7.5: Рішення раціональних рівнянь

Цілі навчання

• Вирішити раціональні рівняння
• Вирішити буквальні рівняння, або формули, що включають раціональні вирази.

Рішення раціональних рівнянь

Раціональне рівняння - це рівняння, що містить хоча б один раціональний вираз. Раціональні вирази зазвичай містять змінну в знаменнику. З цієї причини ми подбаємо про те, щоб знаменник не був 0, зазначивши обмеження та перевіривши наші рішення.

Розв'яжіть раціональні рівняння шляхом очищення дробів шляхом множення обох сторін рівняння на найменш спільний знаменник (РК).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:

\(\frac{5}{x}-\frac{1}{3} = \frac{1}{x}\)

Рішення:

Спочатку робимо зауваження, що\(x≠0\) а потім множимо обидві сторони на РК-дисплей,\(3x\):

Перевірте свою відповідь, замінивши 12 на x, щоб побачити, чи отримаєте ви справжнє твердження.

\(\begin{aligned} \frac{5}{x}-\frac{1}{3} &=\frac{1}{x} \\ \color{black}{\frac{5}{\color{OliveGreen}{12}}}-\frac{1}{3} &=\color{black}{\frac{1}{\color{OliveGreen}{12}}} \\ \frac{5}{12}-\frac{4}{12} &=\frac{1}{12} \\ \frac{1}{12} &=\frac{1}{12}\quad\color{Cerulean}{ \checkmark} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення 12.

Після множення обох сторін попереднього прикладу на РК-дисплей, нам залишилося лінійне рівняння для вирішення. Це не завжди так; іноді нам залишиться квадратне рівняння.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

\(2-\frac{1}{x(x+1)}=\frac{3}{x+1}\)

Рішення:

В даному прикладі є два обмеження,\(x≠0\) і\(x≠−1\). Почніть з множення обох сторін на РК-дисплей,\(x(x+1)\).

Після розподілу і поділу загальних факторів залишається квадратне рівняння. Щоб її вирішити, перепишіть його в стандартну форму, множник, а потім задайте кожен коефіцієнт рівним 0.

\(\begin{array}{rlrl}{2 x+1} & {=0} & {\text { or }} & {x-1=0} \\ {2 x} & {=-1} && {x=1} \\ {x} & {=-\frac{1}{2}}\end{array}\)

Перевірте, чи вирішують ці значення вихідне рівняння.

\(2-\frac{1}{x(x+1)}=\frac{3}{x+1}\)

\(\begin{array}{c|c}{Check\:x=-\frac{1}{2}}&{Check\:x=1}\\{2-\frac{1}{\color{Cerulean}{(-\frac{1}{2})}\color{black}{(\color{Cerulean}{(-\frac{1}{2})}\color{black}{+1)}}}=\frac{3}{\color{Cerulean}{(-\frac{1}{2})}\color{black}{+1}}}&{2-\frac{1}{\color{Cerulean}{1}\color{black}{(\color{Cerulean}{1}\color{black}{+1)}}=}\frac{3}{\color{Cerulean}{1}\color{black}{+1}}}\\{2-\frac{1}{(-\frac{1}{4})}=\frac{3}{\frac{1}{2}}}&{\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}}\\{2+1\cdot\frac{4}{1}=3\cdot\frac{2}{1}}&{\frac{3}{2}=\frac{3}{2}}\quad\color{Cerulean}{\checkmark}\\{2+4=6}\\{6=6}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{array}\)

Відповідь:

Рішення є\(-\frac{1}{2}\) і\(1\).

До цього моменту всі можливі рішення вирішували вихідне рівняння. Однак це може бути не завжди так. Множення обох сторін рівняння на змінні коефіцієнти може призвести до сторонніх розв'язків, які є розв'язками, які не вирішують вихідного рівняння. Повний перелік кроків для вирішення раціонального рівняння викладено в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішити:

\(\frac{x}{x+2}+\frac{2}{x^{2}+5 x+6}=\frac{5}{x+3}\)

Рішення:

Крок 1: Розподіліть всі знаменники та визначте РК-дисплей.

\(\begin{aligned} \frac{x}{x+2}+\frac{2}{x^{2}+5 x+6} &=\frac{5}{x+3} \\ \frac{x}{(x+2)}+\frac{2}{(x+2)(x+3)} &=\frac{5}{(x+3)} \end{aligned}\)

РК-дисплей є\((x+2)(x+3)\).

Крок 2: Визначте обмеження. В даному випадку ними є\(x≠−2\) і\(x≠−3\).

Крок 3: Помножте обидві сторони рівняння на РК-дисплей. Розподіліть обережно, а потім спростіть.

\(\begin{aligned}\color{Cerulean}{(x+2)(x+3)}\color{black}{\cdot}\left(\frac{x}{(x+2)}+\frac{2}{(x+2)(x+3)} \right)&=\color{Cerulean}{(x+2)(x+3)}\color{black}{\cdot\frac{5}{(x+3)}}\\ \frac{x\cdot\color{Cerulean}{\cancel{(x+2)}(x+3)}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}}}\color{black}{+}\frac{2\cdot\color{Cerulean}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x+3)}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}\cancel{\color{black}{(x+3)}}}}&\color{black}{=}\frac{5\cdot\color{Cerulean}{(x+2)\cancel{(x+3)}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+3)}}}}\\x(x+3)+2&=5(x+2)\\x^{2}+3x+2&=5x+10 \end{aligned}\)

Крок 4: Розв'яжіть отримане рівняння. Тут в результаті виходить квадратне рівняння. Перепишіть його в стандартну форму, коефіцієнт, а потім задайте кожен коефіцієнт рівним\(0\).

\ (x+2) (x-4) &=0\ end {вирівняний}\) </p">

\(\begin{array}{cc}{x+2=0} & {\text { or } \quad x-4=0} \\ {x=-2} & {x=4}\end{array}\)

Крок 5: Перевірте наявність сторонніх рішень. Завжди підставляйте до вихідного рівняння або факторного еквівалента. У цьому випадку виберіть факторний еквівалент для перевірки:

\(\frac{x}{(x+2)}+\frac{2}{(x+2)(x+3)}=\frac{5}{(x+3)}\)

\(\begin{array}{c|c}{Check\:x=-2}&{Check\:x=4}\\{\frac{-2}{(\color{Cerulean}{-2}\color{black}{+2)}}+\frac{2}{(\color{Cerulean}{-2}\color{black}{+2)(}\color{Cerulean}{-2}\color{black}{+3)}}=\frac{5}{(\color{Cerulean}{-2}\color{black}{+3)}}}&{\frac{4}{(\color{Cerulean}{4}\color{black}{+2)}}+\frac{2}{(\color{Cerulean}{4}\color{black}{+2)(}\color{Cerulean}{4}\color{black}{+3)}}=\frac{5}{(\color{Cerulean}{4}\color{black}{+3)}}}\\{-\frac{2}{0}+\frac{2}{0(1)}=\frac{5}{1}\quad\color{red}{x}}&{\frac{4}{6}+\frac{2}{6\cdot7}=\frac{5}{7}}\\{Undefined\:terms!}&{\frac{2}{3}+\frac{1}{21}=\frac{5}{7}}\\{}&{\frac{14}{21}+\frac{1}{21}=\frac{5}{7}}\\{}&{\frac{15}{21}=\frac{5}{7}}\\{}&{\frac{5}{7}=\frac{5}{7}\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Тут\(−2\) є стороннє рішення і не входить в набір розчину. Важливо відзначити, що\(−2\) це обмеження.

Відповідь:

Рішення є\(4\).

Якщо цей процес виробляє рішення, яке буває обмеженням, то ігноруйте його як стороннє рішення.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити:

Відповідь

\(-3\)

Іноді всі потенційні рішення є сторонніми, в цьому випадку ми говоримо, що немає рішення вихідного рівняння. У наступних двох прикладах ми демонструємо два способи, за допомогою яких раціональне рівняння не може мати розв'язків.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:

\(\frac{3 x}{x^{2}-4}-\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x+2}\)

Рішення:

Щоб ідентифікувати РК-дисплей, спочатку введіть знаменники.

\(\begin{aligned} \frac{3 x}{x^{2}-4}-\frac{2}{x+2} &=\frac{1}{x+2} \\ \frac{3 x}{(x+2)(x-2)}-\frac{2}{(x+2)} &=\frac{1}{(x+2)} \end{aligned}\)

Помножте обидві сторони на найменш спільний знаменник (РК)\((x+2)(x−2)\), розподіляючи обережно.

Рівняння є протиріччям і, таким чином, не має рішення.

Відповідь:

Немає рішення,\(∅\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вирішити:

\(\frac{x}{x-4}-\frac{4}{x+5}=\frac{36}{x^{2}+x-20}\)

Рішення:

По-перше, множник знаменники.

\(\frac{x}{(x-4)}-\frac{4}{(x+5)}=\frac{36}{(x-4)(x+5)}\)

Зверніть увагу, що обмеження є\(x≠4\) і\(x≠−5\). Для очищення дробів помножте на РК-дисплей,\((x−4)(x+5)\).

\ (x-4) (x+5) &=0\ кінець {вирівняний}\) </p">

\(\begin{array}{cc}{x-4=0}&{ \text { or } }&{ x+5=0} \\ {x=4} && {x=-5}\end{array}\)

Обидва ці значення є обмеженнями вихідного рівняння; отже, обидва є сторонніми.

Відповідь:

Немає рішення,\(\emptyset\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:

Відповідь

\(\emptyset\)

Важливо зазначити, що ця методика очищення алгебраїчних дробів працює лише для рівнянь. Не намагайтеся очистити алгебраїчні дроби при спрощенні виразів. Нагадуємо, що у нас є

\(\begin{array}{cc} {\color{Cerulean}{Expression}}&{\color{Cerulean}{Equation}}\\{\frac{1}{x}+\frac{x}{2 x+1}}&{\frac{1}{x}+\frac{x}{2 x+1}=0} \end{array}\)

Вирази повинні бути спрощені і рівняння повинні бути розв'язані. Якщо помножити вираз на РК-дисплей\(x(2x+1)\), то отримаємо інший вираз, який не є еквівалентним.

\(\begin{array}{c|c}{\color{red}{Incorrect}}&{\color{Cerulean}{Correct}}\\{\frac{1}{x}+\frac{x}{2x+1}}&{\frac{1}{x}+\frac{x}{2x+1}=0}\\{\neq\color{red}{x(2x+1)}\color{black}{\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{2x+1} \right) }}&{\color{Cerulean}{x(2x+1)}\color{black}{\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{2x+1} \right)}\color{black}{=}\color{Cerulean}{x(2x+1)}\color{black}{\cdot 0}}\\{=2x+1+x^{2}\quad\color{red}{x}}&{2x+1+x^{2}=0}\\{}&{x^{2}+2x+1=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}\end{array}\)

Літеральні рівняння

Буквальні рівняння, або формули, часто є раціональними рівняннями. Отже методи, описані в цьому розділі, можуть бути використані для вирішення конкретних змінних. Припустимо, що всі змінні вирази в знаменнику ненульові.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішити для\(x\):

\(x=\frac{x-5}{y}\)

Рішення:

Мета полягає в тому, щоб ізолювати х. Припускаючи, що y не дорівнює нулю, помножте обидві сторони на y, а потім додайте\(5\) до обох сторін.

Відповідь:

\(x=y z+5\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вирішити для\(c\):

\(\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

Рішення:

У цьому прикладі мета - ізолювати\(c\). Починаємо з множення обох сторін на РК-дисплей\(a⋅b⋅c\), розподіляючи акуратно.

\(\begin{aligned} \frac{1}{c} &=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \\ \color{Cerulean}{a b c}\color{black}{ \cdot \frac{1}{c}} &\color{black}{=}\color{Cerulean}{a b c}\color{black}{ \cdot \frac{1}{a}+}\color{Cerulean}{a b c}\color{black}{ \cdot \frac{1}{b}} \\ a b &=b c+a c \end{aligned}\)

У правій частині рівняння коефіцієнт out\(c\).

\(a b=c(b+a)\)

Далі розділіть обидві сторони рівняння на величину\((b+a)\).

\(\begin{array}{c}{\frac{a b}{\color{Cerulean}{(b+a)}}\color{black}{=\frac{c(b+a)}{\color{Cerulean}{(b+a)}}}} \\ {\frac{a b}{b+a}=c}\end{array}\)

Відповідь:

\(c=\frac{a b}{b+a}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити для\(y\):

\(x=\frac{y+1}{y−1}\)

Відповідь

\(y=\frac{1+x}{x-1}\)

Ключові винос

• Почніть рішення раціональних рівнянь з множення обох сторін на РК-дисплей. Отримане еквівалентне рівняння можна вирішити, використовуючи методи, вивчені до цього моменту.
• Множення обох сторін раціонального рівняння на змінний вираз вводить можливість сторонніх розв'язків. Тому ми повинні перевіряти рішення проти безлічі обмежень. Якщо рішення є обмеженням, то воно не є частиною домену і є стороннім.
• При множенні обох сторін рівняння на вираз розподіліть обережно і помножте кожен член на цей вираз.
• Якщо всі отримані рішення сторонні, то вихідне рівняння не має розв'язків.

Вправа\(\PageIndex{4}\) Rational Equations

Вирішити.

1. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{x}=\frac{1}{8}\)
2. \(\frac{1}{3}−\frac{1}{x}=\frac{2}{9}\)
3. \(\frac{1}{3x}−\frac{2}{3}=\frac{1}{x}\)
4. \(\frac{2}{5x}−\frac{1}{x}=\frac{3}{10}\)
5. \(\frac{1}{2 x+1}=5\)
6. \(\frac{3}{3x−1}+4=5\)
7. \(\frac{2 x-3}{x+5}=\frac{2}{x+5}\)
8. \(\frac{5x}{2x−1}=\frac{x−1}{2x−1}\)
9. \(\frac{5}{x−7}=\frac{6}{x−9}\)
10. \(\frac{5}{x+5}=\frac{3}{x+1}\)
11. \(\frac{x}{6}-\frac{6}{x}=0\)
12. \(\frac{5x+x}{5}=−2\)
13. \(\frac{x}{x+12}=\frac{2}{x}\)
14. \(\frac{2x}{x+5}=\frac{1}{6−x}\)
15. \(\frac{1}{x}+\frac{x}{2x+1}=0\)
16. \(\frac{9x}{3x−1}−\frac{4}{x}=0\)
17. \(1−\frac{2}{x}=\frac{48}{x^{2}}\)
18. \(2−\frac{9}{x}=\frac{5}{x^{2}}\)
19. \(1+\frac{12}{x}=\frac{12}{x-2}\)
20. \(1−\frac{3x−5}{x(3x−4)}=−\frac{1}{x}\)
21. \(\frac{x}{2}=\frac{14}{x+3}\)
22. \(\frac{3x}{2}=\frac{x+1}{3−x}\)
23. \(6=\frac{−3x+3}{x−1}\)
24. \(\frac{1}{2x−2}=2+\frac{6(4−x)}{x−2}\)
25. \(2+\frac{2x}{x−3}=\frac{3(x−1)}{x−3}\)
26. \(\frac{x}{x−1}+\frac{1}{6x−1}=\frac{x(x−1)}{(6x−1)}\)
27. \(\frac{12}{x^{2}−81}=\frac{1}{x+9}−\frac{2}{x−9}\)
28. \(\frac{14}{x^{2}−49}=\frac{2}{x−7}−\frac{3}{x+7}\)
29. \(\frac{6x}{x+3}+\frac{4}{x−3}=\frac{3x}{x^{2}−9}\)
30. \(\frac{3x}{x+2}−\frac{17}{x−2}=−\frac{48}{x^{2}−4}\)
31. \(x^{-1}+3=0\)
32. \(4^{−y}−1=0\)
33. \(y^{−2}−4=0\)
34. \(9 x^{-2}-1=0\)
35. \(3(x−1)^{−1}+5=0\)
36. \(5−2(3x+1)^{−1}=0\)
37. \(3+2x^{−3}=2x^{−3}\)
38. \(\frac{1}{x}=\frac{1}{x+1}\)
39. \(\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x}\)
40. \(\frac{3x−1}{3x}=\frac{x}{x+3}\)
41. \(\frac{4x−7}{x−5}=\frac{3x−2}{x−5}\)
42. \(\frac{x}{x^{2}−9}=\frac{1}{x−3}\)
43. \(\frac{3x+4}{x−8}−\frac{2}{8−x}=1\)
44. \(\frac{1}{x}=\frac{6}{x(x+3)}\)
45. \(\frac{3}{x}=\frac{1}{x+1}+\frac{13}{x(x+1)}\)
46. \(\frac{x}{x−1}−\frac{3}{4x−1}=\frac{9x}{(4x-1)(x−1)}\)
47. \(\frac{1}{x−4}+\frac{x}{x−2}=2x^{2}−6x+8 \)
48. \(\frac{x}{x−5}+\frac{x−1}{x^{2}−11x+30}=\frac{5}{x−6}\)
49. \(\frac{x}{x+1}−\frac{6}{5x^{2}+4x−1}=−\frac{5}{5x−1}\)
50. \(\frac{−8x^{2}−4}{x−12}+\frac{2(x+2)}{x^{2}+4x−60}=\frac{1}{x+2}\)
51. \(\frac{x}{x+2}-\frac{20}{x^{2}-6-x}=\frac{-4}{x-3}\)
52. \(\frac{x+7}{x−1}+\frac{x−1}{x+1}=\frac{4}{x^{2}−1}\)
53. \(\frac{x−1}{x−3}+\frac{x−3}{x−1}=−\frac{x+5}{x−3}\)
54. \(\frac{x−2}{x−5}−\frac{x−5}{x−2}=\frac{8−x}{x−5}\)
55. \(\frac{x+7}{x−2}−\frac{81}{x^{2}+5x−14}=\frac{9}{x+7}\)
56. \(\frac{x}{x−6}+1=\frac{5x+30}{36−x^{2}}\)
57. \(\frac{2x}{x+1}−\frac{4}{4x−3}=−\frac{7}{4x^{2}+x−3}\)
58. \(\frac{x−5}{x−10}+\frac{5}{x−5}=−\frac{5x}{x^{2}−15x+50}\)
59. \(\frac{5}{x^{2}+5 x+4}+\frac{x+1}{x^{2}+3 x-4}=\frac{5}{x^{2}-1}\)
60. \(\frac{1}{x^{2}−2x−63}+\frac{x−9x^{2}+10}{x+21}=\frac{1}{x^{2}−6x−27}\)
61. \(\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{2(x-2)}{x^{2}-4 x-12}=\frac{x+2}{x^{2}-8 x+12}\)
62. \(\frac{x+2}{x^{2}−5x+4}+\frac{x+2}{x^{2}+x−2}=\frac{x−1}{x^{2}−2x−8}\)
63. \(\frac{6 x}{x-1}-\frac{11 x+1}{2 x^{2}-x-1}=\frac{6 x}{2 x+1}\)
64. \(\frac{8x}{2x−3}+\frac{4x^{2}}{x^{2}−7x+6}=\frac{1}{x−2}\)

Відповідь

1. \(−\frac{8}{3}\)

3. \(−1\)

5. \(−\frac{2}{5}\)

7. \(\frac{5}{2}\)

9. \(−3\)

11. \(-6, 6\)

13. \(−4, 6\)

15. \(−1\)

17. \(−6, 8\)

19. \(−4, 6\)

21. \(−7, 4\)

23. \(∅\)

25. \(∅\)

27. \(−39\)

29. \(\frac{4}{3}, \frac{3}{2}\)

31. \(−\frac{1}{3}\)

33. \(−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\)

35. \(\frac{2}{5}\)

37. \(∅\)

39. \(−\frac{1}{2}\)

41. \(∅\)

43. \(−7\)

45. \(5\)

47. \(−1\)

49. \(∅\)

51. \(−4\)

53. \(\frac{5}{3}\)

55. \(∅\)

57. \(\frac{1}{2}\)

59. \(−6, 4\)

61. \(10\)

63. \(\frac{1}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) Literal Equations

Вирішити для зазначеної змінної.

1. Вирішити для\(r\):\(t=\frac{D}{r}\)
2. Вирішити для\(b\):\(h=\frac{2A}{b}\)
3. Вирішити для\(P\):\(t=\frac{I}{Pr}\)
4. Вирішити для\(π\):\(r=\frac{C}{2π}\)
5. Вирішити для\(c\):\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
6. Вирішити для\(y\):\(m=\frac{y−y_{1}}{x−x_{1}}\)
7. Вирішити для\(w\):\(P=2(l+w)\)
8. Вирішити для\(t\):\(A=P(1+rt)\)
9. Вирішити для\(m\):\(s=\frac{1}{n+m}\)
10. Вирішити для\(S\):\(h=S2πr−r\)
11. Вирішити для\(x\):\(y=\frac{x}{x+2}\)
12. Вирішити для\(x\):\(y=2x+15x\)
13. Вирішити для\(R\):\(\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\)
14. Вирішити для\(S_{1}\):\(\frac{1}{f}=\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}\)

Відповідь

1. \(r=\frac{D}{t}\)

3. \(P=\frac{I}{tr}\)

5. \(c=\frac{ab}{b−a}\)

7. \(w=\frac{P}{2}-l\)

9. \(m=\frac{1}{s}-n\)

11. \(x=-\frac{2y}{y-1}\)

13. \(R=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) Discussion Board

1. Поясніть, чому множення обох сторін рівняння на РК-дисплей іноді дає сторонні рішення.
2. Поясніть зв'язок між технікою перехресного множення і множенням обох сторін раціонального рівняння на РК-дисплей.
3. Поясніть, як ми можемо визначити різницю між раціональним виразом і раціональним рівнянням. Як ми ставимося до них по-різному?

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися