Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.5: Рішення раціональних рівнянь

  • Anonymous
  • LibreTexts

Цілі навчання

  • Вирішити раціональні рівняння
  • Вирішити буквальні рівняння, або формули, що включають раціональні вирази.

Рішення раціональних рівнянь

Раціональне рівняння - це рівняння, що містить хоча б один раціональний вираз. Раціональні вирази зазвичай містять змінну в знаменнику. З цієї причини ми подбаємо про те, щоб знаменник не був 0, зазначивши обмеження та перевіривши наші рішення.

Розв'яжіть раціональні рівняння шляхом очищення дробів шляхом множення обох сторін рівняння на найменш спільний знаменник (РК).

Приклад7.5.1

Вирішити:

5x13=1x

Рішення:

Спочатку робимо зауваження, щоx0 а потім множимо обидві сторони на РК-дисплей,3x:

Перевірте свою відповідь, замінивши 12 на x, щоб побачити, чи отримаєте ви справжнє твердження.

5x13=1x51213=112512412=112112=112

Відповідь:

Рішення 12.

Після множення обох сторін попереднього прикладу на РК-дисплей, нам залишилося лінійне рівняння для вирішення. Це не завжди так; іноді нам залишиться квадратне рівняння.

Приклад7.5.2

Вирішити:

21x(x+1)=3x+1

Рішення:

В даному прикладі є два обмеження,x0 іx1. Почніть з множення обох сторін на РК-дисплей,x(x+1).

Після розподілу і поділу загальних факторів залишається квадратне рівняння. Щоб її вирішити, перепишіть його в стандартну форму, множник, а потім задайте кожен коефіцієнт рівним 0.

2x+1=0 or x1=02x=1x=1x=12

Перевірте, чи вирішують ці значення вихідне рівняння.

21x(x+1)=3x+1

Checkx=12Checkx=121(12)((12)+1)=3(12)+1211(1+1)=31+121(14)=3124212=322+141=32132=322+4=66=6

Відповідь:

Рішення є12 і1.

До цього моменту всі можливі рішення вирішували вихідне рівняння. Однак це може бути не завжди так. Множення обох сторін рівняння на змінні коефіцієнти може призвести до сторонніх розв'язків, які є розв'язками, які не вирішують вихідного рівняння. Повний перелік кроків для вирішення раціонального рівняння викладено в наступному прикладі.

Приклад7.5.3

Вирішити:

xx+2+2x2+5x+6=5x+3

Рішення:

Крок 1: Розподіліть всі знаменники та визначте РК-дисплей.

xx+2+2x2+5x+6=5x+3x(x+2)+2(x+2)(x+3)=5(x+3)

РК-дисплей є(x+2)(x+3).

Крок 2: Визначте обмеження. В даному випадку ними єx2 іx3.

Крок 3: Помножте обидві сторони рівняння на РК-дисплей. Розподіліть обережно, а потім спростіть.

(x+2)(x+3)(x(x+2)+2(x+2)(x+3))=(x+2)(x+3)5(x+3)x(x+2)(x+3)(x+2)+2(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)=5(x+2)(x+3)(x+3)x(x+3)+2=5(x+2)x2+3x+2=5x+10

Крок 4: Розв'яжіть отримане рівняння. Тут в результаті виходить квадратне рівняння. Перепишіть його в стандартну форму, коефіцієнт, а потім задайте кожен коефіцієнт рівним0.

\ (x+2) (x-4) &=0\ end {вирівняний}\) </p">

x+2=0 or x4=0x=2x=4

Крок 5: Перевірте наявність сторонніх рішень. Завжди підставляйте до вихідного рівняння або факторного еквівалента. У цьому випадку виберіть факторний еквівалент для перевірки:

x(x+2)+2(x+2)(x+3)=5(x+3)

Checkx=2Checkx=42(2+2)+2(2+2)(2+3)=5(2+3)4(4+2)+2(4+2)(4+3)=5(4+3)20+20(1)=51x46+267=57Undefinedterms!23+121=571421+121=571521=5757=57

Тут2 є стороннє рішення і не входить в набір розчину. Важливо відзначити, що2 це обмеження.

Відповідь:

Рішення є4.

Якщо цей процес виробляє рішення, яке буває обмеженням, то ігноруйте його як стороннє рішення.

Вправа7.5.1

Вирішити:

Відповідь

3

Іноді всі потенційні рішення є сторонніми, в цьому випадку ми говоримо, що немає рішення вихідного рівняння. У наступних двох прикладах ми демонструємо два способи, за допомогою яких раціональне рівняння не може мати розв'язків.

Приклад7.5.4

Вирішити:

3xx242x+2=1x+2

Рішення:

Щоб ідентифікувати РК-дисплей, спочатку введіть знаменники.

3xx242x+2=1x+23x(x+2)(x2)2(x+2)=1(x+2)

Помножте обидві сторони на найменш спільний знаменник (РК)(x+2)(x2), розподіляючи обережно.

Рівняння є протиріччям і, таким чином, не має рішення.

Відповідь:

Немає рішення,

Приклад7.5.5

Вирішити:

xx44x+5=36x2+x20

Рішення:

По-перше, множник знаменники.

x(x4)4(x+5)=36(x4)(x+5)

Зверніть увагу, що обмеження єx4 іx5. Для очищення дробів помножте на РК-дисплей,(x4)(x+5).

\ (x-4) (x+5) &=0\ кінець {вирівняний}\) </p">

x4=0 or x+5=0x=4x=5

Обидва ці значення є обмеженнями вихідного рівняння; отже, обидва є сторонніми.

Відповідь:

Немає рішення,

Вправа7.5.2

Вирішити:

Відповідь

Важливо зазначити, що ця методика очищення алгебраїчних дробів працює лише для рівнянь. Не намагайтеся очистити алгебраїчні дроби при спрощенні виразів. Нагадуємо, що у нас є

ExpressionEquation1x+x2x+11x+x2x+1=0

Вирази повинні бути спрощені і рівняння повинні бути розв'язані. Якщо помножити вираз на РК-дисплейx(2x+1), то отримаємо інший вираз, який не є еквівалентним.

IncorrectCorrect1x+x2x+11x+x2x+1=0x(2x+1)(1x+x2x+1)x(2x+1)(1x+x2x+1)=x(2x+1)0=2x+1+x2x2x+1+x2=0x2+2x+1=0

Літеральні рівняння

Буквальні рівняння, або формули, часто є раціональними рівняннями. Отже методи, описані в цьому розділі, можуть бути використані для вирішення конкретних змінних. Припустимо, що всі змінні вирази в знаменнику ненульові.

Приклад7.5.6

Вирішити дляx:

x=x5y

Рішення:

Мета полягає в тому, щоб ізолювати х. Припускаючи, що y не дорівнює нулю, помножте обидві сторони на y, а потім додайте5 до обох сторін.

Відповідь:

x=yz+5

Приклад7.5.7

Вирішити дляc:

1c=1a+1b

Рішення:

У цьому прикладі мета - ізолюватиc. Починаємо з множення обох сторін на РК-дисплейabc, розподіляючи акуратно.

1c=1a+1babc1c=abc1a+abc1bab=bc+ac

У правій частині рівняння коефіцієнт outc.

ab=c(b+a)

Далі розділіть обидві сторони рівняння на величину(b+a).

ab(b+a)=c(b+a)(b+a)abb+a=c

Відповідь:

c=abb+a

Вправа7.5.3

Вирішити дляy:

x=y+1y1

Відповідь

y=1+xx1

Ключові винос

  • Почніть рішення раціональних рівнянь з множення обох сторін на РК-дисплей. Отримане еквівалентне рівняння можна вирішити, використовуючи методи, вивчені до цього моменту.
  • Множення обох сторін раціонального рівняння на змінний вираз вводить можливість сторонніх розв'язків. Тому ми повинні перевіряти рішення проти безлічі обмежень. Якщо рішення є обмеженням, то воно не є частиною домену і є стороннім.
  • При множенні обох сторін рівняння на вираз розподіліть обережно і помножте кожен член на цей вираз.
  • Якщо всі отримані рішення сторонні, то вихідне рівняння не має розв'язків.

Вправа7.5.4 Rational Equations

Вирішити.

  1. 12+1x=18
  2. 131x=29
  3. 13x23=1x
  4. 25x1x=310
  5. 12x+1=5
  6. 33x1+4=5
  7. 2x3x+5=2x+5
  8. 5x2x1=x12x1
  9. 5x7=6x9
  10. 5x+5=3x+1
  11. x66x=0
  12. 5x+x5=2
  13. xx+12=2x
  14. 2xx+5=16x
  15. 1x+x2x+1=0
  16. 9x3x14x=0
  17. 12x=48x2
  18. 29x=5x2
  19. 1+12x=12x2
  20. 13x5x(3x4)=1x
  21. x2=14x+3
  22. 3x2=x+13x
  23. 6=3x+3x1
  24. 12x2=2+6(4x)x2
  25. 2+2xx3=3(x1)x3
  26. xx1+16x1=x(x1)(6x1)
  27. 12x281=1x+92x9
  28. 14x249=2x73x+7
  29. 6xx+3+4x3=3xx29
  30. 3xx+217x2=48x24
  31. x1+3=0
  32. 4y1=0
  33. y24=0
  34. 9x21=0
  35. 3(x1)1+5=0
  36. 52(3x+1)1=0
  37. 3+2x3=2x3
  38. 1x=1x+1
  39. xx+1=x+1x
  40. 3x13x=xx+3
  41. 4x7x5=3x2x5
  42. xx29=1x3
  43. 3x+4x828x=1
  44. 1x=6x(x+3)
  45. 3x=1x+1+13x(x+1)
  46. xx134x1=9x(4x1)(x1)
  47. 1x4+xx2=2x26x+8
  48. xx5+x1x211x+30=5x6
  49. xx+165x2+4x1=55x1
  50. 8x24x12+2(x+2)x2+4x60=1x+2
  51. xx+220x26x=4x3
  52. x+7x1+x1x+1=4x21
  53. x1x3+x3x1=x+5x3
  54. x2x5x5x2=8xx5
  55. x+7x281x2+5x14=9x+7
  56. xx6+1=5x+3036x2
  57. 2xx+144x3=74x2+x3
  58. x5x10+5x5=5xx215x+50
  59. 5x2+5x+4+x+1x2+3x4=5x21
  60. 1x22x63+x9x2+10x+21=1x26x27
  61. 4x24+2(x2)x24x12=x+2x28x+12
  62. x+2x25x+4+x+2x2+x2=x1x22x8
  63. 6xx111x+12x2x1=6x2x+1
  64. 8x2x3+4x2x27x+6=1x2
Відповідь

1. 83

3. 1

5. 25

7. 52

9. 3

11. 6,6

13. 4,6

15. 1

17. 6,8

19. 4,6

21. 7,4

23.

25.

27. 39

29. 43,32

31. 13

33. 12,12

35. 25

37.

39. 12

41.

43. 7

45. 5

47. 1

49.

51. 4

53. 53

55.

57. 12

59. 6,4

61. 10

63. 13

Вправа7.5.5 Literal Equations

Вирішити для зазначеної змінної.

  1. Вирішити дляr:t=Dr
  2. Вирішити дляb:h=2Ab
  3. Вирішити дляP:t=IPr
  4. Вирішити дляπ:r=C2π
  5. Вирішити дляc:1a=1b+1c
  6. Вирішити дляy:m=yy1xx1
  7. Вирішити дляw:P=2(l+w)
  8. Вирішити дляt:A=P(1+rt)
  9. Вирішити дляm:s=1n+m
  10. Вирішити дляS:h=S2πrr
  11. Вирішити дляx:y=xx+2
  12. Вирішити дляx:y=2x+15x
  13. Вирішити дляR:1R=1R1+1R2
  14. Вирішити дляS1:1f=1S1+1S2
Відповідь

1. r=Dt

3. P=Itr

5. c=abba

7. w=P2l

9. m=1sn

11. x=2yy1

13. R=R1R2R1+R2

Вправа7.5.6 Discussion Board

  1. Поясніть, чому множення обох сторін рівняння на РК-дисплей іноді дає сторонні рішення.
  2. Поясніть зв'язок між технікою перехресного множення і множенням обох сторін раціонального рівняння на РК-дисплей.
  3. Поясніть, як ми можемо визначити різницю між раціональним виразом і раціональним рівнянням. Як ми ставимося до них по-різному?
Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися