8.4: Множення та ділення радикальних виразів

Цілі навчання

• Помножте радикальні вирази.
• Розділіть радикальні вирази.
• Раціоналізувати знаменник.

Множення радикальних виразів

При множенні радикальних виразів з однаковим індексом ми використовуємо правило добутку для радикалів. Якщо a і b представляють позитивні дійсні числа,

\[\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}\]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Помножити:

\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}\)

Рішення:

Ця проблема - продукт з двох квадратних коренів. Застосовуйте правило продукту для радикалів, а потім спростіть.

\(\begin{aligned} \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} &=\sqrt{2 \cdot 6}\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:the\:radicands.} \\ &=\sqrt{12}\qquad\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\sqrt{2^{2} \cdot 3} \\ &=2 \sqrt{3} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(2\sqrt{3}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Помножити:

\(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{6}\)

Рішення:

Ця проблема є продуктом кубових коренів. Застосовуйте правило продукту для радикалів, а потім спростіть.

\(\begin{aligned} \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{6} &=\sqrt[3]{9 \cdot 6}\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:the\:radiands.} \\ &=\sqrt[3]{54}\qquad\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\sqrt[3]{3^{3} \cdot 2} \\ &=3 \sqrt[3]{2} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3\sqrt[3]{2}\)

Часто перед радикалами будуть стояти коефіцієнти.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Помножити:

\(2 \sqrt{3} \cdot 5 \sqrt{2}\)

Рішення:

Використовуючи правило добутку для радикалів і той факт, що множення є комутативним, ми можемо помножити коефіцієнти і радиканди наступним чином.

\(\begin{aligned} 2 \sqrt{3} \cdot 5 \sqrt{2} &=2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}\qquad\color{Cerulean}{Multiplication\:is\:commutative.} \\ &=10 \cdot \sqrt{6}\qquad\qquad\:\:\:\color{Cerulean}{Multiply\:the\:coefficients\:and\:the\:radicands.} \\ &=10 \sqrt{6} \end{aligned}\)

Як правило, перший крок, що передбачає застосування комутативного майна, не показаний.

Відповідь:

\(10\sqrt{6}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Помножити:

Рішення:

Відповідь:

\(-30x\)

Використовувати розподільну властивість при множенні раціональних виразів з більш ніж одним терміном.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Помножити:

Рішення:

Застосовуйте розподільну властивість і помножте кожен член на\(4\sqrt{3}\).

Відповідь:

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Помножити:

Рішення:

Застосовуємо розподільну властивість, а потім спрощуємо результат.

Відповідь:

Процес множення радикальних виразів з множинними долями - це той самий процес, який використовується при множенні многочленів. Застосовуйте розподільну властивість, спрощуйте кожен радикал, а потім комбінуйте подібні терміни.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Помножити:

\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-4)\)

Рішення:

Почніть з застосування розподільного властивості.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Відповідь:

\(-3-2\sqrt{5}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Помножити:

\((3 \sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\)

Рішення:

Відповідь:

\(9x-6\sqrt{xy}+y\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Помножити:

\((2\sqrt{3}+5\sqrt{2})(\sqrt{3}-2\sqrt{6})\)

Відповідь

\(6-12\sqrt{2}+5\sqrt{6}-20\sqrt{3}\)

Вирази\((a+b)\) і\((a−b)\) називаються кон'югатами. При множенні кон'югатів сума добутків внутрішнього і зовнішнього членів призводить до 0.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Помножити:

\((\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})\)

Рішення:

Застосовуйте розподільну властивість, а потім об'єднайте подібні терміни.

Відповідь:

\(-3\)

Важливо відзначити, що при множенні сполучених радикальних виразів ми отримуємо раціональний вираз. Це вірно в цілому і часто використовується в нашому вивченні алгебри.

\(\begin{aligned}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) &=\sqrt{a^{2}}-\sqrt{a b}+\sqrt{a b}-\sqrt{b^{2}} \\ &=a-b \end{aligned}\)

Тому для невід'ємних дійсних чисел a і b ми маємо таку властивість:

\[(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\]

Розділення радикальних виразів (раціоналізація знаменника)

Щоб розділити радикальні вирази з однаковим індексом, ми використовуємо часткове правило для радикалів. Якщо a і b представляють собою невід'ємні числа, де\(b≠0\), то ми маємо

\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Розділити:

\(\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{10}}\)

Рішення:

У цьому випадку ми бачимо, що 10 і 80 мають спільні фактори. Якщо застосувати часткове правило для радикалів і запишемо його як єдиний квадратний корінь, ми зможемо зменшити дробовий радиканд.

\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{10}} &=\sqrt{\frac{80}{10}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals\:and\:reduce\:the\:radicand.} \\ &=\sqrt{8}\qquad\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\sqrt{4 \cdot 2} \\ &=2 \sqrt{2} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(2\sqrt{2}\)

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Розділити:

\(\frac{\sqrt{16 x^{5} y^{4}}}{\sqrt{2 x y}}\)

Рішення:

\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{16 x^{5} y^{4}}}{\sqrt{2 x y}} &=\sqrt{\frac{16 x^{5} y^{4}}{2 x y}} \qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals\:and\:cancel.}\\ &=\sqrt{8 x^{4} y^{3}} \qquad\qquad\qquad\quad\color{Cerulean}{Simplify.}\\ &=\sqrt{4 \cdot 2 \cdot\left(x^{2}\right)^{2} \cdot y^{2} \cdot y} \\ &=2 x^{2} y \sqrt{2 y} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(2 x^{2} y \sqrt{2 y}\)

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Розділити:

\(\frac{\sqrt[3]{54 a^{3} b^{5}}}{\sqrt[3]{16 a^{2} b^{2}}}\)

Рішення:

\(\begin{aligned}\frac{\sqrt[3]{54a^{3}b^{5}}}{\sqrt[3]{16a^{2}b^{2}}} &=\sqrt[3]{\frac{54 \cdot a^{3} b^{5}}{16 a^{2} b^{2}}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals\:and\:then\:cancel.} \\ &=\sqrt[3]{\frac{27 a b^{3}}{8}}\qquad\:\:\:\color{Cerulean}{Replace\:27\:and\:8\:with\:their\:prime\:factorizations.} \\&=\sqrt[3]{\frac{3^{3}ab^{3}}{2^{3}}}\qquad\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\&=\frac{\sqrt[3]{3^{3}ab^{3}}}{\sqrt[3]{2^{3}}} \\&=\frac{3b\sqrt[3]{a}}{2}\end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{3 b \sqrt[3]{a}}{2}\)

Коли дільник радикального виразу містить радикал, звичайною практикою є пошук еквівалентного виразу, де знаменник є раціональним числом. Знаходження такого еквівалентного виразу називається раціоналізацією знаменника.

\(\begin{aligned}\color{Cerulean}{ Radical} &\:\color{Cerulean}{expression} &\color{Cerulean}{ Rational}& \:\color{Cerulean}{denominator} \\ &\frac{1}{\sqrt{3}} &=&\frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}\)

Для цього потрібно помножити дріб на спеціальну форму 1, щоб радиканд в знаменнику можна було записати зі ступенем, що відповідає індексу. Зробивши це, спростіть і усуньте радикал в знаменнику. Наприклад,

\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \color{Cerulean}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\color{black}{=}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Пам'ятайте, для отримання еквівалентного виразу необхідно помножити чисельник і знаменник на точно такий же ненульовий коефіцієнт.

Приклад\(\PageIndex{13}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

Рішення:

Мета полягає в тому, щоб знайти еквівалентний вираз без радикала в знаменнику. У цьому прикладі помножте на 1 у вигляді\(\color{Cerulean}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\).

\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} &=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:by\:\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}.} \\ &=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2^{2}}}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{\sqrt{6}}{2}\qquad\qquad\:\color{Cerulean}{Rational\:denominator.} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Приклад\(\PageIndex{14}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\frac{1}{2 \sqrt{3 x}}\)

Рішення:

Радиканд в знаменнику визначає фактори, які потрібно використовувати для його раціоналізації. У цьому прикладі помножте на 1 у вигляді\(\frac{1}{2 \sqrt{3 x}}\).

\(\begin{aligned} \frac{1}{2 \sqrt{3 x}} &=\frac{1}{2 \sqrt{3 x}} \cdot \color{Cerulean}{ \frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}}\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:by\:\frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{3x}}.} \\ &=\frac{\sqrt{3 x}}{2 \sqrt{3^{2} x^{2}}}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{\sqrt{3 x}}{2 \cdot 3 x} \\ &=\frac{\sqrt{3 x}}{6 x} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{\sqrt{3 x}}{6 x}\)

Як правило, ми виявимо необхідність зменшити, або скасувати, після раціоналізації знаменника.

Приклад\(\PageIndex{15}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{5 a b}}\)

Рішення

У цьому прикладі ми помножимо на 1 у вигляді\(\frac{\sqrt{5 a b}}{\sqrt{5 a b}}\).

\(\begin{aligned} \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{5 a b}} &=\frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{5 a b}} \cdot \color{Cerulean}{\frac{\sqrt{5 a b}}{\sqrt{5 a b}}} \\ &=\frac{5 \sqrt{10 a b}}{\sqrt{25 a^{2} b^{2}}}\qquad\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{5 \sqrt{10 a b}}{5 a b}\qquad\quad\:\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\frac{\sqrt{10 a b}}{a b} \end{aligned}\)

Зверніть увагу, що a і b не скасовують у цьому прикладі. Не варто скасовувати фактори всередині радикалу з тими, які знаходяться зовні.

Відповідь:

\(\frac{\sqrt{10 a b}}{a b}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\sqrt{\frac{4a}{3b}}\)

Відповідь

\(\frac{2\sqrt{3ab}}{3b}\)

До цього моменту ми бачили, що множення чисельника та знаменника на квадратний корінь з точно таким же радикалом призводить до раціонального знаменника. Взагалі, це справедливо лише тоді, коли знаменник містить квадратний корінь. Однак це не стосується кубового кореня. Наприклад,

\(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}}\color{black}{=}\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}}\)

Зверніть увагу, що множення на один і той же коефіцієнт в знаменнику не раціоналізує його. При цьому, якщо помножити на 1 у вигляді\(\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}\), то можна записати радиканд в знаменнику як ступінь 3. Спрощення результату потім дає раціоналізований знаменник. Наприклад,

\(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \color{Cerulean}{\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}\color{black}{=}\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x^{3}}}=\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x}\)

Тому раціоналізувати знаменник радикальних виразів одним радикальним терміном в знаменнику, починають з факторингу радиканду знаменника. Фактори цього радиканда і індекс визначають, на що нам слід помножити. Помножте чисельник і знаменник на n корінь множників, які виробляють в степенях всіх факторів в радиканді знаменника.

Приклад\(\PageIndex{16}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\frac{1}{\sqrt[3]{25}}\)

Рішення:

Радикал в знаменнику еквівалентний\(\sqrt[3]{5^{2}}\). Щоб раціоналізувати знаменник, він повинен бути\(\sqrt[3]{5^{3}}\). Щоб отримати це, нам знадобиться ще один коефіцієнт 5. Тому множимо на 1 у вигляді\(\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}}\).

\(\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt[3]{25}} &=\frac{1}{\sqrt[3]{5^{2}}} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}}}\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:by\:the\:cube\:root\:of\:factors\:that\:result\:in\:powers\:of\:3.} \\ &=\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5^{3}}}\qquad\qquad\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{\sqrt[3]{5}}{5} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{\sqrt[3]{5}}{5}\)

Приклад\(\PageIndex{17}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\sqrt[3]{\frac{27 a}{2 b^{2}}}\)

Рішення:

У цьому прикладі ми помножимо на 1 у вигляді\(\frac{\sqrt[3]{2^{2} b}}{\sqrt[3]{2^{2} b}}\).

\(\begin{aligned} \sqrt[3]{\frac{27 a}{2 b^{2}}} &=\frac{\sqrt[3]{3^{3} a}}{\sqrt[3]{2 b^{2}}}\qquad\qquad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\frac{3 \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{2 b^{2}}} \cdot\color{Cerulean}{ \frac{\sqrt[3]{2^{2} b}}{\sqrt[3]{2^{2} b}}} \quad\:\:\:\color{Cerulean}{Multiply\:by\:the\:cube\:root\:of\:factors\:that\:result\:in\:powers\:of\:3.}\\ &=\frac{3 \sqrt[3]{2^{2} a b}}{\sqrt[3]{2^{3} b^{3}}}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{3 \sqrt[3]{4 a b}}{2 b} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{3 \sqrt[3]{4 a b}}{2 b}\)

Приклад\(\PageIndex{18}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\frac{1}{\sqrt[5]{4 x^{3}}}\)

Рішення:

У цьому прикладі ми помножимо на 1 у вигляді\(\frac{\sqrt[5]{2^{3} x^{2}}}{\sqrt[5]{2^{3} x^{2}}}\).

\(\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt[5]{4 x^{3}}} &=\frac{1}{\sqrt[5]{2^{2} x^{3}}} \cdot \color{Cerulean}{\frac{\sqrt[5]{2^{3} x^{2}}}{\sqrt[5]{2^{3} x^{2}}}}\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:by\:the\:fifth\:root\:of\:factors\:that\:result\:in\:powers\:of\:5.} \\ &=\frac{\sqrt[5]{2^{3} x^{5}}}{\sqrt[5]{2^{5} x^{5}}}\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{\sqrt[5]{8 x^{2}}}{2 x} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{\sqrt[5]{8 x^{2}}}{2 x}\)

Коли два члени, що включають квадратні корені, з'являються в знаменнику, ми можемо раціоналізувати його за допомогою дуже особливої техніки. Цей прийом передбачає множення чисельника і знаменника дробу на сполучений знаменник. Нагадаємо, що множення радикального виразу на його сполучений дає раціональне число.

Приклад\(\PageIndex{19}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)

Рішення:

У цьому прикладі сполучений знаменник є\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\). Тому множимо на 1 у вигляді\(\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\).

\(\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} &=\frac{1}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\color{Cerulean}{ \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}}\qquad\color{Cerulean}{Multiply\:numerator\:and\:denominator\:by\:the\:conjugate\:of\:the\:denominator.} \\ &=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{9}+\sqrt{6}-\sqrt{6}-\sqrt{4}}\qquad\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} \\ &=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1} \\ &=\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)

Зверніть увагу, що терміни, що включають квадратний корінь в знаменнику, усуваються множенням на сполучений. Ми можемо використовувати властивість\(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=a-b\) для прискорення процесу множення виразів у знаменнику.

Приклад\(\PageIndex{20}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}\)

Рішення:

Помножте на 1 у вигляді\(\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}\)

Відповідь:

\(-2+\sqrt{3}\)

Приклад\(\PageIndex{21}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

Рішення:

У цьому прикладі ми помножимо на 1 у вигляді\(\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}\).

Відповідь:

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Раціоналізуйте знаменник:

\(\frac{3 \sqrt{5}+5}{2 \sqrt{5}-3}\)

Відповідь

\(\frac{45+19 \sqrt{5}}{11}\)

Ключові винос

• Щоб помножити два одночленних радикальних вирази, помножте коефіцієнти і помножте радиканди. Якщо є можливість, спростіть результат.
• Застосовуйте розподільну властивість при множенні радикальних виразів з кратними долями. Потім спростити і об'єднати все подібно радикалам.
• Множення двочленного радикального виразу за участю квадратних коренів на його сполучений призводить до раціонального виразу.
• Поширеною практикою є написання радикальних виразів без радикалів у знаменнику. Процес знаходження такого еквівалентного виразу називається раціоналізацією знаменника.
• Якщо вираз має один член в знаменнику за участю радикала, то раціоналізуйте його множенням чисельника і знаменника на n-й корінь множників радикалі так, щоб їх повноваження дорівнювали індексу.
• Якщо радикальний вираз має два члени в знаменнику за участю квадратних коренів, то раціоналізуйте його, множивши чисельник і знаменник на його сполучений.

Вправа\(\PageIndex{4}\) multiplying radical expressions

Помножити. (Припустимо, що всі змінні невід'ємні.)

1. \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}\)
2. \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}\)
3. \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\)
4. \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{15}\)
5. \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\)
6. \(\sqrt{12}\cdot\sqrt{12}\)
7. \(2\sqrt{5}\cdot 7\sqrt{10}\)
8. \(3\sqrt{15}\cdot 2\sqrt{6}\)
9. \((2\sqrt{5})^{2}\)
10. \((6\sqrt{2})^{2}\)
11. \(\sqrt{2x}\cdot\sqrt{2x}\)
12. \(\sqrt{5y}\cdot\sqrt{5y}\)
13. \(\sqrt{3a}\cdot\sqrt{12}\)
14. \(\sqrt{3a}\cdot\sqrt{2a}\)
15. \(4\sqrt{2x}\cdot 3\sqrt{6x}\)
16. \(5\sqrt{10y}\cdot 2\sqrt{2y}\)
17. \(\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}\)
18. \(\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}\)
19. \(\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{10}\)
20. \(\sqrt[3]{18}\cdot\sqrt[3]{6}\)
21. \((5\sqrt[3]{9})(2\sqrt[3]{6})\)
22. \((2\sqrt[3]{4})(3\sqrt[3]{4})\)
23. \((2\sqrt[3]{2})^{3}\)
24. \((3\sqrt[3]{4})^{3}\)
25. \(\sqrt[3]{3a^{2}}\cdot\sqrt[3]{9a}\)
26. \(\sqrt[3]{7b}\cdot\sqrt[3]{49b^{2}}\)
27. \(\sqrt[3]{6x^{2}}\cdot\sqrt[3]{4x^{2}}\)
28. \(\sqrt[3]{12y}\cdot\sqrt[3]{9y^{2}}\)
29. \(\sqrt[3]{20x^{2}y}\cdot\sqrt[3]{10x^{2}y^{2}}\)
30. \(\sqrt[3]{63xy}\cdot\sqrt[3]{12x^{4}y^{2}}\)
31. \(\sqrt{5}( 3 − \sqrt{5})\)
32. \(\sqrt{2}(\sqrt{3}−\sqrt{2})\)
33. \(3\sqrt{7}(2\sqrt{7} − \sqrt{3})\)
34. \(2\sqrt{5}(6−3\sqrt{10})\)
35. \(\sqrt{6}(\sqrt{3}−\sqrt{2})\)
36. \(\sqrt{15}(\sqrt{5}+\sqrt{3})\)
37. \(\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{xy})\)
38. \(\sqrt{y}(\sqrt{xy}+\sqrt{y})\)
39. \(\sqrt{2ab}(\sqrt{14a}−2\sqrt{10b})\)
40. \(\sqrt{6ab}(5\sqrt{2a}−\sqrt{3b})\)
41. \((\sqrt{2}−\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{7})\)
42. \((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{5}−\sqrt{7})\)
43. \((2\sqrt{3}−4)(3\sqrt{6}+1)\)
44. \((5−2\sqrt{6})(7−2\sqrt{3})\)
45. \((\sqrt{5}−\sqrt{3})^{2}\)
46. \((\sqrt{7}−\sqrt{2})^{2}\)
47. \((2\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}−\sqrt{2})\)
48. \((\sqrt{2}+3\sqrt{7})(\sqrt{2}−3\sqrt{7})\)
49. \((\sqrt{a}−\sqrt{2b})^{2}\)
50. \((\sqrt{ab}+1)^{2}\)
51. Які периметр і площа прямокутника довжиною в\(5\sqrt{3}\) сантиметри і шириною\(3\sqrt{2}\) сантиметрів?
52. Які периметр і площа прямокутника довжиною в\(2\sqrt{6}\) сантиметри і шириною\(\sqrt{3}\) сантиметрів?
53. Якщо основа трикутника вимірює\(6\sqrt{2}\) метри, а висота вимірює\(3\sqrt{2}\) метри, то яка площа?
54. Якщо основа трикутника вимірює\(6\sqrt{3}\) метри, а висота вимірює\(3\sqrt{6}\) метри, то яка площа?

Відповідь

1. \(\sqrt{15}\)

3. \(2\sqrt{3}\)

5. \(7\)

7. \(70\sqrt{2}\)

9. \(20\)

11. \(2x\)

13. \(6\sqrt{a}\)

15. \(24x\sqrt{3}\)

17. \(5\)

19. \(2 \sqrt[3]{5}\)

21. \(30 \sqrt[3]{2}\)

23. \(16\)

25. \(3a\)

27. \(2 \sqrt[3]{3}\left(x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}\)

29. \(2xy\sqrt[3]{25x}\)

31. \(3\sqrt{5}−5\)

33. \(42-3 \sqrt{21}\)

35. \(3\sqrt{2}−2\sqrt{3}\)

37. \(x+x\sqrt{y}\)

39. \(\sqrt{2}(\sqrt{14} \sqrt{a}-2 \sqrt{10} \sqrt{b}) \sqrt{a b}\)

41. \(\sqrt{6}+\sqrt{14}-\sqrt{15}-\sqrt{35}\)

43. \(18 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}-12 \sqrt{6}-4\)

45. \(8-2 \sqrt{15}\)

47. \(10\)

49. \((\sqrt{a}-\sqrt{2b} )^{2}\)

51. Периметр:\((10\sqrt{3}+6\sqrt{2})\) сантиметри; площа:\(15\sqrt{6}\) квадратні сантиметри

53. \(18\)квадратних метрів

Вправа\(\PageIndex{5}\) dividing radical expressions

Розділити.

1. \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\)
2. \(\frac{\sqrt{360}}{\sqrt{10}}\)
3. \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{75}}\)
4. \(\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{98}}\)
5. \(\frac{\sqrt{90 x^{5}}}{\sqrt{2 x}}\)
6. \(\frac{\sqrt{96 y^{3}}}{\sqrt{3 y}}\)
7. \(\frac{\sqrt{162 x^{7} y^{5}}}{\sqrt{2 x y}}\)
8. \(\frac{\sqrt{363 x^{4} y^{9}}}{\sqrt{3 x y}}\)
9. \(\frac{\sqrt[3]{16 a^{5} b^{2}}}{\sqrt[3]{2 a^{2} b^{2}}}\)
10. \(\frac{\sqrt[3]{192 a^{2} b^{7}}}{\sqrt[3]{2 a^{2} b^{2}}}\)

Відповідь

1. \(5\)

3. \(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\)

5. \(3 \sqrt{5} x^{2}\)

7. \(9 x^{3} y^{2}\)

9. \(2a\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) dividing radical expressions

Раціоналізувати знаменник

1. \(\sqrt{\frac{1}{5}}\)
2. \(\sqrt{\frac{1}{6}}\)
3. \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
4. \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\)
5. \(\sqrt{\frac{52}{10}}\)
6. \(\sqrt{\frac{3}{56}}\)
7. \(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\)
8. \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
9. \(\sqrt{\frac{1}{7 x}}\)
10. \(\sqrt{\frac{1}{3y}}\)
11. \(a \sqrt{\frac{5}{a b}} \)
12. \ (\ 3 b^ {2}\ sqrt {\ frac {23} {a b}})
13. 236−−√3
14. 147√3
15. 14x−−√3
16. 13y2−−−−−√3
17. 9х⋅2√39xy2−−−−−−√3
18. 5y2⋅х−−√35x2y−−−−−−√3
19. 3a2 3a2b2−−−−−−√3
20. 25н3 25м2н−−−−−−−−√3
21. 327x2y−−−−−−√5
22. 216xy2−−−−−−−−√5
23. ab9a3b−−−−−√5
24. abcab2c3−−−−−−√5
25. 310−−√−3
26. 26√−2
27. 15√+3√
28. 17√−2√
29. 3√3√+6√
30. 5√5√+15−−√
31. 105−35√
32. −22√4−32√
33. 3√+5√3√−5√
34. 10−−√−2√10−−√+2√
35. 23√−32√43√+2√
36. 65√+225√−2√
37. x+y√x−y√
38. x−y√x+y√
39. a√−b√a√+b√
40. ab−−√+2√ab−−√−−2√
41. x−−√5−2x−−√ 106. 1x−−−√−y

Відповідь

1. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

3. \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)

5. \(\frac{\sqrt{130}}{5}\)

7. \(\frac{3-\sqrt{15}}{3}\)

9. \(\frac{\sqrt{7x}}{7 x}\)

11. \(a \frac{\sqrt{5a b}}{a b}\)

13. 6√33

15. 2х2−−−−−√32x

17. 3 6x2y−−−−−−√3y

19. 9ab−−−√32b

21. 9x3y4−−−−−−−−√5xy

23. 27a2b4−−−−−−−−√53

25. 310−−√+9

27. 5√−3√2

29. −1+2√

31. -5−35√2

33. −4−15−−√

35. 15−76√23

37. х2+2xy√+yx2−y

39. a−2ab−−√+ba−b

41. 5x−−√+2x25−4x

Вправа\(\PageIndex{7}\) discussion

1. Дослідіть та обговоріть деякі причини, чому це звичайна практика раціоналізувати знаменник.
2. Поясніть своїми словами, як раціоналізувати знаменник.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися