\frac{5}{6}}$

Приклад$\PageIndex{10}$

Спростити:

$\frac{x^{1 / 2}}{x^{1 / 3}}$

Рішення:

$\begin{aligned} \frac{x^{1 / 2}}{x^{1 / 3}} &=x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.} \\ &=x^{\frac{3}{6}-\frac{2}{6}} \qquad\color{Cerulean}{Find\:equivalent\:fractions\:with\:a\:common\:denominator\:and\:then\:subtract.} \\ &=x^{\frac{1}{6}} \end{aligned}$

Відповідь:

$x^{\frac{1}{6}}$

Приклад$\PageIndex{11}$

Спростити:

$\left(y^{3 / 4}\right)^{2 / 3}$

Рішення:

$\begin{aligned}\left(y^{3 / 4}\right)^{2 / 3} &=y^{\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:(x^{m})^{n}=x^{m\cdot n}.} \\ &=y^{\frac{6}{12}}\:\:\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:the\:exponents\:and\:reduce.} \\ &=y^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$

Відповідь:

$y^{\frac{1}{2}}$

Приклад$\PageIndex{12}$

Спростити:

$\left(16 a^{4} b^{8}\right)^{3 / 4}$

Рішення:

$\begin{aligned}\left(16 a^{4} b^{8}\right)^{3 / 4} &=\left(2^{4} a^{4} b^{8}\right)^{3 / 4} \qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Rewrite\:16\:as\:2^{4}.} \\ &=\left(2^{4}\right)^{3 / 4}\left(a^{4}\right)^{3 / 4}\left(b^{8}\right)^{3 / 4} \:\:\:\:\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:a\:product\:(xy)^{n}\:=\:x^{n}y^{n}.}\\ &=2^{4\cdot\frac{3}{4}}a^{4\cdot\frac{3}{4}}b^{8\cdot\frac{3}{4}} \qquad\qquad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:to\:each\:factor.}\\&=2^{3}a^{3}b^{6}\qquad\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Simplify.}\\&=8a^{3}b^{6} \end{aligned}$

Відповідь:

$8 a^{3} b^{6}$

Приклад$\PageIndex{13}$

Спростити:

Рішення:

Відповідь:

$\frac{1}{125}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити:

$(8a^{3/4}b^{3})^{2/3}a^{1/3}$

Відповідь

$4a^{1/6}b^{2}$

Радикальні вирази з різними індексами

Щоб застосувати продукт або часткове правило для радикалів, показники радикалів, що беруть участь, повинні бути однаковими. Якщо індекси різні, то спочатку перепишіть радикали в експоненціальну форму, а потім застосовуйте правила для показників.

Приклад$\PageIndex{14}$

Помножити:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2}$

Рішення:

У цьому прикладі індекс кожного радикального фактора різний. Звідси правило продукту для радикалів не застосовується. Почніть з перетворення радикалів в еквівалентну форму за допомогою раціональних показників. Потім застосуйте правило продукту для експонентів.

$\begin{aligned} \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} &=2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}\qquad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ &=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}\qquad\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:exponents.} \\ &=2^{\frac{3+2}{6}} \\ &=2^{\frac{5}{6}} \\ &=\sqrt[6]{2^{5}} \end{aligned}$

Відповідь:

$\sqrt[6]{2^{5}}$

Приклад$\PageIndex{15}$

Розділити:

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[5]{2}}$

Рішення:

В даному прикладі індекс радикала в чисельнику відрізняється від показника радикала в знаменнику. Звідси часткове правило для радикалів не застосовується. Почніть з перетворення радикалів у еквівалентну форму за допомогою раціональних показників, а потім застосуйте правило частки для експонентів.

$\begin{aligned} \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[5]{2}} &=\frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2}} \\ &=\frac{2^{\frac{3}{3}}}{2^{\frac{1}{5}}}\qquad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ &=2^{\frac{2}{3}-\frac{1}{5}}\quad\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:exponents.} \\&=2^{\frac{10-3}{15}}\\&=2^{\frac{7}{15}}\\&=\sqrt[15]{2^{7}} \end{aligned}$

Відповідь:

$\sqrt[15]{2^{7}}$

Приклад$\PageIndex{16}$

Спростити:

$\sqrt{\sqrt[3]{4}}$

Рішення:

Тут радиканд квадратного кореня - кубічний корінь. Після перезапису цього виразу з використанням раціональних показників ми побачимо, що застосовується правило потужності для експонентів.

$\begin{aligned} \sqrt{\sqrt[3]{4}} &=\sqrt{\sqrt[3]{2^{2}}} \\ &=\left(2^{2 / 3}\right)^{1 / 2}\qquad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ &=2^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:exponents.} \\ &=2^{\frac{1}{3}} \\ &=\sqrt[3]{2} \end{aligned}$

Відповідь:

$\sqrt[3]{2}$

Ключові винос

• При перетворенні дробових показників в радикали використовуйте чисельник в якості степеня і знаменник як індекс радикала.
• Всі правила показників застосовуються до виразів з раціональними показниками.

Вправа$\PageIndex{3}$ Rational Exponents

Експрес з використанням раціональних показників.

1. $\sqrt{6}$
2. $\sqrt{10}$
3. $\sqrt[3]{11}$
4. $\sqrt[4]{2}$
5. $\sqrt[3]{5^{2}}$
6. $\sqrt[4]{2^{3}}$
7. $\sqrt[5]{x}$
8. $\sqrt[6]{x}$
9. $\sqrt[6]{x^{7}}$
10. $\sqrt[5]{x^{4}}$

Відповідь

1. $6^{1/2}$

3. $11^{1/3}$

5. $5^{2/3}$

7. $x^{1/5}$

9. $x^{7/6}$

Вправа$\PageIndex{4}$ Rational Exponents

Експрес в радикальній формі.

1. $2^{1/2}$
2. $5^{1/3}$
3. $7^{2/3}$
4. $2^{3/5}$
5. $x^{3/4}$
6. $x^{5/6}$
7. $x^{−1/2}$
8. $x^{−3/4}$
9. $(\frac{1}{x})^{−1/3}$
10. $(\frac{1}{x})^{−3/5}$

Відповідь

1. $\sqrt{2}$

3. $\sqrt[3]{7^{2}}$

5. $\sqrt[4]{x^{3}}$

7. $\sqrt{\frac{1}{x}}$

9. $\sqrt[3]{x}$

Вправа$\PageIndex{5}$ Rational Exponents

Пишіть як радикал, а потім спрощуйте.

1. $25^{1/2}$
2. $36^{1/2}$
3. $121^{1/2}$
4. $144^{1/2}$
5. $\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
6. $\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}$
7. $(4)^{-\frac{1}{2}}$
8. $(9)^{-\frac{1}{2}}$
9. $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$
10. $(\frac{1}{16})^{−1/2}$
11. $8^{1/3}$
12. $125^{1/3}$
13. $\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}}$
14. $(\frac{8}{125})^{1/3}$
15. $(-27)^{\frac{1}{3}}$
16. $(−64)^{1/3}$
17. $16^{1/4}$
18. $625^{1/4}$
19. $81^{−1/4}$
20. $16^{−1/4}$
21. $100,000^{1/5}$
22. $(−32)^{1/5}$
23. $\left(\frac{1}{32}\right)^{\frac{1}{5}}$
24. $(\frac{1}{243})^{1/5}$
25. $9^{3/2}$
26. $4^{3/2}$
27. $8^{5/3}$
28. $27^{2/3}$
29. $16^{3/2}$
30. $32^{2/5}$
31. $(\frac{1}{16})^{3/4}$
32. $(\frac{1}{81})^{3/4}$
33. $(−27)^{2/3}$
34. $(−27)^{4/3}$
35. $(−32)^{3/5}$
36. $(−32)^{4/5}$

Відповідь

1. 5

3. 11

5. $\frac{1}{2}$

7. $\frac{1}{2}$

9. 2

11. 2

13. $\frac{1}{3}$

15. −3

17. 2

19. $\frac{1}{3}$

21. 10

23. $\frac{1}{2}$

25. 27

27. 32

29. 64

31. $\frac{1}{8}$

33. 9

35. −8

Вправа$\PageIndex{6}$ Rational Exponents

Використовуйте калькулятор, щоб приблизити відповідь, округлену до найближчих сотих.

1. $2^{3/4}$
2. $3^{2/3}$
3. $5^{1/5}$
4. $7^{1/7}$
5. $(−9)^{3/2}$
6. $−9^{3/2}$
7. Поясніть, чому$(−4)^{(3/2)}$ видає помилку на калькуляторі і$−4^{(3/2)}$ дає відповідь −8.
8. Марсі отримала текстове повідомлення від Марка з проханням її, скільки їй років. У відповідь Марсі написала назад «$125^{(2/3)}$років». Допоможіть Марку визначити, скільки років Марсі.

Відповідь

1. 1,68

3. 1,38

5. Чи не дійсне число

7. У першому виразі квадратний корінь від'ємного числа створює умову помилки на калькуляторі. Квадратний корінь від'ємного числа не є дійсним. У другому виразі через порядок операцій негативний знак застосовується до відповіді після того, як 4 підвищується до (3/2) ступеня.

Вправа$\PageIndex{7}$ Rational Exponents

Виконайте операції і спростіть. Залиште відповіді в експоненціальній формі.

1. $2^{2/3}\cdot 2^{4/3}$
2. $3^{3/2}\cdot 3^{1/2}$
3. $5^{1/2}\cdot 5^{1/3}$
4. $2^{1/6}\cdot 2^{3/4}$
5. $y^{1/4}\cdot y^{2/5}$
6. $x^{1/2}\cdot x^{1/4}$
7. $\frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}$
8. $\frac{2^{9/2}}{2^{1/2}}$
9. $\frac{2 a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}}$
10. $\frac{3 b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{3}}}$
11. $\left(8^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$
12. $(3^{6})^{2/3}$
13. $\left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$
14. $\left(y^{\frac{3}{4}}\right)^{ \frac{4}{5}}$
15. $\left(\frac{4 x^{2}}{y^{4}}\right)^{\frac{1}{2}}$
16. $\left(\frac{9 x^{6}}{y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$
17. $\left(\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}}\right)^{3}$
18. $\left(\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}\right)^{2}$
19. $\left(\frac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{4}{3}}$
20. $\left(\frac{b^{\frac{4}{5}}}{b^{\frac{1}{10}}}\right)^{\frac{10}{3}}$
21. $\left(\frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{y^{4}}\right)^{\frac{1}{2}}$
22. $\left(\frac{27 x^{\frac{3}{4}}}{y^{9}}\right)^{\frac{1}{3}}$
23. $y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{6}}}$
24. $x^{\frac{2}{5}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{10}}}$
25. $\frac{x y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}}$
26. $\frac{x^{\frac{5}{4}} y}{x y^{\frac{2}{5}}}$
27. $\frac{49 a^{\frac{5}{7}} b^{\frac{3}{2}}}{7 a^{\frac{3}{7}} b^{\frac{1}{4}}}$
28. $\frac{16 a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{5}{4}}}{8 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{2}{3}}}$
29. $\left(\frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{y^{6}}\right)^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} y$
30. $\left(\frac{125 x^{3}}{y^{\frac{3}{5}}}\right)^{\frac{2}{3}} x y^{\frac{1}{3}}$
31. $\frac{\left(27 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}}$
32. $\frac{\left(25 a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{3}}}$

Відповідь

1. $4$

3. $5^{5/6}$

5. $y^{13/20}$

7. 25

9. $2a^{1/2}$

11. 2

13. $x^{1/3}$

15. $\frac{2 x}{y^{2}}$

17. $\frac{8 x}{y^{2}}$

19$a^{1/3}$

21. $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{y^{2}}$

23. г

25. $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{3}}$

27. $7 a^{\frac{2}{7}} b^{\frac{5}{4}}$

29. $\frac{27 x^{\frac{3}{2}}}{y^{8}}$

31. $9b^{1/2}$

Вправа$\PageIndex{8}$ Mixed Indices

Виконайте операції.

1. $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[5]{3}$
2. $\sqrt{5}\cdot\sqrt[5]{25}$
3. $\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}$
4. $\sqrt{y}\cdot\sqrt[4]{y}$
5. $\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x}$
6. $\sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}$
7. $\frac{\sqrt[3]{100}}{\sqrt{10}}$
8. $\frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[3]{4}}$
9. $\frac{\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt{a}}$
10. $\frac{\sqrt[5]{b^{4}}}{\sqrt[3]{b}}$
11. $\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[5]{x^{3}}}$
12. $\frac{\sqrt[4]{x^{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$
13. $\sqrt[5]{\sqrt{16}}$
14. $\sqrt[3]{\sqrt{9}}$
15. $\sqrt[3]{\sqrt[5]{2}}$
16. $\sqrt[3]{\sqrt[5]{5}}$
17. $\sqrt[3]{\sqrt{7}}$
18. $\sqrt[3]{\sqrt{3}}$

Відповідь

1. $\sqrt[15]{3^13}$

3. х

5. $\sqrt[12]{x^{11}}$

7. $\sqrt[6]{10}$

9. $\sqrt[6]{a}$

11. $\sqrt[15]{x}$

13. $\sqrt[5]{4}$

15. $\sqrt[15]{2}$

17. $\sqrt[6]{7}$

Вправа$\PageIndex{9}$ Discussion Board

1. Кому зараховують за розробку позначень для раціональних показників? Які інші його досягнення?
2. При використанні тексту найкраще спілкуватися в коренях за допомогою раціональних показників. Наведемо приклад.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися