8.3: Додавання та віднімання радикальних виразів

Цілі навчання

• Додайте і віднімайте як радикали.
• Спростіть радикальні вирази за участю подібних радика

Додавання та віднімання радикальних виразів

Додавання та віднімання радикальних виразів схоже на додавання та віднімання подібних термінів. Радикали вважаються схожими на радикали, або подібні радикали, коли вони поділяють один і той же індекс і радиканд. Наприклад, терміни\(3\sqrt{5}\) і\(4\sqrt{5}\) містять подібні радикали і можуть бути додані за допомогою розподільної властивості наступним чином:

\(\begin{aligned} 3 \sqrt{5}+4 \sqrt{5} &=(3+4) \sqrt{5} \\ &=7 \sqrt{5} \end{aligned}\)

Як правило, ми не показуємо крок за участю розподільного властивості і просто пишемо

\(3 \sqrt{5}+4 \sqrt{5}=7 \sqrt{5}\)

При додаванні термінів з подібними радикалами додайте тільки коефіцієнти; радикальна частина залишається такою ж.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Додати:

\(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}\)

Рішення:

Терміни містять подібні радикали; отже, додайте коефіцієнти.

\(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}=5 \sqrt{2}\)

Відповідь:

\(5\sqrt{2}\)

Віднімання виконується аналогічним чином.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Відніміть:

\(2\sqrt{7}−3\sqrt{7}\)

Рішення:

Відповідь:

\(-\sqrt{7}\)

Якщо радиканд і індекс не зовсім однакові, то радикали не схожі і ми не можемо їх поєднувати.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Спростити:

Рішення:

Ми не можемо спростити більше, тому що\(\sqrt{5}\) і не\(\sqrt{2}\) схожі на радикалів; радиканди не однакові.

Відповідь:

\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)

Примітка

Обережно

Важливо зазначити, що\(\sqrt{5}−\sqrt{2}≠\sqrt{5−2}\). Ми можемо перевірити це, обчисливши значення кожної сторони за допомогою калькулятора.

\(\begin{aligned} \sqrt{5}-\sqrt{2} & \approx 0.82 \\ \sqrt{5-2} &=\sqrt{3} \approx 1.73 \end{aligned}\)

Загалом, зверніть увагу на те, що\(\sqrt[n]{a} \pm\sqrt[n]{b} \neq \sqrt[n]{a\pm b}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Спростити:

Рішення:

Ми не можемо спростити далі, тому що\(\sqrt[3]{6}\) і не\(\sqrt{6}\) схожі на радикали; індекси не однакові.

Відповідь:

\(2 \sqrt[3]{6}-\sqrt{6}\)

Часто нам доведеться спростити, перш ніж ми зможемо визначити подібні радикали в межах термінів.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Відніміть:

\(\sqrt{12}-\sqrt{48}\)

Рішення:

На перший погляд радикали не здаються схожими. Однак після повного спрощення ми побачимо, що можемо їх комбінувати.

Відповідь:

\(-2\sqrt{3}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Спростити:

Рішення:

Відповідь:

\(-\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Відніміть:

\(2\sqrt{50}-6\sqrt{8}\)

Відповідь

\(-2\sqrt{2}\)

Далі ми працюємо з радикальними виразами за участю змінних. У цьому розділі припустимо, що всі радиканди, що містять змінні вирази, не є негативними.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Спростити:

Рішення:

Ми не можемо поєднувати далі, оскільки решта радикальних виразів не мають однакового радиканду; вони не схожі на радикалів. Зауважте, що\(\sqrt[3]{2x}-\sqrt[3]{3x}\neq \sqrt[3]{2x−3x}\).

Відповідь:

\(\sqrt[3]{2 x}-\sqrt[3]{3 x}\)

Ми часто виявляємо необхідність відняти радикальний вираз з декількома термінами. Якщо це так, не забудьте застосувати розподільну властивість перед об'єднанням подібних термінів.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Спростити:

Рішення:

Відповідь:

Поки ми не спростимо, часто незрозуміло, які терміни за участю радикалів схожі.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Спростити:

\(5 \sqrt[3]{2 y}-(\sqrt[3]{54 y}-\sqrt[3]{16})\)

Рішення:

Відповідь:

\(2 \sqrt[3]{2 y}+2 \sqrt[3]{2}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Спростити:

\(2 a \sqrt{125 a^{2} b}-a^{2} \sqrt{80 b}+4 \sqrt{20 a^{4} b}\)

Рішення:

Відповідь:

\(14 a^{2} \sqrt{5 b}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Спростити:

\(\sqrt{45x^{3}}-(\sqrt{20x^{3}-\sqrt{80x}})\)

Відповідь

\(3 \sqrt{5} x^{\frac{3}{2}}-2 \sqrt{5 x^{3}-\sqrt{5} \sqrt{x}}\)

Примітка

Чайові

Уважно зверніть увагу на відмінності між продуктами та сумами в межах радикалу.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

Продукція	Суми
\[\sqrt{x^{2}y^{2}}=xy \sqrt[3]{x^{3}y^{3}}=xy\]	\[\sqrt{x^{2}+y^{2}} \neq (x=y)\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} \ neq x+y\]

Властивість\(\sqrt[n]{a⋅b}=\sqrt[n]{a}⋅\sqrt[n]{b}\) говорить про те, що ми можемо спростити радикали, коли операція в радиканді - це множення. Відсутня відповідна властивість для додавання.

Ключові винос

• Додавайте і віднімайте терміни, які містять як радикали так само, як і терміни. Якщо індекс і радиканд абсолютно однакові, то радикали схожі і можуть поєднуватися. Це передбачає додавання або віднімання тільки коефіцієнтів; радикальна частина залишається незмінною.
• Спростіть кожен радикал повністю, перш ніж поєднувати подібні терміни.

Вправа\(\PageIndex{3}\) adding and subtracting like radicals

Спростити.

1. \(9\sqrt{3}+5\sqrt{3}\)
2. \(12\sqrt{6}+3\sqrt{6}\)
3. \(4\sqrt{5}−7\sqrt{5}\)
4. \(3\sqrt{10}−8\sqrt{10}\)
5. \(\sqrt{6}−4\sqrt{6}+2\sqrt{6}\)
6. \(5\sqrt{10}−15\sqrt{10}−2\sqrt{10}\)
7. \(13\sqrt{7}−6\sqrt{2}−5\sqrt{7}+5\sqrt{2}\)
8. \(10\sqrt{13}−12\sqrt{15}+5\sqrt{13}−18\sqrt{15}\)
9. \(6\sqrt{5}−(4\sqrt{3}−3\sqrt{5})\)
10. \(−12\sqrt{2}−(6\sqrt{6}+\sqrt{2})\)
11. \((2\sqrt{5}−3\sqrt{10})−(\sqrt{10}+3\sqrt{5})\)
12. \((−8\sqrt{3}+6\sqrt{15})−(\sqrt{3}−\sqrt{15})\)
13. \(4\sqrt[3]{6}−3\sqrt[3]{5}+6\sqrt[3]{6}\)
14. \(\sqrt[3]{10}+5\sqrt[3]{10}−4\sqrt[3]{10}\)
15. \((7\sqrt[3]{9}−4\sqrt[3]{3})−(\sqrt[3]{9}−3\sqrt[3]{3})\)
16. \((−8\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25})−(2\sqrt[3]{5}+6\sqrt[3]{25})\)

Відповідь

1. \(14\sqrt{3}\)

3. \(−2\sqrt{5}\)

5. \(−\sqrt{6}\)

7. \(8\sqrt{7}−\sqrt{2}\)

9. \(9\sqrt{5}−4\sqrt{3}\)

11. \(−\sqrt{5}−4\sqrt{10}\)

13. \(10\sqrt[3]{6}−3\sqrt[3]{5}\)

15. \(6\sqrt[3]{9}−\sqrt[3]{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\) adding and subtracting like radicals

Спростити. (Припустимо, що всі радиканди, що містять змінні вирази, є позитивними.)

1. \(9\sqrt{x}+7\sqrt{x}\)
2. \(−8\sqrt{y}+4\sqrt{y}\)
3. \(7\sqrt{xy}−3\sqrt{xy}+\sqrt{xy}\)
4. \(10\sqrt{y^{2}x}−12\sqrt{y^{2}x}−2\sqrt{y^{2}x}\)
5. \(2\sqrt{ab}-5\sqrt{a}+6\sqrt{ab}−10\sqrt{a}\)
6. \(−3\sqrt{xy}+6\sqrt{y}−4\sqrt{xy}−7\sqrt{y}\)
7. \(5\sqrt{xy}−(3\sqrt{xy}−7\sqrt{xy})\)
8. \(−8\sqrt{ab}−(2\sqrt{ab}−4\sqrt{ab})\)
9. \((3\sqrt{2x}−\sqrt{3x})−(\sqrt{2x}−7\sqrt{3x})\)
10. \((\sqrt{y}−4\sqrt{2y})−(\sqrt{y}−5\sqrt{2y})\)
11. \(5\sqrt[3]{x}−12\sqrt[3]{x}\)
12. \(−2\sqrt[3]{y}−3\sqrt[3]{y}\)
13. \(a\sqrt[5]{3b}+4a\sqrt[5]{3b}−a\sqrt[5]{3b}\)
14. \(−8\sqrt[4]{ab}+3\sqrt[4]{ab}−2\sqrt[4]{ab}\)
15. \(6\sqrt{2a}-4\sqrt[3]{2a}+7\sqrt{2a}−\sqrt[3]{2a}\)
16. \(4\sqrt[5]{3a} +\sqrt[3]{3a} -9\sqrt[5]{3a}+\sqrt[3]{3a}\)
17. \((\sqrt[4]{4xy}−\sqrt[3]{xy})−(2 \sqrt[4]{4xy}−\sqrt[3]{xy})\)
18. \((5\sqrt[6]{6y}−\sqrt{5y})−(2\sqrt[6]{6y}+\sqrt{3y})\)

Відповідь

1. \(16\sqrt{x}\)

3. \(5\sqrt{xy}\)

5. \(8\sqrt{ab}−15\sqrt{a}\)

7. \(9\sqrt{xy}\)

9. \(2\sqrt{2x}+6\sqrt{3x}\)

11. \(−7\sqrt[3]{x}\)

13. \(4a\sqrt[5]{3b}\)

15. \(13\sqrt{2a}−5\sqrt[3]{2a}\)

17. \(−\sqrt[4]{4xy}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) adding and subtracting rational expressions

Спростити.

1. \(\sqrt{75}-\sqrt{12}\)
2. \(\sqrt{24}−\sqrt{54}\)
3. \(\sqrt{32}+\sqrt{27}−\sqrt{8}\)
4. \(\sqrt{20}+\sqrt{48}−\sqrt{45}\)
5. \(\sqrt{28}−\sqrt{27}+\sqrt{63}−\sqrt{12}\)
6. \(\sqrt{90}+\sqrt{24}−\sqrt{40}−\sqrt{54}\)
7. \(\sqrt{45}−\sqrt{80}+\sqrt{245}−\sqrt{5}\)
8. \(\sqrt{108}+\sqrt{48}−\sqrt{75}−\sqrt{3}\)
9. \(4\sqrt{2}−(\sqrt{27}−\sqrt{72})\)
10. \(−\sqrt{35}−(\sqrt{20}−\sqrt{50})\)
11. \(\sqrt[3]{16}−\sqrt[3]{54}\)
12. \(\sqrt[3]{81}−\sqrt[3]{24}\)
13. \(\sqrt[3]{135}+\sqrt[3]{40}−\sqrt[3]{5}\)
14. \(\sqrt[3]{108}−\sqrt[3]{32}−\sqrt[3]{4}\)
15. \(2\sqrt{27}−2\sqrt{12}\)
16. \(3\sqrt{50}−4\sqrt{32}\)
17. \(3 \sqrt{243}-2 \sqrt{18}-\sqrt{48}\)
18. \(6\sqrt{216}−2\sqrt{24}−2\sqrt{96}\)
19. \(2 \sqrt{18}-3 \sqrt{75}-2 \sqrt{98}+4 \sqrt{48}\)
20. \(\sqrt{245}−\sqrt{12}+\sqrt{220}−\sqrt{108}\)
21. \((2 \sqrt{363}-3 \sqrt{96})-(7 \sqrt{12}-2 \sqrt{54})\)
22. \((2\sqrt{288}+3\sqrt{360})−(2\sqrt{72}−7\sqrt{40})\)
23. \(3\sqrt[3]{54}+5\sqrt[3]{250}−4\sqrt[3]{16}\)
24. \(4\sqrt[3]{162}−2\sqrt[3]{384}−3\sqrt[3]{750}\)

Відповідь

1. \(3\sqrt{3}\)

3. \(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}\)

5. \(5\sqrt{7}−5\sqrt{3}\)

7. \(5\sqrt{5}\)

9. \(10\sqrt{2}−3\sqrt{3}\)

11. \(\sqrt[3]{−2}\)

13. \(4\sqrt[3]{5}\)

15. \(2\sqrt{3}\)

17. \(23\sqrt{3}−6\sqrt{2}\)

19. \(−8\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

21. \(8\sqrt{3}−6\sqrt{6}\)

23. \(26\sqrt[3]{2}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) adding and subtracting rational expressions

Спростити. (Припустимо, що всі радиканди, що містять змінні вирази, є позитивними.)

1. \(\sqrt{81b}+\sqrt{4b}\)
2. \(\sqrt{100a}+\sqrt{a}\)
3. \(\sqrt{9a^{2}b}−\sqrt{36a^{2}b}\)
4. \(\sqrt{50a^{2}}−\sqrt{18a^{2}}\)
5. \(\sqrt{49x}−\sqrt{9y}+\sqrt{x}−\sqrt{4y}\)
6. \(\sqrt{9x}+\sqrt{64y}−\sqrt{25x}−\sqrt{y}\)
7. \(7\sqrt{8x}−(3\sqrt{16y}−2\sqrt{18x})\)
8. \(2\sqrt{64y}−(3\sqrt{32y}−\sqrt{81y})\)
9. \(2 \sqrt{9 m 2 n}-5 \sqrt{m 2 n}+\sqrt{m 2 n}\)
10. \(4\sqrt{18n^{2}m}−2\sqrt{n^{8}m}+\sqrt{n^{2}m}\)
11. \(\sqrt{4x^{2}y}−\sqrt{9xy^{2}}−\sqrt{16x^{2}y}+\sqrt{y^{2}x}\)
12. \(\sqrt{32x^{2}y^{2}}+\sqrt{12x^{2}y}−\sqrt{18x^{2}y^{2}}−\sqrt{27x^{2}y}\)
13. \((\sqrt{9x^{2}y}−\sqrt{16y})−(\sqrt{49x^{2}y}−4\sqrt{y})\)
14. \((\sqrt{72x^{2}y^{2}}−\sqrt{18x^{2}y})−(\sqrt{50x^{2}y^{2}}+\sqrt{x^{2}y})\)
15. \(\sqrt{12 m^{4} n}-m \sqrt{75 m^{2} n}+2 \sqrt{27 m^{4} n}\)
16. \(5n\sqrt{27mn^{2}}+2\sqrt{12mn^{4}}−n\sqrt{3mn^{2}}\)
17. \(2\sqrt{27a^{3}b}−a\sqrt{48ab}−a\sqrt{144a^{3}b}\)
18. \(\sqrt{298a^{4}b}−2a\sqrt{162a^{2}b}+a\sqrt{200b}\)
19. \(\sqrt[3]{125a}−\sqrt[3]{27a}\)
20. \(\sqrt[3]{1000a^{2}}−\sqrt[3]{64a^{2}}\)
21. \(2x\sqrt[3]{54x}−2\sqrt[3]{16x^{4}}+5\sqrt[3]{2x^{4}}\)
22. \(\sqrt[3]{54x^{3}}−\sqrt[3]{250x^{6}}+x2\sqrt[3]{2}\)
23. \(\sqrt[4]{16y^{2}}+\sqrt[4]{81y^{2}}\)
24. \(\sqrt[5]{32y^{4}}−\sqrt[5]{y^{4}}\)
25. \(\sqrt[4]{32a^{3}}−\sqrt[4]{162a^{3}}+5\sqrt[4]{2a^{3}}\)
26. \(\sqrt[4]{80a^{4}b}+\sqrt[4]{5a^{4}b}−a\sqrt[4]{5b}\)
27. \(\sqrt[3]{27x^{3}}+\sqrt[3]{8x}−\sqrt[3]{125x^{3}}\)
28. \(\sqrt[3]{24x}−\sqrt[3]{128x}−\sqrt[3]{81x}\)
29. \(\sqrt[3]{27x^{4}y}−\sqrt[3]{8xy^{3}}+x\sqrt[3]{64xy}−y\sqrt[3]{x}\)
30. \(\sqrt[3]{125xy^{3}}+\sqrt[3]{8x^{3}y}−\sqrt[3]{216xy^{3}}+10x\sqrt[3]{y}\)
31. \((\sqrt[3]{162x^{4}y}−\sqrt[3]{250x^{4}y^{2}})−(\sqrt[3]{2x^{4}y^{2}}−\sqrt[3]{384x^{4}y})\)
32. \((\sqrt[5]{32x^{2}y^{6}}−\sqrt[5]{243x^{6}y^{2}})−(\sqrt[5]{x^{2}y^{6}}−x\sqrt[5]{xy^{2}})\)

Відповідь

1. \(11\sqrt{b}\)

3. \(−3a\sqrt{b}\)

5. \(8\sqrt{x}−5\sqrt{y}\)

7. \(20 \sqrt{2x}-12 \sqrt{y}\)

9. \(2 \sqrt{2} \sqrt{m n}\)

11. \(-2 x \sqrt{y}-2 y \sqrt{x}\)

13. \(−4x\sqrt{y}\)

15. \(3 \sqrt{3} m^{2} \sqrt{n}\)

17. \(2a\sqrt{3ab}−12a^{2}\sqrt{ab}\)

19. \(2\sqrt[3]{a}\)

21. \(7x\sqrt[3]{2x}\)

23. \(5 \sqrt{y}\)

25. \(4\sqrt[4]{2a^{3}}\)

27. \(−2x+2\sqrt[3]{x}\)

29. \(7x\sqrt[3]{xy}−3y\sqrt[3]{x}\)

31. \(7x\sqrt[3]{6xy}−6x\sqrt[3]{2xy^{2}}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) discussion board

1. Виберіть значення для x та y та скористайтеся калькулятором, щоб показати це\(\sqrt{x+y}\neq \sqrt{x}+\sqrt{y}\).
2. Виберіть значення для x та y та скористайтеся калькулятором, щоб показати це\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\neq x+y\).

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися