8.2: Спрощення радикальних виразів
Цілі навчання
- Спростіть радикальні вирази, використовуючи добуток і часткове правило для радикалів.
- Використовуйте формули за участю радикалів.
- Оцінити задані функції квадратного кореня та кубового кореня.
Спрощення радикальних виразів
Алгебраїчний вираз, що містить радикали, називається радикальним виразом. Ми використовуємо продукт і правила коефіцієнта, щоб спростити їх.
Приклад8.2.1
Спростити:
3√8y3
Рішення:
Використовуйте той факт, щоn√an=a коли n непарне.
3√8y3=3√23⋅y3Applytheproductruleforradicals.=3√23⋅3√y3Simplify.=2y
Відповідь:
2y
Приклад8.2.2
Спростити:
√9x2
Рішення:
Квадратний корінь має індекс 2; використовуйте той факт, щоn√an=a коли n парне.
√9x2=√32x2Applytheproductruleforradicals.=√32⋅√x2Simplify.=3|x|
Оскільки x є змінною, вона може представляти від'ємне число. Таким чином, нам потрібно переконатися, що результат позитивний, включивши оператор абсолютного значення.
Відповідь:
3|x|
Примітка
Як правило, на цьому етапі початку алгебри тексти відзначають, що всі змінні приймаються позитивними. Якщо це так, то x в попередньому прикладі позитивний і оператор абсолютного значення не потрібен. Приклад можна спростити наступним чином:
√9x2=√32x2=√32⋅√x2=3x
У цьому розділі будемо вважати, що всі змінні позитивні. Це дозволяє зосередитися на розрахунку в коренях без технічних нюансів, пов'язаних з принципом в кореневій проблемі. З цієї причини ми будемо використовувати наступну властивість для решти розділу:
n√an=a, якщоa≥0 в корені
При спрощенні радикальних виразів шукайте фактори з повноваженнями, які відповідають індексу.
Приклад8.2.3
Спростити:
√18x3y4
Рішення:
Почніть з визначення квадратних коефіцієнтів18,x3, іy4.
18=2⋅32x3=x2⋅xy4=(y2)2 Squarefactors
Зробіть ці заміни, а потім застосуйте правило продукту для радикалів і спростіть.
√18x3y4=√2⋅32⋅x2⋅x⋅(y2)2Applytheproductruleforradicals.=√32⋅√x2⋅√(y2)2⋅√2xSimplify.=3⋅x⋅y2⋅√2x=3xy2√2x
Відповідь:
3xy2√2x
Приклад8.2.4
Спростити:
√4a5b6
Рішення:
Почніть з визначення квадратних коефіцієнтів4,a5, іb6.
4=22a5=a2⋅a2⋅a=(a2)2⋅ab6=b3⋅b3=(b3)2Squarefactors
Зробіть ці заміни, а потім застосуйте правило продукту для радикалів і спростіть.
√4a5b6=√22(a2)2⋅a(b3)2Applytheproductandquotientruleforradicals.=√22⋅√(a2)2⋅√a√(b3)2Simplify.=2a2√ab3
Відповідь:
2a2√ab3
Приклад8.2.5
Спростити:
3√80x5y7
Рішення:
Почніть з визначення кубічних факторів80,x5, іy7.
80=24⋅5=23⋅2⋅5x5=x3⋅x2y7=y6⋅y=(y2)3⋅yCubicfactors
Зробіть ці заміни, а потім застосуйте правило продукту для радикалів і спростіть.
3√80x5y7=3√23⋅2⋅5⋅x3⋅x2⋅(y2)3⋅yApplytheproductruleforradicals.=3√23⋅3√x3⋅3√(y2)3⋅3√2⋅5⋅x2⋅ySimplify.=2⋅x⋅y2⋅3√10x2y=2xy23√10x2y
Відповідь:
2xy23√10x2y
Приклад8.2.6
Спростити:
3√9x6y3z9
Рішення:
Коефіцієнт9=32 і, таким чином, не має досконалих кубових факторів. Він залишиться єдиним радикалом, оскільки всі інші фактори є кубами, як показано нижче:
x6=(x2)3y3=(y)3z9=(z3)3Cubicfactors
Замініть змінні цими еквівалентами, застосуйте правило продукту та частки для радикалів, а потім спростіть.
3√9x6y3z9=3√32⋅(x2)3y3⋅(z3)3=3√32⋅3√(x2)33√y3⋅3√(z3)3=3√32⋅x2y⋅z3=3√9⋅x2y⋅z3
Відповідь:
3√9⋅x2y⋅z3
Приклад8.2.7
Спростити:
4√81a4b5
Рішення:
Визначте всі фактори, які можна записати як досконалі сили 4. Тут важливо це побачитиb5=b4⋅b. Звідси факторb залишиться всередині радикала.
4√81a4b5=4√34⋅a4⋅b4⋅b=4√34⋅4√a4⋅4√b4⋅4√b=3⋅a⋅b⋅4√b
Відповідь:
3ab4√b
Приклад8.2.8
Спростити:
Рішення:
Зверніть увагу, що змінний коефіцієнт x не може бути записаний як ступінь 5 і, таким чином, залишиться всередині радикала. Крім того, дляy6=y5⋅y; фактор y залишиться всередині радикала, а також.
Відповідь:
−2yz5√x3y
Вправа8.2.1
Спростити:
√192x6y7z12
(Припустимо, що всі змінні є позитивними.)
- Відповідь
-
8x3y3z6√3y
Примітка
Щоб легко спростити і в корені, ми можемо розділити повноваження на індекс.
√a6=a3, який єa6÷2=a33√b6=b2, який єb6÷3=b26√c6=c, якийc6÷6=c1
Якщо індекс не ділиться на потужність рівномірно, то ми можемо використовувати частку і залишок для спрощення. Наприклад,
√a5=a2⋅√a, який єa5÷2=a2r13√b5=b⋅3√b2, який єb5÷3=b1r25√c14=c2⋅5√c4, якийc14÷5=c2r4
Коефіцієнт є показником фактора поза радикалом, а залишок - показник фактора, що залишився всередині радикала.
Формули за участю радикалів
Далі розглядаємо формулу відстані. З огляду на два пункти(x1,y1) і(x2,y2),
.png)
Відстань, d, між ними задається за такою формулою:
Формула відстані:
d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2
Нагадаємо, що ця формула була виведена з теореми Піфагора.
Приклад8.2.9
Обчисліть відстань між(−4,7) і(2,1).
Рішення:
Використовуйте формулу відстані з наступними пунктами.
(x1,y1)(x2,y2)(−4,7)(2,1)
Хорошою практикою є включення формули в загальному вигляді перед підстановкою значень для змінних; це покращує читабельність і зменшує ймовірність помилок.
d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2=√(2−(−4))2+(1−7)2=√(2+4)2+(1−7)2=√(6)2+(−6)2=√72=√36⋅2=6√2
Відповідь:
6√2одиниць
Приклад8.2.10
Період, T, маятника в секундах задається за формулою
T=2π√L32
де L представляє довжину маятника в футах. Якщо довжина маятника вимірює 6 футів, то обчисліть період, округлений до найближчої десятої частки секунди.
.png)
Рішення:
Підставити 6 на L, а потім спростити.
T=2π√L32=2π√632Reduce.=2π√316Applythequotientruleforradicals.=2π√3√16Simplify.=2π√34Useacalculator.≈2.7
Відповідь:
Період становить приблизно 2,7 секунди.
Функції квадратного кореня та кореня куба
Починаємо з функції квадратного кореня:
f(x)=√x
Ми знаємо, що квадратний корінь не є дійсним числом, коли радиканд х є негативним. Тому робимо висновок, що домен складається з усіх дійсних чисел, більших або рівних 0. Тут ми вибираємо 0 і деякі позитивні значення для x, обчислюємо відповідні y -значення і будуємо отримані впорядковані пари.
.png)
Після побудови точок, ми можемо накидати графік функції квадратного кореня.
.png)
Приклад8.2.11
Задано функціюf(x)=√x+2, знайдіть f (−2), f (2) та f (6).
Рішення:
Замініть x на кожне з заданих значень.
f(x)=√x+2
f(−2)=√−2+2=√0=0f(2)=√2+2=√4=2f(6)=√6+2=√8=√4⋅2=2√2
Відповідь:
f(−2)=0,f(2)=2, іf(6)=2√2
Далі розглянемо функцію кореня куба:
f(x)=3√x
Оскільки кубічний корінь може бути як негативним, так і позитивним, робимо висновок, що домен складається з усіх дійсних чисел. Для повноти виберіть деякі позитивні і від'ємні значення для x, а також 0, а потім обчислити відповідні y -значення
.png)
Побудуйте точки та намалюйте графік функції кореня куба.
.png)
Приклад8.2.12
Задано функціюg(x)=3√x−1, знайдіть g (−7), g (0) та g (55).
Рішення:
Замініть x на кожне з заданих значень.
g(x)=3√x−1
Відповідь:
g(−7)=−2,g(0)=−1, іg(55)=33√2
Ключові винос
- На початку алгебри ми зазвичай припускаємо, що всі змінні вирази в межах радикала є позитивними. Це дозволяє зосередитися на спрощенні радикалів без технічних проблем, пов'язаних з основним n-м коренем.
- Щоб спростити радикальні вирази, шукайте фактори радиканда з повноваженнями, які відповідають індексу. Якщо вони виявлені, їх можна спростити, застосувавши продукт і правила частки для радикалів, а також властивістьn√an=a, деa позитивно.
Вправа8.2.2 simplifying radical expressions
Спростити. (Припустимо, що всі змінні представляють собою позитивні числа.)
- √36a2
- √121b2
- √x2y2
- √25x2y2z2
- √180x3
- √150y3
- √49a3b2
- √4a4b3c
- √45x5y3
- √50x6y4
- √64r2s6t5
- √144r8s6t2
- √(x+1)2
- √(2x+3)2
- √4(3x−1)2
- √9(2x+3)2
- √9x35y2
- √4x59y4
- √m736n4
- √147m9n6
- √2r2s525t4
- √36r5s2t6
- 3√27a3
- 3√125b3
- 3√250x4y3
- 3√162a3b5
- 3√64x3y6z9
- 3√216x12y3
- 3√8x3y4
- 3√27x5y3
- 3√a4b5c6
- 3√a7b5c3
- 3√8x427y3
- 3√x5125y6
- 3√360r5s12t13
- 3√540r3s2t9
- 4√81x4
- 4√x4y4
- 4√16x4y8
- 4√81x12y4
- 4√a4b5c6
- 4√54a6c8
- 4√128x6
- 4√243y7
- 5√32m10n5
- 5√37m9n10
- −3√4x2
- 7√9y2
- −5√x4x2y
- −3√y16x3y2
- 12ab√a5b3
- 6a2b9√a7b2
- 2x3√8x6
- −5x23√27x3
- 2ab3√−8a4b5
- 5a2b3√−27a3b3
- Відповідь
-
1. 6a
3. xy
5. 6x√5x
7. 7ab√a
9. 3x2y√5xy
11. 8rs3t2√t
13. x+1
15. 2(3x−1)
17. 3xy√5x
19. 6n2m3√m
21. 5√2srt2s2
23. 3a
25. 5xy3√2x
27. 4xy2z3
29. 2xy3√y
31. abc23√ab2
33. 6yx3√x
35. 2rs4t43√45r2t
37. 3x
39. 2xy2
41. abc4√bc2
43. 2x4√8x2
45. 2m2n
47. −6x
49. −10x√xy
51. 12a3b2√ab
53. 4x3
55. −4a2b23√ab2
Вправа8.2.3 simplifying radical expressions
Перепишіть наступне як радикальний вираз з коефіцієнтом 1.
- 5√2x
- 2√3y
- 2x√3
- 3y√2
- ab√10a
- 2ab√2a
- m2n√mn
- 2m2n3√3n
- 53√2x
- 33√5y
- 2x3√3
- 3y3√2
- Відповідь
-
1. √50x
3. √12x2
5. √10a3b2
7. √m5n3
9. 3√250x
11. 3√24x3
Вправа8.2.4 simplifying radical expressions
Припустимо, що змінна може представляти будь-яке дійсне число, а потім спростити.
- √4x2
- √25y2
- 3√8y3
- 3√125a3
- 4√64x4
- 4√81y4
- √36a4
- √100a8
- √4a6
- √a10
- √18a4b5
- √48a5b3
- 6√128x6y8
- 6√a6b7c8
- Відповідь
-
1. 2|x|
3. 2y
5. 2|x|
7. 6a2
9. 2|a3|
11. 3a2b2√2b
13. 2|xy|6√2y2
Вправа8.2.5 formulas involving radicals
Y -перехоплення для будь-якого графа матиме вигляд (0, y), де y - дійсне число. Тому, щоб знайти y -перехоплення, встановіть x = 0 і вирішіть для y. Знайдіть y -перехоплення для наступного.
- y=√x+4−1
- y=√x+1−3
- y=3√x−1+2
- y=3√x+1−3
- Відповідь
-
1. (0,1)
3. (0,1)
Вправа8.2.6 formulas involving radicals
Використовуйте формулу відстані для обчислення відстані між заданими двома точками.
- (5,−7)і(3,−8)
- (−9,7)і(−8,4)
- (−3,−4)і(3,−6)
- (−5,−2)і(1,−6)
- (−1,1)і(−4,10)
- (8,−3)і(2,−12)
- Відповідь
-
1. √5
3. 2√10
5. 3√10
Вправа8.2.7 formulas involving radicals
Фактор радиканд, а потім спростити. (Припустимо, що всі вирази позитивні.)
- √x2−6x+9
- √x2−10x+25
- √4x2+12x+9
- √9x2+6x+1
- Швидкість транспортного засобу до того, як були застосовані гальма, можна оцінити по довжині слідів занесення, залишених на дорозі. На сухому тротуарі швидкість, v, в милі на годину можна оцінити за формулоюv=√5d, де d представляє довжину слідів занесення в футах. Оцініть швидкість транспортного засобу перед застосуванням гальм на сухому тротуарі, якщо сліди ковзання залишили позаду вимірювання 36 футів.
- Радіус, r, сфери можна обчислити за формулоюr=3√3V4π, де V представляє об'єм сфери. Який радіус кулі, якщо обсяг36π кубічних сантиметрів?
- Відповідь
-
1. x − 3
3. 2 x + 3
5. 30миль на годину
Вправа\PageIndex{8} formulas involving radicals
Період, T, маятника в секундах задається за формулою
T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{32}}
де L представляє довжину в футах. Розрахуйте період, враховуючи наступні довжини. Дайте точне значення і приблизне значення округлені до найближчої десятої частки секунди.
- 8 футів
- 32 фути
- 1/2 фута
- 1/8 фута
- Відповідь
-
1. π≈3.1секунд
3. \frac{π}{4} ≈0.8секунд
Вправа\PageIndex{9} formulas involving radicals
Час, t, у секундах, коли об'єкт знаходиться у вільному падінні, задається формулою
s=16\cdot t^{2}
де s являє собою відстань, яку вона впала в ноги. Розрахуйте час, який потрібно об'єкту для падіння, враховуючи наступні відстані. Дайте точне значення і приблизне значення округлені до найближчої десятої частки секунди.
- 48 футів
- 80 футів
- 192 футів
- 288 футів
- Відповідь
-
1. \sqrt{3} ≈1.7секунд
3. 2\sqrt{3} \approx 3.5секунд
Вправа\PageIndex{10} radical functions
З огляду на функцію, обчислити наступне.
- f(x)=\sqrt{x−1}, знайти f (1), f (2) і f (5)
- f(x)=\sqrt{x+5}, знайти f (−5), f (−1) та f (20)
- f(x)=\sqrt{x}+3, знайти f (0), f (1) і f (16)
- f(x)=\sqrt{x}−5, знайти f (0), f (1) і f (25)
- g(x)=\sqrt[3]{x}, знайти g (−1), g (0) та g (1)
- g(x)=\sqrt[3]{x+7}, знайти g (−15), g (−7) та g (20)
- g(x)=\sqrt[3]{x}−2, знайти g (−1), g (0) та g (8)
- g(x)=\(\sqrt[3]{x−1}+2, знайти g (0), g (2) і g (9)
- Відповідь
-
1. f(1)=0, f(2)=1, іf(5)=2
3. f(0)=3, f(1)=4, іf(16)=7
5. g(−1)=−1, g(0)=0, іg(1)=1
7. g(−1)=−3, g(0)=−2, іg(8)=0
Вправа\PageIndex{11} radical functions
Для кожної функції заповніть таблицю.
- f(x)=\sqrt{x+1}
Малюнок\PageIndex{7} - f(x)=\sqrt{x−2}
Малюнок\PageIndex{8} - f(x)=\sqrt[3]{x}+1
Малюнок\PageIndex{9} - f(x)=\sqrt[3]{x+2}
Малюнок\PageIndex{10}
- Відповідь
-
1.
Малюнок\PageIndex{11} 3.
Малюнок\PageIndex{12}
Вправа\PageIndex{12} discussion board
- Дайте значення для x таке, що\sqrt{x^{2}}≠x. Поясніть, чому важливо припустити, що змінні представляють собою позитивні числа.
- Досліджуйте та обговоріть досягнення Крістофа Рудольфа. За що йому зараховують?
- Дослідити та обговорити методи, що використовуються для обчислення квадратних коренів перед загальним використанням електронних калькуляторів.
- Що таке сурд, і звідки береться слово?
- Відповідь
-
1. Відповіді можуть відрізнятися
3. Відповіді можуть відрізнятися