8.6: Рішення радикальних рівнянь

Цілі навчання

• Розв'яжіть рівняння з квадратними коренями
• Розв'яжіть рівняння з кубовими

радикальні рівняння

Радикальне рівняння - це будь-яке рівняння, яке містить один або кілька радикалів зі змінною в радиканді. Нижче наведено кілька прикладів радикальних рівнянь, всі з яких будуть розв'язані в цьому розділі:

\(\begin{array}{c}{\sqrt{x-1}=5} \\ {\sqrt{2 x-5}+4=x} \\ {\sqrt[3]{x^{2}+4}-2=0}\end{array}\)

Починаємо з квадратного властивості рівності; задані дійсні числа a і b маємо наступне:

Якщо\(a=b\), то\(a^{2}=b^{2}\)

Іншими словами, рівність зберігається, якщо ми квадратично обидві сторони рівняння.

\(\begin{array}{rlrl}{-3=-3} & {\Rightarrow} & {(-3)^{2}} & {=(-3)^{2}} \\ {} & {} & {9} & {=9} \:\:\color{Cerulean}{\checkmark} \end{array}\)

Зворотне, з іншого боку, не обов'язково вірно:

Це важливо, тому що ми будемо використовувати цю властивість для вирішення радикальних рівнянь. Розглянемо дуже просте радикальне рівняння, яке можна вирішити оглядом:

\(\sqrt{x}=3\)

Тут ми бачимо, що\(x=9\) це рішення. Щоб розв'язати це рівняння алгебраїчно, використовуйте квадратичну властивість рівності і той факт, що ((\ sqrt {a}) ^ {2} =\ sqrt {a^ {2}} =a\), коли a є додатним. Усуньте квадратний корінь, зрівнявши обидві сторони рівняння наступним чином:

\(\begin{aligned}\color{Cerulean}{(}\color{black}{\sqrt{x}}\color{Cerulean}{)^{2}} &\color{black}{=}\color{Cerulean}{(}\color{black}{3}\color{Cerulean}{)^{2}} \\ x &=9 \end{aligned}\)

Як перевірка, ми можемо побачити це,\(\sqrt{9}=3\) як очікувалося. Оскільки зворотне квадратичне властивість рівності не обов'язково вірно, рішення квадратного рівняння не можуть бути розв'язками оригіналу. Отже, квадратизація обох сторін рівняння вводить можливість сторонніх розв'язків або рішень, які не вирішують вихідного рівняння. З цієї причини ми повинні перевірити відповіді, які виникають в результаті квадратування обох сторін рівняння.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:

\(\sqrt{x-1}=5\)

Рішення:

Ми можемо усунути квадратний корінь, застосувавши квадратне властивість рівності.

Далі ми повинні перевірити.

\(\begin{aligned}\color{black}{ \sqrt{\color{OliveGreen}{26}-1}} &=5 \\ \sqrt{25} &=5 \\ 5 &=5\:\:\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення 26.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

Рішення:

Почніть зі зведення в квадрат обидві сторони рівняння.

Вам залишається квадратне рівняння, яке можна вирішити факторингом.

\(\begin{array}{cc}{x+5=0} & {\text { or } \quad x-1=0} \\ {x=-5} & {x=1}\end{array}\)

Так як ви квадрат обидві сторони, ви повинні перевірити свої рішення.

Після перевірки можна побачити, що\(x=−5\) було стороннім; воно не вирішило вихідного радикального рівняння. Нехтуйте цією відповіддю. Це залишає\(x=1\) єдиним рішенням.

Відповідь:

Рішення є\(x=1\).

У попередніх двох прикладах зверніть увагу, що радикал ізольований на одній стороні рівняння. Як правило, це не так. Етапи розв'язання радикальних рівнянь за участю квадратних коренів викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішити:

\(\sqrt{2 x-5}+4=x\)

Рішення:

Крок 1: Ізолюйте квадратний корінь. Почніть з віднімання 4 з обох сторін рівняння.

Крок 2: Квадрат з обох сторін. Квадратування обох сторін усуває квадратний корінь.

Крок 3: Розв'яжіть отримане рівняння. Тут вам залишається квадратне рівняння, яке можна вирішити факторингом.

\(\begin{array}{cc}{x-3=0} & {\text { or } \quad x-7=0} \\ {x=3} & {x=7}\end{array}\)

Крок 4: Перевірте рішення у вихідному рівнянні. Квадратування обох сторін вводить можливість сторонніх рішень, отже, потрібна перевірка.

\(\begin{array}{r|r}{\text {Check } x=3} & {\text { Check } x=7} \\ {\sqrt{2 x-5}+4=x} & {\sqrt{2 x-5}+4=x}\\{\sqrt{2(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}-5}+4=\color{OliveGreen}{3}}&{\sqrt{2(\color{OliveGreen}{7}\color{black}{)}-5}+4=\color{OliveGreen}{7}}\\{\sqrt{6-5}+4=3}&{\sqrt{14-5}+4=7}\\{\sqrt{1}+4=3}&{\sqrt{9}+4=7}\\{1+4=3}&{3+4=7}\\{5=3\:\:\color{red}{x}}&{7=7\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Після перевірки ми бачимо, що\(x=3\) це сторонній корінь; він не вирішує вихідного радикального рівняння. Це залишає\(x=7\) єдиним рішенням.

Відповідь:

Рішення є\(x=7\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:

Рішення:

Почніть з виділення терміна з радикалом

Незважаючи на те що термін з лівого боку має коефіцієнт, він все ж вважається ізольованим. Нагадаємо, що терміни відокремлюються операторами додавання або віднімання.

\(\begin{aligned} 3 \sqrt{x+1} &=2 x \\(3 \sqrt{x+1})^{2} &=(2 x)^{2}\qquad\color{Cerulean}{Square\:both\:sides.} \\ 9(x+1) &=4 x^{2} \end{aligned}\)

Розв'яжіть отримане квадратне рівняння.

\(\begin{array}{rlrl}{4 x+3} & {=0} & {\text { or }} & {x-3=0} \\ {4 x} & {=-3} && {x=3} \\ {x} & {=-\frac{3}{4}}\end{array}\)

Оскільки ми квадратично обидві сторони, ми повинні перевірити наші рішення.

Після перевірки ми можемо побачити, що\(x=−\frac{3}{4}\) було стороннє.

Відповідь:

Рішення 3.

Іноді обидва можливі рішення є сторонніми.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішити:

Рішення:

Почніть з виділення радикала.

Оскільки ми квадратично обидві сторони, ми повинні перевірити наші рішення.

Оскільки обидва можливі рішення є сторонніми, рівняння не має рішення.

Відповідь:

Немає розчину, Ø

Квадратне властивість рівності поширюється на будь-яке натуральне ціле число n. За даними дійсних чисел a і b ми маємо наступне:

Якщо\(a=b\), то\(a^{n}=b^{n}\)

Це часто називають силовим властивістю рівності. Використовують цю властивість поряд з тим\((\sqrt[n]{a})^{n} = \sqrt[n]{a^{n}}=a\), що, коли a позитивне, для вирішення радикальних рівнянь з індексами більше 2.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішити:

\(\sqrt[3]{x^{2}+4}-2=0\)

Рішення:

Виділіть радикал, а потім куб обидві сторони рівняння.

\ (x+2) (x-2) &=0\ end {вирівняний}\) </p">

\(\begin{array}{rlrl}{x+2} & {=0} & {\text { or }} & {x-2=0} \\ {x} & {=-2} & {} & {x=2}\end{array}\)

Перевірте.

\(\begin{array}{r|r}{\text {Check } x=-2} & {\text { Check } x=2} \\ {\sqrt[3]{x^{2}+4}-2=0} & {\sqrt[3]{x^{2}+4}-2=0}\\{\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}+4}-2=0}&{\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}^{2}+4}-2=0}\\{\sqrt[3]{4+4}-2=0}&{\sqrt[3]{4+4}-2=0}\\{\sqrt[3]{8}-2=0}&{\sqrt[3]{8}-2=0}\\{2-2=0}&{2-2=0}\\{0=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}}&{0=0\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Відповідь:

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:

\(\sqrt{2 x-1}+2=x\)

Відповідь

\(x=5\)(\(x=1\)є стороннім)

Може бути так, що рівняння має два радикальних вирази.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вирішити:

\(\sqrt{3 x-4}=\sqrt{2 x+9}\)

Рішення:

Обидва радикали вважаються ізольованими з окремих сторін рівняння.

Перевірка\(x=13\).

\(\begin{aligned} \sqrt{3 x-4} &=\sqrt{2 x+9} \\ \sqrt{3(\color{OliveGreen}{13}\color{black}{)}-4} &=\sqrt{2(\color{OliveGreen}{13}\color{black}{)}+9} \\ \sqrt{39-4} &=\sqrt{26+9} \\ \sqrt{35} &=\sqrt{35} \quad \color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення 13.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вирішити:

\(\sqrt[3]{x^{2}+x-14}=\sqrt[3]{x+50}\)

Рішення:

Усуньте радикали, кубіруючи обидві сторони.

\ (x+8) (x-8) &=0\ end {вирівняний}\) </p">

\(\begin{array}{rlrl}{x+8} & {=0} & {\text { or }} & {x-8=0} \\ {x} & {=-8} && {x=8}\end{array}\)

Перевірте.

\(\begin{array}{r|r}{\text { Check } x=-8}&{\text{Check }x=8} \\ {\sqrt[3]{x^{2}+x-14}=\sqrt[3]{x+50}} & {\sqrt[3]{x^{2}+x-14}=\sqrt[3]{x+50}}\\{\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{-8}\color{black}{)}^{2}+(\color{OliveGreen}{-8}\color{black}{)}-14}=\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{-8}\color{black}{)}+50}}&{\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{8}\color{black}{)}^{2}+(\color{OliveGreen}{8}\color{black}{)}-14}=\sqrt[3]{(\color{OliveGreen}{8}\color{black}{)}+50}}\\{\sqrt[3]{64-8-14}=\sqrt[3]{42}}&{\sqrt[3]{64+8-14}=\sqrt[3]{58}}\\{\sqrt[3]{42}=\sqrt[3]{42}\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}}&{\sqrt[3]{58}=\sqrt[3]{58}\:\:\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Відповідь:

Ми дізнаємося, як вирішити деякі з більш просунутих радикальних рівнянь в наступному курсі, Проміжна алгебра.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

\(\sqrt{3 x+1}=\sqrt{2 x-3}\)

Відповідь

Немає рішення для x

Ключові винос

• Вирішіть рівняння, що включають квадратні корені, спочатку ізолюючи радикал, а потім квадратично обидві сторони. Квадратування квадратного кореня усуває радикал, залишаючи нам рівняння, яке можна вирішити за допомогою методів, вивчених раніше в нашому вивченні алгебри. Однак квадратизація обох сторін рівняння вводить можливість сторонніх розв'язків, тому перевірте свої відповіді у вихідному рівнянні.
• Вирішіть рівняння, що включають кубові корені, спочатку ізолюючи радикал, а потім кубічно обидві сторони. Це усуває радикал і призводить до рівняння, яке може бути вирішено за допомогою методів, які ви вже освоїли.

Вправа\(\PageIndex{3}\) Solving Radical Equations

Вирішити.

1. \(\sqrt{x}=2\)
2. \(\sqrt{x}=7\)
3. \(\sqrt{x}+7=8\)
4. \(\sqrt{x}+4=9\)
5. \(\sqrt{x}+6=3\)
6. \(\sqrt{x}+2=1\)
7. \(5\sqrt{x}−1=0\)
8. \(3\sqrt{x}−2=0\)
9. \(\sqrt{x−3}=3\)
10. \(\sqrt{x+5}=6\)
11. \(\sqrt{3x+1}=2\)
12. \(\sqrt{5x−4}=4\)
13. \(\sqrt{7x+4}+6=11\)
14. \(\sqrt{3x−5}+9=14\)
15. \(\sqrt{2x−1}−3=0\)
16. \(\sqrt{3x+1}−2=0\)
17. \(\sqrt[3]{x}=2\)
18. \(\sqrt[3]{x}=5\)
19. \(\sqrt[3]{2x+9}=3\)
20. \(\sqrt[3]{4x−11}=1\)
21. \(\sqrt[3]{5x+7}+3=1\)
22. \(\sqrt[3]{3x−6}+5=2\)
23. \(2\sqrt[3]{x+2}−1=0\)
24. \(2\sqrt[3]{2x−3}−1=0\)
25. \(\sqrt{8x+11}=\sqrt{3x+1}\)
26. \(2 \sqrt{3 x-4}=\sqrt{2(3 x+1)}\)
27. \(\sqrt{2(x+10)}=\sqrt{7 x-15}\)
28. \(\sqrt{5(x−4)}=\sqrt{x+4}\)
29. \(\sqrt[3]{5 x-2}=\sqrt[3]{4 x}\)
30. \(\sqrt[3]{9(x−1)}=\sqrt[3]{3(x+7)}\)
31. \(\sqrt[3]{3 x+1}=\sqrt[3]{2(x-1)}\)
32. \(\sqrt[3]{9x}=\sqrt[3]{3(x−6)}\)
33. \(\sqrt{4 x+21}=x\)
34. \(\sqrt{8x+9}=x\)
35. \(\sqrt{4(2x−3)}=x\)
36. \(\sqrt{3(4x−9)}=x\)
37. \(2 \sqrt{x-1}=x\)
38. \(3\sqrt{2x−9}=x\)
39. \(\sqrt{9 x+9}=x+1\)
40. \(\sqrt{3x+10}=x+4\)
41. \(\sqrt{x−1}=x−3\)
42. \(\sqrt{2x−5}=x−4\)
43. \(\sqrt{16−3x}=x−6\)
44. \(\sqrt{7−3x}=x−3\)
45. \(3 \sqrt{2 x+10}=x+9\)
46. \(2\sqrt{2x+5}=x+4\)
47. \(3\sqrt{x−1}-1=x\)
48. \(2\sqrt{2x+2}−1=x\)
49. \(\sqrt{10x+41}−5=x\)
50. \(\sqrt{6(x+3)}−3=x\)
51. \(\sqrt{8x^{2}−4x+1}=2x\)
52. \(\sqrt{18x^{2}−6x+1}=3x\)
53. \(5\sqrt{x+2}=x+8\)
54. \(4 \sqrt{2(x+1)}=x+7\)
55. \(\sqrt{x^{2}−25}=x\)
56. \(\sqrt{x^{2}+9}=x\)
57. \(3+\sqrt{6x−11}=x\)
58. \(2+\sqrt{9x−8}=x\)
59. \(\sqrt{4x+25}-x=7\)
60. \(\sqrt{8x+73}−x=10\)
61. \(2\sqrt{4x+3}−3=2x\)
62. \(2\sqrt{6x+3}−3=3x\)
63. \(2x−4=\sqrt{14−10x}\)
64. \(3x−6=3\sqrt{3−24x}\)
65. \(\sqrt[3]{x^{2}−24}=1\)
66. \(\sqrt[3]{x^{2}−54}=3\)
67. \(\sqrt[3]{x^{2}+6x}+1=4\)
68. \(\sqrt[3]{x^{2}+2x}+5=7\)
69. \(\sqrt[3]{25x^{2}−10x−7}=−2\)
70. \(\sqrt[3]{9x^{2}−12x−23}=−3\)
71. \(\sqrt{2 x^{2}-15 x+25}=\sqrt{(x+5)(x-5)}\)
72. \(\sqrt{x^{2}−4x+4}=\sqrt{x(5−x)}\)
73. \(\sqrt[3]{2\left(x^{2}+3 x-20\right)}=\sqrt[3]{(x+3)^{2}}\)
74. \(\sqrt[3]{3x^{2}+3x+40}=\sqrt[3]{(x−5)^{2}}\)
75. \(x^{1/2}−10=0\)
76. \(x^{1/2}−6=0\)
77. \(x^{1/3}+2=0\)
78. \(x^{1/3}+4=0\)
79. \((x−1)^{1/2}−3=0\)
80. \((x+2)^{1/2}−6=0\)
81. \((2x−1)^{1/3}+3=0\)
82. \((3x−1)^{1/3}−2=0\)
83. \((4x+15)^{1/2}−2x=0\)
84. \((3x+2)^{1/2}−3x=0\)
85. \((2x+12)^{1/2}−x=6\)
86. \((4x+36)^{1/2}−x=9\)
87. \(2(5x+26)^{1/2}=x+10\)
88. \(3(x−1)^{1/2}=x+1\)
89. Квадратний корінь з 1 менше подвоєного числа дорівнює 2 менше числа. Знайдіть номер.
90. Квадратний корінь з 4 менше подвоєного числа дорівнює 6 менше числа. Знайдіть номер.
91. Квадратний корінь з подвійного числа дорівнює половині цього числа. Знайдіть номер.
92. Квадратний корінь з подвійного числа дорівнює третині цього числа. Знайдіть номер.
93. Відстань, d, виміряна в милі, людина може бачити об'єкт, задається формулою,\(d=\sqrt{\frac{3h}{2}\) де h представляє висоту людини над рівнем моря, виміряну в футах. Наскільки високо повинна бути людина, щоб побачити об'єкт за 5 миль?
94. Струм, I, виміряний в амперах, задається за формулою,\(I=\sqrt{\frac{P}{R}}\) де P - споживана потужність, вимірювана в ватах, а R - опір, вимірюється в Омах. Якщо лампочка вимагає 1/2 ампера струму і використовує 60 Вт потужності, то яке опір лампочки?

Відповідь

1. \(4\)

3. \(1\)

5. \(Ø\)

7. \(\frac{1}{25}\)

9. \(12\)

11. \(1\)

13. \(3\)

15. \(5\)

17. \(8\)

19. \(9\)

21. \(−3\)

23. \(−\frac{15}{8}\)

25. \(Ø\)

27. \(7\)

29. \(2\)

31. \(−3\)

33. \(7\)

35. \(2, 6\)

37. \(2\)

39. \(−1, 8\)

41. \(5\)

43. \(Ø\)

45. \(−3, 3\)

47. \(2, 5\)

49. \(4, −4\)

51. \(\frac{1}{2}\)

53. \(2, 7\)

55. \(Ø\)

57. \(10\)

59. \(−6, −4\)

61. \(−\frac{1}{2},\frac{3}{2}\)

63. \(Ø\)

65. \(−5, 5\)

67. \(−9, 3\)

69. \(\frac{1}{5}\)

71. \(5, 10\)

73. \(−7, 7\)

75. \(100\)

77. \(−8\)

79. \(10\)

81. \(−13\)

83. \(\frac{5}{2}\)

85. \(−6, −4\)

87. \(−2, 2\)

89. \(5\)

91. \(8\)

93. \(16 \frac{2}{3}\)ноги

Вправа\(\PageIndex{4}\) Solving Radical Equations

Період, T, маятника в секундах задається за формулою

\(T=2π\sqrt{L/32}\)

де L представляє довжину в футах. Для кожної задачі нижче розрахуйте довжину маятника, враховуючи період. Дайте точне значення і приблизне значення округлені до найближчої десятої частини фута.

1. \(1\)другий
2. \(2\)секунд
3. \(\frac{1}{2}\)другий
4. \(\frac{1}{3}\)другий

Відповідь

1. \(\frac{8}{\pi^{2}} ≈0.8\)стопа

3. \(\frac{2}{\pi^{2}} ≈0.2\)стопа

Вправа\(\PageIndex{5}\) Solving Radical Equations

Час, t, в секундах об'єкт у вільному падінні задається за формулою

\(s=16\cdot t^{2}\)

де s позначає відстань у футах, на яку впав об'єкт. Для кожної задачі нижче обчислити відстань, на яку потрапляє об'єкт, враховуючи кількість часу.

1. 1 секунда
2. 2 секунди
3. \(\frac{1}{2}\)другий
4. \(\frac{1}{4}\)другий

Відповідь

1. 16 футів

3. 4 фути

Вправа\(\PageIndex{6}\) Solving Radical Equations

X -перехоплення для будь-якого графа мають вигляд\((x, 0)\), де x - дійсне число. Тому, щоб знайти x -перехоплення, встановити\(y = 0\) і вирішити для х. Знайдіть x -перехоплення для кожного з наступних.

1. \(y=\sqrt{x−3}−1\)
2. \(y=\sqrt{x+2}−3\)
3. \(y=\sqrt[3]{x−1}+2\)
4. \(y=\sqrt[3]{x+1}−3\)

Відповідь

1. \((4, 0)\)

3. \((−7, 0)\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Discussion Board

1. Обговоріть причини, чому ми іноді отримуємо сторонні рішення при розв'язанні радикальних рівнянь. Чи є коли-небудь умови, коли нам не потрібно перевіряти сторонні рішення? Чому?

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися