Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.2: Спрощення радикальних виразів

  • Anonymous
  • LibreTexts

Цілі навчання

  • Спростіть радикальні вирази, використовуючи добуток і часткове правило для радикалів.
  • Використовуйте формули за участю радикалів.
  • Оцінити задані функції квадратного кореня та кубового кореня.

Спрощення радикальних виразів

Алгебраїчний вираз, що містить радикали, називається радикальним виразом. Ми використовуємо продукт і правила коефіцієнта, щоб спростити їх.

Приклад8.2.1

Спростити:

38y3

Рішення:

Використовуйте той факт, щоnan=a коли n непарне.

38y3=323y3Applytheproductruleforradicals.=3233y3Simplify.=2y

Відповідь:

2y

Приклад8.2.2

Спростити:

9x2

Рішення:

Квадратний корінь має індекс 2; використовуйте той факт, щоnan=a коли n парне.

9x2=32x2Applytheproductruleforradicals.=32x2Simplify.=3|x|

Оскільки x є змінною, вона може представляти від'ємне число. Таким чином, нам потрібно переконатися, що результат позитивний, включивши оператор абсолютного значення.

Відповідь:

3|x|

Примітка

Як правило, на цьому етапі початку алгебри тексти відзначають, що всі змінні приймаються позитивними. Якщо це так, то x в попередньому прикладі позитивний і оператор абсолютного значення не потрібен. Приклад можна спростити наступним чином:

9x2=32x2=32x2=3x

У цьому розділі будемо вважати, що всі змінні позитивні. Це дозволяє зосередитися на розрахунку в коренях без технічних нюансів, пов'язаних з принципом в кореневій проблемі. З цієї причини ми будемо використовувати наступну властивість для решти розділу:

nan=a, якщоa0 в корені

При спрощенні радикальних виразів шукайте фактори з повноваженнями, які відповідають індексу.

Приклад8.2.3

Спростити:

18x3y4

Рішення:

Почніть з визначення квадратних коефіцієнтів18,x3, іy4.

 18=232x3=x2xy4=(y2)2 Squarefactors

Зробіть ці заміни, а потім застосуйте правило продукту для радикалів і спростіть.

18x3y4=232x2x(y2)2Applytheproductruleforradicals.=32x2(y2)22xSimplify.=3xy22x=3xy22x

Відповідь:

3xy22x

Приклад8.2.4

Спростити:

4a5b6

Рішення:

Почніть з визначення квадратних коефіцієнтів4,a5, іb6.

4=22a5=a2a2a=(a2)2ab6=b3b3=(b3)2Squarefactors

Зробіть ці заміни, а потім застосуйте правило продукту для радикалів і спростіть.

4a5b6=22(a2)2a(b3)2Applytheproductandquotientruleforradicals.=22(a2)2a(b3)2Simplify.=2a2ab3

Відповідь:

2a2ab3

Приклад8.2.5

Спростити:

380x5y7

Рішення:

Почніть з визначення кубічних факторів80,x5, іy7.

80=245=2325x5=x3x2y7=y6y=(y2)3yCubicfactors

Зробіть ці заміни, а потім застосуйте правило продукту для радикалів і спростіть.

380x5y7=32325x3x2(y2)3yApplytheproductruleforradicals.=3233x33(y2)3325x2ySimplify.=2xy2310x2y=2xy2310x2y

Відповідь:

2xy2310x2y

Приклад8.2.6

Спростити:

39x6y3z9

Рішення:

Коефіцієнт9=32 і, таким чином, не має досконалих кубових факторів. Він залишиться єдиним радикалом, оскільки всі інші фактори є кубами, як показано нижче:

x6=(x2)3y3=(y)3z9=(z3)3Cubicfactors

Замініть змінні цими еквівалентами, застосуйте правило продукту та частки для радикалів, а потім спростіть.

39x6y3z9=332(x2)3y3(z3)3=3323(x2)33y33(z3)3=332x2yz3=39x2yz3

Відповідь:

39x2yz3

Приклад8.2.7

Спростити:

481a4b5

Рішення:

Визначте всі фактори, які можна записати як досконалі сили 4. Тут важливо це побачитиb5=b4b. Звідси факторb залишиться всередині радикала.

481a4b5=434a4b4b=4344a44b44b=3ab4b

Відповідь:

3ab4b

Приклад8.2.8

Спростити:

Рішення:

Зверніть увагу, що змінний коефіцієнт x не може бути записаний як ступінь 5 і, таким чином, залишиться всередині радикала. Крім того, дляy6=y5y; фактор y залишиться всередині радикала, а також.

Відповідь:

2yz5x3y

Вправа8.2.1

Спростити:

192x6y7z12

(Припустимо, що всі змінні є позитивними.)

Відповідь

8x3y3z63y

Примітка

Щоб легко спростити і в корені, ми можемо розділити повноваження на індекс.

a6=a3, який єa6÷2=a33b6=b2, який єb6÷3=b26c6=c, якийc6÷6=c1

Якщо індекс не ділиться на потужність рівномірно, то ми можемо використовувати частку і залишок для спрощення. Наприклад,

a5=a2a, який єa5÷2=a2r13b5=b3b2, який єb5÷3=b1r25c14=c25c4, якийc14÷5=c2r4

Коефіцієнт є показником фактора поза радикалом, а залишок - показник фактора, що залишився всередині радикала.

Формули за участю радикалів

Далі розглядаємо формулу відстані. З огляду на два пункти(x1,y1) і(x2,y2),

Скріншот (294) .png
Малюнок8.2.1

Відстань, d, між ними задається за такою формулою:

Формула відстані:

d=(x2x1)2+(y2y1)2

Нагадаємо, що ця формула була виведена з теореми Піфагора.

Приклад8.2.9

Обчисліть відстань між(4,7) і(2,1).

Рішення:

Використовуйте формулу відстані з наступними пунктами.

(x1,y1)(x2,y2)(4,7)(2,1)

Хорошою практикою є включення формули в загальному вигляді перед підстановкою значень для змінних; це покращує читабельність і зменшує ймовірність помилок.

d=(x2x1)2+(y2y1)2=(2(4))2+(17)2=(2+4)2+(17)2=(6)2+(6)2=72=362=62

Відповідь:

62одиниць

Приклад8.2.10

Період, T, маятника в секундах задається за формулою

T=2πL32

де L представляє довжину маятника в футах. Якщо довжина маятника вимірює 6 футів, то обчисліть період, округлений до найближчої десятої частки секунди.

Скріншот (295) .png
Малюнок8.2.2

Рішення:

Підставити 6 на L, а потім спростити.

T=2πL32=2π632Reduce.=2π316Applythequotientruleforradicals.=2π316Simplify.=2π34Useacalculator.2.7

Відповідь:

Період становить приблизно 2,7 секунди.

Функції квадратного кореня та кореня куба

Починаємо з функції квадратного кореня:

f(x)=x

Ми знаємо, що квадратний корінь не є дійсним числом, коли радиканд х є негативним. Тому робимо висновок, що домен складається з усіх дійсних чисел, більших або рівних 0. Тут ми вибираємо 0 і деякі позитивні значення для x, обчислюємо відповідні y -значення і будуємо отримані впорядковані пари.

Скріншот (296) .png
Малюнок8.2.3

Після побудови точок, ми можемо накидати графік функції квадратного кореня.

Скріншот (297) .png
Малюнок8.2.4

Приклад8.2.11

Задано функціюf(x)=x+2, знайдіть f (−2), f (2) та f (6).

Рішення:

Замініть x на кожне з заданих значень.

f(x)=x+2

f(2)=2+2=0=0f(2)=2+2=4=2f(6)=6+2=8=42=22

Відповідь:

f(2)=0,f(2)=2, іf(6)=22

Далі розглянемо функцію кореня куба:

f(x)=3x

Оскільки кубічний корінь може бути як негативним, так і позитивним, робимо висновок, що домен складається з усіх дійсних чисел. Для повноти виберіть деякі позитивні і від'ємні значення для x, а також 0, а потім обчислити відповідні y -значення

Скріншот (298) .png
Малюнок8.2.5

Побудуйте точки та намалюйте графік функції кореня куба.

Скріншот (299) .png
Малюнок8.2.6

Приклад8.2.12

Задано функціюg(x)=3x1, знайдіть g (−7), g (0) та g (55).

Рішення:

Замініть x на кожне з заданих значень.

g(x)=3x1

Відповідь:

g(7)=2,g(0)=1, іg(55)=332

Ключові винос

  • На початку алгебри ми зазвичай припускаємо, що всі змінні вирази в межах радикала є позитивними. Це дозволяє зосередитися на спрощенні радикалів без технічних проблем, пов'язаних з основним n-м коренем.
  • Щоб спростити радикальні вирази, шукайте фактори радиканда з повноваженнями, які відповідають індексу. Якщо вони виявлені, їх можна спростити, застосувавши продукт і правила частки для радикалів, а також властивістьnan=a, деa позитивно.

Вправа8.2.2 simplifying radical expressions

Спростити. (Припустимо, що всі змінні представляють собою позитивні числа.)

  1. 36a2
  2. 121b2
  3. x2y2
  4. 25x2y2z2
  5. 180x3
  6. 150y3
  7. 49a3b2
  8. 4a4b3c
  9. 45x5y3
  10. 50x6y4
  11. 64r2s6t5
  12. 144r8s6t2
  13. (x+1)2
  14. (2x+3)2
  15. 4(3x1)2
  16. 9(2x+3)2
  17. 9x35y2
  18. 4x59y4
  19. m736n4
  20. 147m9n6
  21. 2r2s525t4
  22. 36r5s2t6
  23. 327a3
  24. 3125b3
  25. 3250x4y3
  26. 3162a3b5
  27. 364x3y6z9
  28. 3216x12y3
  29. 38x3y4
  30. 327x5y3
  31. 3a4b5c6
  32. 3a7b5c3
  33. 38x427y3
  34. 3x5125y6
  35. 3360r5s12t13
  36. 3540r3s2t9
  37. 481x4
  38. 4x4y4
  39. 416x4y8
  40. 481x12y4
  41. 4a4b5c6
  42. 454a6c8
  43. 4128x6
  44. 4243y7
  45. 532m10n5
  46. 537m9n10
  47. 34x2
  48. 79y2
  49. 5x4x2y
  50. 3y16x3y2
  51. 12aba5b3
  52. 6a2b9a7b2
  53. 2x38x6
  54. 5x2327x3
  55. 2ab38a4b5
  56. 5a2b327a3b3
Відповідь

1. 6a

3. xy

5. 6x5x

7. 7aba

9. 3x2y5xy

11. 8rs3t2t

13. x+1

15. 2(3x1)

17. 3xy5x

19. 6n2m3m

21. 52srt2s2

23. 3a

25. 5xy32x

27. 4xy2z3

29. 2xy3y

31. abc23ab2

33. 6yx3x

35. 2rs4t4345r2t

37. 3x

39. 2xy2

41. abc4bc2

43. 2x48x2

45. 2m2n

47. 6x

49. 10xxy

51. 12a3b2ab

53. 4x3

55. 4a2b23ab2

Вправа8.2.3 simplifying radical expressions

Перепишіть наступне як радикальний вираз з коефіцієнтом 1.

  1. 52x
  2. 23y
  3. 2x3
  4. 3y2
  5. ab10a
  6. 2ab2a
  7. m2nmn
  8. 2m2n33n
  9. 532x
  10. 335y
  11. 2x33
  12. 3y32
Відповідь

1. 50x

3. 12x2

5. 10a3b2

7. m5n3

9. 3250x

11. 324x3

Вправа8.2.4 simplifying radical expressions

Припустимо, що змінна може представляти будь-яке дійсне число, а потім спростити.

  1. 4x2
  2. 25y2
  3. 38y3
  4. 3125a3
  5. 464x4
  6. 481y4
  7. 36a4
  8. 100a8
  9. 4a6
  10. a10
  11. 18a4b5
  12. 48a5b3
  13. 6128x6y8
  14. 6a6b7c8
Відповідь

1. 2|x|

3. 2y

5. 2|x|

7. 6a2

9. 2|a3|

11. 3a2b22b

13. 2|xy|62y2

Вправа8.2.5 formulas involving radicals

Y -перехоплення для будь-якого графа матиме вигляд (0, y), де y - дійсне число. Тому, щоб знайти y -перехоплення, встановіть x = 0 і вирішіть для y. Знайдіть y -перехоплення для наступного.

  1. y=x+41
  2. y=x+13
  3. y=3x1+2
  4. y=3x+13
Відповідь

1. (0,1)

3. (0,1)

Вправа8.2.6 formulas involving radicals

Використовуйте формулу відстані для обчислення відстані між заданими двома точками.

  1. (5,7)і(3,8)
  2. (9,7)і(8,4)
  3. (3,4)і(3,6)
  4. (5,2)і(1,6)
  5. (1,1)і(4,10)
  6. (8,3)і(2,12)
Відповідь

1. 5

3. 210

5. 310

Вправа8.2.7 formulas involving radicals

Фактор радиканд, а потім спростити. (Припустимо, що всі вирази позитивні.)

  1. x26x+9
  2. x210x+25
  3. 4x2+12x+9
  4. 9x2+6x+1
  5. Швидкість транспортного засобу до того, як були застосовані гальма, можна оцінити по довжині слідів занесення, залишених на дорозі. На сухому тротуарі швидкість, v, в милі на годину можна оцінити за формулоюv=5d, де d представляє довжину слідів занесення в футах. Оцініть швидкість транспортного засобу перед застосуванням гальм на сухому тротуарі, якщо сліди ковзання залишили позаду вимірювання 36 футів.
  6. Радіус, r, сфери можна обчислити за формулоюr=33V4π, де V представляє об'єм сфери. Який радіус кулі, якщо обсяг36π кубічних сантиметрів?
Відповідь

1. x − 3

3. 2 x + 3

5. 30миль на годину

Вправа\PageIndex{8} formulas involving radicals

Період, T, маятника в секундах задається за формулою

T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{32}}

де L представляє довжину в футах. Розрахуйте період, враховуючи наступні довжини. Дайте точне значення і приблизне значення округлені до найближчої десятої частки секунди.

  1. 8 футів
  2. 32 фути
  3. 1/2 фута
  4. 1/8 фута
Відповідь

1. π≈3.1секунд

3. \frac{π}{4} ≈0.8секунд

Вправа\PageIndex{9} formulas involving radicals

Час, t, у секундах, коли об'єкт знаходиться у вільному падінні, задається формулою

s=16\cdot t^{2}

де s являє собою відстань, яку вона впала в ноги. Розрахуйте час, який потрібно об'єкту для падіння, враховуючи наступні відстані. Дайте точне значення і приблизне значення округлені до найближчої десятої частки секунди.

  1. 48 футів
  2. 80 футів
  3. 192 футів
  4. 288 футів
Відповідь

1. \sqrt{3} ≈1.7секунд

3. 2\sqrt{3} \approx 3.5секунд

Вправа\PageIndex{10} radical functions

З огляду на функцію, обчислити наступне.

  1. f(x)=\sqrt{x−1}, знайти f (1), f (2) і f (5)
  2. f(x)=\sqrt{x+5}, знайти f (−5), f (−1) та f (20)
  3. f(x)=\sqrt{x}+3, знайти f (0), f (1) і f (16)
  4. f(x)=\sqrt{x}−5, знайти f (0), f (1) і f (25)
  5. g(x)=\sqrt[3]{x}, знайти g (−1), g (0) та g (1)
  6. g(x)=\sqrt[3]{x+7}, знайти g (−15), g (−7) та g (20)
  7. g(x)=\sqrt[3]{x}−2, знайти g (−1), g (0) та g (8)
  8. g(x)=\(\sqrt[3]{x−1}+2, знайти g (0), g (2) і g (9)
Відповідь

1. f(1)=0, f(2)=1, іf(5)=2

3. f(0)=3, f(1)=4, іf(16)=7

5. g(−1)=−1, g(0)=0, іg(1)=1

7. g(−1)=−3, g(0)=−2, іg(8)=0

Вправа\PageIndex{11} radical functions

Для кожної функції заповніть таблицю.

  1. f(x)=\sqrt{x+1}
    Знімок екрана (300) .png
    Малюнок\PageIndex{7}
  2. f(x)=\sqrt{x−2}
    Скріншот (301) .png
    Малюнок\PageIndex{8}
  3. f(x)=\sqrt[3]{x}+1
    Скріншот (302) .png
    Малюнок\PageIndex{9}
  4. f(x)=\sqrt[3]{x+2}
    Скріншот (303) .png
    Малюнок\PageIndex{10}
Відповідь

1.

Знімок екрана (304) .png
Малюнок\PageIndex{11}

3.

Скріншот (305) .png
Малюнок\PageIndex{12}

Вправа\PageIndex{12} discussion board

  1. Дайте значення для x таке, що\sqrt{x^{2}}≠x. Поясніть, чому важливо припустити, що змінні представляють собою позитивні числа.
  2. Досліджуйте та обговоріть досягнення Крістофа Рудольфа. За що йому зараховують?
  3. Дослідити та обговорити методи, що використовуються для обчислення квадратних коренів перед загальним використанням електронних калькуляторів.
  4. Що таке сурд, і звідки береться слово?
Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися