8.2: Спрощення радикальних виразів

Цілі навчання

• Спростіть радикальні вирази, використовуючи добуток і часткове правило для радикалів.
• Використовуйте формули за участю радикалів.
• Оцінити задані функції квадратного кореня та кубового кореня.

Спрощення радикальних виразів

Алгебраїчний вираз, що містить радикали, називається радикальним виразом. Ми використовуємо продукт і правила коефіцієнта, щоб спростити їх.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Спростити:

\(\sqrt[3]{8 y^{3}}\)

Рішення:

Використовуйте той факт, що\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\) коли n непарне.

\(\begin{aligned} \sqrt[3]{8 y^{3}} &=\sqrt[3]{2^{3} \cdot y^{3}} \qquad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:radicals.}\\ &=\sqrt[3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3]{y^{3}}\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=2 y \end{aligned}\)

Відповідь:

\(2y\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Спростити:

\(\sqrt{9 x^{2}}\)

Рішення:

Квадратний корінь має індекс 2; використовуйте той факт, що\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\) коли n парне.

\(\begin{aligned} \sqrt{9 x^{2}} &=\sqrt{3^{2} x^{2}}\qquad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}}\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=3|x| \end{aligned}\)

Оскільки x є змінною, вона може представляти від'ємне число. Таким чином, нам потрібно переконатися, що результат позитивний, включивши оператор абсолютного значення.

Відповідь:

\(3|x|\)

Примітка

Як правило, на цьому етапі початку алгебри тексти відзначають, що всі змінні приймаються позитивними. Якщо це так, то x в попередньому прикладі позитивний і оператор абсолютного значення не потрібен. Приклад можна спростити наступним чином:

\(\sqrt{9x^{2}}=\sqrt{3^{2}x^{2}}=\sqrt{3^{2}}\cdot\sqrt{x^{2}}=3x\)

У цьому розділі будемо вважати, що всі змінні позитивні. Це дозволяє зосередитися на розрахунку в коренях без технічних нюансів, пов'язаних з принципом в кореневій проблемі. З цієї причини ми будемо використовувати наступну властивість для решти розділу:

\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\), якщо\(a≥0\) в корені

При спрощенні радикальних виразів шукайте фактори з повноваженнями, які відповідають індексу.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Спростити:

\(\sqrt{18x^{3}y^{4}}\)

Рішення:

Почніть з визначення квадратних коефіцієнтів\(18, x^{3}\), і\(y^{4}\).

\( \ \begin{aligned} 18 &=2 \cdot \color{Cerulean}{3^{2}} \\ x^{3} &=\color{Cerulean}{x^{2}}\color{black}{ \cdot} x \\ y^{4} &=\color{Cerulean}{\left(y^{2}\right)^{2}} \end{aligned} \ \qquad\color{Cerulean}{Square\:factors}\)

Зробіть ці заміни, а потім застосуйте правило продукту для радикалів і спростіть.

\(\begin{aligned} \sqrt{18 x^{3} y^{4}} &=\sqrt{\color{Cerulean}{2}\color{black}{ \cdot} 3^{2} \cdot x^{2} \cdot \color{Cerulean}{x}\color{black}{ \cdot}\left(y^{2}\right)^{2}}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{\left(y^{2}\right)^{2}} \cdot \color{black}{\sqrt{\color{Cerulean}{2 x}}}\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=3 \cdot x \cdot y^{2} \cdot \sqrt{2 x} \\ &=3 x y^{2} \sqrt{2 x} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3 x y^{2} \sqrt{2 x}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Спростити:

\(\sqrt{4a^{5}b^{6}}\)

Рішення:

Почніть з визначення квадратних коефіцієнтів\(4, a^{5}\), і\(b^{6}\).

\(\begin{array}{l}{4=\color{Cerulean}{2^{2}}} \\ {a^{5}=a^{2} \cdot a^{2} \cdot a=\color{Cerulean}{\left(a^{2}\right)^{2}}\color{black}{ \cdot} a} \\ {b^{6}=b^{3} \cdot b^{3}=\color{Cerulean}{\left(b^{3}\right)^{2}}}\end{array} \qquad\color{Cerulean}{Square\:factors}\)

Зробіть ці заміни, а потім застосуйте правило продукту для радикалів і спростіть.

\(\begin{aligned} \sqrt{\frac{4 a^{5}}{b^{6}}} &=\sqrt{\frac{2^{2}\left(a^{2}\right)^{2} \cdot a}{\left(b^{3}\right)^{2}}}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:and\:quotient\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\frac{\sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{\left(a^{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{\left(b^{3}\right)^{2}}}\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{2 a^{2} \sqrt{a}}{b^{3}} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{2 a^{2} \sqrt{a}}{b^{3}}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Спростити:

\(\sqrt[3]{80x^{5}y^{7}}\)

Рішення:

Почніть з визначення кубічних факторів\(80, x^{5}\), і\(y^{7}\).

\(\begin{array}{l}{80=2^{4} \cdot 5=\color{Cerulean}{2^{3}}\color{black}{ \cdot} 2 \cdot 5} \\ {x^{5}=\color{Cerulean}{x^{3}}\color{black}{ \cdot} x^{2}} \\ {y^{7}=y^{6} \cdot y=\color{Cerulean}{\left(y^{2}\right)^{3}}\color{black}{ \cdot} y}\end{array} \qquad\color{Cerulean}{Cubic\:factors}\)

Зробіть ці заміни, а потім застосуйте правило продукту для радикалів і спростіть.

\(\begin{aligned} \sqrt[3]{80 x^{5} y^{7}} &=\sqrt[3]{\color{Cerulean}{2^{3}}\color{black}{ \cdot} 2 \cdot 5 \cdot \color{Cerulean}{x^{3}}\color{black}{ \cdot} x^{2} \cdot\color{Cerulean}{\left(y^{2}\right)^{3}}\color{black}{ \cdot} y} \qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:radicals.}\\ &=\color{black}{\sqrt[3]{\color{Cerulean}{2^{3}}}} \cdot \color{black}{\sqrt[3]{\color{Cerulean}{x^{3}}}} \cdot \color{black}{\sqrt[3]{\color{Cerulean}{\left(y^{2}\right)^{3}}}} \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot y} \quad\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=2 \cdot x \cdot y^{2} \cdot \sqrt[3]{10 x^{2} y} \\ &=2 x y^{2} \sqrt[3]{10 x^{2} y} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(2 x y^{2} \sqrt[3]{10 x^{2} y}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Спростити:

\(\sqrt[3]{9x^{6}y^{3}z^{9}}\)

Рішення:

Коефіцієнт\(9=3^{2}\) і, таким чином, не має досконалих кубових факторів. Він залишиться єдиним радикалом, оскільки всі інші фактори є кубами, як показано нижче:

\(\begin{aligned} x^{6} &=\left(x^{2}\right)^{3} \\ y^{3} &=(y)^{3} \\ z^{9} &=\left(z^{3}\right)^{3} \end{aligned}\qquad \color{Cerulean}{Cubic\:factors}\)

Замініть змінні цими еквівалентами, застосуйте правило продукту та частки для радикалів, а потім спростіть.

\(\begin{aligned} \sqrt[3]{\frac{9 x^{6}}{y^{3} z^{9}}} &=\sqrt[3]{\frac{3^{2} \cdot\left(x^{2}\right)^{3}}{y^{3} \cdot\left(z^{3}\right)^{3}}} \\ &=\frac{\sqrt[3]{3^{2}} \cdot \sqrt[3]{\left(x^{2}\right)^{3}}}{\sqrt[3]{y^{3}} \cdot \sqrt[3]{\left(z^{3}\right)^{3}}} \\ &=\frac{\sqrt[3]{3^{2}} \cdot x^{2}}{y \cdot z^{3}} \\ &=\frac{\sqrt[3]{9} \cdot x^{2}}{y \cdot z^{3}} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{\sqrt[3]{9} \cdot x^{2}}{y \cdot z^{3}}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Спростити:

\(\sqrt[4]{81a^{4}b^{5}}\)

Рішення:

Визначте всі фактори, які можна записати як досконалі сили 4. Тут важливо це побачити\(b^{5}=b^{4}⋅b\). Звідси фактор\(b\) залишиться всередині радикала.

\(\begin{aligned} \sqrt[4]{81 a^{4} b^{5}} &=\sqrt[4]{3^{4} \cdot a^{4} \cdot b^{4} \cdot b} \\ &=\sqrt[4]{3^{4}} \cdot \sqrt[4]{a^{4}} \cdot \sqrt[4]{b^{4}} \cdot \sqrt[4]{b} \\ &=3 \cdot a \cdot b \cdot \sqrt[4]{b} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3ab\sqrt[4]{b}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Спростити:

Рішення:

Зверніть увагу, що змінний коефіцієнт x не може бути записаний як ступінь 5 і, таким чином, залишиться всередині радикала. Крім того, для\(y^{6}=y^{5}⋅y\); фактор y залишиться всередині радикала, а також.

Відповідь:

\(-2yz\sqrt[5]{x^{3}y}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Спростити:

\(\sqrt{192x^{6}y^{7}z^{12}}\)

(Припустимо, що всі змінні є позитивними.)

Відповідь

\(8x^{3}y^{3}z^{6}\sqrt{3y}\)

Примітка

Щоб легко спростити і в корені, ми можемо розділити повноваження на індекс.

\(\sqrt{a^{6}}=a^{3}\), який є\(a^{6÷2}= a^{3}\)\(\sqrt[3]{b^{6}}=b^{2}\), який є\(b^{6÷3}=b^{2}\)\(\sqrt[6]{c^{6}}=c\), який\(c^{6÷6}=c^{1}\)

Якщо індекс не ділиться на потужність рівномірно, то ми можемо використовувати частку і залишок для спрощення. Наприклад,

\(\sqrt{a^{5}}=a^{2}⋅\sqrt{a}\), який є\(a^{5÷2}=a^{2}_{r\:1}\)\(\sqrt[3]{b^{5}}=b⋅\sqrt[3]{b^{2}}\), який є\(b^{5÷3}=b^{1}_{r\:2}\)\(\sqrt[5]{c^{14}}=c^{2}⋅\sqrt[5]{c^{4}}\), який\(c^{14÷5}=c^{2}_{r\:4}\)

Коефіцієнт є показником фактора поза радикалом, а залишок - показник фактора, що залишився всередині радикала.

Формули за участю радикалів

Далі розглядаємо формулу відстані. З огляду на два пункти\((x_{1}, y_{1})\) і\((x_{2}, y_{2})\),

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Відстань, d, між ними задається за такою формулою:

Формула відстані:

\[d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\]

Нагадаємо, що ця формула була виведена з теореми Піфагора.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Обчисліть відстань між\((−4, 7)\) і\((2, 1)\).

Рішення:

Використовуйте формулу відстані з наступними пунктами.

\(\begin{array}{ll}{\left(x_{1}, y_{1}\right)} & {\left(x_{2}, y_{2}\right)} \\ {(\color{Cerulean}{-4}\color{black}{,}\color{OliveGreen}{7}\color{black}{)}} & {(\color{Cerulean}{2}\color{black}{,}\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}}\end{array}\)

Хорошою практикою є включення формули в загальному вигляді перед підстановкою значень для змінних; це покращує читабельність і зменшує ймовірність помилок.

\(\begin{aligned} d &=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{(\color{Cerulean}{2}\color{black}{-}(\color{Cerulean}{-4}\color{black}{)})^{2}+(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{-}\color{OliveGreen}{7}\color{black}{)}^{2}} \\ &=\sqrt{(2+4)^{2}+(1-7)^{2}} \\ &=\sqrt{(6)^{2}+(-6)^{2}} \\ &=\sqrt{72} \\ &=\sqrt{36 \cdot 2} \\ &=6 \sqrt{2} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(6\sqrt{2}\)одиниць

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Період, T, маятника в секундах задається за формулою

\[T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{32}}\]

де L представляє довжину маятника в футах. Якщо довжина маятника вимірює 6 футів, то обчисліть період, округлений до найближчої десятої частки секунди.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Рішення:

Підставити 6 на L, а потім спростити.

\(\begin{aligned} T &=2 \pi \sqrt{\frac{L}{32}} \\ &=2 \pi \sqrt{\frac{6}{32}}\quad\color{Cerulean}{Reduce.} \\ &=2 \pi \sqrt{\frac{3}{16}} \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals.}\\ &=2 \pi \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}} \quad\color{Cerulean}{Simplify.}\\ &=\frac{2 \pi \sqrt{3}}{4}\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Use\:a\:calculator.} \\ & \approx 2.7 \end{aligned}\)

Відповідь:

Період становить приблизно 2,7 секунди.

Функції квадратного кореня та кореня куба

Починаємо з функції квадратного кореня:

\(f(x)=\sqrt{x}\)

Ми знаємо, що квадратний корінь не є дійсним числом, коли радиканд х є негативним. Тому робимо висновок, що домен складається з усіх дійсних чисел, більших або рівних 0. Тут ми вибираємо 0 і деякі позитивні значення для x, обчислюємо відповідні y -значення і будуємо отримані впорядковані пари.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Після побудови точок, ми можемо накидати графік функції квадратного кореня.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Задано функцію\(f(x)=\sqrt{x+2}\), знайдіть f (−2), f (2) та f (6).

Рішення:

Замініть x на кожне з заданих значень.

\(f(x)=\sqrt{x+2}\)

\(\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)} &=\sqrt{\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{+}2}=\sqrt{0}=0 \\ f(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)} &=\sqrt{\color{OliveGreen}{2}\color{black}{+}2}=\sqrt{4}=2 \\ f(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{)} &=\sqrt{\color{OliveGreen}{6}\color{black}{+}2}=\sqrt{8}=\sqrt{4 \cdot 2}=2 \sqrt{2} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(f(−2)=0, f(2)=2\), і\(f(6)=2\sqrt{2}\)

Далі розглянемо функцію кореня куба:

\(f(x)=\sqrt[3]{x}\)

Оскільки кубічний корінь може бути як негативним, так і позитивним, робимо висновок, що домен складається з усіх дійсних чисел. Для повноти виберіть деякі позитивні і від'ємні значення для x, а також 0, а потім обчислити відповідні y -значення

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Побудуйте точки та намалюйте графік функції кореня куба.

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Задано функцію\(g(x)=\sqrt[3]{x-1}\), знайдіть g (−7), g (0) та g (55).

Рішення:

Замініть x на кожне з заданих значень.

\(g(x)=\sqrt[3]{x-1}\)

Відповідь:

\(g(−7)=−2, g(0)=−1\), і\(g(55)=3\sqrt[3]{2}\)

Ключові винос

• На початку алгебри ми зазвичай припускаємо, що всі змінні вирази в межах радикала є позитивними. Це дозволяє зосередитися на спрощенні радикалів без технічних проблем, пов'язаних з основним n-м коренем.
• Щоб спростити радикальні вирази, шукайте фактори радиканда з повноваженнями, які відповідають індексу. Якщо вони виявлені, їх можна спростити, застосувавши продукт і правила частки для радикалів, а також властивість\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\), де\(a\) позитивно.

Вправа\(\PageIndex{2}\) simplifying radical expressions

Спростити. (Припустимо, що всі змінні представляють собою позитивні числа.)

1. \(\sqrt{36a^{2}}\)
2. \(\sqrt{121b^{2}}\)
3. \(\sqrt{x^{2}y^{2}}\)
4. \(\sqrt{25x^{2}y^{2}z^{2}}\)
5. \(\sqrt{180x^{3}}\)
6. \(\sqrt{150y^{3}}\)
7. \(\sqrt{49a^{3}b^{2}}\)
8. \(\sqrt{4a^{4}b^{3}c}\)
9. \(\sqrt{45x^{5}y^{3}}\)
10. \(\sqrt{50x^{6}y^{4}}\)
11. \(\sqrt{64r^{2}s^{6}t^{5}}\)
12. \(\sqrt{144r^{8}s^{6}t^{2}}\)
13. \(\sqrt{(x + 1 )^{2}}\)
14. \(\sqrt{( 2 x + 3 )^{2}}\)
15. \(\sqrt{4 ( 3 x − 1 )^{2}}\)
16. \(\sqrt{9 ( 2 x + 3 )^{2}}\)
17. \(\sqrt{9x^{3}5y^{2}}\)
18. \(\sqrt{4x^{5}9y^{4}}\)
19. \(\sqrt{m^{7}36 n^{4}}\)
20. \(\sqrt{147 m^{9}n^{6}}\)
21. \(\sqrt{2 r^{2}s^{5}25t^{4}}\)
22. \(\sqrt{36 r^{5} s^{2} t^{6}}\)
23. \(\sqrt[3]{27 a^{ 3}}\)
24. \(\sqrt[3]{125 b^{3}}\)
25. \(\sqrt[3]{250 x^{4}y^{3}}\)
26. \(\sqrt[3]{162 a^{3} b^{5}}\)
27. \(\sqrt[3]{64 x^{3}y^{6} z^{9}}\)
28. \(\sqrt[3]{216 x^{12}y^{3}}\)
29. \(\sqrt[3]{8 x^{3}y^{4}}\)
30. \(\sqrt[3]{27 x^{5}y^{3}}\)
31. \(\sqrt[3]{a^{4} b^{5} c^{6}}\)
32. \(\sqrt[3]{a^{7} b^{5} c^{3}}\)
33. \(\sqrt[3]{8 x^{4}27y^{3}}\)
34. \(\sqrt[3]{x^{5}125y^{6}}\)
35. \(\sqrt[3]{360 r^{5} s^{12} t^{13}}\)
36. \(\sqrt[3]{540r^{3}s^{2}t^{9}}\)
37. \(\sqrt[4]{81x^{4}}\)
38. \(\sqrt[4]{x^{4}y^{4}}\)
39. \(\sqrt[4]{16x^{4}y^{8}}\)
40. \(\sqrt[4]{81x^{12}y^{4}}\)
41. \(\sqrt[4]{a^{4}b^{5}c^{6}}\)
42. \(\sqrt[4]{54a^{6}c^{8}}\)
43. \(\sqrt[4]{128x^{6}}\)
44. \(\sqrt[4]{243y^{7}}\)
45. \(\sqrt[5]{32m^{10}n^{5}}\)
46. \(\sqrt[5]{37m^{9}n^{10}}\)
47. \(-3\sqrt{4x^{2}}\)
48. \(7\sqrt{9y^{2}}\)
49. \(-5\sqrt{x4x^{2}y}\)
50. \(−3\sqrt{y^{16}x^{3}y^{2}}\)
51. \(12ab\sqrt{a^{5}b^{3}}\)
52. \(6a^{2}b^{9}\sqrt{a^{7}b^{2}}\)
53. \(2x\sqrt[3]{8x^{6}}\)
54. \(−5x^{2}\sqrt[3]{27x^{3}}\)
55. \(2ab\sqrt[3]{−8a^{4}b^{5}}\)
56. \(5a^{2}b\sqrt[3]{−27a^{3}b^{3}}\)

Відповідь

1. \(6a\)

3. \(xy\)

5. \(6x \sqrt{5x}\)

7. \(7ab\sqrt{a}\)

9. \(3x^{2}y\sqrt{5xy}\)

11. \(8rs^{3}t^{2}\sqrt{t}\)

13. \(x+1\)

15. \(2(3x−1)\)

17. \(3xy\sqrt{5x}\)

19. \(6n^{2}m^{3}\sqrt{m}\)

21. \(5\sqrt{2s}rt^{2}s^{2}\)

23. \(3a\)

25. \(5xy\sqrt[3]{2x}\)

27. \(4xy^{2}z^{3}\)

29. \(2xy\sqrt[3]{y}\)

31. \(abc^{2}\sqrt[3]{ab^{2}}\)

33. \(6yx\sqrt[3]{x}\)

35. \(2rs^{4}t^{4}\sqrt[3]{45r^{2}t}\)

37. \(3x\)

39. \(2xy^{2}\)

41. \(abc\sqrt[4]{bc^{2}}\)

43. \(2x\sqrt[4]{8x^{2}}\)

45. \(2^{m}2^{n}\)

47. \(−6x\)

49. \(−10 x\sqrt{xy}\)

51. \(12 a^{3} b^{2}\sqrt{ab}\)

53. \(4x^{3}\)

55. \(− 4 a^{ 2} b^{ 2}\sqrt[3]{ab^{2}}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\) simplifying radical expressions

Перепишіть наступне як радикальний вираз з коефіцієнтом 1.

1. \(5\sqrt{2x}\)
2. \(2\sqrt{3y}\)
3. \(2x\sqrt{3}\)
4. \(3y\sqrt{2}\)
5. \(ab\sqrt{10a}\)
6. \(2ab\sqrt{2a}\)
7. \(m^{2}n\sqrt{mn}\)
8. \(2m^{2}n^{3}\sqrt{3n}\)
9. \(5\sqrt[3]{2x}\)
10. \(3\sqrt[3]{5y}\)
11. \(2x\sqrt[3]{3}\)
12. \(3y\sqrt[3]{2}\)

Відповідь

1. \(\sqrt{50 x}\)

3. \(\sqrt{12 x^{2}}\)

5. \(\sqrt{10 a^{3} b^{2}}\)

7. \(\sqrt{m^{5} n^{3}}\)

9. \(\sqrt[3]{250 x}\)

11. \(\sqrt[3]{24 x^{3}}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\) simplifying radical expressions

Припустимо, що змінна може представляти будь-яке дійсне число, а потім спростити.

1. \(\sqrt{4x^{2}}\)
2. \(\sqrt{25y^{2}}\)
3. \(\sqrt[3]{8y^{3}}\)
4. \(\sqrt[3]{125a^{3}}\)
5. \(\sqrt[4]{64x^{4}}\)
6. \(\sqrt[4]{81y^{4}}\)
7. \(\sqrt{36a^{4}}\)
8. \(\sqrt{100a^{8}}\)
9. \(\sqrt{4a^{6}}\)
10. \(\sqrt{a^{10}}\)
11. \(\sqrt{18a^{4}b^{5}}\)
12. \(\sqrt{48a^{5}b^{3}}\)
13. \(\sqrt[6]{128x^{6}y^{8}}\)
14. \(\sqrt[6]{a^{6}b^{7}c^{8}}\)

Відповідь

1. \(2 | x | \)

3. \(2y \)

5. \(2 | x | \)

7. \(6 a^{2}\)

9. \(2| a^{3}|\)

11. \(3 a^{2} b^{2}\sqrt{2 b}\)

13. \(2 |xy |\sqrt[6]{ 2y^{2}}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) formulas involving radicals

Y -перехоплення для будь-якого графа матиме вигляд (0, y), де y - дійсне число. Тому, щоб знайти y -перехоплення, встановіть x = 0 і вирішіть для y. Знайдіть y -перехоплення для наступного.

1. \(y=\sqrt{x+4}−1\)
2. \(y=\sqrt{x+1}−3\)
3. \(y=\sqrt[3]{x−1}+2\)
4. \(y=\sqrt[3]{x+1}−3\)

Відповідь

1. \((0, 1)\)

3. \((0, 1)\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) formulas involving radicals

Використовуйте формулу відстані для обчислення відстані між заданими двома точками.

1. \((5, −7)\)і\((3, −8)\)
2. \((−9, 7)\)і\((−8, 4)\)
3. \((−3, −4)\)і\((3, −6)\)
4. \((−5, −2)\)і\((1, −6)\)
5. \((−1, 1)\)і\((−4, 10)\)
6. \((8, −3)\)і\((2, −12)\)

Відповідь

1. \(\sqrt{5}\)

3. \(2\sqrt{10}\)

5. \(3\sqrt{10}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) formulas involving radicals

Фактор радиканд, а потім спростити. (Припустимо, що всі вирази позитивні.)

1. \(\sqrt{x^{2}−6x+9}\)
2. \(\sqrt{x^{2}−10x+25}\)
3. \(\sqrt{4x^{2}+12x+9}\)
4. \(\sqrt{9x^{2}+6x+1}\)
5. Швидкість транспортного засобу до того, як були застосовані гальма, можна оцінити по довжині слідів занесення, залишених на дорозі. На сухому тротуарі швидкість, v, в милі на годину можна оцінити за формулою\(v=\sqrt{5d}\), де d представляє довжину слідів занесення в футах. Оцініть швидкість транспортного засобу перед застосуванням гальм на сухому тротуарі, якщо сліди ковзання залишили позаду вимірювання 36 футів.
6. Радіус, r, сфери можна обчислити за формулою\(r=\sqrt[3]{\frac{3 V}{4 \pi}}\), де V представляє об'єм сфери. Який радіус кулі, якщо обсяг\(36π\) кубічних сантиметрів?

Відповідь

1. \(x − 3\)

3. \(2 x + 3\)

5. \(30\)миль на годину

Вправа\(\PageIndex{8}\) formulas involving radicals

Період, T, маятника в секундах задається за формулою

\(T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{32}}\)

де L представляє довжину в футах. Розрахуйте період, враховуючи наступні довжини. Дайте точне значення і приблизне значення округлені до найближчої десятої частки секунди.

1. 8 футів
2. 32 фути
3. 1/2 фута
4. 1/8 фута

Відповідь

1. \(π≈3.1\)секунд

3. \(\frac{π}{4} ≈0.8\)секунд

Вправа\(\PageIndex{9}\) formulas involving radicals

Час, t, у секундах, коли об'єкт знаходиться у вільному падінні, задається формулою

\(s=16\cdot t^{2}\)

де s являє собою відстань, яку вона впала в ноги. Розрахуйте час, який потрібно об'єкту для падіння, враховуючи наступні відстані. Дайте точне значення і приблизне значення округлені до найближчої десятої частки секунди.

1. 48 футів
2. 80 футів
3. 192 футів
4. 288 футів

Відповідь

1. \(\sqrt{3} ≈1.7\)секунд

3. \(2\sqrt{3} \approx 3.5\)секунд

Вправа\(\PageIndex{10}\) radical functions

З огляду на функцію, обчислити наступне.

1. \(f(x)=\sqrt{x−1}\), знайти f (1), f (2) і f (5)
2. \(f(x)=\sqrt{x+5}\), знайти f (−5), f (−1) та f (20)
3. \(f(x)=\sqrt{x}+3\), знайти f (0), f (1) і f (16)
4. \(f(x)=\sqrt{x}−5\), знайти f (0), f (1) і f (25)
5. \(g(x)=\sqrt[3]{x}\), знайти g (−1), g (0) та g (1)
6. \(g(x)=\sqrt[3]{x+7}\), знайти g (−15), g (−7) та g (20)
7. \(g(x)=\sqrt[3]{x}−2\), знайти g (−1), g (0) та g (8)
8. \(g(x)=\(\sqrt[3]{x−1}+2\), знайти g (0), g (2) і g (9)

Відповідь

1. \(f(1)=0, f(2)=1\), і\(f(5)=2\)

3. \(f(0)=3, f(1)=4\), і\(f(16)=7\)

5. \(g(−1)=−1, g(0)=0\), і\(g(1)=1\)

7. \(g(−1)=−3, g(0)=−2\), і\(g(8)=0\)

Вправа\(\PageIndex{11}\) radical functions

Для кожної функції заповніть таблицю.

1. \(f(x)=\sqrt{x+1}\)
   
   Малюнок\(\PageIndex{7}\)
2. \(f(x)=\sqrt{x−2}\)
   
   Малюнок\(\PageIndex{8}\)
3. \(f(x)=\sqrt[3]{x}+1\)
   
   Малюнок\(\PageIndex{9}\)
4. \(f(x)=\sqrt[3]{x+2}\)
   
   Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Відповідь

1.

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\) discussion board

1. Дайте значення для x таке, що\(\sqrt{x^{2}}≠x\). Поясніть, чому важливо припустити, що змінні представляють собою позитивні числа.
2. Досліджуйте та обговоріть досягнення Крістофа Рудольфа. За що йому зараховують?
3. Дослідити та обговорити методи, що використовуються для обчислення квадратних коренів перед загальним використанням електронних калькуляторів.
4. Що таке сурд, і звідки береться слово?

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися